ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. xn lim sup. lim inf x n. lim sup x n. = L, allora esiste anche lim e vale L.

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1 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA GRAZIANO CRASTA Notzioi. N = {, 1, 2,...} = isieme dei umeri turli, N + = Z + = N\{} = isieme dei umeri turli positivi, Z = isieme degli iteri reltivi. = esercizio difficile, = esercizio molto difficile. Esercizio 1. Si (x ) u successioe termii positivi. Dimostrre che x +1 if if x sup x +1 x sup. x x x Cocludere che, se esiste +1 x = L, llor esiste che x = L. Esercizio 2. Dimostrre che! = e. Esercizio 3 (Teorem di Cesro Stolz). Sio (x ) e (y ) due successioi di umeri reli, co (y ) strettmete mooto crescete e divergete +. Dimostrre che vlgoo le segueti disuguglize: if x +1 x if x sup x sup x +1 x. y +1 y y y y +1 y x +1 x x Cocludere che, se esiste = L, llor esiste che e vle L. y +1 y y Esercizio 4. Dimostrre che [ ( k) ] 1 (+1) = e. k= Esercizio 5 (Iterte di Guss). Sio, b, e si cosiderio le successioi defiite per ricorrez d +1 = + b, b +1 = b, N. 2 Dimostrre che le due successioi covergoo llo stesso ite; ioltre, co l evetule eccezioe del primo termie, l successioe ( ) è mooto decrescete, metre (b ) è mooto crescete. Esercizio 6 (Lemm di sub-dditività). Si (x ) u successioe tle che x m+ x m +x per ogi, m N. Dimostrre che x + = if x 1. (I prticolre il ite esiste fiito oppure vle.) Dte: 11 febbrio

2 2 GRAZIANO CRASTA Esercizio 7. Si u serie covergete termii o egtivi. () Dimostrre che, se esiste, llor tle ite è ullo. (b) Mostrre, co u esempio, che può succedere che l successioe ( ) o mmett ite. Esercizio 8 (Criterio di covergez di Rbe). Si dt u serie termii positivi. Si dimostri che: ( ) () se defiitivmete, llor è divergete; ( ) (b) se esiste c > 1 tle che +1 1 c defiitivmete, llor è covergete. Esercizio 9. Determire il crttere dell serie ( ) α l vrire di α R, dove = ( α α(α 1) (α + 1) :=, N, )! soo i coefficieti biomili geerlizzti. Esercizio 1 (Criterio di covergez di Kummer). Si u serie termii positivi. Si dimostri che: () se esistoo u successioe di umeri positivi (t ) ed u umero c > tli che: t t +1 c +1 defiitivmete, llor l serie coverge; (b) se esiste u successioe di umeri positivi (t ) tle che: t t defiitivmete e 1/t diverge, llor l serie diverge. Osservzioe: per t = si h il criterio di Rbe eucito ell Esercizio 8. Esercizio 11. Si (p ) u successioe termii positivi, strettmete crescete e divergete +. Dimostrre che, se è u serie covergete, llor 1 p k k =. p Esercizio 12. Dimostrre che, per ogi 1, esiste θ (, 1) tle che e = s + θ!, co s 1 := k!. Dimostrre ioltre che θ = 1. Esercizio 13. Dimostrre che k=1 si(2πe!) = 2π. Esercizio 14. Dimostrre che l successioe 1 := k log k=1 k=

3 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 3 è mooto decrescete e positiv. (Di coseguez ( ) è covergete; il suo ite viee idicto co γ = ed è detto Costte di Eulero Mscheroi.) Esercizio 15. Si (x ) u successioe di umeri o egtivi, tli che x +1 x N +. Dimostrre che tle successioe è covergete. Esercizio 16 (Desità turle). Si A N + u sottoisieme dei umeri turli positivi. Per ogi N + idichimo co A l crdilità dell isieme A := A [1, ]. Diremo che A h desità turle pri d(a) [, 1] se esiste il ite Dimostrre che, se k A 1 k A d(a) =. è covergete, llor d(a) =. Esercizio 17. Si α > u umero irrziole. Dimostrre che l isieme P := {α mod 1 : N} è deso i [, 1] (si ricordi che x mod 1 è l prte frziori del umero rele x). I reltà vle u risultto più forte (che richiede u dimostrzioe che v oltre gli strumeti di Alisi I): l successioe (α mod 1) è equidistribuit i [, 1], vle dire, per ogi [, b] [, 1] si h {k {1,..., } : αk mod 1 [, b]} (si ved [1]). Esercizio 18. Dimostrre che l serie =1 1 1+cos = b è divergete. Suggerimeto: l isieme P := { (2 + 1)π : N + } h desità turle positiv (qui x deot l prte iter del umero rele x). Esercizio 19. Si A il sottoisieme di N + di tutti gli iteri positivi o coteeti l cifr 9 ell loro rppresetzioe decimle. Dimostrre che l serie 1 è covergete. Esercizio 2. Dimostrre che gli itervlli [, 1] e (, 1) soo equipoteti, costruedo u biiezioe f : [, 1] (, 1). Esercizio 21. Si (X, d) uo spzio metrico ed S u sottoisieme coesso di X coteete lmeo due puti. Dimostrre che S è più che umerbile. Esercizio 22 (Lemm di Bire). Si dt u fmigli C R, N, di sottoisiemi chiusi di R itero vuoto (vle dire sez puti iteri). Posto C = C, dimostrre che che C h itero vuoto. Dedurre che che, se A R è perto e deso per ogi N, llor A è u isieme deso i R (i prticolre o è vuoto). Esercizio 23 (Isiemi G δ ). U sottoisieme di R è detto isieme G δ se è l itersezioe di u fmigli umerbile di isiemi perti. Dimostrre che Q o è u isieme G δ. A

4 4 GRAZIANO CRASTA Esercizio 24. Si f : R R; per ogi x R e δ > defiimo e l oscillzioe di f i x Dimostrre che: ω δ (x) := sup{ f(y) f(z) : y, z (x δ, x + δ)} ω(x) := if δ> ω δ(x) = δ + ω δ(x). () f è cotiu i x se e solo se ω(x) = ; (b) per ogi α R, il sottolivello {x R : ω(x) < α} è perto (i ltri termii, l fuzioe ω è semicotiu superiormete); (c) l isieme cot(f) dei puti di cotiuità di f è u isieme G δ (vle dire, è l itersezioe di u fmigli umerbile di perti); (d) o si può vere cot(f) = Q; (e) esiste f : R R tle che cot(f) = R \ Q. Esercizio 25. Sio x 1,..., x R. Dimostrre che () x i x 2 i, (b) x i x i 2/3 x i 4/3. Esercizio 26. Sio x i >, i = 1,...,, tli che x i = 1. Dimostrre che ( x i + 1 ) x i. Esercizio 27. U uomo i biciclett percorre u trgitto di 77km i 7h; dimostrre che esiste u itervllo di u or dove h percorso esttmete 11km. Esercizio 28. U uomo percorre u trgitto di T km i T ore. Dimostrre che, per ogi τ (, T/2], esiste u itervllo di τ ore durte il qule h percorso esttmete τ km. Mostrre, co u esempio, che se ivece τ (T/2, T ) o è detto che questo vveg. Esercizio 29. Si f : R R u fuzioe cotiu dditiv, cioè tle che (1) f(x + y) = f(x) + f(y) x, y R. Dimostrre che f è u fuzioe liere. Esercizio 3 (Difficile). Dimostrre che esistoo fuzioi o lieri f : R R tli che f(x + y) = f(x) + f(y) per ogi x, y R. Suggerimeto: si usi il ftto che R può essere visto come spzio vettorile su Q, e che come tle mmette u bse di Hmel. Esercizio 31. Crtterizzre le fuzioi cotiue f : R R tli che, per ogi x R, () f(x)f( x) = 1; (b) f(x + h)f(x h) = h + f(x)2. Esercizio 32 (Cogettur di Toeplitz). Si f : [, 1] R u fuzioe cotiu tle che f(x) > per ogi x (, 1) e f() = f(1) =. Diremo che u qudrto è iscritto el grfico di f se esso h due vertici sull sse delle x e gli ltri due sul grfico di f. Dimostrre che esiste lmeo u qudrto iscritto el grfico di f.

5 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 5 Esercizio 33. Dimostrre che u fuzioe f : I R, co I itervllo, è uiformemete cotiu se e solo se esiste u fuzioe (dett modulo di cotiuità) ω : [, + ) [, + ) tle che ω(r) = = ω(), f(x) f(y) ω( x y ) x, y I. r + Si dimostri che, i tl cso, l fuzioe ω può essere scelt cotiu e mooto o decrescete. Esercizio 34. Dti, b R co < b, si dimostri che l fuzioe { exp(1/[(x )(x b)]), se x (, b), f(x) :=, se x R \ (, b), mmette derivte di ogi ordie. Esercizio 35 (Prodotto di covoluzioe). Si f : R R u fuzioe loclmete itegrbile (cioè itegrbile su ogi itervllo comptto), e si ρ: R R u fuzioe di clsse C 1 supporto comptto (per u esempio di fuzioe di questo tipo si ved l Esercizio 34). Defiimo il prodotto di covoluzioe (f ρ)(x) := f(x y)ρ(y) dy, x R. Si dimostri che l fuzioe f ρ è derivbile e che (f ρ) = f ρ. (Suggerimeto: osservre che ρ è uiformemete cotiu.) R Esercizio 36. Si ρ: R [, + ) u fuzioe cotiu, o egtiv, co supporto coteuto i [ 1, 1] e 1 1 ρ = 1. Per ogi N+ si defiisc ρ (x) := ρ(x), x R. Dimostrre che, per ogi fuzioe f : [, b] R cotiu, si h (f ρ )(x) = + Cos succede per x = o x = b? + b f(y) ρ (x y) dy = f(x) x (, b). Esercizio 37. Si cosideri l fuzioe f : R R defiit d { 1/q, se x = p/q Q \ {}, p Z, q N +, gcd(p, q) = 1, f(x) =, ltrimeti. Si dimostri che f è cotiu i x se e solo se x è irrziole oppure x =. Esercizio 38. Si f : [, b] R u fuzioe cotiu, derivbile i (, b) e tle che f() = f(b) =. Dimostrre che, per ogi k R, esiste ξ = ξ(k) (, b) tle che f (ξ) = k f(ξ). Esercizio 39 (Lemm delle tre corde). Si f : I R, I R itervllo, u fuzioe covess. Si dimostri che, se x 1, x 2, x 3 I soo tli che x 1 < x 2 < x 3, llor f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2 e si di u iterpretzioe geometric di queste disuguglize. D ciò dedurre che, i prticolre, per x I \ [x 1, x 2 ] il grfico di f o gice mi l di sotto dell rett psste per i puti P 1 = (x 1, f(x 1 )) e P 2 = (x 2, f(x 2 )).

6 6 GRAZIANO CRASTA Esercizio 4. Si f : I R u fuzioe covess, co I R itervllo perto. () Dimostrre che f mmette i ogi puto derivt destr e siistr (duque, i prticolre, è cotiu) e che, se x, y I, x < y, llor (2) f (x) f +(x) f(y) f(x) y x f (y) f +(y). (b) Dimostrre che, se x I e p [f (x), f +(x)], llor f(y) f(x) + p(y x) per ogi y I. Esercizio 41 (Disugugliz di Jese). Si ϕ: R R u fuzioe covess e si f : [, b] R u fuzioe itegrbile. Dimostrre che ( 1 b ) ϕ f(x) dx 1 b ϕ(f(x)) dx. b b Esercizio 42. Si I R u itervllo e sio f, g : I [, + ) due fuzioi covesse, o egtive, etrmbe mootoe cresceti (oppure etrmbe mootoe decresceti). Dimostrre che l fuzioe h := f g è covess. Esercizio 43. Si f : (, + ) R u fuzioe di clsse C 2, tle che f, f, f e f(1) = 1, f (1) = 2, f(2) = 4, f (2) = 4. Dimostrre che [f(x)f(x + 1) + 8] [f(x)f(2x) + 12] 192x 2 x (, + ). Esercizio 44. Si f : [, b] R, [, b] (, + ), u fuzioe cocv, tle che λ := f() = f(b) b Dimostrre che f(b) f() log b log 1 b f(x)dx. b Esercizio 45. Si f C 2 ([, 1]) tle che 1 f(x)dx = 2 3/4 1/4 f(x)dx. Dimostrre che esiste u puto x (, 1) tle che f (x ) =. Esercizio 46. Si f : R R suriettiv e tle che per ogi (x ) R o covergete, (f(x )) si o covergete. Provre che f è cotiu. Esercizio 47. Sio f, g : R R due fuzioi cotiue e lmeo due volte derivbili che godo delle segueti proprietà: () f (x) = g(x) per ogi x R; (b) g (x) = f(x) per ogi x R; (c) f() =, g() = 1.. Mostrre, sez fre uso dell teori delle equzioi differezili, che: (i) f(x) 2 + g(x) 2 = 1 per ogi x R; (ii) detto α > u umero rele tle che g(x) > i [, α), si h che f(x) x f(x) g(x) x [, α). Esercizio 48. Si f : [, b] R u fuzioe mooto crescete [risp. decrescete]. Dimostrre che l fuzioe itegrle F (x) := x f è covess [risp. cocv] i [, b].

7 Esercizio 49. Si f : (, 1) R u fuzioe tle che Si dimostri che f o è covess. ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 7 f(x) =. x + Esercizio 5. Sio dte due fuzioi f, g : [, 1] R, co f mooto decrescete e g mooto crescete. Si ssum ioltre che 1 f = 1 g. Dimostrre che y x f x y g x, y [, 1]. Esercizio 51. Crtterizzre le fuzioi f : R R, derivbili co derivt cotiu, soddisfceti ( ) (x y) (f (x) 1) 2 = (x + y) (f (x) f (y)) e f (x) 1 x, y R, x < y. Esercizio 52. Crtterizzre le fuzioi f : [, 1] R, derivbili co derivt cotiu, soddisfceti < f (x) 1, x [, 1], f() =, 1 f 2 = f(1)3. 3 Esercizio 53. Si f : [, b] R u fuzioe cotiu, derivbile i (, b), tle che f() f(b). Si Z := {x (, b) : f(x) = } l isieme degli zeri di f, e suppoimo che f (z) per ogi z Z. Si dimostri che: () Z è u isieme fiito (evetulmete vuoto); (b) se Z = {z 1,..., z }, co z 1 < z 2 < < z ed 2, llor f (z j ) f (z j+1 ) < per ogi j = 1,..., 1; (c) posto d := sig f (z) (d := se Z = ) z Z si h d { 1,, 1}; (d) se d, llor f h lmeo uo zero, cioè Z. Esercizio 54. Si f : R R u fuzioe derivbile, soddisfcete f(x) (3) = +. x ± x Dimostrre che f (R) = R (cioè che f è suriettiv). Esercizio 55. Stbilire se l fuzioe { si(1/x), se x, f(x) =, se x =, mmette primitive, vle dire, se esiste u fuzioe F : R R derivbile tle che F (x) = f(x) per ogi x R. Esercizio 56. Si cosideri l fuzioe f : R R defiit d { 1 f(x) := x si 1, se x, x 2, se x =. Dopo ver verificto che f è ilitt i ogi itoro dell origie, si dimostri che f mmette primitive, vle dire, esiste u fuzioe F : R R derivbile tle che F (x) = f(x) per ogi x R.

8 8 GRAZIANO CRASTA Esercizio 57. Si f C 1 ([, + )) e suppoimo che + f (x) dx < +. Dimostrre che () esiste fiito x + f(x); (b) l itegrle geerlizzto + f(x) dx è covergete se e solo se l serie umeric f() è covergete. Esercizio 58. Si f : [, + ) [, + ) u fuzioe cotiu e decrescete, itegrbile i seso geerlizzto i [, + ). Si cosideri l fuzioe g(y) := f(y + ), y [, 1]. = Si dimostri che g è cotiu e mooto decrescete i [, 1], e che esiste y [, 1] tle che g(y) = + f. Esercizio 59. () Dimostrre che l fuzioe g(x) := (si x)/x è itegrbile i seso geerlizzto i [1, + ). (b) Dimostrre che l serie =1 si Esercizio 6. Fissto λ [ 1, 1], si è covergete F λ := {f : [, 1] R : f(x) f(y) x y x, y [, 1], f() =, f(1) = λ}. Clcolre { 1 } I λ := sup f(x) dx : f F λ. Esercizio 61. Si dt u successioe f j : [, b] R, j N, di fuzioi mootoe cresceti. Si suppog che: () l successioe si equiitt, cioè esiste M > tle che f j (x) M per ogi x [, b] e per ogi j N; (b) l successioe si mooto crescete, cioè f j (x) f j+1 (x) per ogi x [, b] e per ogi j N. Dimostrre che l successioe coverge putulmete i [, b] d u fuzioe f, ch ess mooto crescete, e che j + b f j (x) dx = b f(x) dx. Esercizio 62. Si C R u isieme chiuso e o vuoto. Defiimo l fuzioe distz d C d C (x) := if y C x y, x R. Si dimostri che l estremo iferiore ell defiizioe di d C è sempre rggiuto; si dimostri ioltre che d C è u fuzioe 1-Lipschitzi, cioè che d C (x) d C (y) x y x, y R. Esercizio 63. Si C R u isieme chiuso e o vuoto, e si A R u isieme perto coteete C, A R. Si dimostri che esiste u fuzioe cotiu f : R [, 1] che vle i C e 1 el complemetre di A, metre è strettmete compres fr e 1 egli ltri puti (Questo mostr, i prticolre, che dto u qulsisi isieme chiuso C R esiste u fuzioe cotiu f tle che C coicide co l isieme degli zeri di f.)

9 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 9 Esercizio 64. Sio f, g : R R due fuzioi loclmete itegrbili, co g(x) > per ogi x. Si ioltre ρ: R [, + ) u fuzioe o egtiv, supporto comptto, itegrbile co ρ >. Dimostrre che, se esiste = L R, llor esiste che il ite e vle ch esso L. r f(ry)ρ(y)dy g(ry)ρ(y)dy f(x) x g(x) Esercizio 65. Si f : [1, + ) R u fuzioe derivbile, tle che f(1) = 1, f 1 (x) = x 2 + f(x) 2 x 1. Dimostrre che esiste fiito x + f(x) ed è strettmete compreso fr 1 e 1 + π/4. Esercizio 66. Si f : R R u fuzioe o decrescete, o costte. Dimostrre che esistoo R e c > tli che f( + x) f( x) c x x [, 1]. Esercizio 67 (Pricipio del Mssimo). Si : [, 1] R u fuzioe cotiu strettmete positiv, e si u: [, 1] R u fuzioe cotiu, di clsse C 2 i (, 1), tle che u (x) = (x) u(x) per ogi x (, 1). Dimostrre che () se x (, 1) è u puto di mssimo reltivo di u, llor u(x ) ; logmete, se x (, 1) è u puto di miimo reltivo di u, llor u(x ) ; (b) se u() = u(1) =, llor u è ideticmete ull. Esercizio 68. Si f : [, b] R u fuzioe cotiu, derivbile i (, b), tle che f() = e f (x) A f(x) per ogi x (, b), co A costte positiv. Dimostrre che f è ideticmete ull. Esercizio 69. Si f : [, 1] R u fuzioe cotiu, tle che D + f(x) := sup y x+ f(y) f(x) y x Dimostrre che f è mooto o decrescete. x [, 1). Esercizio 7. Si f : [, b] R u fuzioe derivbile, co derivt f Riem itegrbile i [, b]. Dimostrre che b f (x) dx = f(b) f(). Esercizio 71. Si f : [, + ) [, + ) u fuzioe mooto decrescete, itegrbile i seso geerlizzto. Dimostrre che x f(x) =. x + Esercizio 72 (Fuzioi sub-rmoiche). Si f : R R u fuzioe cotiu, tle che f(x) 1 2h x+h x h f(t) dt x R, h >. Dimostrre che () il mssimo di f i ogi itervllo comptto [, b] viee rggiuto gli estremi; (ii) f è covess.

10 1 GRAZIANO CRASTA Riferimeti bibliogrfici [1] L. Kuipers d H. Niederreiter, Uiform distributio of sequeces, Wiley-Itersciece [Joh Wiley & Sos], New York, 1974, Pure d Applied Mthemtics. MR (54 #7415)

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