Prof. I. Savoia. SISTEMI LINEARI E RETTA (VERSIONE PROVVISORIA NON ULTIMATA)

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1 SISTEMI LINEARI E RETTA 1 Proprietà e rappresentazione grafica dei sistemi lineari. I sistemi lineari in due incognite sono insiemi di due equazioni di primo grado, nei qualiciascuna di esse rappresenta una retta nel piano cartesiano: ax by c a' x b' y c' Soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite si intende una o più coppie di numeri (x, y) che sostituite in entrambe le equazioni forniscono due identità del tipo 00 e, dal punto di vista grafico, essa rappresenta il punto P(x, y) di intersezione fra le due rette corrispondenti delle rispettive equazioni. A seconda del numero di soluzioni, abbiamo la seguente classificazione dei sistemi basata sui rapporti fra i coefficienti delle loro due equazioni. Primo caso: una soluzione. Sistema determinato: a b. a' b' In questo caso, eccetto che per le rette verticali dove 0 b ( ) m, le due rette si intersecano nel punto P(x, y) che rappresenta la soluzione, in quanto non sono parallele, avendo diversi valori dei rispettivi coefficienti angolari come si vede portando le loro equazioni alla forma esplicita: a c a y x y mx q m, b b b a' c' a' y x y m' x q' m', b' b' b' c q b a b a a', m m'. c a' b' b b' q' b Dal punto di vista grafico il punto soluzione P(x, y) rappresenta il centro del fascio proprio di rette che passano per esso: evidentemente, il sistema algebrico formato da due qualsiasi rette del fascio, fornisce sempre come soluzione la coppia di coordinate dello stesso centro P del fascio di rette. Ad esempio, il sistema di equazioni a : x y 7 e b : x y 11 è determinato ( 1 1 ) con soluzione nel punto P( 5 ; ) del fascio proprio delle infinite rette che passano per esso: che rappresenta il centro mostrato dalla figura seguente, anche le rette di equazioni c : y, ad esempio, come d : x y 1, e : x 5 appartengono al fascio di centro P(5; ). Risolviamo, per esempio con il metodo di sostituzione, il sistema della a con la b: y 7 y x 7 y 11 y x 7 ( x 7) 11 5x y x 7 y 5x 5 x 5 1

2 a b c Secondo caso: nessuna soluzione. Sistema impossibile:. a' b' c' In questo caso le due rette hanno gli stessi coefficienti angolari ma diversi termine noti ed il sistema algebrico delle rispettive equazioni determina sempre una equazione del tipo 0 x 1 : a b a a' c b c c' m m', q q' a' b' b b' c' b' b b' Le due rette del sistema, pertanto, appartengono al fascio di rette parallele di direzione comune (coefficiente angolare) a m ed il sistema si può scrivere b con equazioni sia in forma implicita ax by c che esplicita y mx q. a'x b'y c' y mx q' La figura seguente riporta un fascio di rette parallele di coefficiente angolare comune m e differenti termini noti. Ricordiamo che, data una equazione in forma esplicita, il coefficiente angolare ( < < ) y mx q m fornisce l'inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva noto q rappresenta l'ordinata del punto A ( ; q) ox ox mentre il termine 0 di intersezione con l'asse Y.

3 Verifichiamo con il criterio dei rapporti a b c a' b' c' che due qualsiasi equazioni (che rappresentano le rette del fascio improprio) formano un sistema impossibile: s : x y 0 t : 6x 4 y 9 a 1 ; a' 6 b 1 ; b' 4 c c' Per via agebrica si verifica ulteriormente che il sistema non ammette soluzione: x y 0 x y x y x y x y 6x 4 y 9 x 4 y 9 y 4 y 9 4 y 4 y Terzo caso: infinite soluzioni. Sistema indeterminato: a b c k 0 a' b' c' In questo caso le due equazioni sono equivalenti (hanno le stesse soluzioni) poichè l'una si trasforma nell'altra moltiplicandone o dividendone i suoi due membri (secondo principio di equivalenza) per il numero reale k 0 e rappresentano due rette coincidenti (infiniti punti di contatto): a k a' ax by c 0 k a' x k b' y k c' k 0 a' x b' y c' b k b' a' x b' y c' 0 a' x b' y c' a' x b' y c' c k c'

4 Ad esempio, le rette di equazioni v : x- y 6 e w : x 15 y 0 sono coincidenti con rapporto dei coefficienti pari a: 6 1 k Nel caso particolare di due rette verticali x1 x oppure nel caso di due rette orizzontali y y1 y y esse sono sempre, per definizione, o parallele (sistema impossibile per x1 x oppure y1 y indeterminato (per x 1 x oppure y 1 y figura riferita ai due tipi di rette per due distinti esempi: ) oppure coincidenti (sistema ) rispettivamente, come mostra la Dal punto di vista algebrico un sistema indeterminato determina sempre una equazione del tipo indeterminata del tipo 0 0 a cui si può pensare di attribuire qualunque numero all'incognita essendo sempre soddisfatta: y 6 y 6 y 6 x 15 y 0 5 x 15 y 0 5 ( y 6) 15 y 0 x y 6 0 y 0 4

5 Metodi algebrici di risoluzione Metodo di sostituzione. Consiste nel isolare un termine (incognita x o y oppure espressione algebrica in cui esse sono presenti) in una delle due equazioni e poi nel sostituire l'espressione ottenuta nell'altra equazione in modo da far scomparire una delle due incognite (x oppure y) in maniera da tale da risolvere una equazione alla volta in una sola incognita ed il valore così ottenuto sostituirlo, infine, nell'altra equazione per ottenerne il valore della seconda incognita. La scelta di quale delle due equazioni si debba considerare inizialmente e di quale termine o di quale incognita si debba trovare l'espressione da sostituire dipende è spesso questione di convenienza: in genere è preferibile semplicemente di scegliere l'equazione più semplice come passaggio iniziale mentre il termine o l'incognita (la x oppure la y) da isolare dipende pure da considerazioni di opportunità circa le difficoltà dei passaggi successivi. Esempio 1. y 1 y 1 y y 1 y 1 y 1 y y S ; Esempio. In presenza di denominatori numerici è spesso opportuno eliminarli: 1 1 x y 1 x y 1 y y 1 1 y x y 1 x y 1 ( y) y x y 7 y x y S - ; y - 7 Esempio. y 1 x y 1 x y 1 x x y 1 x y ( ) y 8 y 8 y 1 x y 8 y y y 8 y 8 y 1 1 x y 1 y 1 x 1 x x S 4 y 6 y 8 4 y 9 y 4 1 y 6 y 1 ( 1; ) 5

6 Esempio 4. Talvolta si incontrano dei prodotti notevoli come il quadrato di binomio e la differenza fra due quadrati che, una volta sviluppati, permettono una semplificazione dei termini in modo che l'equazioni siano di primo grado: ( x ) 0 y 4x x 4 y ( 1 y) ( y 1) 4x 1x 9 0 y 4x 4 y 1 4 y x 1 0 y 1 1 S 1; 0 Metodo del confronto. Si tratta di una variante del metodo di sostituzione e consiste nell'isolare da entrambe le equazioni lo stesso termine o la stessa incognita, scegliendoli in modo opportuno, per poi uguagliare tra loro i due secondi membri come negli esempi che seguono. Esempio 5. x y 1 y 1 x 5 x 1 x 6 x S y 5 y 5 x y 5 x y 5 ( ) 17 ( ; 17) Esempio 6. Talvolta è preferibile, invece di procedere immediatamente, eliminare gli eventuali denominatori numerici: y 1 y 1 y 1 y x y x y 6 y 6 y 1 y 6 4 y 5 y S ; 4 4 Esempio 7. x 1 x y. In altri casi occorre, inoltre, sviluppare espressioni algebriche: 1 1 ( y 1) ( 1 y)( 1 y) x ( y y 1) ( 1 y ) y 4 y y y 6 S( 1;4). 1 x y 4 y 4 y 6 4 y 4 y y 1 y 6 y 6 ( 1) 6 4 Esempio 8. Se il sistema porta ad una equazione del tipo 0 x 0 (o anche 0 y 0 ) allora è indeterminato ed ammette infinite soluzioni (rette coincidenti): x y 1 0 y x 1 y x 1 y x 1 ( ) y x 1 x 1 y x x 1 y 1 y 1 x 1 0 x 0 6

7 Esempio 9. Se il sistema porta ad una equazione del tipo 0 x 1 (o anche 0 y 0 ) si dice che è impossibile e non ammette soluzioni (rette parallele): 4x 6 y 1 4x 6 y 1 6 y 1 6 y 1 x x x y 6 x 6 y 6 y 1 y 1 y 1 ( 6 y 1) 6 y 4 6 y 1 0 y 5 ( y 1) x ( y 1) x ( y 1) S { Φ}. Metodo di addizione e sottrazione. Questo metodo si basa sulla seguente proprietà dei numeri reali: dati a, b, c, d quattro numeri reali, dalle due uguaglianze a b e c d seguono le uguaglianze a c b d e a c b d. Quindi, un sistema algebrico formato da due uguaglianze si può trasformare in questo modo: A B A B. In pratica vengono ad C D A ± C B ± D essere sommati o sottratti i membri a due a due per potere ottenere una equazione nella quale sparisca una delle due incognite. Esempio. 1 x 5 y 1 x 5 y 1 5 y 1 x y 5 7x 5 y 7 x 5 y 7x 5 y 1 7 x 0 Esempio 11. Per potere ridurre il numero di incognite, a volte è necessario moltiplicare o dividere per un dato numero una oppure entrambe le equazioni come nell'esempio che segue dove è conveniente eliminare lincognita y dopo avere contemporaneamente moltiplicato le due equazioni, la prima per il numero e la seconda per il numero 5: 5 y x y 4 5 ( x 5 y) ( x y) 4 5 4x y 0 y 4x y y 0 19x 190 y y y ( ) S( ; 6) ; y S ; 5 7

8 Utilizzando come seconda equazione quella iniziale il sistema nell'ultimo passaggio sarebbe stato Esempio 1. x 4 y ottenendo sempre la stessa soluzione. 4x y x 4x y x x y x x y 1 x y 1 x y 1 11x y x y 1 1 1x 4 S y 1 y x 1 y 1 y 5 ( ; 5) x 8 y 4 y 9 Esempio 1.. Manteniamo la seconda 5x 4 y 11 1 y equazione del testo e sottraiamo la prima dalla seconda equazione per eliminare la lettera y: ( 4) 1x x 9 6x 4 5x 4 y 11 5x 4 y S ;. 4 y