ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI

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1 ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI. RELAZIONI Le fuzioi soo prticolri relzioi; le relzioi (birie) soo sottoisiemi del prodotto crtesio tr due isiemi. L trttzioe prte quidi dl cocetto di prodotto crtesio. Defiizioe. Si chim prodotto crtesio tr due isiemi A e B e si idic co AB, il uovo isieme così defiito: AB = { (;y) A y B}. Il prodotto crtesio tr due isiemi A e B è formto d tutte le coppie ordite che ho il primo elemeto pprteete d A e il secodo elemeto pprteete B. Esempio. Se A = {,, } e B = {, b}, llor A B = {(;), (;), (;), (;b), (;b), (;b)}, metre B A = {(;), (b;), (;), (b;), (;), (b;)} Il prodotto crtesio tr due isiemi A e B è fodmetle per itrodurre il cocetto di relzioe. Esempio. Se, d esempio, cosiderimo il prodotto crtesio A B = {(;), (;), (;), (;b), (;b), (;b)} e costruimo il sottoisieme R = {(;), (;b)} formto d sole due coppie, quelle che ho come primo elemeto, llor l isieme R costituisce u relzioe tr gli isiemi A e B. U ltr relzioe, che chimimo d esempio T, potrebbe essere costruit prededo, tr tutte le coppie del prodotto crtesio A B, solo quelle che ho come secodo elemeto l letter e si otterrebbe il sottoisieme T di A B così formto (complet): T = {( ; ), ( ; ), ( ; )}. Ivet u relzioe S tr gli isiemi A e B: S = { } Defiizioe. Si chim relzioe biri (o corrispodez) tr gli isiemi A e B (o vuoti) u qulsisi sottoisieme del prodotto crtesio A B. Se R è u relzioe tr A e B llor R A B. Se l coppi (; b) pprtiee d u relzioe R si us dire che è i relzioe co b oppure che b è l immgie di, oppure b è il corrispodete di. I form simbolic soo equivleti le scritture: (; b) R e R b. Se b o è immgie di (cioè o è i relzioe co b, cioè l coppi (; b) o f prte dell relzioe) llor si scrive R b oppure (; b) R. Osservzioe. U relzioe tr due isiemi può essere rppresett i vri modi: per eleczioe; medite proprietà crtteristic; co u mtrice (o tbell doppi etrt); co u grfico sgittle; co u reticolo crtesio. Defiizioe. L rppresetzioe medite eleczioe cosiste ello scrivere l eleco di tutte le coppie che formo l relzioe. Esempio. R = { (; ), (; b) }.

2 Defiizioe. L rppresetzioe medite proprietà crtteristic cosiste el descrivere l proprietà che crtterizz l relzioe. Quest proprietà descrive come costruire le coppie che pprtegoo ll relzioe i oggetto. Esempio. R y = è l proprietà crtteristic dell relzioe dell esempio precedete. Defiizioe. L rppresetzioe di u relzioe tr A e B, medite mtrice, cosiste i u tbell doppi etrt (ell prim rig si riporto gli elemeti dell isieme B, ell prim colo gli elemeti dell isieme A). Le cselle dell tbell idividuo tutte le coppie del prodotto crtesio. I ciscu csell che risult icrocio di due elemeti dell relzioe si riport u sego (tipicmete u oppure il umero ). Esempio. L relzioe precedete, formt dlle coppie (; ) e (; b) si rppreset el seguete modo: y b Defiizioe. L rppresetzioe di u relzioe tr A e B, medite grfico sgittle, cosiste el rppresetre i due isiemi medite digrmmi di Eulero-Ve e le coppie che costituiscoo l relzioe soo collegte d rchi orietti (frecce). Esempio. L relzioe dell esempio precedete srebbe così rppresett: A b B Defiizioe. L rppresetzioe di u relzioe tr A e B, medite reticolo crtesio, cosiste i u rete formt d segmeti verticli e orizzotli. Ad ogi segmeto verticle corrispode u elemeto di A, d ogi elemeto di B corrispode u segmeto orizzotle. Le itersezioi tr i segmeti idividuo le coppie del prodotto crtesio. Si evidezio i odi che idividuo le coppie dell relzioe. Esempio. L relzioe dell esempio precedete srebbe così rppresett: B b A Defiizioe. Si chim domiio D, di u relzioe R tr gli isiemi A e B, il sottoisieme di A formto dgli elemeti che ho lmeo u corrispodete i B.

3 Defiizioe. Si chim codomiio K, di u relzioe R tr gli isiemi A e B, il sottoisieme di B formto dgli elemeti che soo i corrispodeti di qulche elemeto di A. Esempio. L relzioe dell esempio sopr h domiio D = { } e codomiio K = {, b }.. FUNZIONI Alcue relzioi che godoo di determite crtteristiche e che soo prticolrmete importti i mtemtic, soo chimte fuzioi. Defiizioe. U relzioe tr gli isiemi A e B si dice fuzioe se ogi elemeto di A h uo ed u solo corrispodete i B. Osservzioe. L defiizioe dt sigific, i ltre prole, che i u fuzioe tr A e B: - il domiio coicide co A (D = A); - essu elemeto di A può vere due o più immgii i B (m può succedere che due elemeti di A bbio lo stesso corrispodete); - il codomiio K è u sottoisieme dell isieme B. Osservzioe U fuzioe di ome f tr l isieme A e l isieme B si idic i form simbolic el seguete modo: f : A B. Se idichimo co u geerico elemeto del domiio (A) e co y il corrispodete el codomiio (K B), llor i modo simbolico scrivimo y=f() (che si legge y ugule effe di ). Defiizioe. U fuzioe f tr l isieme A e l isieme B si dice suriettiv se il codomiio K coicide co B. Cioè f(a)=b. Defiizioe. U fuzioe f tr l isieme A e l isieme B si dice iiettiv se essu elemeto di B è immgie di due elemeti uguli di A. Cioè per ogi e pprteeti d A, se llor f( ) f( ). Defiizioe. U fuzioe si dice biuivoc o biettiv se è si iiettiv che suriettiv. L importz delle fuzioi biuivoche l si vedrà più vti, d esempio co le fuzioi espoezili e logritmiche. CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Tr tutte le fuzioi, prticolrmete importti soo le fuzioi reli di vribile rele. Prim è opportuo ricordre quli soo i umeri reli. U umero rele è u umero rziole oppure u umero irrziole. U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico (esempi, 5 6, 4, π, e ). U umero rziole è u umero decimle fiito o decimle periodico. I umeri rzioli si possoo scrivere sotto form di frzioe, oppure come umero decimle fiito, oppure come umero decimle periodico. I prticolre u umero rziole può essere che u umero itero (frzioe co deomitore ) e, ioltre, u umero turle può essere pesto itero, se idetificto co il corrispodete positivo.

4 R Q Z N Defiizioe. U fuzioe si dice di vribile rele se il domiio è u sottoisieme dell isieme dei umeri reli (D R). Determire il domiio di u fuzioe rele di vribile rele sigific idividure l isieme di tutti i umeri reli per i quli esiste l fuzioe. Defiizioe. U fuzioe si dice rele se il codomiio è u sottoisieme dell isieme dei umeri reli (K R). Defiizioe. U fuzioe si dice rele e di vribile rele se il domiio e il codomiio soo sottoisiemi dell isieme dei umeri reli (D R e K R). Esercizio U fuzioe rele di vribile iter vrà come domiio u sottoisieme di e come codomiio u sottoisieme di. U fuzioe iter di vribile turle vrà come domiio u sottoisieme di e come codomiio u sottoisieme di. U fuzioe rziole di vribile iter vrà come domiio u sottoisieme di e come codomiio u sottoisieme di. Defiizioe. Si chim grfico crtesio di u fuzioe rele di vribile rele il luogo geometrico dei puti del pio crtesio che verifico l fuzioe dt. Ricordimo cos è u pio crtesio. Defiizioe. U pio crtesio è u pio geometrico sul qule si fisso due rette icideti, oriette (i puti delle rette soo orditi) e grdute (si fisso le uità di misur (segmeti)). Osservzioe. U pio crtesio permette di ssocire d ogi puto del pio u coppi ordit di umeri reli (e u sol) e vicevers (ogi coppi di umeri reli è l immgie di u solo puto). I ltre prole si cre u corrispodez biuivoc tr l isieme P dei puti del pio e il prodotto crtesio R R. Di tutte le fuzioi ci occuperemo i prticolre di quelle mtemtiche. Defiizioe U fuzioe si dice mtemtic se può essere rppresett d u formul che forisce il vlore di y per ogi vlore del domiio. Le ltre si dicoo empiriche. Le fuzioi mtemtiche reli di vribile rele si distiguoo secod dell loro espressioe litic (formul ttrverso l qule clcolre il corrispodete di u geerico elemeto del domiio) i bse l seguete schem: 4

5 Itere Fuzioi reli di vribile rele Algebriche Rzioli Irrzioli Espoezili Frtte Idice pri Idice dispri Trscedeti Logritmiche Goiometriche Defiizioe U fuzioe rele di vribile rele y=f() si dice lgebric rziole iter se l espressioe f() è u poliomio itero ell vribile. Alcue fuzioi prticolrmete importti soo: L fuzioe costte Si chim fuzioe costte l fuzioe rele di vribile rele l cui espressioe litic è del tipo y=k, co k R. Il grfico dell fuzioe y=k è Il domiio di quest fuzioe è R, perché qulsisi umero rele possimo ssocire il corrispodete vlore di y (che srà sempre k). L fuzioe liere Si chim fuzioe liere (o di primo grdo) l fuzioe rele di vribile rele l cui espressioe litic è del tipo y = +b, co,b R e. Il grfico dell fuzioe y=+b ( ) è Il domiio è R, perché Attezioe!!! L fuzioe liere h come grfico u rett. Tutte le rette del pio soo il grfico di u fuzioe liere? L fuzioe qudrtic Si chim fuzioe qudrtic (o di secodo grdo) l fuzioe rele di vribile rele l cui espressioe litic è del tipo y = + b + c, co,b,c R e. Osservzioe Il grfico dell fuzioe y = + b + c ( ) è Il domiio è R, perché L fuzioe iperbolic Si chim fuzioe iperbolic l fuzioe rele di vribile rele l cui espressioe k y = litic è del tipo, co k R e k. Il grfico dell fuzioe iperbolic è u iperbole equilter riferit i propri sitoti, co i due rmi ei qudrti primo e terzo (se k>) o secodo e qurto (se k<). L fuzioe è frtt ed esiste solo se il deomitore o è ullo, quidi il domiio è l isieme R escluso lo zero. 5

6 DOMINIO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE Ricordimo che: determire il domiio di u fuzioe rele di vribile rele sigific idividure l isieme di tutti i umeri reli per i quli esiste l fuzioe. Fuzioe rziole iter y = f () ; D = R Cioè l fuzioe esiste per qulsisi umero rele. f ( ) Fuzioe rziole frtt y = ; D = { R g ( ) } g( ) Cioè l fuzioe esiste per qulsisi umero rele, esclusi gli zeri del deomitore. Fuzioe irrziole di idice pri y = f ( ) ; D = { R f ( ) } Cioè l fuzioe esiste per qulsisi umero rele che rede il rdicdo o egtivo. Fuzioe irrziole di idice dispri y = + f ( ) ; D = D f ( ) Cioè il domiio coicide co quello del rdicdo. f () Fuzioe espoezile y = ; D = D f ( ) Cioè il domiio coicide co quello dell fuzioe che è ll espoete. Fuzioe logritmic y = log f ( ) ; D = { R f ( ) > } Cioè il domiio coicide co quello dell fuzioe che costituisce l rgometo del logritmo. LA FUNZIONE ESPONENZIALE ELEMENTARE L fuzioe espoezile è lo sviluppo del cocetto di potez. Iftti, se l potez sce dll ide di moltipliczioe ripetut ( 5 = ), questo cocetto viee esteso csi che, pur vedo perso il sigificto origirio, coservo il comportmeto delle poteze dl puto di vist delle operzioi. U 4 esempio oto tutti gli studeti è l potez co espoete ullo (,,, ecc ). No h seso pesre queste poteze come moltipliczioi ripetute (moltiplico il per se stesso qute volte?), m ttribuedo queste espressioi il vlore possimo usrle ei clcoli proprio come se fossero poteze + ( = =, oppure : = = = ). Geerlizzdo ulteriormete si pss poteze co espoete egtivo, poteze co espoete rziole (frzioi) per rrivre poteze co espoete u qulsisi umero rele (, -,, /, 5, ecc.). Pesdo u potez il cui espoete poss essere u qulsisi umero rele si rriv l cocetto di fuzioe espoezile (d esempio y =, y = ), che h seso solo se l bse è mggiore di. Ricordimo le proprietà delle poteze che ho portto l cocetto di espoezile: m = = = i det er mi t =, co = m, co e Dove è u umero rele e m, soo umeri turli. 6

7 Altre proprietà delle poteze, che possoo servire per risolvere le equzioi espoezili,soo: m m+ = b m b b = m = = b ( b) b = m m ( ) =, co, co b, co e b Dove e b soo umeri reli e m, soo umeri turli. Defiizioe. Si chim fuzioe espoezile elemetre u fuzioe rele di vribile rele l cui espressioe litic è y = dove è u umero rele mggiore di, (vlore che viee fissto per ciscu fuzioe che si vuole studire), è l vribile idipedete e può ssumere qulsisi vlore rele (il Domio è l isieme dei umeri reli) e y è l vribile dipedete e ssume solo vlori positivi. Il comportmeto dell fuzioe espoezile elemetre cmbi secod dei vlori che si utilizzo per l bse. Osserv d esempio questi grfici: questo è il grfico di y = questo è il grfico di y = I geerle: se il umero, utilizzto come bse, è mggiore di l fuzioe (come el primo cso) è crescete, metre se è u umero rele compreso tr e (esclusi) l fuzioe è decrescete. Cos ccde se =? 7

8 Osservdo i grfici sopr si possoo idividure lcue crtteristiche delle fuzioi espoezili elemetri: i grfici occupo solo i qudrti I e II ; i grfici iterseco sempre l sse y el puto (;); i grfici o iterseco l sse ; i vlori ssuti dll fuzioe espoezile o possoo mi essere ulli o egtivi; il D= R; se il codomiio è k=]; + [, se = llor k={}. LA FUNZIONE LOGARITMICA L fuzioe logritmic è defiit prtire dll fuzioe espoezile. Qudo si è studit l fuzioe espoezile si è osservto che se l bse è mggiore di e miore di llor l fuzioe è decrescete, se l bse è ugule si h u rett prllel ll sse e se l bse è mggiore di l fuzioe è crescete. Escluso quidi il cso i cui l bse si ugule d, l fuzioe espoezile è u fuzioe si iiettiv che suriettiv (quidi biettiv o biuivoc) tr gli isiemi R (domiio) e R + (codomiio). Defiizioe. Se u fuzioe f:a B è biuivoc llor si può crere u ltr fuzioe dett fuzioe ivers di f e viee idict co f -. Quest fuzioe ivers f - :B A, è così defiit: =f - (y) y=f(). Ache l fuzioe ivers è biuivoc. Esempio. L fuzioe y=+ mmette fuzioe ivers che è (si ricv dll formul) =y-. Defiizioe. Si chim fuzioe logritmic elemetre l fuzioe ivers dell fuzioe espoezile elemetre. L fuzioe logritmic, ivers dell fuzioe espoezile elemetre y = si idic co = log y. Il domiio e il codomiio dell fuzioe logritmic soo scmbiti rispetto quell espoezile: or il domiio è costituito d umeri reli mggiori di, il codomiio è l isieme dei umeri reli. Il comportmeto dell fuzioe logritmic elemetre cmbi secod dei vlori che si utilizzo per l bse. Osserv d esempio questi grfici: questo è il grfico di y = log questo è il grfico di y = log 8

9 I geerle: se il umero, utilizzto come bse, è mggiore di l fuzioe è crescete (primo grfico), metre se è u umero rele compreso tr e (esclusi) l fuzioe è decrescete. No esiste l fuzioe logritmic per = o per. Osservdo i grfici sopr si possoo idividure lcue crtteristiche delle fuzioi logritmiche elemetri: i grfici occupo solo i qudrti I e IV ; i grfici iterseco sempre l sse el puto (;) (quidi il log vle qudo è ); i grfici o iterseco l sse y; i vlori ssuti dll vribile (rgometo del logritmo) o possoo mi essere ulli o egtivi D = ;+ (i ltre prole o puoi clcolre il log, o il log ), quidi il domiio è ] [ l vribile y può ssumere qulsisi vlore rele (egtivo, ullo, positivo), quidi il codomiio è K=R. EQUAZIONI ESPONENZIALI Defiizioe. Si chim equzioe espoezile u equzioe i cui l icogit compre ell espoete di u o più poteze. Esempi di equzioi espoezili. + 5 = 7; = 9; 5 = ; =. Defiizioe. Si chim equzioe espoezile elemetre u equzioe del tipo = b, co umero rele > e diverso d e b umero rele. Nell esempio sopr soo equzioi espoezili elemetri:. Come si risolve u equzioe espoezile elemetre = b? Esempio. L equzioe = 8 può essere scritt ell form =, otteedo u ugugliz tr due poteze veti l stess bse. Sfruttdo l proprietà dell fuzioe espoezile di essere iiettiv (elemeti distiti del domiio ho i corrispodeti elemeti distiti) e segue che se due elemeti del codomiio soo uguli llor le rispettive cotroimmgii soo uguli. Quidi d = si deduce =. Esempio. L equzioe = 5 o può essere risolt i modo ltrettto semplice perché 5 o è potez di. L soluzioe si trov utilizzdo i logritmi. Se pplichi l defiizioe di logritmo ottiei il vlore dell icogit : = log 5. Applicdo l formul del cmbimeto di bse, l soluzioe trovt può essere log 5 che scritt el seguete modo: =. log Come si risolve u equzioe espoezile o elemetre? Equzioi espoezili più complesse possoo essere risolte i modo logo quell elemetre. Applicdo opportumete le proprietà delle poteze si cerc di otteere u equzioe equivlete f ( ) g( ) ( ) quell dt, m ell form: = oppure ell form f = b. Nel primo cso, sempre per l proprietà iiettiv dell fuzioe espoezile, si pss ll equzioe equivlete f()=g(). Nel secodo cso, pplicdo l defiizioe di logritmo, si ottiee l equzioe equivlete: f ( ) = log b. ( ) NB. L equzioe espoezile f = b o mmette soluzioi (è impossibile) se il secodo membro è ullo o egtivo ( b ). DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Defiizioe. Si chim disequzioe espoezile u disequzioe i cui l icogit compre ell espoete di u o più poteze. 9

10 Esempi di equzioi espoezili. + 5 < 7; 9; 5 < ;. Come si risolve u disequzioe espoezile? I procedimeti risolutivi soo simili quelli visti co le equzioi, cioè si cerc di trsformre l disequzioe f ( ) g( ) dt i u equivlete ell form: ( ) oppure ell form f b. Nel primo cso si pss ll disequzioe tr gli espoeti fcedo ttezioe che se l fuzioe espoezile y = è iiettiv crescete (>) si terrà lo stesso predicto (si lsci il mggiore o si lsci il miore), vicevers si cmbi il predicto (d mggiore miore e vicevers) se l fuzioe espoezile y = è iiettiv decrescete (<<). Nel secodo cso si pplic l defiizioe di logritmo m si ottiee u disequzioe co lo stesso predicto se l bse >, vicevers si cmbi il predicto. Esempio. Risolvere l disequzioe 9. L disequzioe può essere scritt ell form. L bse è, mggiore di, quidi l disequzioe espoezile è equivlete, quidi 4. S = ;4. L soluzioe è ] ] Esempio. Risolvere l disequzioe. IL umero può essere scritto come potez di, quidi ottego. L bse è miore di quidi cmbio il predicto e ottego l disequzioe equivlete S = - ;.. Quidi l soluzioe è ] ] 5 Esempio. Risolvere l disequzioe <. IL umero o può essere scritto come potez di 5/8, 8 quidi pplico l defiizioe di logritmo. L bse è 5/8 (miore di ) quidi cmbi il predicto e si ottiee > log 5. L soluzioe è S = log 5 ; EQUAZIONI LOGARITMICHE Defiizioe. Si chim equzioe logritmic u equzioe i cui l icogit compre ell rgometo di uo o più logritmi. Esempi di equzioi logritmiche. ( ) = ; log = ; log + log ( ) 4 log + 5 =. Defiizioe. Si chim equzioe logritmic elemetre u equzioe del tipo rele > e diverso d e b umero rele. log = b, co umero Nell esempio sopr soo equzioi logritmiche elemetri:. Come si risolve u equzioe logritmic elemetre log b? Esempio. Dt l equzioe logritmic log =, l prim cos d fre è determire il suo domiio, cioè l isieme di tutti i umeri reli che può ssumere l. Poiché o esiste il logritmo di u umero ullo o egtivo si dovrà porre l rgometo (i questo cso ) mggiore di zero. Il domiio dell equzioe, i D = ;+. Dopo ver trovto il domiio si determi l icogit pplicdo l questo cso, srà ] [ =

11 defiizioe di logritmo (oppure, i ltertiv, pplicdo lcue proprietà dei logritmi, come si vedrà i ltri esercizi) quidi si ottiee: =. Cioè =, soluzioe ccettbile perché pprtiee l domiio. Come si risolve u equzioe logritmic o elemetre? Equzioi logritmiche più complesse possoo essere risolte i modo logo quell elemetre. Per prim cos si determi il domiio dell equzioe poedo gli rgometi di ciscu logritmo mggiori di zero (si risolve u sistem di disequzioi). Applicdo opportumete le proprietà dei logritmi si cerc di otteere u equzioe equivlete quell dt, m ell form: log f ( ) = log g( ) (g() potrebbe essere che u umero). Per l proprietà iiettiv dell fuzioe logritmic, si pss ll equzioe f()=g(). Si risolve l equzioe lgebric otteut e poi occorre verificre che le soluzioi trovte pprtego l domiio dell equzioe logritmic. Ricordimo le proprietà dei logritmi, utili risolvere le equzioi espoezili (l bse è u umero rele mggiore di zero e diverso d e gli rgometi soo mggiori di zero): log log log log log log = = log b = log = log + log log b y = log y = log ( y) y DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Defiizioe. Si chim disequzioe logritmic u disequzioe i cui l icogit compre ell rgometo di uo o più logritmi. Esempi di disequzioi logritmiche. ( + ) > ; log ; log + log ( ) 4 log <. Come si risolve u disequzioe logritmic? I procedimeti risolutivi soo simili quelli visti co le equzioi. Per prim cos si determi il domiio dell disequzioe (tutti gli rgometi mggiori di zero), poi si cerc di trsformre l disequzioe dt i u equivlete ell form: : log f ( ) log g( ). Se l bse è mggiore di (>), llor l fuzioe logritmic è iiettiv crescete quidi si pss ll disequzioe tr gli rgometi lscido lo stesso predicto (si lsci il mggiore o si lsci il miore), ltrimeti si cmbi il predicto (d mggiore miore e vicevers). Esempio. Risolvere l disequzioe log ( + ) > Il domiio dell disequzioe è D = ] ; + [. L disequzioe può essere scritt ell form ( + ) log. log > (proprietà dei logritmi). L bse è mggiore di quidi l disequzioe logritmic è equivlete +>, quidi >. L soluzioe dell disequzioe rziole è quidi S = ] ;+ [. Per trovre l soluzioe dell disequzioe logritmic S = ;+. occorre mettere sistem il domiio co l soluzioe trovt. L itersezioe tr le due è ] [ 5

12 Esempio. Risolvere l disequzioe log. Il domiio dell disequzioe è = ] ;+ [ D. 5 L disequzioe può essere scritt ell form log L disequzioe può essere scritt ell form log log (proprietà dei logritmi) log (proprietà 4 dei logritmi). 5 L bse è miore di quidi risolvimo l disequzioe, quidi >5. L soluzioe dell 5 disequzioe rziole è quidi S = ] 5;+ [. Per trovre l soluzioe dell disequzioe logritmic occorre S = 5;+. mettere sistem il domiio co l soluzioe trovt. L itersezioe tr le due è ] [. CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI UNA RETTA ORIENTATA L ssiom di cotiuità dell rett fferm l esistez di u corrispodez biuivoc tr i puti di u rett oriett e i umeri reli. Idetificdo i due cocetti, prleremo idifferetemete di puto su di u rett oriett o di umero rele. Ricordimo prim lcue defiizioi reltive gli itervlli di umeri reli. Itervlli Si chim itervllo perto di estremi e b, co e b umeri reli e <b, l isieme di tutti i umeri reli mggiori di e miori di b: ] ; b[ = { R > < b} Si chim itervllo illimitto destr l isieme di tutti i umeri reli mggiori di u umero rele (scelto picere): ] ; + [ = { R > } Si chim itervllo illimitto siistr l isieme di tutti i umeri reli miori di u umero rele b (scelto picere): ] ; b [ = { R < b} Itori di u puto (iteso come umero rele) Si chim itoro di u puto o u qulsisi itervllo perto cui o pprtiee. Si chim itoro siistro di u puto u qulsisi itervllo perto i cui è estremo destro. Si chim itoro destro di u puto u qulsisi itervllo perto i cui è estremo siistro. Si chim itoro di + u qulsisi itervllo illimitto destr: I =] ; + [ + Si chim itoro di - u qulsisi itervllo illimitto siistr: I = ] ;b[ Puto Itero U puto o si dice itero ll isieme A di umeri reli se esiste lmeo u itoro di o sottoisieme di A. U puto itero d A pprtiee d A m o è detto che si vero il vicevers.

13 Puto Estero U puto o si dice estero ll isieme A di umeri reli se esiste lmeo u itoro di o disgiuto d A (cioè l itersezioe tr A e l itoro è vuot, cioè itoro e isieme A o ho puti i comue). Puto Frotier U puto o si dice frotier per l isieme A se qulsisi itoro di o cotiee si puti dell isieme si puti o pprteeti d esso. U puto frotier può pprteere ll isieme A m potrebbe che o pprteere d esso. U puto frotier o è é itero é estero. Puto di Accumulzioe U puto o si dice di ccumulzioe per l isieme A di umeri reli se qulsisi itoro di lmeo u puto pprteete ll isieme A e diverso d o. o cotiee NB. U puto di ccumulzioe può pprteere ll isieme m può che o pprteere d esso. N.B. I puti di ccumulzioi soo importti ell defiizioe di limite di u fuzioe. Puto Isolto U puto o pprteete ll isieme A si dice isolto se o è di ccumulzioe. 4. LIMITI Clcolre u limite sigific stbilire qule vlore si vvici l fuzioe metre si vvici d (vlore fiito), o qudo ± o che qudo + k o k. I limiti soo importti ell lisi mtemtic perché servoo per: cpire l dmeto dell fuzioe, defiire il cocetto di derivt, defiire il cocetto di cotiuità defiire i vri tipi di discotiuità clcolre gli sitoti. Defiizioe di limite (vri csi): ) lim f ( ) = l o sigific I I I D \ { } f ( ) I l o o o l ) lim f ( ) = l o sigific I l I I D f ( ) I o o l ) lim f ( ) = l + o sigific Il I + I + D f ( ) o o I l 4) lim f ( ) = l + sigific I l I + I + D f ( ) Il 5) lim f ( ) = l sigific I l I I D f ( ) Il 6) lim f ( ) = + o sigific I + I I D \{ o} f ( ) o o I +

14 7) lim f ( ) = o sigific I I o I o D \ { o } f ( ) I TEOREMI SUI LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI ) Costte y = k D= R lim k = k lim k = k lim k = k + ) Idetità y = D= R lim = + = lim = o + lim o ) Potez y = D= R lim = se l' espoete è dispri lim = + se l' iespoete è pri lim + = + lim o = o 4) Rdice Qudrt y = D = [ ;+ [ lim + = + lim o = o 5) Rdice Cubic y = D= R lim + = + lim + = lim o = o 6) Fuzioe Espoezile Elemetre y = D= R + lim = + se > lim = se > + lim = se < < lim = + se < < o lim = o 7) Fuzioe Logritmic Elemetre y log = D = [ ;+ [ lim log = + se > + lim log = se < < + lim log + = se > lim log + = + se < < lim log = log o o 4

15 TEOREMI SUI LIMITI FINITI ) Teorem dell uicità del limite Se esiste il limite per che tede di f () llor questo limite è uico. o ) Teorem dell somm lgebric Se fiiti lim f ( ) o lim g( ) o llor lim [ f ( ) ± g( ) ] o = lim f ( ) o ± lim g( ) o ) Teorem del prodotto Se fiiti lim f ( ) o lim g( ) o Cso prticolre: Se fiito lim f ( ) o llor lim [ f ( ) g( ) ] = lim f ( ) lim g( ) o,, llor lim [ k * f ( ) ] o o o = k* lim f ( ) o 4) Teorem del quoziete Se fiiti lim f ( ) o 5) Teorem dell potez lim g( ) o f ( ) llor lim o g( ) = lim f ( ) o lim g( ) o Se fiito lim f ( ) o, llor [ ] lim o f ( ) = lim o f ( ) 6) Teorem delle fuzioi irrzioli Se fiito lim f ( ), llor lim o o f ( ) = lim o f ( ) (se l idice è pri llor il rdicdo dovrà essere positivo) 7) Teorem dell fuzioe espoezile Se fiito lim f ( ) o, llor lim o f ( ) = lim f ( ) 8) Teorem dell fuzioe logritmic Se fiito lim f ( ) >, llor lim log f ( ) o o = log lim f ( ) TEOREMI SUI LIMITI INFINITI Si pplico i teoremi visti prim sui limiti fiiti, che el cso i cui i limiti sio ifiiti, pplicdo le segueti regole e teedo presete che ifiito o è u umero. 5

16 somm lgebric ) ± ± k = ± ) + + = + ) = 4) + = form idetermit o di idecisioe prodotto ) + * k = + se k > ) + * k = se k < ) * k = se k > 4) * k = + se k < 5) ± * = form idetermit o di idecisioe 6) + * ( + ) = + 7) * ( ) = + 8) + * ( ) = quoziete + ) = + se k > k + ) = se k < k ) = se k > k 4) = + se k < k ± 5) = form idetermit o di idecisioe ± 6) = form idetermit o di idecisioe k 7) = ± 8) = k 9) = + se k > + k ) = se k < + k ) = se k > k ) = + se k < 6

17 rdice ) + = + + ) ± = ± espoezile + ) = + se > + ) = se < < ) = se > 4) = + se < < 5) ( + ) = ± 6) = form idetermit o di idecisioe 7) = form idetermit o di idecisioe 8) ( ± ) = form idetermit o di idecisioe logritmic + ) log = se > + ) log = + se < < ) log + = se < < 4) log + = + se > 5. ASINTOTI Asitoto Orizzotle Destro L rett y = k è sitoto orizzotle destro per l fuzioe y = f () se l distz tr l rett e il grfico tede qudo tede +. Esiste l sitoto orizzotle destro y = k se il limite dell fuzioe per che tede + è ugule k. Asitoto Orizzotle Siistro L rett y = k è sitoto orizzotle siistro per l fuzioe y = f () se l distz tr l rett e il grfico tede qudo tede. Esiste l sitoto orizzotle siistro y = k se il limite dell fuzioe per che tede è ugule k. Asitoto Verticle Destro L rett = k è sitoto verticle destro per l fuzioe y = f () se k è u puto di ccumulzioe per il domiio m o pprtiee d esso, il limite dell fuzioe per che tede distz tr i puti del grfico e l rett = k tede qudo tede + k. + k di () f è ± e l Asitoto Verticle Siistro L rett = k è sitoto verticle siistro per l fuzioe y = f () se k è u puto di ccumulzioe per il domiio m o pprtiee d esso, il limite dell fuzioe per che tede distz tr i puti del grfico e l rett = k tede qudo tede k. k di () f è ± e l 7

18 Asitoto Obliquo Destro L rett y = m + q è sitoto obliquo destro per l fuzioe y = f () se l distz tr l rett e il grfico tede qudo tede +. Asitoto Obliquo Siistro L rett y = m + q è sitoto obliquo siistro per l fuzioe y = f () se l distz tr l rett e il grfico tede qudo tede. Per determire l evetule sitoto obliquo si procede l clcolo di m e q. Se esistoo fiiti m e q llor esiste l sitoto obliquo. Se che solo uo di questi vlori è ifiito llor o esiste l sitoto obliquo. NB: se m = e q è fiito bbimo ritrovto l sitoto orizzotle. L evetule vlore di m si trov clcoldo il seguete limite (se esiste fiito): m = f ( ) lim = fiito ± Per trovre q, dopo ver clcolto m, si clcol il seguete limite: q = lim [ f ( ) m] = fiito ± 6. CONTINUITÀ E DISCONTINUITÀ L fuzioe y = f () si dice cotiu i u puto di ccumulzioe per il domiio se i quel puto esistoo il limite e l fuzioe e i due vlori coicidoo. Cioè: fiito lim f ( ) l fuzioe i : f( ) i due vlori coicidoo lim f ( ) = f ( ) NB. Le fuzioi lgebriche rzioli o trscedeti soo cotiue i tutti i puti iteri l loro domiio. Ache le fuzioi otteute sommdo, sottredo, moltiplicdo o dividedo fuzioi cotiue, sro cotiue ei puti iteri i loro domii. L fuzioe y = f () si dice discotiu i u puto di ccumulzioe per il domiio se i quel puto l fuzioe o è cotiu. Esistoo tre tipi di discotiuità: - discotiuità di specie - discotiuità di specie - discotiuità di specie ) Discotiuità di Specie I u puto di ccumulzioe per il domiio dell fuzioe y = f () si h u discotiuità di specie se esistoo e soo fiiti i limiti d siistr e d destr, m o coicidoo. Esempio: y = h u discotiuità di prim specie el puto =. < 8

19 ) Discotiuità di Specie I u puto di ccumulzioe per il domiio dell fuzioe y = f () si h u discotiuità di specie se lmeo uo dei due limiti d destr e d siistr o esiste oppure è ifiito. Esempio: y = h due discotiuità di secod specie ei puti = e =- ) Discotiuità di Specie I u puto di ccumulzioe per il domiio dell fuzioe y = f () si h u discotiuità di specie se esistoo, soo fiiti e coicidoo i limiti d destr e d siistr m i quel puto o esiste l fuzioe oppure h u vlore diverso di limiti. Esempio: y = h u discotiuità di terz specie el puto =- + NB. l discotiuità di specie si dice che elimibile perché è possibile trsformrl i cotiuità defiedo opportumete l fuzioe i quel puto. 7. DERIVATE Attrverso il cocetto di limite è possibile defiire u uovo cocetto, quello di derivt. Si u puto itero l domiio di u fuzioe y=f(). E si y il vlore ssuto dll fuzioe i tle puto. Per il puto P di coordite ( ; y ) psso ifiite rette (fscio proprio di rette). Fissimo l ttezioe su di u di queste, secte il grfico dell fuzioe, oltre che i P, che i u puto P(;y) (vedi figur). Cmbido l posizioe del puto P sul grfico (e lscido fisso il puto P ) otteimo tte rette del fscio secti il grfico. Ciscu di queste rette secti vrà coefficiete golre dto dll formul: y y y f ( ) f ( ) m = = = coefficiete golre dell rett Secte il grfico psste per P e P Suppoimo or che il puto P si vvicii sempre più P (cioè tede l vlore ), qudo P tederà sovrpporsi l puto P l rett d secte diveterà tgete il grfico (P=P ). 9

20 Derivt Si chim derivt dell fuzioe y = f () el puto, itero l domiio, il limite per tede del rpporto icremetle f ( ) f ( ), se esiste ed è fiito. L formul dell derivt i u puto divet: y' ( ) f ( ) f ( = lim y y y f ( ) f ( ) NB. Dl puto di vist geometrico il rpporto icremetle m = = = rppreset il coefficiete golre delle rette del fscio secti il grfico dell fuzioe, l derivt, ivece, è il coefficiete golre dell rett del fscio (se esiste) che è tgete il grfico el puto P ; f ( )). ) ( REGOLE DI DERIVAZIONE y = f () y ' = f '( ) y = k y '= y = y '= y = y ' = y = y'= y ' = y = y' = y = y = l y' = l y = y'= log l y = l y'= y = log y'= log l Teorem dell Somm Se y = f ( ) + g( ) llor y ' = f '( ) + g' ( ) Teorem del Prodotto Se y = f ( ) * g( ) llor y ' = f '( ) * g( ) + f ( ) * g' ( ) Teorem del Quoziete. Se f ( ) y = llor g( ) f y' = '( ) * g( ) f ( ) * g' ( ) [ g( ) ]

21 Equzioe Rett Tgete L derivt di u fuzioe può servire per determire l equzioe dell rett tgete l grfico i u puto itero. Iftti l derivt rppreset il coefficiete golre dell tgete. y f ( ) = f '( ) * ( ) DERIVATE DI FUNZIONI COMPOSTE y = f () y ' = f '( ) y = [ f ( ) ] y' = [ f ( ) ] * f '( ) y = f ( ) y '= f ( ) * f ' ( ) y = f ( ) y' = [ f ( ) ] * f ' ( ) y = l f ( ) y' = l f ( ) * f '( ) f ( ) y = y' = f ( ) log * f '( ) l y = l f ( ) y '= f ( ) * f ' ( ) y = log f ( ) y ' = log f f l * ' ( ) ( ) DERIVATE E CONTINUITÀ Teorem. Se y = f ( ) è derivbile i u puto itero l domiio llor i quel puto l fuzioe è che cotiu. NB: o vle il teorem iverso!!! Esempio: y = D = R, fuzioe cotiu ovuque, m i = o è derivbile TEOREMI DI DE L HOPITAL f ( ) Teorem Se lim o g( ) = e se f '( ) lim o g' ( ) f '( ) llor lim = o g' ( ) f ( ) lim g( )

22 Teorem Se f ( ) lim = o g( ) e se f '( ) lim o g' ( ) f '( ) llor lim = o g' ( ) f ( ) lim o g( ) NB: i due teoremi de l Hôpitl vlgoo si qudo qudo + k e k. (vlore fiito), si qudo ± e che o 8. MONOTONIA E PUNTI ESTREMANTI Puto Stziorio itero l domiio dell fuzioe f ( ) U puto derivbile e l derivt è ull. NB: i puti stziori si trovo risolvedo l equzioe f '( ) = Fuzioe Crescete y = si dice stziorio se i quel puto l fuzioe è I u puto y = f si dice crescete se i u opportuo itoro di f ( ) f ( ) f ( ) co qulsisi < < pprteeti ll itoro di. Fuzioe Decrescete itero l domiio l fuzioe ( ) I u puto y = f si dice decrescete se i u opportuo itoro di f ( ) f ( ) f ( ) co qulsisi < < pprteeti ll itoro di. itero l domiio l fuzioe ( ) Mssimo Reltivo (o Locle) U puto itero l domiio dell fuzioe f ( ) si h ( ) f ( ) pprteete d u opportuo itoro di Miimo Reltivo (o Locle) U puto y = si dice mssimo reltivo se per qulsisi f. itero l domiio dell fuzioe f ( ) si h ( ) f ( ) pprteete d u opportuo itoro di Mssimo Assoluto y = si dice miimo reltivo se per qulsisi f. U puto pprteete l domiio dell fuzioe f ( ) pprteete l domiio f ( ) f ( ). Miimo Assoluto U puto pprteete l domiio dell fuzioe f ( ) pprteete l domiio f ( ) f ( ). y = si dice mssimo ssoluto se per qulsisi y = si dice miimo ssoluto se per qulsisi NB: mssimi e miimi reltivi possoo essere distiti di mssimi e miimi ssoluti. U mssimo (o miimo) ssoluto può essere che u puto frotier, u mssimo (o miimo) reltivo è sempre itero l domiio.

23 TEOREMA SULLA MONOTONIA Se i u puto itero l domiio dell fuzioe y = f ( ) l fuzioe è derivbile e l derivt è mggiore di llor l fuzioe è crescete; vicevers se l derivt è miore di l fuzioe è decrescete. NB: o vle il teorem iverso cioè l fuzioe può essere crescete i u puto m l derivt o essere mggiore di. Esempio L fuzioe y = è ovuque crescete m el puto = l derivt y '( ) = y ' = è ull: 9. CONCAVITÀ E FLESSI CONCAVITÀ L fuzioe f ( ) y = si dice cocv verso l lto i u puto itero l domiio se i quel puto l fuzioe è derivbile e, i u opportuo itoro di ( l ordit dell rett tgete el puto. L fuzioe f ( ) escluso), ( ) f è mggiore di y t, dove y t è y = si dice cocv verso il bsso i u puto itero l domiio se i quel puto l fuzioe è derivbile e, i u opportuo itoro ( l ordit dell rett tgete el puto. escluso), ( ) f è miore di y t, dove y t è FLESSI itero l domiio dell fuzioe f ( ) I u puto puto è cotiu e cmbi di cocvità. y = si h u puto di flesso se l fuzioe i quel Teorem sui flessi Se è u puto di flesso per l fuzioe y = f ( ) e i quel puto l fuzioe è derivbile lmeo fio l secodo ordie llor i quel puto l derivt secod si ull.

24 NB. No vle il teorem iverso, cioè i puti che ullo l derivt secod o soo ecessrimete 4 puti di flesso. Iftti d esempio y = el puto = h derivt secod ull m l fuzioe o h flessi. Cioè ei flessi l derivt secod è ull, m qudo si ull l derivt secod o sempre si h u flesso. 4 y = > y ' = 4 R \ { } y '' = = = evetule flesso S = l fuzioe è ovuque cocv verso l lto, quidi = o è u flesso. Clssificzioe dei flessi I flessi si distiguoo i: ) tgete orizzotle ) tgete obliqu 4

25 ) tgete verticle Teorem sui puti stziori U puto stziorio potrà essere u mssimo reltivo, u miimo reltivo oppure u flesso tgete orizzotle. Teorem sull cocvità Se i u puto itero l domiio l fuzioe y = f () è derivbile lmeo fio l secodo ordie e l derivt i quel puto è mggiore di, llor i quel puto il grfico è cocvo verso l lto; vicevers se l derivt i quel puto è miore di llor il grfico è cocvo verso il bsso.. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ) Teorem di Weierstrss U fuzioe defiit e cotiu i u domiio chiuso mmette lmeo u mssimo ssoluto e lmeo u miimo ssoluto. ) Teorem dei Vlori Itermedi U fuzioe defiit e cotiu i u itervllo chiuso, suppoedo che ssum vlori diversi gli estremi, ssumerà i lmeo u puto itero l domiio u qulsisi vlore compreso tr quelli ssuti gli estremi. ) Teorem degli Zeri U fuzioe defiit e cotiu i u itervllo chiuso e che ssume vlori discordi gli estremi mmette lmeo u puto itero l domiio el qule si ull. Questo puto si chim zero dell fuzioe. 5

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