Materiale didattico per i laboratori di Modelli Statistici I. a cura di: A. Brazzale, M. Chiogna, C. Gaetan e N. Sartori

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1 Materiale didattico per i laboratori di Modelli Statistici I a cura di: A. Brazzale, M. Chiogna, C. Gaetan e N. Sartori Anno Accademico

2 Sommario 1 Introduzione a R Iniziare e chiudere una sessione di R Semplice aritmetica Assegnazioni di valori Gestione di vettori Creazione di vettori Estrazione degli elementi da un vettore Matrici Data-frames Modello lineare semplice Analisi dei dati CHERRY.DAT Ancora sul modello lineare semplice Analisi dei dati BRAINBOD.DAT Esempi artificiali Dati simulati Studio di simulazione La distribuzione dello stimatore ˆβ Livello di copertura dell intervallo di confidenza per β Distribuzioni Adattamento ad una distribuzione Variabili continue Variabili discrete Analisi dei residui Analisi dei dati CEMENT.DAT Analisi dei dati WINDMILL.DAT Test t di Student Analisi del dataset FRUITFLY.DAT Confronto fra (RS, SS) e NS Confronto fra RS e SS Analisi del dataset CAPTOPRIL.DAT

3 SOMMARIO 2 8 Regressione multipla Analisi del dataset HOOK.DAT Analisi del dataset CHERRY.DAT Ancora sulla regressione multipla Analisi del dataset HILLS.DAT Analisi del dataset GASOLINE.DAT Analisi della varianza Analisi del dataset STURDY.DAT Analisi del dataset MORLEY.DAT Analisi della varianza a due fattori Analisi del dataset PENICILLIN.DAT Analisi del dataset RATS.DAT Analisi della covarianza Analisi del dataset CATS.DAT Analisi del dataset INSULATE.DAT

4 Laboratorio 1 Introduzione a R 1.1 Iniziare e chiudere una sessione di R Per iniziare una sessione R fare un doppio click di mouse sulla icona di R. Per uscire da R, usa q(). Per salvare i dati rispondere Si, altrimenti rispondere No. Per controllare cosa c e disponibile nella directory dei dati: > ls() character(0) Per eliminare un oggetto, usa rm(). > rm(thing) > thing Error: Object "thing" not found Se si vogliono eliminare più oggetti, bisogna elencarli separati da virgole. > rm(thing1,thing2) Quando si inizia una nuova sessione di lavoro, è opportuno rimuovere tutti i vecchi oggetti che non servono. Un comando utile è: > rm(list=ls()) oppure rm(list=objects()) 1.2 Semplice aritmetica In R, qualunque cosa venga scritta al prompt viene valutata: > [1] 6 > 2+3*4 [1] 14 3

5 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 4 > 3/2+1 [1] 2.5 > 2+(3*4) [1] 14 > (2 + 3) * 4 [1] 20 > 4*3**3 Usa ** o ^ per calcolare un elevamento a potenza. [1] 108 R fornisce anche tutte le funzioni che si trovano su un calcolatore tascabile: > sqrt(2) [1] > sin( ) sin(pi greco) e zero [1] e-06 e questo e vicino... Fornisce anche il valore di π > sin(pi) [1] e-16 ancora piu vicino a zero... Ecco una breve lista Nome Operazione sqrt radice quadrata abs valore assoluto sin cos tan funzioni trigonometriche asin acos atan funzioni trigonometriche inverse exp log exponenziale e logaritmo naturale Le funzioni possono essere annidate: > sqrt(sin(45*pi/180)) [1] Assegnazioni di valori Si può salvare un valore assegnandolo ad un oggetto mediante il simbolo <- il simbolo : oppure > x <- sqrt(2) salva in x la radice quadrata di 2 > x [1] > x**3 [1]

6 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 5 Valori logici R permette di gestire operazioni e variabili logiche: > x <- 10 fissa x uguale a 10 > x > 10 x e piu grande di 10? [1] FALSE > x <= 10 [1] TRUE > tf <- x > 10 > tf [1] FALSE 1.4 Gestione di vettori Creazione di vettori Per creare un vettore, si usa la funzione c(): > x <- c(2,3,5,7,11) > x [1] Se si hanno tanti dati da scrivere, puo essere più conveniente usare scan(): > x <- scan() 1: 1 2: 6 3: 3 4: 4 5: > x [1] > x <- scan() 1: : : Esercizio: scan() può anche servire per leggere un vettore da un file. Con un editor, prova a creare il file data1.dat contenente i seguenti dati: Puoi leggere il vettore con il comando: > redcell <- scan("data1.dat")

7 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 6 Successioni Si può usare la notazione a:b per creare vettori che sono sequenze di numeri: > xx <- 1:10 > xx [1] > xx <- 100:1 > xx [1] [19] [37] [55] [73] [91] La stessa operazione può essere fatta con: > xx<-seq(from=100, to=1) > xx Possono anche essere creati dei vettori che contengono elementi ripetuti > rep(2,times=3) [1] > rep(2,3) [1] > a_c(rep(2,3),4,5,rep(1,5)) > a [1] Ai vettori puoò essere applicata la stessa aritmetica di base che è stata applicata ai valori scalari: > x_1:10 > x*2 [1] > x * x [1] Possono essere eseguite operazioni logiche anche sui vettori > x > 5 [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

8 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R Estrazione degli elementi da un vettore Gli elementi di un vettore possono essere estratti usando le parentesi quadre []: > xx[7] [1] 94 Si possono estrarre anche sottoinsiemi di elementi: > xx[c(2,3,5,7,11)] [1] > xx[85:91] [1] > xx[91:85] [1] > xx[c(1:5,8:10)] [1] > xx[c(1,1,1,1,2,2,2,2)] [1] Ovviamente, sottoinsiemi di elementi possono essere salvati in nuovi vettori: > yy <- xx[c(1,2,4,8,16,32,64)] > yy [1] Se le parentesi quadre racchiudono un numero negativo, l elemento corrispondente viene omesso dal vettore risultante: > x <- c(1,2,4,8,16,32) > x [1] > x[-4] [1] Alcune funzioni utili per la manipolazione di vettori > x <- 3:26 > length(x) [1] 24...il numero di elementi > max(x) [1] 26...il massimo > min(x) [1] 3...il minimo > sum(x) [1] la somma dei valori in x > prod(x) [1] e+26...il prodotto dei valori in x > mean(x)

9 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 8 [1] la media aritmentica : sum(x)/length(x) > var(x) [1] 50...la varianza corretta > range(x) [1] il campo di variabilita 1.5 Matrici R consente anche di usare le matrici: > x <- matrix(c(2,3,5,7,11,13),ncol=2) > x [,1] [,2] [1,] 2 7 [2,] 3 11 [3,] 5 13 NB: Bisogna specificare nrow o ncol per comunicare a R la dimensione della matrice. Se gli elementi di una matrice sono contenuti in un file, possiamo usare ancora scan() 1,24,32,36,33 2,16,44,34,33 3,20,31,43,32 4,23,35,37,35 5,27,40,40,31 6,19,43,32,37 Se questi elemeni sono contenuti nel file matdata, li possiamo mettere in una matrice 6X5 con il comando: > x2 <- scan( matdata,sep=, ) > mx <- matrix(x2,ncol=5, byrow=t) > mx [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] [2,] [3,] [4,] [5,] [6,] Per estrarre da una matrice un elemento, bisogna specificarne le due coordinate: > x[2,1] [1] 3 > x[2,2] [1] 11

10 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 9 Se non si mette una delle coordinate, si ottiene una intera riga/colonna: > x[,1] [1] > x[3,] [1] 5 13 Possono essere estratti sottoinsiemi di righe e/o colonne: > x <- matrix(1:16,ncol=4) > x [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] > x[c(1,4),c(3,4)] Riga 1 e 4, [,1] [,2] Col 3 e 4 [1,] 9 13 [2,] La funzione dim indica la dimensione (numero di righe e numero di colonne) della matrice > dim(mx) [1] Data-frames Un data frame è un oggetto simile ad una matrice, ma usato per rappresentare dati sperimentali. Ogni riga rappresenta una unità statistica, ogni colonna rappresenta una variabile misurata sulle unità statistiche. Le colonne possono contenere variabili numeriche o categoriali. Per leggere un insieme di dati di questo tipo si usa la funzione read.table(), che automaticamente controlla se le variabili sono numeriche o qualitative, se le righe e/o le colonne hanno etichette. Supponi che il file Cherry.dat sia così costituito: Possiamo acquisirlo con il comando:

11 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 10 > Ciliegi <- read.table("i:/modelli/cherry.dat") > Ciliegi (nota che Ciliegi e diverso da ciliegi) Il data frame è anche una matrice > dim(ciliegi) [1] 31 3 (31 osservazioni e 3 variabili) Se non specificati, i nomi delle tre variabili sono V1 V2 e V3: > names(ciliegi) [1] "V1" "V2" "V3" Si possono cambiare le etichette con il comando: > names(ciliegi) <- c( diametro, altezza, volume ) Alternativamente, potevano assegnare questi nomi direttamente in fase di lettura da file: > Ciliegi<-read.table("I:/modelli/Cherry.dat", + col.names=c("diametro","altezza","volume")) Essendo il data frame una matrice, possiamo considerare, ad esempio, la terza variabile con: Ciliegi[,3] [1] [16] [31] 77.0 Tuttavia, la struttura di data frame permette un metodo migliore per indicare le variabili: > Ciliegi$volume [1] [16] [31] 77.0 Utilizziamo il comando attach() per comunicare ad R che le operazioni che faremo si riferiscono al dataframe Ciliegi: > attach(ciliegi) > volume [1] [16] [31] 77.0 Per avere delle statistiche di base sulle variabili contenute in Ciliegi possiamo usare la funzione summary():

12 LABORATORIO 1. INTRODUZIONE A R 11 > summary(ciliegi) diametro altezza volume Min. : 8.30 Min. :63 Min. : st Qu.: st Qu.:72 1st Qu.:19.40 Median :12.90 Median :76 Median :24.20 Mean :13.25 Mean :76 Mean : rd Qu.: rd Qu.:80 3rd Qu.:37.30 Max. :20.60 Max. :87 Max. :77.00 Possiamo anche rappresentare graficiamente la distribuzione di una variabile ad esempio diametro, mediante un istogramma hist(diametro) oppure un diagramma a scatola (box plot) boxplot(diametro) Per estrarre elementi da un data frame valgono le stesse regole valide per le matrici. > altezza [1] [26] > Ciliegi[altezza > 80,] estrae un dataframe... diametro altezza volume...di alberi che sono alti piu di piedi

13 Laboratorio 2 Modello lineare semplice 2.1 Analisi dei dati CHERRY.DAT Riprendiamo l insieme di dati Ciliegi della precedente lezione. Se non era stato salvato, bisogna rileggerlo da file: > Ciliegi <- read.table("i:/modelli/cherry.dat", + col.names=c( diametro, altezza, volume )) Possiamo comunicare a R che le operazioni che faremo d ora in avanti si riferiscono al data frame Ciliegi: > attach(ciliegi) I dati contengono, per 31 alberi di ciliego abbattuti, la misura del volume di legno ricavato dall albero (volume), il diametro del tronco misurato a circa un metro dal suolo (diametro) e l altezza dell albero (altezza). Vogliamo indagare la relazione tra il volume di legno e il diametro. Possiamo fare un grafico di diametro e volume con il comando: > plot(diametro,volume) Il numero di osservazioni è: > n<-dim(ciliegi)[1] Calcoliamo le stime dei minimi quadrati della regressione volume= α + β * diametro: > beta<-(sum(diametro*volume)/n-mean(volume)*mean(diametro))/ + (mean(diametro^2)-mean(diametro)^2) > beta [1] Questo è equivalente a fare >beta<-cov(diametro,volume)/var(diametro) >beta [1]

14 LABORATORIO 2. MODELLO LINEARE SEMPLICE 13 La stima di α è quindi pari a >alpha<-mean(volume)-beta*mean(diametro) >alpha [1] Aggiungiamo la retta stimata nel grafico, con il comando > abline(alpha,beta,lty="dashed") Il comando abline(a,b) traccia una retta nel grafico corrente con intercetta a e coefficiente angolare b. L opzione lty è un opzione grafica generale (valida ad esempio anche per il comando plot) e definisce il tipo di linea. Assume valori: blank, solid (default), dashed, dotted, dotdash, longdash o twodash, oppure rispettivamente i numeri da 0 a 7. L opzione blank (o 0) traccia una linea invisibile. I valori predetti dal modello sono: > valori.predetti <- alpha+beta*diametro > valori.predetti [1] [8] [15] [22] [29] Ovviamente, i valori predetti dal modello sono quelli che stanno sulla retta di regressione. Possiamo aggiungere questi punti nel grafico precedente con il comando > points(diametro,valori.predetti,pch="x") Il comando points aggiunge i punti in un plot esistente. L opzione pch permette di scegliere il tipo di carattere da utilizzare nel grafico per identificare un punto (in questo caso si è scelto X). I residui sono dati dalla differenza tra i valori osservati e quelli stimati > residui <- volume - valori.predetti > residui [1] [7] [13] [19] [25] [31] Il coefficiente di determinazione e dato da > R2<- 1-var(residui)/var(volume) > R2 [1]

15 LABORATORIO 2. MODELLO LINEARE SEMPLICE 14 Supponiamo ora che la variabile casuale volume abbia distribuzione normale con media α+βdiametro e varianza σ 2. Come ben noto, le stime di massima verosimiglianza di (α, β) coincidono con le stime dei minimi quadrati (ottenute in precedenza). La stima di massima verosimiglianza di σ 2 è data da: > sigma2<- sum(residui^2)/n > sigma2 [1] Possiamo calcolare una stima non distorta di σ 2 > s2<-sum(residui^2)/(n-2) > s2 [1] che è equivalente a > s2<-sigma2*n/(n-2) > s2 [1] Utilizzando s2 possiamo calcolare una stima della varianza di alpha e beta: > var.alpha<-s2*(1/n+mean(diametro)^2/sum((diametro-mean(diametro))^2)) > var.alpha [1] > var.beta<-s2/sum((diametro-mean(diametro))^2) > var.beta [1] Un intervallo di confidenza di livello 0.95 per alpha avrà estremi inferiore e superiore, rispettivamente alpha.lower<- alpha-qt(0.975,n-2)*sqrt(var.alpha) alpha.upper<- alpha+qt(0.975,n-2)*sqrt(var.alpha) > alpha.lower [1] > alpha.upper [1] dove abbiamo utilizzato la funzione qt(p,df), che restituisce il quantile relativo alla probabilità p della distribuzione t di Student con df gradi di libertà (ricordate le tavole?). In modo analogo possiamo ottenere un intervallo di confidenza per beta > beta.lower<- beta-qt(0.975,n-2)*sqrt(var.beta) > beta.upper<- beta+qt(0.975,n-2)*sqrt(var.beta) > beta.lower [1] > beta.upper [1]

16 LABORATORIO 2. MODELLO LINEARE SEMPLICE 15 Verifichiamo ora l ipotesi di nullità di beta, con alternativa bilaterale. osservato del test T è Il valore > test.t<-(beta-0)/sqrt(var.beta) > test.t [1] Sotto H 0, test.t ha distribuzione t di Student con n 2 gradi di libertà. Il valore di significatività osservato (2 min{p r(t t oss ), P r(t < t oss )}) è quindi pari > 2*min(pt(test.t,n-2),pt(test.t,n-2,lower.tail=F)) [1] e-19 ed è equivalente a > 2*pt(abs(test.t),n-2,lower.tail=F) [1] e-19 Abbiamo utilizzato la funzione pt(q,df), che restituisce la probabilità relativa al quantile q della distribuzione t di Student con df gradi di libertà. L opzione lower.tail=f indica che vogliamo la probabilità sulla coda destra, anziché su quella sinistra. Il valore ottenuto per il livello di significatività osservato è praticamente nullo, quindi l ipotesi nulla è da rifiutare. Se volevamo un test di livello fissato 0.05, dovevamo confrontare il valore di test.t con il quantile qt(0.975,n-2) che, in questo caso, è pari a Essendo test.t maggiore di , l ipotesi nulla veniva rifiutata (era comunque ovvio guardando il livello di significatività osservato). Esercizio: verificare l analoga ipotesi di nullità per alpha. Verificare inoltre l ipotesi che beta sia uguale a 5. Per finire, con il comando > detach(ciliegi) diciamo a R che non stiamo più lavorando con il data frame Ciliegi. Ad esempio > volume Error: Object "volume" not found > Ciliegi$volume [1] [16] [31] 77.0 Esercizio: ripetere quanto appena fatto, utilizzando i logaritmi delle variabili volume e diametro.

17 LABORATORIO 2. MODELLO LINEARE SEMPLICE 16 Notiamo che, nell esercizio precedente, abbiamo utilizzato la formula log(volume) = α 1 + β 1 log(diametro). Questo, per le proprietà dei logaritmi, significa che e quindi che log(volume) = log(e α 1 diametro β 1 ). volume = e α 1 diametro β 1. Quindi, supponendo di aver salvato negli oggetti alpha1 e beta1 le stime dei coefficienti α 1 e β 1 : > beta1<-cov(log(volume),log(diametro))/var(log(diametro)) > alpha1<-mean(log(volume))-beta1*mean(log(diametro)) possiamo ottenere i valori predetti secondo questo modello nella scala originale delle variabili: > valori.predetti1 <- exp(alpha1)*diametro^beta1 e poi confrontare i risultati graficamente con quelli precedenti: > attach(ciliegi) > plot(diametro,volume) > abline(alpha,beta,lty="dashed") > lines(diametro,valori.predetti1) > detach(ciliegi) La linea continua sembra adattare meglio le osservazioni negli estremi. La funzione lines serve per aggiungere linee su un grafico esistente (vedi help(lines) per ulteriori dettagli). Se definiamo i residui del modello in scala logaritmica, nella scala originaria delle variabili, come > residui1<-volume-valori.predetti1 vediamo che la varianza di questi residui è minore rispetto a quella del primo modello utilizzato: > var(residui1) [1] > var(residui) [1]

18 Laboratorio 3 Ancora sul modello lineare semplice 3.1 Analisi dei dati BRAINBOD.DAT Considera il file brainbod.dat che contiene i seguenti dati sul peso del corpo (kg) e peso del cervello (g) di 15 mammiferi terrestri. species bodywt brainwt afeleph cow donkey man graywolf redfox narmadillo echidna phalanger guineapig eurhedghog chinchilla ghamster snmole lbbat Acquisiamo il file (NB: specificare il percorso per arrivare al file!), dopo aver ripulito la memoria degli oggetti > rm(list=ls()) > brainbod <- read.table("i:/modelli/brainbod.dat", header=t) NB: l opzione header=t indica che la prima riga del file deve essere utilizzata per dare il nome alle variabili. Per usarlo nelle analisi successive, usiamo: > attach(brainbod) 17

19 LABORATORIO 3. ANCORA SUL MODELLO LINEARE SEMPLICE 18 Facciamo qualche analisi grafica dei dati. > hist(bodywt) > boxplot(bodywt) > hist(brainwt) > boxplot(brainwt) Per creare un grafico dell andamento del peso del cervello rispetto al peso del corpo, usare: > plot(bodywt,brainwt) > identify(bodywt, brainwt, species) Questi grafici non risultano particolarmente leggibili, perché il peso dell elefante è così elevato che schiaccia tutti gli altri punti. Probabilmente è meglio esplorare i dati su scala logaritmica: > hist(log(bodywt)) > boxplot(log(bodywt)) > hist(log(brainwt)) > boxplot(log(brainwt)) > plot(log(bodywt), log(brainwt)) Ora i grafici appaiono più interessanti. Si intuisce la presenza di una relazione lineare tra i logaritmi del peso e del peso del cervello, con forse un paio di punti un po distanti dall ipotetica retta interpolante. Esercizio: stimare i coefficienti della retta di regressione log(brainwt) = α + β log(bodywt) e calcolare gli intervalli di confidenza di livello 0.99 per α e β.

20 Laboratorio 4 Esempi artificiali 4.1 Dati simulati Per provare a vedere come si comportano le quantità di interesse in una regressione semplice quando tutte le assunzioni sono verificate, costruiamo un modello artificiale. > x <- 1:30 > error <- rnorm(30, mean=0, sd=4) > y < *x + error La funzione rnorm(n, mean, sd) genera un campione di numerosità n da una variabile casuale normale di media mean e standard deviation sd. Proviamo a costruire il diagramma di dispersione: > plot(x, y) Ovviamente, la linearità della relazione è evidente! La stima dei parametri della regressione y = α + βx sono: > beta <- cov(x,y)/var(x) > beta [1] > alpha <- mean(y) - beta*mean(x) > alpha [1] Supponiamo ora di aumentare la varianza dell errore: > error <- rnorm(30, mean=0, sd=10) > y < *x + error > plot(x, y) I punti sono meno allineati di prima. Esercizio: ripetere l analisi aumentando ancora la varianza del termine d errore. Valutare gli effetti dell aumentata variabilità. Provare a vedere cosa succede se si diminuisce la varianza. 19

21 LABORATORIO 4. ESEMPI ARTIFICIALI Studio di simulazione La distribuzione dello stimatore ˆβ Come nell esempio precedente, supponiamo di generare un campione di 30 elementi, con α = 5, β = 3 e σ 2 = 4 2 = 16. > x <- 1:30 > error <- rnorm(30, mean=0, sd=4) > y < *x + error La stima di β è pari a > beta <- cov(y,x)/var(x) Se generiamo un campione diverso otteniamo un valore diverso della stima. Se generiamo 1000 campioni (con gli stessi valori dei parametri) e registriamo le corrispondenti stime di β, possiamo poi valutare (empiricamente) la distribuzione dello stimatore ˆβ. Rifacciamo per 1000 volte (non a mano!) il procedimento sopra elencato. > beta.sim <- vector("numeric", length=1000) > for (i in 1:1000) + { + error <- rnorm(30, mean=0, sd=4) + y < *x + error + beta.sim[i] <- cov(y,x)/var(x) + } Abbiamo prima definito un vettore beta.sim in cui registreremo i valori delle stime. Utilizziamo poi il ciclo for (i in 1:1000) { operazioni }. L indice i assumerà valori da 1 a 1000 e per ognuno di questi valori eseguirà le operazioni all interno delle parentesi { }. A questo punto il vettore beta.sim conterrà 1000 valori delle stime del parametro β, relative a 1000 diversi campioni. Quindi abbiamo 1000 realizzazioni indipendenti della variabile casuale ˆβ (lo stimatore di β). Possiamo valutare graficamente la distribuzione di ˆβ: > hist(beta.sim) > boxplot(beta.sim) Dalla teoria sappiamo che la distribuzione di ˆβ è normale, con media β e varianza σ 2 /( i (x i x) 2 ). In questo caso, β è uguale a 3 e la varianza è pari a: > var.beta <- 4^2/sum((x-mean(x))^2) > var.beta [1]

22 LABORATORIO 4. ESEMPI ARTIFICIALI 21 Possiamo confrontare questi valori con i valori empirici delle simulazione: > mean(beta.sim) > var(beta.sim) Possiamo confrontare la distribuzione empirica di ˆβ con quella teorica anche graficamente. > hist(beta.sim, freq=f) > lines(density(beta.sim)) > lines(seq(2.7, 3.3, 0.01), + dnorm(seq(2.7, 3.3, 0.01), 3, sqrt(var.beta)), lwd=2) Esercizio: Costruire la distribuzione simulata per lo stimatore del coefficiente α Livello di copertura dell intervallo di confidenza per β Possiamo ricorrere ad uno studio di simulazione (è questo il nome ufficiale di quanto fatto prima!) per valutare il livello di copertura reale di un intervallo di confidenza di livello nominale Concentriamoci nuovamente sul coefficiente di regressione β. > x <- 1:30 > error <- rnorm(30, mean=0, sd=4) > y < *x + error L intervallo di confidenza di livello 0.95 è dato da ˆβ ± Var( ˆ ˆβ)t n 2 (0.025), dove Var( ˆ ˆβ) è la stima della varianza di ˆβ e t n 2 (0.025) è il quantile di livello di una t di Student con n 2 gradi di libertà. > n <- 30 > beta <- cov(x,y)/var(x) > alpha <- mean(y) - beta*mean(x) > residui <- y - alpha - beta*x > s2 <- sum(residui^2)/(n-2) > var.beta <- s2/sum((x-mean(x))^2) > beta.lower <- beta + qt(0.025, n-2) * sqrt(var.beta) > beta.upper <- beta - qt(0.025, n-2) * sqrt(var.beta) > beta.lower [1] > beta.upper [1]

23 LABORATORIO 4. ESEMPI ARTIFICIALI 22 La teoria ci dice che un intervallo di confidenza di livello 0.95 contiene, nell ipotesi di replicabilità dell esperimento, il vero valore del parametro nel 95% dei casi. Proviamo a verificare questo punto con uno studio simulazione. Salviamo in un file di testo (usando un editor ASCII, ad esempio Notepad o Wordpad di Windows) le istruzioni seguenti: beta.ic <- matrix(na, ncol=2, nrow=1000) for (i in 1:1000) { error <- rnorm(30, mean=0, sd=4) y < *x + error beta <- cov(x,y)/var(x) alpha <- mean(y) - beta*mean(x) residui <- y - alpha - beta*x s2 <- sum(residui^2)/(n-2) var.beta <- s2/sum((x-mean(x))^2) beta.lower <- beta + qt(0.025, n-2) * sqrt(var.beta) beta.upper <- beta - qt(0.025, n-2) * sqrt(var.beta) beta.ic[i,1] <- beta.lower beta.ic[i,2] <- beta.upper } Generiamo, come prima, 1000 campioni diversi e su questi calcoliamo i 1000 intervalli di confidenza. Si noti che gli estremi inferiore e superiore sono memorizzati nella matrice beta.ic. Salviamo il file ad esempio con il nome simul.r. Le istruzioni possono essere passate a R con un semplice copia-incolla oppure con l istruzione: > source( H:/.../simul.R ) Calcoliamo la percentuale degli intervalli che contengono il vero valore di β, ovvero il livello di copertura reale: sum( (beta.ic[,1] <= 3) & (beta.ic[,2] >= 3) )/1000 [1] Il valore è prossimo al livello di copertura nominale fissato! Esercizio: Valutare il livello di copertura reale dell intervallo di confidenza di livello nominale 0.9 per il coefficiente α.

24 Laboratorio 5 Distribuzioni R consente di gestire automaticamente molte distribuzioni (per calcolare probabilità, quantili,... ). Questo permette di effettuare verifiche di ipotesi, calcolare intervalli di confidenza, ecc. Ad esempio, consideriamo la distribuzione normale standardizzata. Esistono 4 funzioni ad essa relative: dnorm(x) calcola il valore della densità in <x>; pnorm(q) calcola il valore della ripartizione in <q>; qnorm(p) calcola il quantile di livello <p>; rnorm(n) genera un campione da una normale standard di dimensione <n>. Per vedere per esempio l andamento della funzione di ripartizione di una normale standard: > x <- seq(-5, 5, length=100) > rip <- pnorm(x) > plot(x, rip, type="l") Ovviamente, possono essere gestite normali non standardizzate: è sufficiente aggiungere nell ordine la media e la deviazione standard nelle chiamate sopra viste. > args(pnorm) function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) > rip1 <- pnorm(x, 2, 0.7) > lines(x, rip1, col=2) Alcune delle distribuzioni disponibili sono: 23

25 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI R Distribuzione Parametri Defaults chisq chi-quadrato df - exp exponenziale rate 1 f F df1, df2 -, - gamma Gamma shape, scale -, 1 lnorm log-normale meanlog, sdlog 0, 1 norm normale mean, sd 0, 1 t t di Student df - unif uniforme min, max 0, Adattamento ad una distribuzione Variabili continue Consideriamo un campione generato da una distribuzione normale standard di ampiezza 10: > x <- rnorm(10) Supponiamo di non sapere che il campione proviene da una popolazione normale. Proviamo a studiare graficamente la distribuzione dei dati per capire da che popolazione deriva. > hist(x) > hist(x, nclass=8) > hist(x, nclass=15) > boxplot(x) Aumentiamo la numerosità: > xx <- rnorm(100) > hist(xx) > boxplot(xx) Che strumenti grafici abbiamo a disposizione per vedere se proviene o meno da una distribuzione normale? > qqnorm(xx) > qqline(xx) > par(pty="s") > qqnorm(xx) > abline(0, 1)

26 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 25 Esercizio: provare a verificare la normalità di x. Cosa si puo dire? Per rendersi conto dell aspetto del qqnorm quando i dati non sono normali, generiamo dei dati da una distribuzione simile alla normale e da una completamente diversa e poi confrontiamoli: > y <- rt(100,2) > hist(y) > qqnorm(y) > abline(0, 1) > qqline(y) > z <- rexp(100) > hist(z) > qqnorm(z) > abline(0, 1) > qqline(z) > par(mfrow=c(1,2)) > qqnorm(xx) > abline(0, 1) > qqline(xx) > qqnorm(y) > abline(0, 1) > qqline(y) > qqnorm(xx) > abline(0, 1) > qqline(xx) > qqnorm(z) > abline(0, 1) > qqline(z) > par(mfrow=c(1,1)) Per verificare l adattamento dei dati ad una distribuzione diversa dalla normale, il comando qqnorm non può essere usato. Un grafico analogo ma compatibile con la distribuzione in esame può essere ottenuto con il comando (es. nel caso della distribuzione esponenziale): > qqplot(qexp(ppoints(z)), sort(z)) > abline(0, 1) > qqline(z) Variabili discrete Generiamo 100 dati da una Poisson di parametro 5: > x <- rpois(100,5)

27 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 26 La distribuzione di frequenze può essere ottenuta con il comando table: > tab <- table(x) > tab > names(tab) [1] "0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9" "10" Un semplice grafico della distribuzione di frequenze assolute (detto diagramma a bastoncini) può essere ottenuto con i comandi: > plot(tab, type="h") > points(tab,pch=5) Dal momento che alcuni valori potrebbero avere frequenza nulla, può essere conveniente costruire il grafico in questo modo: > plot(as.numeric(names(tab)), tab, type="h") > points(as.numeric(names(tab)), tab, pch=5) Per vedere l accostamento di variabili discrete a modelli di riferimento, possiamo confrontare la nostra distribuzione empirica di frequenze con quella teorica che ci si aspetta dato il modello di riferimento. Per esempio, confrontiamo la nostra distribuzione di frequenze empirica con quella teorica che ci si aspetta per una Poisson(5) (che in questo caso sappiamo essere la distribuzione di provenienza dei dati, ovvero ci aspettiamo una forte similitudine). Costruiamo prima la probabilità di ottere 1,2,3,4,...,13 per una Poisson(5): > prob <- dpois(1:13,5) Per ottenere le frequenze attese per 100 individui: > attese <- 100*prob > attese [1] [7] [13] > attese <- round(attese) > attese [1] > names(attese) <- 1:13 > attese > names(attese) [1] "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9" "10" "11" "12" "13"

28 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 27 Quindi confrontiamo. > tab > attese Per effettuare il confronto grafico: > lines((1:13)+0.2, attese, lty=3, type="h", col=2) Alcune classi potrebbero avere una frequenza che supera il limite superiore dell asse y nel grafico. È quindi necessario ricostruire l intero grafico tenendo conto di questo: > plot(as.numeric(names(tab)), tab, type="h", ylim=range(tab,attese)) > points(as.numeric(names(tab)), tab, pch=5) > lines((1:13)+0.2, attese,lty=3, type="h", col=2) > points((1:13)+0.2, attese, pch=3)

29 Laboratorio 6 Analisi dei residui 6.1 Analisi dei dati CEMENT.DAT I dati riportati nel file cement.dat si riferiscono ad uno studio sulla resistenza del cemento alla tensione. La resistenza dipende, tra le altre cose, dal tempo di essicazione. Nello studio si è misurata la resistenza alla tensione di lotti di cemento sottoposti a diversi tempi di essicazione. Si studi la relazione tra la resistenza alla tensione e il tempo di essicazione. In questo caso il tempo è la variabile esplicativa e la resistenza è la variabile risposta > cement <- read.table("i:/modelli/cement.dat", col.names=c("tempo", "resist")) > attach(cement) Proviamo una prima analisi esplorativa dei dati: > plot(resist ~ tempo) Il grafico indica chiaramente una relazione non lineare. Un modello del tipo resist = α + βtempo + ε non parrebbe appropriato. Possiamo allora cercare qualche trasformazione delle variabili che ci riporti ad una relazione più lineare. Generalmente, si preferisce trasformare le variabili esplicative. Proviamo allora a trasformare la variabile tempo. Si noti l utilizzo della funzione par con l opzione mfrow. Questo permette di visualizzare in un un unica finestra 2 2 = 4 grafici. > par(mfrow=c(2,2)) > plot(log(tempo), resist) > plot(1/(tempo), resist) > plot(1/sqrt(tempo), resist) > plot(sqrt(tempo), resist) > par(mfrow=c(1,1)) Le prime tre trasformazioni pare linearizzino in maniera soddisfacente la relazione, in particolare la terza. Adottiamo quindi la trasformazione > x <- 1/sqrt(tempo) 28

30 LABORATORIO 6. ANALISI DEI RESIDUI 29 e procediamo specificando il modello di regressione resist = α + β tempo + ε A questo punto utilizziamo una nuova funzione lm. Questa fornisce le stime di massima verosimiglianza per un modello lineare quando gli errori si distribuiscono come una v.c. normale. > fit <- lm( resist ~ x ) Notate la sintassi di resist~x. A sinistra di vi è il regressore a destra la variabile esplicativa. La costante α è automaticamente inclusa. Abbiamo creato un oggetto, che abbiamo chiamato fit, di tipo lm. Un oggetto è qualcosa di più complicato di un vettore o di una matrice. È una lista di elementi su cui si può applicare una serie di funzioni. Ad esempio con il comando seguente vediamo i risultati dell adattamento. > summary(fit) Call: lm(formula = resist ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** x e-13 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 19 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 19 DF, p-value: 1.337e-13 Come si può osservare, otteniamo diverse statistiche e più in generale quantità. Notate che entrambi i coefficienti sono fortemente significativi e così pure (come ovvio) il test F sulla bontà dell adattamento complessivo del modello. L oggetto fit contiene più quantità > names(fit) [1] "coefficients" "residuals" "effects" "rank" [5] "fitted.values" "assign" "qr" "df.residual" [9] "xlevels" "call" "terms" "model" Proviamo a considerare i residui e i valori previsti dal modello.

31 LABORATORIO 6. ANALISI DEI RESIDUI 30 > res <- resid(fit) > fit.val <- fitted(fit) I residui contenuti in fit e che abbiamo appena salvato nel vettore res sono le quantità e i = y i ŷ i. Per ottenere i residui standardizzati, cioè e i = e i /(s 1 h i ) dobbiamo utilizzare la funzione rstandard > res.standard <- rstandard(fit) Alcuni grafici che possiamo fare per verificare linearità della relazione, omoschedasticità degli errori, indipendenza degli errori sono: 1. il grafico (i, e i ), utile soprattutto se le osservazioni sono in ordine temporale; 2. il grafico (ŷ i, e i ); 3. il grafico (ŷ i, y i ); 4. il grafico (x i, e i ). Il grafico (2), cioè i residui rispetto ai valori stimati, mostra una maggiore variabilità dei residui per valori stimati elevati. Questo sembrerebbe indicare che la varianza non è costante, ossia che i residui non sono omoschedastici. > plot(fit.val, res.standard) Lo stesso andamento è mostrato anche dal grafico (3) dei valori osservati sui valori stimati, anche se in modo meno evidente. > plot(fit.val, resist) Per quanto riguarda la normalità dei residui, appaiono lievi deviazioni sulla coda destra. > par(pty= s ) > qqnorm(res.standard, xlim=c(-2,2), ylim=c(-2,2)) > qqline(res.standard) Possiamo provare a vederlo anche con i soliti strumenti: > hist(res.standard, freq=f) > lines(density(res.standard)) > boxplot(res.standard) Complessivamente, la normalità appare soddisfacente considerando la bassa numerosità del campione. Concludendo, il modello interpola i dati abbastanza bene; esso risulta peraltro un poco carente per quanto riguarda la omoschedasticità del termine di errore. E adesso terminiamo. > detach(cement) Esercizio: Produrre il grafico (i, e i ) e commentarlo. Spesso, in pratica, anzichè utilizzare i residui standardizzati si utilizzano i residui non standardizzati e i. Ripetere le analisi grafiche precedenti con i residui non standardizzati e commentare eventuali somiglianze o differenze.

32 LABORATORIO 6. ANALISI DEI RESIDUI Analisi dei dati WINDMILL.DAT Un ingegnere sta provando una turbina a eolica per generare corrente elettrica. Egli ha raccolto un certo numero di osservazioni sulla corrente generata e sulla corrispondente velocità del vento ed è interessato alla relazione che intercorre tra velocità del vento e corrente generata. I dati sono contenuti nel file windmill.dat e si vuole studiare la relazione esistente tra le due variabili. > windmill <- read.table("i:/modelli/windmill.dat", header=t) > windmill wind dc > attach(windmill) Per esplorare graficamente la relazione esistente tra velocità del vento e corrente generata facciamo un diagramma a dispersione. > plot(wind, dc) Il grafico mostra una evidente relazione tra le due variabili. Proviamo dapprima ad ipotizzare un legame funzionale lineare. > fit <- lm( dc ~ wind ) > summary(fit) Call: lm(formula = dc ~ wind) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) wind e-12 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: 7.546e-12

33 LABORATORIO 6. ANALISI DEI RESIDUI 32 A questo punto, per verificare la bontà del modello, possiamo valutare la significatività dei coefficienti e passare poi all analisi dei residui. Appare evidente che entrambe i coefficienti sono fortemente significativi. Dato il risultato osservato sul coefficiente angolare, non sorprende il risultato del test F per la bontà complessiva del modello: > ^2 [1] Passiamo ora all analisi dei residui. > res <- rstandard(fit) > fit.val <- fitted(fit) > plot(fit.val, res) > plot(wind, res) I grafici dei residui sui valori adattati e sulla variabile esplicativa indicano un chiaro andamento parabolico dei residui standardizzati (lo stesso si evincerebbe utilizzando i residui e i ). In particolare, il grafico (x i, e i ) ci dice che in corrispondenza di valori bassi della velocità del vento, il modello sistematicamente sottostima il valore della della corrente generata, in corrispondenza di valori centrali della velocità il modello sovrastima la corrente generata e in in corrispondenza di valori alti della velocità torna a sottostimare la corrente generata di ebollizione. Questo andamento ci suggerisce che il modello non coglie in maniera appropriata la dipendenza della variabile risposta dalla esplicativa. > qqnorm(res) Il grafico quantile quantile ci mostra qualche scostamento dalla normalità per i residui di segno positivo. Da questo potremmo desumere che la distribuzione dei residui risulta asimmetrica. In conclusione, l analisi dei residui non appare soddisfacente, nonostante i risultati ottenuti nei test di significatività. Come possiamo rimediare? Quanto detto precedentemente ci fa capire che deve esserci una relazione tra residui e velocità del vento. Effettivamente, il grafico (x i, e i ) mostra una relazione di tipo quadratico. Quindi il modello potrebbe essere migliorato introducendo un ulteriore regressore ovvero la velocità del vento al quadrato. Potremmo quindi passare da una regressione semplice ad una regressione multipla. Ma attenzione, dal diagramma di dispersione > plot(wind, res) possiamo dedurre che la parabola che meglio si adatterà ai dati sarà convessa. Quindi in base a questo modello, da un certo valore in poi, valori sempre via via crescenti della velocità del vento comporteranno valori via via decrescenti della corrente generata. Piuttosto proviamo a considerare un modello del tipo corrente = α + β velocità + ε

34 LABORATORIO 6. ANALISI DEI RESIDUI 33 > fit.inv <- lm( dc ~ I(1/wind) ) > summary(fit.inv) Call: lm(formula = dc ~ I(1/wind)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** I(1/wind) <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.98, Adjusted R-squared: F-statistic: 1128 on 1 and 23 DF, p-value: 0 Consideriamo dei valori della velocità del vento al di fuori del range di variazione dei valori osservati. > new.wind <- 1:30 > alpha <- coef(fit.inv)[1] > beta <- coef(fit.inv)[2] > fit.val <- alpha +beta/new.wind e rappresentiamoli > plot(wind, dc, xlim=c(0,30), ylim=c(0,4)) > lines(1:30, fit.val) Il modello stimato ha una sua coerenza. L adattamento misurato da R 2 è migliorato. I test rilevano forte significatività dei coefficienti e della bontà complessiva del modello. Inoltre, le analisi dei residui appaiono notevolmente migliorate. In particolare consideriamo > res.inv <- rstandard(fit.inv) > fitted.inv <- fitted(fit.inv) > plot(wind, res.inv) > plot(fitted.inv, res.inv) Esercizio: Completare l analisi dei residui.

35 Laboratorio 7 Test t di Student 7.1 Analisi del dataset FRUITFLY.DAT I dati fruitfly.dat si riferiscono alla fecondità dei moschini della frutta, valutata come numero medio giornaliero di uova prodotte nei primi 14 giorni di vita, come rilevate da ciascuna di 25 femmine appartenenti a tre linee genetiche: RS, SS e NS. Si vuole verificare: 1. se c è differenza fra le prime due linee e la terza; 2. se c è differenza fra le prime due. > fruit <- read.table( fruitfly.dat, col.names=c( RS, SS, NS )) > attach(fruit) > fruit RS SS NS Scegliamo come strumento per l analisi il test t di Student. Prima di utilizzarlo dobbiamo verificare che siano soddisfatte le ipotesi di base: normalità e omoschedasticità dei dati Confronto fra (RS, SS) e NS Definiamo la prima quantità d interesse: > RSS <- c(rs,ss) Per avere un idea di come sono distribuiti i dati (simmetria, dispersione... ): > boxplot(rss, NS) > par(mfrow=c(2,1)) # per vedere piu grafici nella stessa finestra > hist(rss, nclass=8, freq=f) > plot(density(rss)) > hist(ns, nclass=8, freq=f) > plot(density(ns)) 34

36 LABORATORIO 7. TEST T DI STUDENT 35 Per la normalità: > par(mfrow=c(1,2), pty= s ) > qqnorm(rss) > qqline(rss) > qqnorm(ns) > qqline(ns) Per verificare l omoschedasticità possiamo dare un occhiata alle varianze campionarie. > var(rss) [1] > var(ns) [1] Queste paiono abbastanza simili. Inoltre, anche dal confronto dei boxplot, pareva che le due distribuzioni empiriche avessero variabilità comparabile. Questo però non garantisce che le varianze delle due popolazioni siano uguali. Per verificarlo, possiamo costruire l intervallo di confidenza per il rapporto delle due varianze r = (σ 1 /σ 2 ) 2 ed usarlo per verificare il test: H 0 : r = 1 H 1 : r 1 ( varianze uguali) ( varianze diverse) Se H 0 è vera, l intervallo contiene 1 (vedi lezione sui test per l uso degli intervalli di confidenza per verificare ipotesi). Per costruire l intervallo di confidenza al 95%: > var.test(rss, NS)$conf.int [1] attr(, "conf.level"): [1] 0.95 Dal momento che l intervallo contiene 1, possiamo assumere che le varianze delle due popolazioni siano uguali. Adesso possiamo utilizzare la funzione t.test di R per un test t di Student a due campioni bilaterale, per saggiare l ipotesi H 0 : µ RSS = µ NS. > t.test(ns, RSS, var.equal=t) Two Sample t-test data: NS and RSS t = , df = 73, p-value = 9.587e-05 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y

37 LABORATORIO 7. TEST T DI STUDENT 36 La componente t è il valore osservato della statistica test; df sono i gradi di libertà della distribuzione della statistica test sotto H 0, p-value è il livello di significatività osservato, cioè 2 Pr(t 73 > t ). Verifichiamolo: > 2*( 1 - pt(4.1286, 73) ) [1] e-05 Poiché il valore-p è molto basso (< 0.01), si rifiuta l ipotesi di uguaglianza delle medie fra i due gruppi RSS e NS. Se si fissa il livello del test a 0.05, allora si può verificare che il valore osservato t della statistica test si trova nella regione di rifiuto. Infatti la soglia destra della regione di rifiuto, data dal quartile di livello di una distribuzione t con 73 gradi di libertà, cade nel punto: > qt(0.975, 73) [1] e la regione di rifiuto è R = ( t > ). Passiamo ora al confronto fra RS e NS. Cominciamo col verificare la normalità: > par(mfrow=c(1,3)) > boxplot(rs, NS) > hist(rs, freq=f, nclass=8) > plot(density(rs)) > qqnorm(rs) > qqline(rs) L adattamento ad una normale pare buono. Circa l omoschedasticità: > var(rs) [1] > var(ns) [1] Le varianze campionarie sembrano diverse. Il confronto dei boxplot lasciava però intuire una variabilità comparabile. Proviamo a costruire l intervallo di confidenza: > var.test(rs, NS)$conf.int [1] attr(, "conf.level"): [1] 0.95 Ancora una volta, l intervallo contiene 1, quindi possiamo assumere l omoschedasticità. Procediamo con il test: > t.test(ns, RS, var.equal=t) Standard Two-Sample t-test

38 LABORATORIO 7. TEST T DI STUDENT 37 data: NS and RS t = , df = 48, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Concludiamo anche in questo caso con il rifiuto di H 0. NB: Nel caso le varianze delle due popolazioni non possano essere assunte uguali, R permette di utilizzare un test t approssimato per confrontare le medie dei due campioni. In questo caso, la chiamata è del tipo: > t.test(campione1, campione2, var.equal=f) Esercizio: Svolgere l analisi sui dati trasformati mediante la trasformata logaritmica, specificando bene l ipotesi posta sotto verifica. Esercizio: Fare il confronto fra SS e NS Confronto fra RS e SS Svolgiamo le solite analisi preliminari. > par(mfrow=c(1,2)) > boxplot(rs,ss) > qqnorm(ss) > qqline(ss) I dati del secondo gruppo sono asimmetrici e le variabilità paiono meno confrontabili dei casi precedenti. > var(rs) [1] > var(ss) [1] I due gruppi hanno varianze campionarie molto diverse. l intervallo di confidenza. Proviamo a costruire > var.test(rs,ss)$conf.int [1] attr(, "conf.level"): [1] 0.95 Nonostante l apparente diversità, il test ci dice che le varianze possono essere assunte uguali. Passiamo quindi al test t.

39 LABORATORIO 7. TEST T DI STUDENT 38 > t.test(rs, SS, var.equal=f) Standard Two-Sample t-test data: RS and SS t = , df = 48, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y In questo caso si accetta l ipotesi H 0. Le soglie della regione di accettazione possono essere trovate tramite: > qt(0.975, 48) [1] Quindi la regione di accettazione è costituita da tutti i valori t tali che t < , che comprende anche il nostro t osservato. Esercizio: Provare a ripetere l esercizio trasformando il dati mediante trasformazione logaritmica. In particolare, commentare l effetto della trasformazione su asimmetria e normalità. > detach() 7.2 Analisi del dataset CAPTOPRIL.DAT I dati sono relativi a misurazioni della pressione sistolica e diastolica del sangue di un gruppo di 15 pazienti, prima e dopo la somministrazione del farmaco captopril. Si vuole verificare l efficacia del farmaco nell abbassare le due pressioni. > capto <- read.table( capto.dat, header=t) > attach(capto) > capto Sp Sd Dp Dd Costruzione delle differenze e verifica della normalità. > SD <- Sd-Sp > DD <- Dd-Dp > par(mfrow=c(2,1)) > boxplot(sd) > qqnorm(sd) > qqline(sd)

40 LABORATORIO 7. TEST T DI STUDENT 39 La numerosità campionaria è bassa... > boxplot(dd) > qqnorm(dd) > qqline(dd) Procediamo con l analisi delle differenze di pressione sistolica. Si usa il test t ad un campione per verificare l ipotesi H 0 : µ = 0 (µ: media della popolazione delle differenze). > t.test(sd) One-sample t-test data: SD t = , df = 14, p-value = 1.146e-06 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Si rifiuta l ipotesi che SD abbia media nulla. Il test t ad un campione sulle differenze corrisponde al test t a due campioni per dati appaiati. > t.test(sd, Sp, paired=t) Paired t-test data: Sd and Sp t = , df = 14, p-value = 1.146e-06 alternative hypothesis: true mean of differences is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x - y Il risultato è identico a quello ottenuto dal test t ad un campione sulle differenze. In realtà si richiede di verificare se c è stato un miglioramento, cioè se la pressione si è abbassata. E percio piu adeguato utilizzare un test unilaterale. Cioè: H 0 : µ Sd > µ Sp H 1 : µ Sd < µ Sp.