INTRODUZIONE AL LABORATORIO PLS: LA MATEMATICA PER LE DECISIONI FINANZIARIE

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1 INTRODUZIONE AL LABORATORIO PLS: LA MATEMATIA PER LE DEISIONI FINANZIARIE Lvana Pcech Dpartento d Scenze econoche, azendal, ateatche e statstche Bruno de Fnett Unverstà d Treste Nel Laboratoro sono ntrodotte le defnzon fondaental della ateatca fnanzara e alcune legg fnanzare. L obettvo è d far coprendere coe seplc struent ateatc possano fornre utl ndcazon per la coprensone e la valutazone d alcun rsch, present n coun operazon fnanzare qual ad esepo utu e gl nvestent obblgazonar. Indce Mateatca fnanzara classca e oderna Operazone fnanzara eleentare - defnzon Legg fnanzare Aortaent de prestt Valutazone d obblgazon Il crtero d scelta del Valore Attuale Netto (VAN 1

2 Mateatca fnanzara classca e oderna MATEMATIA FINANZIARIA LASSIA E MODERNA Mateatca fnanzara classca Funzon d captalzzazone MONTANTE Funzon d attualzzazone VALORE ATTUALE Proble fnanzar: rendte, aortaent, Mateatca fnanzara oderna Mercat fnanzar: contratt fnanzar operazon fnanzare scabo d port onetar esgbl n stant d tepo dvers prezz Legg fnanzare: - struent per costrure contratt fnanzar - struent per valutare contratt fnanzar e per valutare alcun rsch present nelle operazon fnanzare 2

3 Operazone fnanzara eleentare - defnzon OPERAZIONE FINANZIARIA ELEMENTARE - DEFINIZIONI M t 1 t 2 M > Defnzone: nteresse I M È la reunerazone per l soggetto che rnunca alla soa nell ntervallo [ t 1, t 2 ] Punto d vsta dell nvesttore: operazone d nvestento + M soa nvestta M ontante n t 2 d esgble n t 1 t 1 t 2 M + I Es.: acqusto d BOT, TZ Punto d vsta del debtore: operazone d fnanzaento + M t 1 t 2 3

4 Operazone fnanzara eleentare - defnzon Defnzone: tasso d nteresse relatvo all ntervallo [ t 1, t 2 ] ( t1, t2 I j( t1, t2 M + I [ 1+ j( t t ] 1, 2 j I Esercz onsderando operazon fnanzare d durata annuale ( t 0, t 1 calcolare l nteresse, l tasso d nteresse, l ontante. Per avere ndcazon de tass annu corrent per dverse operazon: Quotazon Buon Ordnar del Tesoro. Osservazone: ( t t M I j 1, 2 dpende dall ntervallo [ t 1, t 2 ] e qund dalla durata dell operazone dalla stuazone econoca generale dal erto d credto del debtore 1 2 4

5 Operazone fnanzara eleentare - defnzon Esepo: BOT a se es (178 gg. e TZ a due ann (728 gg. M valore faccale del ttolo o valore d rborso prezzo del ttolo n t 0 prezzo d essone (acqusto sul ercato praro prezzo d ercato (acqusto sul ercato secondaro + M + M t 0 t 1 t 0 t 2 j ( t t 0,84% j ( t t 5,94% 0, 1 t 0 0 t t , 2 t

6 Legg fnanzare LEGGI FINANZIARIE Nella pratca olte operazon fnanzare sono regolate secondo delle funzon, legg fnanzare, che dpendono dalla durata dell operazone e da un paraetro, tpcaente l tasso annuo d nteresse. M Sa t t 1 t0 la durata n ann t 0 t 1 Legge fnanzara dell nteresse seplce M W (t con W ( t + t legge d captalzzazone seplce tasso annuo d nteresse Legge d attualzzazone conugata: A + At A A 1+ t t 0 t 1 6

7 Legg fnanzare Legge fnanzara della captalzzazone coposta o legge esponenzale M Sa t t 1 t0 la durata n ann t 0 t 1 M W (t con W ( t ( 1+ t legge d captalzzazone coposta tasso annuo d nteresse Legge d attualzzazone conugata: A( 1 + t A ( 1 + t A t 0 t 1 7

8 Legg fnanzare aptalzzazone degl nteress M 1 M + ( ( 1 + M 2 ( ( ( M Sa W (t, t 0 M 1 + K ( n n tale che W ( 0 W ( t + t W ( t W ( t δ t + ο ( t con ntenstà stantanea d nteresse δ > 0 e l t 0 ( t ο t 0 s ha δ t W ( t e con e 1+ δ 8

9 Legg fnanzare Propretà d scndbltà della legge esponenzale t 0 t 0 + τ1 t 0 +τ 1 + τ 2 τ ( 1 + τ 2 τ 1 ( 1 1 τ + + ( t 0 t 0 + τ1 t 0 +τ 1 + τ 2 ( τ ( 1+ τ 2 τ ( 2 τ (

10 Legg fnanzare Una conseguenza portante della propretà d scndbltà. Operazone fnanzara equa S defnsce operazone fnanzara a scadenzaro fsso un nsee d port (pagaent n entrata o n uscta caratterzzat dalle rspettve date d esgbltà. x { x, K, x }/{ t,, } / t 1 1 K t S defnsce valore n un stante t d x / t W 1 ( t, x x (1 + tt L operazone fnanzara è detta equa n t se W ( t, x 0 Poché, per la propretà d scndbltà della legge esponenzale T t (, x W ( t, x (1 + W T una operazone fnanzara equa n un stante è equa n qualsas altro stante, qund x / t è detta equa se W ( t, x 0 n qualche stante t 10

11 Legg fnanzare La legge esponenzale o legge d captalzzazone coposta è scndble; la legge fnanzara dell nteresse seplce non è scndble nfatt t 0 t 0 + τ1 t 0 +τ 1 + τ 2 ( 1+ ( τ + τ ( 1+ τ ( τ Esepo: / t { 1000, R, R, R} /{ 0,1, 2, 3} x Legge d captalzzazone coposta Legge dell nteresse seplce W ( 0, x 0 ( R ( R( R R ( R R( R( R ( R /( R /( R / R

12 Legg fnanzare La legge esponenzale è l unca legge unfore scndble. Il problea dell Anatocso Secondo l art del odce vle In ancanza d us contrar, gl nteress scadut possono produrre nteress solo dal gorno della doanda gudzale o per effetto d convenzone posterore alla loro scadenza, e sepre che s tratt d nteress dovut per aleno se es. dovrebbe essere olto ltata la possbltà d captalzzare gl nteress. A seguto d ntervent legslatv è stata aessa la captalzzazone trestrale degl nteress passv, a patto che la edesa procedura avvenga anche per gl nteress attv. 12

13 Aortaent de prestt Operazone d fnanzaento su due date + S ( S + I t 0 t 1 AMMORTAMENTI DEI PRESTITI con I j( t0, t1 essendo j ( t 0, t 1 l tasso d nteresse relatvo all ntervallo [ t ] 0, t 1 Aortaent progressv + S R1 K 1 R R t 0 t 1 K t -1 t con rate d aortaento R + I 1, K, essendo le quote captal tal che S I le quote nteress 1 13

14 Aortaent de prestt S defnsce D debto resduo n dopo l pagaento della rata R, 1, K, D S h 1 h h h + 1 1, K, 1 D 0 S, D 0 La quota nteress I atura nell ntervallo [ t, ] ( t 1, t D 1 j sul debto resduo D 1 1 t I 1, K, Nella pratca le rate d aortaento sono equntervallate + S R1 K 1 R R 0 1 K -1 14

15 Aortaent de prestt Aortaento a rate costant a tasso fsso + S R K R R 0 1 K -1 Sa l tasso d nteresse rferto alla perodctà d pagaento delle rate (es. tasso annuo nel caso d rate annue, tasso ensle nel caso d rate ensl, Negl aortaent a tasso fsso l operazone fnanzara deve soddsfare la condzone d equtà, qund s deterna R tale che ( 0, 0 S R(1 0 W x S defnsce a ( 1+ a 1 ( h h 1 S ha I D 1, 1, K,, con D S, D 0 S 15

16 Aortaent de prestt Esepo: utuo a tasso fsso S , 037 Pano d aortaento R I D , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,41 851, , , ,30 433,36 0, ,00 16

17 Aortaent de prestt Aortaento a rate costant a tasso varable Sa j ( 0,1 l tasso d nteresse relatvo al pro perodo, rferto alla perodctà d pagaento delle rate S deterna la pra rata d aortaento R 1 tale che S R 0 + S R1 K 1 a j(0,1 0 1 K -1 S ha I j(0,1 S 1 1 R1 I1 D1 S 1 S deterna la R 2 tale che D R 0 K D 1 R2 1 2 a 1 j(1,2 K K -1 17

18 Aortaent de prestt Esepo: utuo a tasso varable S j ( 0,1 0, 025 j ( 1, Pano d aortaento (potes 1 R I D ,00 1 0, , , , ,12 2 0, , , , ,10 3 0, , , , ,35 4 0, , , , ,16 5 0, , , , ,66 6 0, , , , ,85 7 0, , , , ,57 8 0, , ,06 815, ,51 9 0, , ,31 550, , , , ,20 278,68 0, ,00 18

19 Aortaent de prestt Esepo: utuo a tasso varable S j ( 0,1 0, 025 j ( 1, Pano d aortaento (potes 2 R I D ,00 1 0, , , , ,12 2 0, , , , ,19 3 0, , , , ,85 4 0, , , , ,66 5 0, , , , ,42 6 0, , , , ,68 7 0, , , , ,56 8 0, , , , ,76 9 0, , ,55 921, , , , ,21 493,21 0, ,00 19

20 Valutazone d obblgazon VALUTAZIONE DI OBBLIGAZIONI Acqusto d una obblgazone a cedola fssa Sa con 0 l stante d acqusto sul ercato d una obblgazone a cedola fssa { I, I, K, I + } /{ t, t,, } x l flusso de pagaent e lo scadenzaro / t 1 2 K 0 < t < t < K < 1 2 t t > 0 valore faccale, valore d rborso (es. 100 I > 0 aontare della cedola (es. I 2, 5 nuero d cedole alla scadenza Sotto opportune potes sul ercato (ercato perfetto, assenza d opportuntà d arbtraggo, struttura de prezz patta l prezzo dell obblgazone n 0 può essere espresso n funzone d un unco paraetro caratterstco del ercato V ( 1 t I(1 + + (1 + t 20

21 Valutazone d obblgazon Propretà del prezzo V ( 1 t I(1 + + (1 + t S ha V ( > 0 V ( 0 I + l V ( 0 + V ( 1 t I (1 + (1 + 1 t 1 t t I(1 + 1 (1 + t + t t 1 (1 + t È nteressante studare la varazone del prezzo n funzone del tasso 21

22 22 Valutazone d obblgazon Indc d varabltà del prezzo S defnsce elastctà del prezzo t t t t I t I t V V V V V (1 (1 (1 (1 (1 ( ( ( ( ( l S defnsce durata eda fnanzara o duraton n 0 del flusso t x / t t t t I t I t D (1 (1 (1 (1 (0, 1 1 x Qund l elastctà del prezzo è (0, (1 ( ( x D V V + ed è crescente con la duraton.

23 Valutazone d obblgazon Il rscho d prezzo o rscho d tasso d nteresse La duraton fornsce ndcazon sulla varabltà del prezzo dell obblgazone n funzone del paraetro che espre l lvello de tass nel ercato. Per ottenere delle valutazon quanttatve è partcolarente nteressante la seelastctà del prezzo l V ( + V ( V ( V ( V ( D(0, x (1 La seelastctà è anche detta odfed duraton e può essere usata per rcavare una regola del pollce olto usata n pratca. 23

24 Valutazone d obblgazon 1 onsderando l approssazone 1 (1 + per varazon d non troppo elevate s ha V ( + V ( V ( D(0, x Qund, se per es. 0, 01, coè n presenza d una varazone del paraetro, che espre l lvello de tass nel ercato, d un punto percentuale, s ha V ( + V ( 100 D(0, x V ( Pertanto, a fronte d un auento de tass d ercato d un punto percentuale, l prezzo del ttolo dnusce approssatvaente d D ( 0, x punt percentual. Vceversa, a fronte d una dnuzone de tass d ercato d un punto percentuale, l prezzo del ttolo auenta, approssatvaente d D ( 0, x punt percentual. 24

25 Il crtero d scelta del Valore Attuale Netto (VAN IL RITERIO DI SELTA DEL VALORE ATTUALE NETTO (VAN Un soggetto, l decsore, deve prendere una decsone sulla convenenza dell operazone fnanzara con a 0 t < t < K < 1 2 { a, a, K, a }/{ t, t,, } / t K t t 0 stante d valutazone, n cu s prende la decsone IPOTESI: Il decsore dspone nell stante 0 della rcchezza R 0; se R 0 > 0, s assue che l patrono sa pegato al tasso (costo-opportuntà de ezz propr e che non sa necessaro ndebtars per attuare l operazone a / t ; se R 0 < 0, s assue che l soggetto sa ndebtato al tasso (tasso d costo del fnanzaento e che ranga ndebtato per tutta la durata dell operazone a / t ; Il decsore persegue l obettvo fnanzaro d asszzare l suo patrono n un stante futuro T t. 25

26 Il crtero d scelta del Valore Attuale Netto (VAN Se l decsore non accetta l operazone fnanzara a / t l suo patrono n T sarà: R (1 0 + Se l decsore accetta l operazone fnanzara T R0 ( 1+ + a (1 + 1 T a / t l suo patrono n T sarà: T t Qund l decsore gudcherà convenente accettare l operazone fnanzara ovvero se T T t 0 ( 1+ + a (1 + > R0 (1 + 1 R 1 S defnsce Valore Attuale Netto VAN a (1 + 1 t > 0 a ( 1+ t T a / t se 26

27 Il crtero d scelta del Valore Attuale Netto (VAN Dalla s nota che T T t 0 ( 1+ + a (1 + > R0 (1 + 1 R T 1 a ( 1+ T t espre l guadagno n T realzzato edante l operazone fnanzara nterpretare l VAN a / t ; qund s può VAN 1 a ( 1+ coe l valore attuale n 0 del guadagno realzzato edante l operazone fnanzara. Il decsore gudcherà qund convenente l operazone fnanzara se essa produce un guadagno postvo. t 27

28 ALUNI RIFERIMENTI BIBLIOGRAFII E. astagnol, L. Peccat, Mateatca n azenda 1 alcolo fnanzaro con applcazon, Egea, 2010 G. astellan, M. De Felce, F. Morcon, Manuale d fnanza I. Tass d nteresse. Mutu e obblgazon, l Mulno, 2005 L. Dabon,. de Ferra, Eleent d ateatca fnanzara, Lnt, /anatocso-cose-coe-tutelars php 28