I RADICALI. H La misura di un segmento non eá sempre esprimibile mediante un numero razionale; per esempio, se un

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1 I RADICALI Per ricordre H L misur di un segmento non eá semre esrimiile medinte un numero rzionle er esemio, se un qudrto h lto unitrio, l misur dell su digonle, che eá, non eá rzionle. Per misurre occorre llor mlire l'insieme Q introducendo i numeri irrzionli (cioeá non rzionli) essi, non otendosi esrimere sotto form di frzione o di numero decimle finito o eriodico, sono rresentti d numeri decimli illimitti non eriodici. L'insieme dei numeri rzionli e di quelli irrzionli costituisce l'insieme dei numeri reli che si indic con R. H Dto un numero rele ed un numero intero ositivo n, conoscimo il significto dell scrittur n il numero eá il rodotto di n fttori uguli. Vicevers, ci si uoá domndre se, noto il vlore di, esiste semre il numero che, elevto ll n - esim otenz, dá ed inoltre qunti sono gli eventuli numeri che soddisfno quest uguglinz. Osservimo llor che ci sono due numeri che, elevti ll qurt, dnno c'eá un solo numero che, elevto ll terz, dá c'eá un solo numero che, elevto ll terz, dá non ci sono numeri che, elevti l qudrto, dnno. Di numeri ce ne ossono quindi essere zero, uno, due second dei csi, m se convenimo di oerre nell'mito dei numeri ositivi, cioeá suonimo che si 0e 0, llor il numero esiste semre ed eá unico. Esso eá l rdice n - esim del numero n Il numero n, con 0, rende il nome di rdicle ritmetico o rdicle ssoluto n eá l'indice del rdicle, il numero eá l'rgomento del rdicle o rdicndo. H Per i rdicli ritmetici vle l rorietá invrintiv il vlore di un rdicle non cmi se si moltilicno l'indice del rdicle e l'esonente del rdicndo er uno stesso numero intero ositivo n m n m Quest rorietá consente di semlificre un rdicle qundo l'indice dell rdice e l'esonente del rdicndo hnno un fttore comune imo diviso er si l'indice del rdicle che l'esonente del rdicndo

2 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI ridurre due o iuá rdicli llo stesso indice moltilicndo oortunmente si l'indice del rdicle che l'esonente del rdicndo si ossono ricondurre l comune indice H Fr due rdicli ritmetici si ossono semre eseguire le oerzioni di moltiliczione e di divisione se i due rdicli hnno lo stesso indice n n n se 0, 0 n r n n se 0, > 0 Qundo i due rdicli non hnno lo stesso indice, rim li si riconduce ll'indice comune e oi si esegue l moltiliczione o l divisione er esemio L'oerzione di moltiliczione, cosõá come eá stt definit, consente oi di ortr dentro il simolo di rdice un fttore esterno elevndolo d un otenz ugule ll'indice dell rdice ortr fuori dl simolo di rdice un fttore il cui esonente eá mggiore o ugule ll'indice dell rdice Ricordimo oi le seguenti regole n q n m m n m nm H L'ddizione e l sottrzione fr rdicli si uoá eseguire solo se i rdicli sono simili, cioeá se differiscono uno dll'ltro solo er un fttore esterno sono simili non sono simili L'ddizione e l sottrzione si eseguono tenendo resenti le solite regole uste nche er i monomi simili H Se uno o iuá rdicli comiono l denomintore di un frzione, si uoá eseguire l'oerzione di rzionlizzzione che consiste nel rendere rzionle il denomintore er fre questo si lic l rorietá invrintiv dell divisione moltilicndo numertore e denomintore dell frzione er oortuni fttori. Le regole rincili sono le seguenti n n m m n n nm nm n n nm n n nm esemio esemio

3 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA esemio H Utile d ricordre eá nche l seguente formul dei rdicli doi s q s Se l'esressione eá un qudrto erfetto, llor l formul recedente consente di trsformre un rdicle doio nell somm di due rdicli semlici. Per esemio q essendo, licndo l formul si ottiene q r r r r H Trmite i rdicli ossimo dre un significto nche ll otenz d esonente rzionle di un numero rele ositivo vle inftti l relzione m n n m Per esemio H Se fccimo cdere l'iotesi che e sino numeri ositivi, l'esistenz e l'unicitá dell rdice n - esim di non sono iuá grntite er esemio, l rdice qudrt del numero h due vlori e, l rdice qudrt del numero non esiste, l rdice cuic del numero eá. Per distinguere quest situzione dll recedente si rl di rdicle lgerico dto un numero rele (non necessrimente ositivo), chimimo rdice n - esim lgeric di, e l indichimo con n, ogni numero tle che n. In rtic se n eá ri e > 0! esistono due numeri oosti esemio se n eá ri e < 0! il numero non esiste esemio non esiste se n eá disri! esiste un solo numero che eá ositivo se > 0, negtivo se < 0 esemi In un'esressione che contiene rdicli lgerici non si uoá iuá grntire l'unicitá del risultto d'ltr rte il rdicle ritmetico non consente di oerre con le rdici di numeri negtivi. Nelle esressioni che contengono rdicli si conviene llor di considerre lgerici quelli di indice disri e ritmetici quelli di indice ri.

4 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Semlific, se ossiile, i seguenti rdicli ssoluti, suonendo che i fttori letterli che in essi comiono sino tutti ositivi. Scomonimo in fttori il rdicndo Semlifichimo dividendo indice del rdicle ed esonenti del rdicndo er 0 r r s s r s 0 r r r s 0 0 c r r z s Scomonimo drim il olinomio l numertore del rdicndo r Semlifichimo r r r r irriduciile s r z s s h i

5 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA r q s r r s r r r r q r r 0 Riduci llo stesso indice i seguenti rdicli. r r r r r r r r q q r r r r r r r r q q Semlific le seguenti esressioni suonendo ositivi tutti i fttori letterli dei rdicli. r r r r r r r r r 0 0 r r! r r! r r r r r r r r r r r r r r r r r r

6 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI 0 r v u t r q r s r s s r Trsort dentro il simolo di rdice tutti i ossiili fttori esterni suonendo ositivi quelli letterli ed oer le oortune semlificzioni. r Per ortre sotto il simolo di rdice il fttore esterno doimo elevrlo ll otenz indict dll'indice dell rdice r r 0 r r r r r r r r s r r 0 0 r r r r r r r r r r r 0 r r s

7 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA Trsort fuori dl simolo di rdice tutti i ossiili fttori suonendo ositivi quelli letterli. Scomonimo innnzi tutto il fttore numerico I fttori che si ossono ortre l di fuori del simolo di rdice sono quelli che hnno un esonente mggiore o ugule ll'indice dell rdice. Per tli fttori si divide l'esonente er l'indice dell rdice il quoziente eá l'esonente del fttore esterno, il resto eá l'esonente del fttore interno er l'esonente! con resto er l'esonente! con resto 0 r c r 0 r r r c r0 r 0 r c c c r q h Š 0 r r r r r c c s r s 0 r r s 0 r r r r q r c c q

8 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI 0 Semlific le seguenti esressioni contenenti nche otenze di rdicli suonendo ositivi tutti i fttori letterli. rr! r! r r! r! r 0 r h A i 0 q A r r r q r r r! r r! r! r r r! r! r! r! v r! u q t v r! r! u t r Semlific le seguenti esressioni contenenti nche somme e sottrzioni fr rdicli suonendo ositivi i fttori letterli. Ricordimo che si ossono sommre solo i rdicli simili er vedere se ce ne sono, trsortimo fuori dl simolo di rdice tutti i ossiili fttori

9 0 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA 0 0 r r t t t r 0 r r 0 0Š ESERCIZIO GUIDATO Alicndo le regole dei rodotti notevoli si ottiene Comlet il clcolo. r! 0

10 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI 0 Š r Š Rzionlizz i denomintori delle seguenti frzioni. 0 Al fine di ottenere un differenz di qudrti, moltilichimo numertore e denomintore er

11 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA Trsform i seguenti rdicli doi nell somm di rdicli semlici. q Clcolimo drim l'esressione Alichimo desso l formul q r r r r q q q q q q 0

12 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI Clcol, se esiste, il vlore dei seguenti rdicli lgerici. 0 Clcol le seguenti otenze con esonente rzionle suonendo ositive le lettere che vi comiono. r r 0,0 0, r Trsform in otenze d esonente rzionle suonendo ositive le lettere che vi comiono. h i 0 q q h i s r s r q 0 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Semlific i seguenti rdicli di cui non eá noto il segno dei fttori letterli. Gli esonenti del rdicndo e l'indice dell rdice ossono essere tutti divisi er Occorre desso tener resente che, mentre il rdicle dto esiste er qulsisi vlore delle lettere, e, il rdicle semlificto esiste solo se il rodotto eá ositivo non conoscendo eroá il segno dei fttori letterli, eá necessrio usre il modulo. Il rdicle semlificto eá dunque j j r q jj r j j

13 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA 0 r r c c Scomonimo il olinomio del rdicndo Possimo desso semlificre r r r q r r s s r s 0 r s s s q s s Tenendo oi resente che non conoscimo il segno di q j j s r r j j j j c h i j j j j j j r j j j j j j s r Trsort dentro il simolo di rdice tutti i ossiili fttori esterni ed oer le oortune semlificzioni.. PoicheÁ non conoscimo il segno del fttore esterno, doimo distinguere due csi

14 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI r se > 0 llor se < 0 llor r. In questo cso er l'esistenz del rdicle, essendo non negtivo, il fttore deve essere ositivo si h dunque che r r r r r q q < r r > 0 < 0 q > 0 0 q q q > 0 Trsort fuori dl simolo di rdice tutti i ossiili fttori. r r Osservimo che, er l'esistenz del rdicle, il rorto eá ositivo, m non ossimo conoscere il segno di ediresi singolrmente doimo llor considerre il modulo del fttore esterno r jj r s r s jj r r q j j jj j j r s r s r j j r

15 - I RADICALI Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA Semlific le seguenti esressioni. r r r 0 r s s 0 r r 0 0 r r! q v s u t h i Š h i q 0 q s r s r r h i jj h i j j jj Š r

16 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SA - I RADICALI q q q q Š Risolvi le seguenti equzioni coefficienti irrzionli. S S S S S 0 S S S 0 S S Risolvi i seguenti sistemi di equzioni coefficienti irrzionli. < ( 0 ( >< > S h n S oi S S