Informazione binaria: notazione binaria

Transcript

1 Informazione binaria: notazione binaria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Università degli Studi di Brescia Prof. Massimiliano Giacomin

2 Perché contiamo in base 10 - moltiplicare e dividere per 10 - e se avessimo due dita? Informatica e Programmazione Università di Brescia 2

3 Sistema di numerazione posizionale base = b insieme di cifre usate: {0,, b-1} Rappresentazione: a k a k-1 a 0. a -1 a -2 a -h Numero rappresentato: + k i = h a b i i = a k b k + a k 1 b k a b + a 1 b Ad ogni cifra è attribuito un peso che dipende dalla sua posizione 0 0 a h b h Esempio (con base b=10) N = N= Informatica e Programmazione Università di Brescia 3

4 Le basi più comuni Se la base è b, allora le cifre che possono essere utilizzate per comporre un numero vanno da 0 a b-1 Esempio: b = 10 (notaz. decimale), cifre possibili: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] Esempio: b = 2 (notaz. binaria), cifre possibili: [0,1] Esempio: b = 8 (notaz. ottale), cifre possibili: [0,1,2,3,4,5,6,7] Esempio: b = 16 (notaz. esadecimale), cifre possibili: [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B,C,D,E,F] La base si indica con un pedice, p.es Informatica e Programmazione Università di Brescia 4

5 Notazione binaria base = 2 cifre: 0, 1 Numeri espressi nella forma (a n a n-1 a 1 a 0. a -1 a -2 ) 2 [a i {0,1}] il cui valore è (a n *2 n + a n-1 *2 n a 0 + a -1 * a -2 *2-2 ) ESEMPIO N = N = = = Informatica e Programmazione Università di Brescia 5

6 Conversione binario decimale Come visto, la conversione si ottiene direttamente dalla definizione stessa di numero binario NOTA DI PRATICA Conviene partire dall ultima cifra della parte intera (il cui contributo eventuale vale 1), sapendo che spostandosi di una posizione verso sinistra il contributo raddoppia, spostandosi verso destra il contributo si dimezza = Informatica e Programmazione Università di Brescia 6

7 Conversione decimale binario Usare la definizione è complesso! Esempio: 3 dieci 10 dieci 2 dieci 345 dieci = 11x x x = e poi bisogna fare le moltiplicazioni e l elevamento a potenza in base 2 e sommarne i risultati in base 2 Informatica e Programmazione Università di Brescia 7

8 Useremo un metodo pratico. Dato un numero decimale N, è innanzitutto necessario distinguere la parte intera e la parte frazionaria ES: con dieci convertiamo separatamente 57 e Parte intera I Parte frazionaria F Informatica e Programmazione Università di Brescia 8

9 REGOLA PRATICA PER CONVERTIRE LA PARTE INTERA???? I = C n *2 n + C n-1 *2 n C 1 *2 1 + C 0 Esempio I/2 = C n *2 n-1 + C n-1 *2 n C 2 *2 1 + C 1 con resto C 0 I/4 = C n *2 n-2 + C n-1 *2 n C 2 con resto C dieci = due = (1x x x x2 1 )+ 1x2 0 /2 : (1x x x2 1 )+ 0x2 0 con resto 1 /2 : (1x x2 1 ) + 1x2 0 con resto 0 /2 : (1x2 1 )+ 0x2 0 con resto 1 /2: 1x2 0 con resto 0 /2: 0 con resto 1 Informatica e Programmazione Università di Brescia 9

10 Esempio di conversione da decimale a binario Si legge dal basso verso l alto!!! Risultato = Informatica e Programmazione Università di Brescia 10

11 ERRORE TIPICO: considerare la prima cifra ottenuta come la più significativa: otterrei che vale 39! NB: se si è colti dal dubbio, ragionare: se continuassi il procedimento di divisioni successive aggiungerei zeri; questi non pesano solo se corrispondono alle posizioni più significative ( 0 0xyz )! Informatica e Programmazione Università di Brescia 11

12 Metodo più pratico di conversione da decimale intero a binario ES: convertire in binario = [ ] [ ] NB: almeno per valori non troppo elevati, conviene abituarsi ad utilizzare questo metodo. Informatica e Programmazione Università di Brescia 12

13 REGOLA PRATICA PER CONVERTIRE LA PARTE FRAZIONARIA??? F = C -1 *2-1 + C -2 * C -n *2 -n F*2 = C -1 + C -2 * C -n *2 -(n-1) la parte intera è C -1 (F*2 - C -1 ) * 2 = C C -n *2 -(n-2) la parte intera è C Esempio dieci = due = 1x x x2-3 *2 : 1 + (0x x2-2 ) con parte intera 1 *2 : 0 + (1x2-1 ) con parte intera 0 *2 : con parte intera 1 Informatica e Programmazione Università di Brescia 13

14 TORNIAMO ALL ESEMPIO: convertire in binario Parte intera 57 = (vedi prima) Parte frazionaria = Informatica e Programmazione Università di Brescia 14

15 ERRORE TIPICO: considerare la prima cifra ottenuta come la meno significativa: = > 0.75 NB: se continuassi il procedimento di moltiplicazioni successive aggiungerei zeri; questi non pesano solo se corrispondono alle posizioni meno significative ( 0.xyz0 0 )! Informatica e Programmazione Università di Brescia 15

16 NOTA: conversione e approssimazione binario? Si ottiene con 5 cifre binarie dopo la virgola, oppure con 6 cifre binarie dopo la virgola, oppure in questo caso c è comunque un approssimazione

17 Esercizi individuali Convertire da binario a decimale i seguenti numeri: Convertire da decimale a binario i seguenti numeri: Informatica e Programmazione Università di Brescia 17

18 Soluzioni Convertire da binario a decimale i seguenti numeri: = 1x x x x x x x2-2 = = dieci = 1x x x x x x x2-3 = = = dieci = 1x x x x x x x2 0 = = 65 dieci Convertire da decimale a binario i seguenti numeri: = = Informatica e Programmazione Università di Brescia 18

19 Operazioni aritmetiche Per le operazioni in base 2 valgono le stesse regole e proprietà delle operazioni in base 10 MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE PER POTENZE DI 2 - moltiplicazione per 2 n : spostamento della virgola a destra di n posizioni (con eventuale aggiunta di zeri alla fine del numero) - divisione per 2 n (o moltiplicazione per 2 -n ): spostamento della virgola a sinistra di n posizioni Informatica e Programmazione Università di Brescia 19

20 ARITMETICA BINARIA: ADDIZIONE - è l unica che verrà effettuata concretamente - valgono le stesse regole e proprietà dell addizione in base 10 - si può svolgere in colonna : si sommano le cifre corrispondenti, se il numero binario ottenuto ha due cifre la più significativa è il riporto (1) 0 NB: 1+1= 2 10 =10 2 ESEMPIO = Informatica e Programmazione Università di Brescia 20