POLARIZZAZIONE. I = < (E 0 cos ϕ) 2 > (1) dove < (E 0 cos ϕ) 2 > è il valore mediato nel tempo.

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1 POLARIZZAZIONE ESERCIZIO 1 Un fascio di luce naturale attraversa una serie di polarizzatori ognuno dei quali ha l asse di polarizzazione ruotato di 45 rispetto al precedente. Determinare quale frazione dell energia del fascio incidente è presente nel fascio uscente dal terzo polarizzatore. SOLUZIONE La luce naturale non è polarizzata, cioè tutti i piani di vibrazione sono ugualmente probabili. Ne segue quindi che se E 0 cos ϕ è la componente filtrata dal polarizzatore risulta: I = < (E 0 cos ϕ) 2 > I 0 E0 2 = 1 2 (1) dove < (E 0 cos ϕ) 2 > è il valore mediato nel tempo. Perciò dopo il primo polarizzatore risulta I 0 /2. Per il secondo polarizzatore, per la legge di Malus: 1

2 I 2 = I 1 cos 2 (45 ) = I = I 0 4 e per il terzo polarizzatore: (2) I 3 = I 2 cos 2 (45 ) = I = I 0 8 Dopo il terzo polarizzatore la polarizzazione del fascio di luce è ortogonale a quella del fascio emerso dal primo polarizzatore. Tale risultato (rotazione di π 2 del piano di polarizzazione) può essere ottenuto solo usando almeno 2 polarizzatori. (3) 2

3 ESERCIZIO 2 Una lamina di calcite a quarto (n o = 1, 6584, n s = 1, 4864) quarto d onda per luce con λ = 0, 6µm. Un onda con tale λ e I= 400 W/m 2 incide normalmente alla lamina. Essaè espressa da E y = E 0 cos (kx ωtt), E z = 3E 0 sin (kx ωt) essendo l asse y parallelo all asse ottico del cristallo. Calcolare lo spessore minimo della lamina e lo stato di polarizzazione dell onda uscente. Se ortogonalmente all onda uscente viene posto un polarizzatore il cui asse forma un angolo α = 80 con l asse y, calcolare l intensità emessa dal polarizzatore. Si supponga n e = 1, 4864 e n o = 1, 6585 SOLUZIONE Nella lamina e quarto d onda si ha uno sfasamento tra le onde Φ = (2m + 1) π 2 con Φ = (n 0 n e ) d 2π λ. Il minimo sfasamento si ha per m=0 Φ = π 2 2π λ (n 0 n e ) d = π 2 d = λ 1 = 0, 87µm 4 n 0 n e pongo il raggio ordinario in anticipo di π 2 E y = E 0 cos (kx ωt); E z = 3E 0 sin ( kx ωt + π 2 ) = 3E0 cos (kx ωt) 3

4 L onda uscente ha polarizzazione rettilinea, e tra le componenti vale Ez E y = tan ϑ = 3, dove ϑ è l angolo che il piano di polarizzazione forma con l asse ottico: ϑ = 60. Per la legge di Malus dopo il polarizzatore ho I 1 = I 0 cos 2 ϕ, con ϕ = I 1 = 400 0, 9 = 362 W m 2 4

5 ESERCIZIO 3 Un fascio di luce contenente tutte le λ comprese tra λ 1 = 0, 6µm e λ 2 = 0, 7µm incide su un sistema di due polaroidi P 1 e P 2 incrociati, cioè con gli assi ottici a 90 tra loro. Tra i polaroidi c è una lamina di quarzo (n 0 =1,5442, n e =1,5533) spessa d=600 µm tagliata parallelamente all asse ottico col quale gli assi dei polaroidi formano angoli di 45. Assumendo n 0 ed n e indipendenti da λ, calcolare per quali λ la luce esce dalla lamina con polarizzazione rettilinea e quali di tali λ vengono trasmesse dal polarizzatore P 2. SOLUZIONE Dopo P 1 la luce ha polarizzazione rettilinea la lamina non deve alterare il rapporto tra le componenti: Φ = mπ 2π λ d (n 0 n e ) = mπ λ = 2d (n 0 n e ) m = , m m 1 da λ 1 = 2d(n 0 n e) m 1 m 1 = 18, 2 m 2 da λ 1 = 2d(n 0 n e) m 2 m 2 = 15, 6 quindi ho: m=16; λ = 0,682 µm Φ = 8 (2π) = 1, metri m 5

6 m=17; λ = 0,642 µm Φ = 8 (2π) + π sfasamento di π m=18; λ = 0,606 µm Φ = 9 (2π) affinché P 2 trasmetta occore ruotare il piano di polarizzazione di 90 con il cristallo, cioè sfasare una delle due componenti di un angolo π. 6

7 ESERCIZIO 4 Discutere la differenza di fase tra onda ordinaria e straordinaria e lo stato di polarizzazione dell onda uscente quando un onda polarizzata linearmente incide su una lamina sottile di materiale uniassico. SOLUZIONE Il cristalli è spesso d, ha le facce tagliate parallele all alsse ottico ed è disposto in modo che l asse ottico sia perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. La direzione dell asse ottico e Y e l indice di rifrazione nella direzione dell asse ottico è n 1. La direzione Z corrisponde alla direzione di polarizzazione del raggio ordinario (indice di rifrazione n 2 ). Si suppone che un onda polarizzata linearmente in direzione che forma un angolo α con l asse Y incida sulla lamina. Il campo elettrico dell onda incidente è descritto da E = E 0 sin(ωt kx) e le componenti lungo lasse Y e Z sono: E y = E 0y sin(ωt kx) E z = E 0z sin(ωt kx) E 0y = E 0 cos α E 0z = E 0 sin α Nel cristallo l onda si separa in due onde con campi elettrici polarizzati lungo gli assi Y e Z. Tali onde corrispondono rispettivamente all onda straordinaria (Y) e ordinaria (Z). Le velocità di propagazione sono rispettivamente 7

8 onda straordinaria: v 1 = c n 1 ω v 1 = ωn 1 c kn 1 onda ordinaria: V 2 = c n 2 kn 2 dove k=ω/c è il vettore dell onda nel vuoto. Il campo elettrico delle onde, dopo aver attraversato lo spessore d, hanno l espressione: E y = E 0y sin(ωt k 1 d) E z = E 0z sin(ωt k 2 d) La differenza di fase tra le due onde risulterà: δ = (ωt k 2 d) (ωt k 1 d) = (k 1 k 2 )d = (kn 1 kn 2 )d = k(n 1 n 2 )d = 2π(n 1 n 2 d λ Dopo la lamina le due onde si ricombinano dando origine ad un onda singola. A causa della differenza di fase δ l onda non sarà più polarizzata lineamente ma avrà polarizzazione ellittica. Gli assi dell ellisse sono paralleli agli assi Y e Z se δ è multiplo dispari di π/2, cioè se Se δ è un multiplo intero di π 2π λ (n 1 n 2 )d= intero dispari per π 2 (n 1 n 2 )d= intero dispari per π 4 2π λ (n 1 n 2 )d= intero per π (n 1 n 2 )d= intero per λ 2 l onda trasmessa è polarizzata linearmente. Se l intero è pari la direzione di polarizzazione dell onda trasmessa è la stessa dell onda incidente; se l intero è dispari l onda trasmessa è polarizzata in un piano simmetrico rispetto al piano XZ. I due piano (dellonda incidente e dell onda riflessa) se α = 45 risultano ortogonali tra loro. Le lamine che corrispondo alle due situazioni sono chiamate rispetivamente lamina quarto d onda e lamina mezz onda. Le stesse lamine che trasformano una polarizzazione lineare in ellittica possono essere usate in senso inverso: una luce entrante con polarizzazione lettica può uscire polarizzata in un piano. 8