{ x + 2y = 3 αx + 2y = 1 αx + y = 0. f(x) = e x 2 +3x+4 x 5. f(x) = x 3 e 7x.

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1 0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata puntuale e suo significato geometrico Esercizio Determinare l equazione del piano contenente i vettori u = (,, 3 e v = (,, e passante per P o = (,, Scrivere poi l equazione parametrica della retta passante per P o e perpendicolare al precedente piano Equazione del piano: π : x + 7y + 3z + 3 = 0; equazione della retta: r : Esercizio Date le matrici A = ( e B = matrice è invertibile? A B = ; la matrice A B non è invertibile 3 3 Esercizio 3 Determinare per quale valore di α il sistema { x + y = 3 αx + y = αx + y = 0 ammette un unica soluzione e calcolarla { x = Per α = il sistema ammette come unica soluzione y = Esercizio 4 Determinare il dominio e il limite per x 0 della funzione f(x = e x +3x+4 x 5 Dominio: [, 0 (0, 4]; lim x 0 ± f(x = ± Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = x 3 e 7x { x = t y = + 7t, t R z = + 3t, determinare la matrice A B Tale x = 3 7 punto di minimo, x = 0 punto di flesso Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine relativo al punto x 0 = 0 della funzione P (x = + 3 x 9 x Esercizio 7 Calcolare l integrale f(x = 3 sin x + x + x + x dx x+ x +x dx = log x + x + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dalla funzione y = sin(x, dalla retta y = x e dalle due rette x = π/ e x = π/ Area= + π 4 0 Gennaio 006 Teoria: Definizione di derivata di una funzione e caratterizzazione dei punti di non derivabilità Esercizio Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P o = (,, 3 e P = (, 3, Determinare per quale valore di α tale retta risulta parallela al piano contenente i vettori u = (,, e v = (α,,

2 { x = 4t Equazione della retta: r : y = + 4t z = 3 t, t R; α = Esercizio Date le matrici A = ( e B = 4 0 matrice è invertibile? A B = 4 ; la matrice A B non è invertibile 8 Esercizio 3 Determinare per quale valore di α il sistema { x y = 3 αx + y = 6 αx 4y = 0 ammette un unica soluzione e calcolarla { x = Per α = il sistema ammette come unica soluzione y = Esercizio 4 Determinare il dominio e il limite per x 0 della funzione f(x = e x +4x+5 x 3 Dominio: [, 0 (0, 5]; lim x 0 ± f(x = ± Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = e x x 5, determinare la matrice A B Tale x = 5 punto di minimo, x = 0 punto di flesso Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine relativo al punto x 0 = 0 della funzione P (x = 0 x Esercizio 7 Calcolare l integrale f(x = 5 cos x x + x + x dx x+ x +x dx = log x + x + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dalla funzione y = sin(x, dalla retta y = x e dalle due rette x = π/ e x = π/ Area= + π 4 Gennaio 006 Teoria: Determinazione degli intervalli di monotonia e caratterizzazione dei punti di massimo e minimo Esercizio Determinare l equazione cartesiana del piano passante per i punti P 0 = (,, 3, P = (5, 3, e P = (0,, 3 Determinare per quale valore di k il vettore (P P 0 è perpendicolare al vettore (,, k Equazione del piano: π ( : x y + 3z + 8 = 0; k = 3 Esercizio Data la matrice A =, calcolare A 3 5 A T 9 5 A A T = 4

3 Esercizio 3 Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x 3y + 3z = 3x + ky + z = 9 x + 4y z = 8 e dare un interpretazione geometrica del risultato k : rg(a = rg(a B = 3! soluzione, geometricamente si ottiene un unico punto di intersezione k = : rg(a = rg(a B = soluzioni, geometricamente l insieme dei punti di intersezione corrisponde a una retta f(x = log x 9 e x 4, determinarne il dominio e calcolarne la derivata Dominio: (, 3 (3, 4 (4, + ; f x (x = 9 Esercizio 5 Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f(x = x + 4x (x 9 (x (e x 4 log x 9 e x 4 (e x 4 x = punto di minimo locale Esercizio 6 Determinare la retta tangente alla funzione f(x = sin x x cos x nel punto x 0 = π/ Equazione della retta tangente: y = + π(x π Esercizio 7 Calcolare l integrale tan x dx I = log cos x + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dal grafico della funzione y = e x, dalla retta y = 3 e dall asse y Area=3 log 3 Gennaio 006 Teoria: Determinazione degli intervalli di concavità e convessità e definizione dei punti di flesso Esercizio Determinare l equazione cartesiana del piano passante per i punti P 0 = (,, 4, P = (,, 0 e P = (,, 5 Determinare per quale valore di k il vettore (P P 0 è perpendicolare al vettore (, k, 3 Equazione del piano: π ( : 5x y + 3z 9 = 0; k = Esercizio Data la matrice A =, calcolare A 4 A T 4 A A T = Esercizio 3 Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { 3x + y 5z = 5x + y + kz = 3 x + 4z =

4 e dare un interpretazione geometrica del risultato k 9: rg(a = rg(a B = 3! soluzione, geometricamente si ottiene un unico punto di intersezione k = 9: rg(a rg(a B il sistema non ammette soluzioni log x f(x = x, determinarne il dominio e calcolarne la derivata Dominio: (0, [e, + ; f (x = log x x x (x (log x (x Esercizio 5 Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f(x = x 3x + x = 4 punto di massimo locale Esercizio 6 Determinare la retta tangente alla funzione f(x = cos x + x sin x nel punto x 0 = π/ Equazione della retta tangente: y = x Esercizio 7 Calcolare l integrale tan x dx I = log cos x + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dal grafico della funzione y = e x, dalla retta y = 3 e dall asse y Area=3 log 3 6//06 Teoria: Il teorema di Rouché Capelli Applicazione ai sistemi omogenei Esercizio Determinare il piano contenente la retta { x = t y = + 3t z = + t e il vettore (,, Per quale valore di k il piano è perpendicolare al vettore (, k, 3? Equazione del piano: π : 8x y 0z 4 = 0; non esiste alcun valore di k per cui il piano è perpendicolare al vettore k Esercizio Data la matrice A =, determinare per quale valore di k non è invertibile 3 Posto k =, determinare (A I T k = 3 ; per k =, (A I T = Esercizio 3 Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x ky + 3z = e darne un interpretazione geometrica kx y 3z =

5 k : rg(a = rg(a B = soluzioni, geometricamente l insieme delle intersezioni corrisponde ad una retta k = : rg(a rg(a B il sistema non ammette soluzioni x 3 f(x = log x, determinarne il dominio e calcolarne il limite per x + Dominio: (0, e (e, + ; lim x + f(x = Esercizio 5 Determinare gli intervalli di monotonia e di concavità e convessità della funzione f(x = x log x Intervalli di monotonia: in (0, e / ] f decrescente, in (e /, + f crescente; intervalli di concavità: in (0, e 3/ ] f concava, in [e 3/, + f convessa Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine della funzione nel punto x = 0 P (x = x Esercizio 7 Calcolare l integrale indefinito e f(x = x sin x + x 5 ( + x 4 5 dx mediante la sostituzione y = x 4 5 I = 5 4 log + x4/5 + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dalla curva di equazione y = 4 x y = 5 x Area= 5 4 log 4 e dalla retta 6//06 Teoria: Il teorema di Rouché Capelli Applicazione ai sistemi quadrati Esercizio Determinare il piano contenente la retta { x = t y = 3 + t z = + 3t e il vettore (,, Per quale valore di k il piano è perpendicolare al vettore (k, 3, 3? Equazione del piano: π : 8x y 5z + 8 = 0; non esiste alcun valore di k per cui il piano è perpendicolare al vettore k 4 Esercizio Data la matrice A =, determinare per quale valore di k non è invertibile 5 Posto k =, determinare (A I T 4 k = 4 5 ; per k = (A I T = 4

6 Esercizio 3 Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { kx 3y z = 3x + ky + z = e darne un interpretazione geometrica k 3: rg(a = rg(a B = soluzioni, geometricamente l insieme delle intersezioni corrisponde ad una retta k = 3: rg(a rg(a B il sistema non ammette soluzioni x f(x = e x, determinarne il dominio e calcolarne il limite per x + Dominio: [0, log (log, + ; lim x + f(x = 0 Esercizio 5 Determinare gli intervalli di monotonia e di concavità e convessità della funzione f(x = x 3 log x Intervalli di monotonia: in (0, e /3 ] f decrescente, in (e /3, + f crescente; intervalli di concavità: in (0, e 5/6 ] f concava, in [e 5/6, + f convessa Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine della funzione nel punto x = 0 P (x = ( + 3e x Esercizio 7 Calcolare l integrale indefinito f(x = 3 log(x + e cos x + x 5 ( + x 4 5 dx mediante la sostituzione y = x 4 5 I = 5 4 log + x4/5 + c Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano individuata dalla curva di equazione y = 4 x y = 5 x Area= 5 4 log 4 0 Aprile 006 e dalla retta Teoria: Definizione di funzione continua in un punto Esercizio Sono dati i vettori u = (,, 3 e v = (4,, e il punto P o = (,, 4 a Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P o e perpendicolare al piano individuato dai due vettori b Scrivere l equazione cartesiana del piano passante per P o e contenente i due vettori { x = t a Equazione della retta r : y = + 4t, t R; z = 4 + 6t b equazione del piano π : x + 4y + 6z 4 = 0 Esercizio Date le matrici A = e B = 3 4, determinare la matrice (A B 4A 4

7 4 9 (A B 4A = Esercizio 3 Determinare al variare di α il numero di soluzioni del sistema { x + y 3z = 0 αx + y + z = 0 αx + y z = 0 α 3 7 : rg(a = rg(a B = 3! soluzione, quella banale α = 3 7 : rg(a = rg(a B = soluzioni sin x f(x = 3 cos x con x [0, π], determinarne il dominio e calcolarne la derivata Dominio: (0, π; f (x = 3 sin x /3 cos x cos x Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = e 4x ( 3x + x = 5 punto di massimo Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione nel punto x = 0 P (x = + 3x 3x Esercizio 7 Si calcoli l integrale f(x = x x + e x dx + ex I = arctan e x + c Esercizio 8 Dopo aver disegnato la regione finita di piano delimitata dalle curve di equazione y = sin x e y = sin x, con x [0, π], se ne determini l area Area= 4 0 Aprile 006 Teoria: Definizione di funzione continua in un punto Esercizio Sono dati i vettori u = (,, 4 e v = (, 3, e il punto P o = (, 5, 3 a Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P o e perpendicolare al piano individuato dai due vettori b Scrivere l equazione cartesiana del piano passante per P o e contenente i due vettori { x = 0t a Equazione della retta r : y = 5 + 9t, t R; z = 3 + 7t b equazione del piano π : 0x + 9y + 7z + 86 = 0 4 Esercizio Date le matrici A = e B =, determinare la matrice (A B + 3B (A B + 3B = 364

8 Esercizio 3 Determinare al variare di α il numero di soluzioni del sistema { x 3y z = 0 αx y + z = 0 αx + y + z = 0 α 6 5 : rg(a = rg(a B = 3! soluzione, quella banale α = 6 5 : rg(a = rg(a B = soluzioni cos x f(x = 3 sin x + con x [0, π], determinarne il dominio e calcolarne la derivata Dominio: [0, 3 π ( 3 π, π]; f (x = 3 cos x /3 sin x+ +sin x Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = e 3x ( x + 5 x = 3 6 punto di massimo Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione f(x = x + 5 x 3 nel punto x = 0 P (x = x 8 7 x Esercizio 7 Si calcoli l integrale e x e x dx I = arcsin e x + c Esercizio 8 Dopo aver disegnato la regione finita di piano delimitata dalle curve di equazione y = sin x e y = sin x, con x [0, π], se ne determini l area Area= 4 3 Giugno 006 Teoria: Matrice inversa: definizione, condizione di invertibilità e calcolo Esercizio Dati i vettori u = (, 5, 3 e v = (,, 0, a calcolare il modulo del vettore w = u v; b scrivere l equazione cartesiana del piano passante per P o = (,, 3 e perpendicolare a w a w = 6; b Equazione ( del piano: π : 6x + 3y + 9z + = 0 a Esercizio Data la matrice A =, a 4 a determinare il suo rango al variare di a R; b calcolare A B, con B = 5 3 ( 3 a a a rg(a =, a = rg(a = ; b A B = 5a + 5 Esercizio 3 Determinare al variare di α il numero di soluzioni del sistema { x + 5y 7z = 3 5x + αy + z = 0 3x 8y + 9z = 3

9 α 3: rg(a = rg(a B = 3! soluzione α = 3: rg(a = rg(a B = soluzioni ( e x f(x = log x determinarne il dominio e calcolarne la derivata Dominio: (0, + ; f (x = x e x xe x +x (e x x Esercizio 5 Data la funzione f(x = sin x con x [0, π], determinarne gli intervalli di monotonia Intervalli di monotonia: [0, π f crescente, [ π, π f decrescente, [π, 3π f crescente, [ 3π, π] f decrescente Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione nel punto x = 0 P (x = 3x + x Esercizio 7 Si calcoli l integrale f(x = x 3x x + sin( x x dx I = cos x + c Esercizio 8 Dopo aver disegnato la regione finita di piano delimitata dalle curve di equazione y = 5 x e y = x, se ne determini l area Area= (5x x3 3 x x=( + / 6 Giugno 006 Teoria: Teorema di de L Hôpital Esercizio Dati i vettori u = (, 5, 3 e v = (,, 0, a calcolare l angolo formato da w = u v e z = u + v; b scrivere l equazione parametrica { della retta passante per P o = (,, 3 e parallela a w x = + 6t a α = π ; b r : y = 3t, t R Esercizio Date le matrici A = z = 3 9t ( 3 5 a verificare che det(a B = det(b A; b calcolare A e B = 0, 4 a det(a B = det(b A = 68; b A = 7 Esercizio 3Dato il sistema lineare { x + 4x 3 = 0 x + 3x + x 3 = 0 x + 3x + kx 3 = 0 stabilire per quali valori di k esso ammette soluzioni non banali Per tali valori di k, risolvere il sistema 3 5

10 k : rg(a = rg(a B = 3! soluzione, quella banale { k = : rg(a = rg(a B = x = 4x soluzioni, ovvero 3 x = x 3 sin x f(x = cos x con x [0, π], i determinarne il dominio; ii calcolare il lim x 0 + f(x Dominio: (0, π]; lim x 0 + f(x = + Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = e x 3x (x 5 x = punto di minimo, x = punto di massimo Esercizio 6 Scrivere il polinomio di Taylor del primo ordine della funzione f(x = tan(x log(x + nel punto x = 0 P (x = x Esercizio 7 Si calcoli, per parti, l integrale (x 3 + x log xdx I = ( x4 4 + x x4 log x 6 x 4 + c Esercizio 8 Dopo aver disegnato la regione finita di piano delimitata dalle curve di equazione y = x + x e y = 4 4 x, se ne determini l area Area= 7 Luglio 006 Teoria: Il Teorema di Rouché-Capelli nel caso dei sistemi quadrati Esercizio Sia π il piano di equazione 3x 3y 5z + 4 = 0 a Scrivere l equazione della retta r perpendicolare a π e passante per il punto P = (, 3, b Per quale valore di k il piano x 4ky + kz 3 = 0 e perpendicolare a π? { x = + 3t a Equazione della retta: r : y = 3 3t t R; k = 6 7 z = 5t Esercizio Determinare β in modo che u = (,, 3, v = (,, e w = ( 3,, β siano complanari β = 3 k Esercizio 3 Data la matrice A = k a determinare per quali valori di k la matrice e invertibile; b posto k = 3, determinare la matrice (I A a A risulta invertibile per k ± ; b se k = 3 (I A = f(x = e x x 0 /3 /3 /9

11 a determinarne il dominio e i limiti agli estremi del dominio; b calcolarne la derivata a Dominio: (, (, + ; lim x ± f(x = 0, lim x + f(x = +, lim x f(x = 0 ; b f (x = e x ( x (x Esercizio 5 Determinare gli intervalli di monotonia e le coordinate degli eventuali punti di massimo e minimo locale della funzione f(x = ex x 3 Intervalli di monotonia: (, 0 (0, 3] f decrescente, (3, + f crescente; x = 3 punto di minimo locale Esercizio 6 Determinare la retta tangente alla funzione f(x = log(x + x 3x nel punto x 0 = r : y = x Esercizio 7 Si calcoli, usando la regola di integrazione per sostituzione, l integrale indefinito x( + (log x dx I = arctan(log x + c Esercizio 8 Dopo averla disegnata, si calcoli l area della regione finita di piano contenuta nel primo quadrante e delimitata dalle curve di equazione y = x 3 + e y = 4x + Area= 4 6 Settembre 006 Teoria: Significato geometrico della derivata Esercizio Dati i vettori u = (,, 3 e v = (,, e il punto P o = (,,, scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 e perpendicolare al piano individuato dai due vettori { x = 4t Equazione della retta: r : y = + 7t, t R z = t 3 0 Esercizio Date le matrici A = e B = 0 3, determinare la matrice (A B I 0 /8 /6 (A B I = /8 0 Esercizio 3 Determinare al variare di α il numero di soluzioni del sistema { x + y z = 0 x + y 4z = 0 αx + 3y 6z = 0 α 3: rg(a = soluzioni α = 3: rg(a = soluzioni x f(x = e x se ne determini il dominio e si calcolino i limiti agli estremi del dominio

12 Dominio: (, ] [, + ; lim x ± f(x = +, lim x f(x = lim x + f(x = 0 + Esercizio 5 Deteminare gli intervalli di concavità e convessità ed eventuali flessi della funzione f(x = log(x + In (, ], e (, + f concava, in (, ] f convessa; x = ± punti di flesso Esercizio 6 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (0, f(0 r : y = x + Esercizio 7 Calcolare l integrale 4 x f(x = + sin x cos x cos x dx I = sin x + c Esercizio 8 Dopo aver rappresentato graficamente la regione finita del piano contenuta nel primo quadrante e delimitata dai grafici delle funzioni y = x, y = 4 x e dalla retta verticale di equazione x =, determinarne l area Area= 4 3 Settembre 006 Teoria: Il teorema di Lagrange Esercizio Dati i vettori v(, 3,, w(α,, 0 e z( 4, 5, 3, a determinare, in funzione di α, il volume del parallelepipedo di spigoli v, w, z; b determinare per quali valori di α i vettori v, w, z sono complanari a V= 4α + ; b α = Esercizio Data la matrice A = ( β 0 β a calcolare la matrice A ; 4 8 b determinare per quali valori di β risulta A = B, con B = 0 4 β a A 4β = 0 β, b β = Esercizio 3 Determinare, al variare di α R, il numero di soluzioni del sistema, { x 3y = 0 αx y = 5x + y = 3 α = 5 9 : rg(a = rg(a B =! soluzione α 5 9 : rg(a rg(a B = 3 il sistema non ammette soluzioni log(x f(x = 3 x 4, determinarne il dominio e i limiti agli estremi del dominio Dominio: (, (, + ; lim + f(x = +, lim ± f(x = 3 4, lim + f(x = 0

13 Esercizio 5 Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x = arctan e x x = 0 punto di massimo assoluto Esercizio 6 Determinare il polinomio di Taylor di primo grado della funzione centrato nel punto x = 0 P (x = Esercizio 7 Calcolare 6x 4 x 3 7x + dx I = log x 3 7x + + c f(x = cos(log(x + log(cos x Esercizio 8 Calcolare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni f (x = e x, f (x = e x, y = 3 Area=(3 log 3