Variabile casuale uniforme (o rettangolare)

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1 Vribile csule uniforme (o rettngolre) Le crtteristic principle è che le sue relizzzioni sono equiprobbili Si pplic nelle situzioni in cui il fenomeno: Assume vlori in un intervllo limitto [,b] L probbilità di ogni sottointervllo di [, b] è proporzionle ll'mpiezz del sottointervllo L funzione di densità è: 1 per x b f( x ) = b 0 ltrove In ciscuno dei punti pprtenenti ll intervllo l probbilità è costnte

2 Funzione di riprtizione 1 k F( k ) =P( X k)= dx= b- b Esempio Gli utobus pssno nei pressi dell'università ogni or fr le 8.30 e le 13.30: clcolre l prob. che un person, cpitndo cso durnte tle periodo, debb spettre lmeno un qurto d'or L v.c. X "tempo mncnte l prossimo bus segue un modello uniforme dto che "cpitre cso" signific che può cpitre in uno qulsisi dei 60 minuti: k

3 Vlore tteso e vrinz b 2 2 t 1 b - b+ E( X ) = dt= = b- b- 2 2 Nell v.c. UNIFORME il v. tteso coincide con il v. centrle del suo supporto b ( 2 t 1 ) b - E X = dt= b- b b - +b (b+) V( X ) =E( X ) - E( X ) = - = b Il tempo medio di ttes lle pensiline è pri : ( ) 60 t 0+60 E X = dt= =30min

4 L vribile csule esponenzile Quest vr. csule deriv dll Poisson e consente di rispondere domnde di questo tipo: se un sequenz di eventi si verific nel tempo secondo il modello di Poisson ll medi di λeventi per unità di tempo, qunto tempo bisogn spettre perché si verifichi il primo? Riconsiderimo l Poisson per l rrivo di clienti d uno sportello bncrio: f X ( ) = x λt ( λt) e x! Xè il n di clienti nell unità di tempo E(X) = λt medi di rrivi Vr(X) = λt vrinz degli rrivi Indichimo con T il tempo trscorso fino ll'rrivo del primo cliente, ovvero quello che intercorre tr un cliente ed un ltro: T è un vr. csule continu che ssume vlori tr zero e infinito

5 Costruimo l funzione di probbilità Vedimo or come clcolre l probbilità: il primo evento si verific dopo un tempo t (cioè T > t), cioè deve trscorrere un tempo t prim che entri un ltro cliente in bnc Tle evento si relizz se nell'rco di tempo t non ci sono occorrenze, cioè se l v. csule di Poisson è x=0, m è nche vero il contrrio: il n di rrivi in un rco di tempo t è zero (x=0) se il primo rrivo si verific l tempo T > t 0 λt ( λt) e P(T> t) P( X= 0) = = e 0! P(T t) + P(T> t) = 1 P(T t) = 1 P(T> t) = 1 e λt λt λt F(t) = 1 e per t 0 Funzione di riprtizione dell vribile esponenzile

6 Funzione di probbilità È possibile ricvre l funzione (di densità) di probbilità prtire dll funzione di riprtizione ottenendo f() t = t λ e λ per t 0 0 ltrove f(t) A) P(T ) = F() = 1 e λ B) b λt P( T b) λe dt = = 0 A B b C C) = = P(T b) = 1 F(b) = e λb λ λb F(b) F() e e

7 Esempio (1) I clienti di un ipermercto rrivno lle entrte secondo un modello di Poissond un medi di λ= 4l minuto: P X = x = ( ) 4 e x! x 4 X = numero di clienti in un dto minuto Qunto tempo occorre spettre dopo l'pertur prim che entri il 1 cliente? Il tempo di ttes è un vr. csule che si distribuisce secondo un legge di tipo esponenzile λx 4x P X= x = λ e = 4 e x> 0 ( ) Ad esempio l probbilità di spettre meno di mezzo minuto è 4 0,5 2 F(0,5) 1 e = = 1 e =0,864

8 Esempio (2) Si suppong che un corriere effettui le consegne secondo un legge poissoninl ritmo di 4 consegne ogni or. Il numero di consegne nell unità di tempo h come funzione di probbilità x 4t (4t) e P( X= x) = con un medi di 4t consegne ogni t ore x! Voglimo clcolre qul è l probbilità che un certo cliente debb spettre meno di un qurto d or prim che il corriere rrivi Di dti possimo ricvre che λ= 4/60 = 1/15quindi in generle si h che l probbilità che il corriere rrivi in meno di t minuti è dt d t P(rrivi in meno di t') F(t) 1 e 15 = = P(T 15) F(15) 1 e = = = 1 e = 0, 632

9 Vlore tteso e vrinz Il vlore tteso di un vribile csule esponenzile può essere clcolt secondo l formul: + E() t = tλe dt= λt 1 λ È l inverso dell medi di un Poisson + 2 λt V t t λe dt () 1 1 = = λ λ 2

10 Esercizio Il monitor di un line di televisori h un durt di vit che si distribuisce secondo un legge esponenzile di prmetro λ Supponimo che un televisore bbi un grnzi di 2 nni e che l probbilità che si gusti entro l fine del periodo di copertur si pri l 18%: qul è l durt medi del televisore? P(T 2) = 1 e λ = 0,18 2λ e = 0,82 2λ= ln(0,82) 2 ln(0,82) λ= 4 λ 0,1 2 è possibile ricvre λ, l unico vlore incognito di quest relzione ttrverso un semplice formul invers Qul è l probbilità che il televisore bbi un vit superiore i 15 nni? 15 0,1 P(T > 15) = e = 0, E() t = = 10 λ