Appunti di. Elaborazione dei dati sperimentali

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1 Apput d Elaboraoe de dat spermetal Corso d sca er cors d Laurea Igegera Uverstà d adova sura d ua gradea fsca Ua gradea fsca s rappreseta co uo (o pù) umer segut da ua utà d msura. Il umero che quatfca l ettà della gradea fsca (msura) s può otteere due mod dstt. etodo d msura dretto S esegue u cofroto dretto tra la gradea da msurare ed u campoe d rfermeto (lughea co u metro, tempo co u croometro, temperatura co u termometro, ) etodo d msura dretto S calcola l valore della gradea per meo d ua relaoe aaltca che esprme la gradea fuoe d altre da msurare drettamete (veloctà, msurado dstaa e tempo; volume d u paralleleppedo, msurado la lughea de tre lat; ) G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal"

2 Error d msura (I) Og msura s effettua co ua certa sesbltà, coè c è u marge d errore o ullo. La sesbltà d ua msura è data dalla mma dfferea appreable tra l valore della gradea da msurare e quello pù vco dato dal campoe Esempo:.47 m l.47 m l 47.5 ±.5 mm Sesbltà della msura Importate: o ha seso scrvere l rsultato d ua msura co u umero d cfre tal da dcare ua precsoe maggore della sesbltà dello strumeto d msura: l ±.5 mm G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3 Error d msura (II) Se lo strumeto d msura è pù precso: l mm l mm l mm l mm I questo caso la msura è affetta da error superor alla sesbltà dello strumeto Importate: Og msura è affetta da error Il valore vero d ua msura è quello che s otterrebbe dealmete, co ua msura affetta da error molto pccol, al lmte tedet a ero. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 4

3 Classfcaoe degl error Error sstematc alsao la msura sempre ello stesso verso Cause: strumet starat (ad esempo, u orologo che ralleta, ua blaca starata, ), uso d rfermet sbaglat, approssmao, Soo elmabl: rpetoe della msura co metod dvers, calbraoe degl strumet, Error casual alsao la msura etrambe le dreo Cause: codo dell espermeto che varao (pressoe, temperatura, ), dsturb var (vbrao meccache, fluttuao della rete elettrca, ), o precsa defoe dell oggetto da msurare, error dell operatore, o soo elmabl Come fare a dare la mglore stma del dato da msurare?? G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 5 L deogramma S msura volte la stessa gradea :,, 3,, Se o c soo error sstematc, ma solo casual, s ottegoo dvers valor d rappresetabl u deogramma: S può capre se v soo state varao delle codo spermetal durate la msura. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 6

4 Valore medo della msura S adotta l crtero d assumere che u buo dcatore del valore vero (goto) sa l valore medo degl dat spermetal: La dfferea tra valore medo e valore vero * è geerale more, modulo, della dfferea tra sgole msure e valore vero. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 7 ropretà del valor medo Il valore medo corrspode al valore d che mma la fuoe Ifatt: S( ) ( ) [ ] ( ) ds d d ( ) ( ) d d d ds d m S er valutare l mportaa d questa propretà, bsoga capre bee l sgfcato della fuoe S(). G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 8

5 Error e scart dalla meda Defo: Errore: ε * (goto) Scarto dalla meda: (oto) Errore sulla meda: ε * (goto) ε * * * ( * ) ε ε ε Qud è medamete more d. Ioltre, l valore medo è medamete pù prossmo a * d, e lm ε lm ε lm * G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 9 ropretà degl error e degl scart dalla meda Sccome ( ) ε ( *) ( ) * ε lm ε lm ε Qud se s realao molte msure, o v è ua dfferea sgfcatva tra error (got) e scart (ot) dalla meda. I coclusoe, gl scart, che soo quattà msurabl, soo be rappresetatv degl error; allo stesso modo, l valor medo, che è ua quattà msurable, è be rappresetatvo del valore vero. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal"

6 Istogramm U stogramma è u grafco per vsualare la dstrbuoe de valor msurat d ua gradea fsca, oppure de relatv scart dalla meda. Date msure, s defsce u tervallo Δ co cu suddvdere rsultat delle msure e s cotao quat soo rsultat delle msure che cadoo egl tervall [, Δ), [Δ, Δ), [Δ, 3Δ), S trova che, per u umero suffcetemete elevato d msure, la dstrbuoe ha u adameto tpco, cu le msure che s dscostao d molto dal valor medo (o dallo ero se s fa l stogramma degl scart) soo meo frequet d quelle vce al valor medo (allo ero, per gl scart). La dstrbuoe oltre tede ad essere smmetrca rspetto al valore medo (rspetto allo ero, per gl scart). G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" Scarto quadratco medo Gl scart soo dstrbut modo smmetrco attoro allo ero: allora, l valor medo degl scart ache se v è ua otevole dspersoe de dat. Ivece è sempre postvo, ed è dcatvo della dspersoe delle msure (el seso che u valore elevato mostra che le msure soo meo accurate d u valore basso). S defsce scarto quadratco a medo, detto oache edevaoe e stadard d o root mea square (rms) la quattà: ( ) ropretà: ( ) ( ) G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal"

7 Errore della meda S può dmostrare che, per u umero suffcetemete elevato d msure, l errore quadratco medo µ ε (goto) è be approssmable dallo scarto quadratco medo (oto): ε Dalla relaoe ( ) ε ε ε ε (per grad valor d s ammette la cacellaoe de term mst ε ε j, vsto che soo equdstrbut tra postv e egatv, ed modul soo cofrotabl), s ottee che: ε ε ( ) Questa è ua buoa stma dell errore sulla meda. Qud l valore stmato d * (rsultato della msura) è: ± ε msura G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3 Varabl casual cotue e destà d probabltà Esstoo feome cu possbl evet hao ua dstrbuoe cotua. Ad esempo, u puto materale moto lugo ua rotaa scabra dotato d veloctà ale casuale s può fermare u puto qualsas della rotaa. ssata u orge sulla rotaa, s può dvduare co la coordata del puto d arresto, e questa è ua varable casuale cotua. Ifatt, se L è la lughea della rotaa, potrà assumere ft valor dstrbut co cotutà ell tervallo L. Qud, se s cerca d calcolare qual è la probabltà che l puto materale s ferm u determato puto, s otterrà sempre ua probabltà ulla. Quello che s può fare è defre la probabltà dp d otteere u valore compreso tra e d. ossamo scrvere questa probabltà come dp φ( ) d dp dove φ( ) rappreseta ua destà d probabltà. Qud la probabltà d Δp d otteere ua msura d compresa tra o e o Δ è data da o Δ Δp φ( ) d o G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 4

8 Dstrbuoe ormale degl error: legge d Gauss È possble prevedere teorcamete la dstrbuoe degl scart per u umero molto grade d msure (coè per ). Questa dstrbuoe è chamata gaussaa (o ormale), e el caso d ua varable cotua va tesa come ua dstrbuoe d probabltà: φ σ ( ) e σ π Il parametro σ rappreseta la devaoe stadard della msura (dspersoe). G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 5 Legge d Gauss per ua varable cotua Ovvamete lo stesso cocetto d dstrbuoe s applca alle msure (e o solo agl scart). La relaoe che questo caso s ottee, data ua varable cotua gaussaa, è ( ) σ φ( ) e σ π G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 6

9 ropretà della gaussaa (I) S defsce l modulo d precsoe h: h h h φ ( ) e σ π Se h aumeta, aumeta l massmo, dmusce lo scarto quadratco medo σ e la curva s restrge. Questo mplca aver realato delle msure pù accurate. Dato uo scarto (varable) gaussao, la probabltà d otteere u valore compreso tra e d è data da: σ dp φ( ) d e σ π S può verfcare che la probabltà totale è: φ( ) d e σ π d σ d G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 7 ropretà della gaussaa (II) La probabltà d otteere uo scarto compreso tra e è data da: σ, d f [ ] σ φ ( ) d φ ( ) d e d e σ π π erf ( ) La fuoe erf () (error fucto) )èt tabulata: t [ σ, σ ] [ σ, σ ] erf ( σ ).68 erf ( σ ).95 [ 3σ, 3σ ] erf (3σ ). 997 G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 8

10 ropagaoe degl scart: caso leare el caso d ua msura dretta d ua gradea fsca, ad esempo, cu l valore della gradea è dervato dalla msura delle altre gradee fsche e, qual è l errore assocato? Idcat co e gl scart assocat rspettvamete alle msure e, s ha che: ( ) ( ) G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 9 ropagaoe degl scart: caso leare (II) Ioltre: ( ) S ottee qud che gl scart quadratc med s sommao quadratcamete. B Verfcare che questa espressoe vale ache per. q p p I geerale, data la fuoe t h l t d t d èd t d ll l... c b a s trova che lo scarto quadratco medo è dato dalla relaoe... c b a Questa espressoe rappreseta la formula d propagaoe degl scart el caso leare. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal"

11 Scarto quadratco medo della meda S ò S può utlare la relaoe appea trovata per determare lo scarto quadratco medo della meda. Suppoamo d effettuare sere d msure della stessa gradea fsca. S otterrao valor per og msura, ogua co uo scarto quadratco medo µ assocato. Se le msure soo effettuate tutte co la stessa precsoe, possamo porre µ µ per og. p p µ µ p g Cosderamo ora la meda d queste sere d msure 3 e applchamo la relaoe d propagaoe degl scart appea vsta. S ottee... così che lo scarto quadratco medo della meda è:... coè è volte pù accurato della sgola msura (come vsto precedea). Q d ù lt t ù l l d è t Qud, pù volte s rpete ua msura, pù l valor medo è accurato. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" ropagaoe degl scart: caso o leare f ù el caso d ua msura dretta d ua gradea fsca el caso pù geerale cu (,,, ) o è leare, s svluppa sere attoro al puto d coordate (,,, ). Se gl error soo pccol, c s può fermare al prmo orde dello svluppo sere, otteedo:,...),, ( ( ) ( ) Questa è la formula geerale della legge d propagaoe degl scart quadratc d med. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal"

12 ropagaoe degl scart: esemp... ( ) ( ) G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3 Error relatv (o percetual) (I) ( ) ò Lo stesso errore (assoluto) può mplcare dverse accuratee: ad esempo, ua msura d kg ±. g è percetualmete volte pù accurata d ua msura d g ±. g. er esprmere questa dfferea, s troduce l cocetto d errore relatvo, par al rapporto tra l errore assoluto Δ ed l valore della msura : %. g %. g Δ Δ Dalla legge d propagaoe degl scart, s trova faclmete l espressoe aaltca dell errore relatvo: %. g g.%. kg g aaltca dell errore relatvo: el caso d fuo mooorme (tpo ), s ha che:... ( p ),... G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 4

13 Error relatv (o percetual) (II) Q ( ) Qud, gl error relatv (scart rdott) s sommao quadratcamete. S capsce come sa allora utle msurare alcue gradee co elevata accuratea (ad esempo.%) se po altre, relatve alla stessa msura, soo msurate co accuratea more (ad esempo 5%): l errore percetuale globale sarà sempre domato dall errore percetuale maggore. Vedamo alcu esemp d calcolo d error relatv: ; k ; k ; ; G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 5 eda pesata (I) Suppoamo d msurare la stessa gradea fsca co metod d msura dvers. S otterrao de valor (,,) delle msure cascua co uo scarto µ. La stma mglore del valore d o s può fare questo caso semplcemete calcolado la meda degl valor, perché s darebbe lo stesso peso a msure avet accuratee dverse msure avet accuratee dverse. S assume qud che la mglore stma del valore d sa ua meda pesata, coè ua combaoe leare del tpo α α α... cu gl α soo de pes da assocare alle sgole msure fuoe del valore degl scart assocat: se lo scarto è elevato (msura poco accurata), l peso sarà pccolo; vceversa se lo scarto è pccolo (msura accurata). peso sarà pccolo; vceversa se lo scarto è pccolo (msura accurata). G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 6

14 eda pesata (II) Suppoamo per semplctà che sa l valor medo otteuto da ua sere d msure della gradea. Idchamo valor delle sgole msure come j, (j,, ) e poamo che og msura abba lo stesso scarto µ. S ottee che: ; j j Se s effettuao sere d msure, dcado co l umero totale delle msure effettuate d, s ottee: ( ) j j j j α G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 7 eda pesata (III) è ff Il rsultato otteuto el caso partcolare appea descrtto, è effett valdo geerale. ota che : questo sgfca che gl α hao l sgfcato d peso statstco. α Lo scarto della meda pesata s calcola applcado la legge d propagaoe degl scart: α G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 8

15 etodo de mm quadrat Suppoamo d avere m gradee fsche legate tra d loro da ua relaoe tpo: f (,,..., m ) e suppoamo d avere effettuato msure d cascua gradea. Esste la possbltà d trattare tutt quest dat maera complessva, coè o cosderado ua sola gradea fsca alla volta. Sostaalmete, questo metodo cosete d determare parametr lber della relaoe sopra dcata che meglo terpolao dat spermetal trovat. Questo metodo è detto de mm quadrat. Cosderamo l caso semplce d ua relaoe leare tra due gradee fsche e : A B C a b dove a e b soo due parametr costat da determare (ad esempo, se s vogloo determare parametr o e v ua relaoe tpo (t) o vt, e s sao effettuate ua sere d msure d t e (t) stat dvers). È ovvo che per u umero d msure o esste geeralmete questo caso ua soluoe uvoca. G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 9 Iterpolaoe leare Bsoga determare la coppa (a,b) che meglo terpola dat spermetal. A tal fe, s suppoe che gl error comput sulla varable dpedete sao trascurabl, e che qud l errore della msura (e che s rpercuote sull terpolaoe) sa dovuto solo alla msura d : δ ( a b ) G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3

16 m quadrat el caso leare er determare valor d (a,b), s assume che la mglore stma d quest parametr s ottega mmado la somma d tutt (δ ) determat: S ( ) ( ) S a S b a b a S ), ( δ Svolgedo calcol s trovao valor: b Δ a Δ b co Δ G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3 Rsultato dell terpolaoe leare G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 3

17 Scart assocat all terpolaoe Determat così valor d (a,b), s calcolao a questo puto δ e s trova lo scarto quadratco medo sulle. I questo caso, sccome l sstema ha due grad d lbertà, s trova che la mglor stma dell errore è: ε ( δ ) Ife, applcado la legge d propagaoe degl scart, s può determare lo scarto quadratco medo su valor d a e d b: a ε ; b ε Δ Δ [ota: quato appea descrtto per l caso leare, s può estedere ache a fuo o lear.] G. aletto Apput d "Elaboraoe de dat spermetal" 33

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