FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

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1 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

2 Sommario FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI: GENERALITÀ... Numero reale... Prodotto cartesiano RR... Definizione di funzione reale di due variabili reali... Grafico di una funzione reale di due variabili reali... Classificazione delle funzioni matematiche... 4 DOMINIO DI UNA FUNZIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI... 4 Dominio di funzioni razionali fratte (esempi)... 4 Dominio di funzioni irrazionali a indice dispari... 6 Dominio di funzioni irrazionali a indice pari... 6 Dominio di funzioni esponenziali... 7 Dominio di funzioni logaritmiche... 7 LINEA DI LIVELLO (definizione)... 8 Esempi di linee di livello di funzioni algebriche razionali intere... 8 Esempi di linee di livello funzioni algebriche irrazionali con indice pari... Linee di livello di funzioni algebriche irrazionali con indice dispari... 7 Cenni alle linee di livello di funzioni algebriche razionali fratte... 7 LIMITI E CONTINUITÀ... Intorno circolare aperto... Intorno di infinito ( )... Punto interno... Punto esterno... Punto frontiera... Punto di accumulazione... Punto isolato... Limiti... Continuità... 4 DERIVATE E PUNTI ESTREMANTI LIBERI... 4 Funzioni subordinate... 5 Derivate parziali... 5 Schema sulle derivate del primo e del secondo ordine... 5 Teorema di Schwarz... 6 Punto stazionario... 6 Massimo relativo... 6 Minimo relativo... 6 Massimo assoluto... 6 Minimo assoluto... 6 Punto di sella... 6 Hessiano... 7 Teorema (condizione necessaria dei massimi e dei minimi)... 7 Teorema sulla classificazione dei punti stazionari (condizione sufficiente per l esistenza dei massimi e dei minimi relativi)... 7 MASSIMI E MINIMI VINCOLATI... 7 Massimo relativo vincolato... 8 Minimo relativo vincolato... 8 Massimo assoluto vincolato... 8 Minimo assoluto vincolato... 8 Massimi e minimi vincolati: metodo elementare... 8 Massimi e minimi vincolati: metodo geometrico (o delle linee di livello)... 9 Massimi e minimi vincolati: metodo del moltiplicatore di Lagrange...

3 Tra tutti i rettangoli di perimetro, sapresti trovare quello con l area maggiore? FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI: GENERALITÀ Numero reale Un numero reale è un numero razionale oppure un numero irrazionale. Un numero irrazionale è un numero decimale illimitato non periodico (esempi, 6, 4, π, e). Un numero razionale è un numero decimale finito o decimale periodico. I numeri razionali si possono scrivere sotto forma di frazione, oppure come numero decimale finito oppure come numero decimale periodico. In particolare un numero razionale può essere anche un numero intero (frazione con denominatore ) e, poi, un numero naturale può essere pensato intero se identificato con il corrispondente positivo. R Q Z N In altre parole, l insieme dei numeri reali è l unione tra l insieme dei numeri razionali e l insieme dei numeri irrazionali R Q U I. Mentre i naturali N sono sottoinsieme degli interi Z, che a loro volta sono sottoinsieme dei razionali Q Prodotto cartesiano RR Il prodotto cartesiano RR è l insieme delle infinite coppie ordinate di numeri reali. Il prodotto cartesiano RR è rappresentato geometricamente dal piano cartesiano (i punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con tutte le coppie ordinate di numeri reali che formano R R). Definizione di funzione reale di due variabili reali Una funzione reale di due variabili reali è una funzione che ha come dominio D un sottoinsieme del prodotto cartesiano RR e il codominio K è un sottoinsieme di R. Cioè la funzione f associa ad ogni coppia ordinata di numeri reali ( ) appartenenti al dominio un numero reale z. In forma simbolica si scrive: Esempio: Il dominio della funzione f : D R, dove D RR, K R e zf(). dalla superficie colorata del piano cartesiano: z è rappresentato in figura Grafico di una funzione reale di due variabili reali Il grafico di una funzione reale di due variabili reali è l insieme dei punti P(z) dello spazio tridimensionale RRR che verificano la funzione data. {( z) RRR ( ) D z f ( ) } G f

4 Esempio: Il grafico della funzione z è rappresentato dalla superficie tridimensionale di figura: Dominio: Grafico della funzione: Classificazione delle funzioni matematiche In base alla loro espressione analitica, le funzioni matematiche sono così classificate: Intere Funzioni reali di due variabile reali Algebriche Razionali Irrazionali Esponenziali Fratte Indice pari Indice dispari Trascendenti Logaritmiche Goniometriche DOMINIO DI UNA FUNZIONE REALE DI DUE VARIABILI REALI Determinare il dominio di una funzione reale di due variabili reali significa determinare l insieme delle coppie ordinate di numeri reali per le quali esiste la funzione. Funzione razionale intera f ( ) Funzione razionale fratta Funzione irrazionale di indice pari n f ( ) z D RR (ricorda che RR è tutto il piano cartesiano) f ( ) z D {( ) RR g( ) } g( ) z D {( ) RR f ( ) } Funzione irrazionale di indice dispari z n f ( ) D D f ( ) f a () Funzione esponenziale z, con a> a D D f ( ) Funzione logaritmica z log f ( ), con a> a D {( ) RR f ( ) > } Dominio di funzioni razionali fratte (esempi) a Se la funzione è fratta il denominatore non può mai essere uguale a, quindi il dominio è tutto il piano cartesiano e- sclusi gli zeri del denominatore (punti che annullano il denominatore). 4

5 f ( ) z D {( ) RR g( ) } g( ) g. In modo conven- Per rappresentare il dominio occorre rappresentare, sul piano cartesiano l equazione ( ) zionale la disegniamo tratteggiata, per indicare che tali punti sono esclusi dal dominio. Se l equazione ( ) fico sarà costituito da una conica (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole o conica degenere). Esempi: Retta g è di primo grado il grafico sarà costituito da una retta se invece è di secondo grado il gra- z D {( ) RR } Rappresentiamo, tratteggiata, sul piano cartesiano la retta di equazione -. Parabola z D {( ) RR } Rappresentiamo, tratteggiata, sul piano cartesiano la parabola di equazione -. Circonferenza z D {( ) RR 4 } 4 Rappresentiamo, tratteggiata, sul piano cartesiano la circonferenza di equazione -4. Ellisse z D {( ) RR 4 } 4 Rappresentiamo, tratteggiata, sul piano cartesiano l ellisse di equazione -4. Iperbole z D {( ) RR 4 } 4 Rappresentiamo, tratteggiata, sul piano cartesiano l iperbole di equazione - 4. Coniche degeneri o z D {( ) RR } La conica - è una iperbole che è degenerata in una coppia di rette. Infatti si può scomporre in (-)(). Il prodotto è zero se almeno uno dei due fattori è zero (legge di annullamento del prodotto, valida per i numeri reali). 5

6 o z D {( ) RR } La conica è una ellisse che è degenerata in un punto. L unico punto che soddisfa l equazione è il punto (), cioè l origine del piano cartesiano. Dominio di funzioni irrazionali a indice dispari Se la funzione è irrazionale con indice dispari, allora il domino coincide col dominio del radicando (e torniamo ai casi visti sopra). Esempi: o z 4 o 4 z n f ( ) D D f ( ) D RR z D {( ) RR 4 } Dominio di funzioni irrazionali a indice pari Se la funzione è irrazionale con indice pari, allora il radicando non può essere negativo. Per determinare il dominio si dovranno risolvere disequazioni in due variabili. Ecco l impostazione nei casi più semplici (ma significativi): z n f ( ) D {( ) RR f ( ) } f ( ) z n D {( ) RR } studio del segno g( ) f ( ) g( ) n f ( ) z D {( ) RR f ( ) g( ) > } n g( ) intersezione Esempi: z D {( ) RR } Per risolvere la disequazione in due variabili: si procede nel seguente modo: si rappresenta il luogo geometrico individuato dall equazione associata alla disequazione: in questo esempio è una parabola passante per l origine La parabola divide il piano cartesiano in due zone, per individuare quale delle due rappresenta il dominio si effettua una verifica della disequazione sostituendo un punto del piano (non appartenente alla parabola) e si colora (per convenzione) la zona esclusa dal dominio. Verifica col punto ( ): la disequazione è verificata. 6

7 9 4 z D {( ) RR > } INTERSEZIONE 9 9 ) ellisse Verifica con (), falso. ) > 4 > conica degenere formata da una coppia di rette Verifica con i punti (,) e (-), entrambi falsi. z D {( ) RR } STUDIO DEL SEGNO N retta parallela all asse Verifica col punto (), falso. D > > parabola con vertice in ( ) Verifica col punto (), falso. N.B. Una funzione ottenuta come somma, differenza, prodotto o divisione di altre funzioni esiste quando esistono tutte le funzioni che la compongono, quindi il dominio sarà formato dai punti comuni di tutti i domini. Perciò il dominio di determinerà con un sistema che conterrà le condizioni di esistenza di ciascuna funzione. Dominio di funzioni esponenziali La funzione esponenziale f () z a, con a> a ha come dominio lo stesso dominio dell esponente: D D f ( ) Ad esempio, se l esponente è una funzione intera, allora il dominio sarà tutto il piano cartesiano. Nel caso in cui l esponente sia una funzione fratta, allora il dominio sarà tutto il piano cartesiano esclusi i punti che annullano il denominatore. Esempi: ( ) D RR z z il dominio è tutto il piano cartesiano esclusi i punti della parabola - Dominio di funzioni logaritmiche z f La funzione logaritmica log a ( ), con a> a esiste solo se l argomento f() è positivo (>): D {( ) RR f ( ) > } 7

8 Esempi: z ( ) log z log ( ) il dominio sarà formato dai punti del piano cartesiano che verificano la disequazione: z ln LINEA DI LIVELLO (definizione) il dominio sarà formato dai punti del piano cartesiano che verificano la disequazione: -> -> il dominio sarà formato dai punti del piano cartesiano che verificano la disequazione: > Il grafico di funzioni reali di due variabili reali è tridimensionale e quindi difficilmente rappresentabile sul quaderno. Per studiare il comportamento di una funzione in due variabile si possono utilizzare le linee di livello. Si chiama linea o curva di livello di quota di una funzione z f ( ) l insieme di tutti i punti del dominio per i quali la funzione vale. L D f ( ) {( ) ( ) } Da un punto di vista geometrico, la linea di livello di quota è la proiezione sul piano cartesiano dei punti che sono intersezione del grafico della funzione col piano orizzontale z. Esempi di linee di livello di funzioni algebriche razionali intere Funzioni algebriche razionali intere di primo grado: z a b c Osservazione. Il grafico tridimensionale di una funzione lineare (di primo grado) in due variabili è un piano geometrico. La funzione esiste per qualsiasi punto del piano cartesiano D RR La generica linea di livello di quota sarà data dall equazione di primo grado: a b c che, al variare di, rappresenta un fascio improprio di rette tutte di coefficiente angolare a e ordinata all origine b c. b 8

9 Al variare della quota otteniamo quindi infinite rette tutte di coefficiente angolare (fascio improprio). La quota può assumere qualunque valore reale. La funzione non possiede massimi e minimi. Nel caso che la funzione sia, ad esempio z, abbiamo: D RR fascio improprio di rette con Disegniamo due linee di livello, a titolo di esempio. m a, quindi tra loro parallele b NB: dallo studio delle linee di livello si deduce che la funzione non possiede massimi e minimi. Se le linee di livello si chiudono attorno ad un punto allora quel punto sarà un massimo oppure un minimo. Funzioni algebriche razionali intere di secondo grado: z a b c d e f Una generica linea di livello di quota sarà data dall equazione di secondo grado: a b c d e f che rappresenta sempre una conica (circonferenza, parabola, ellisse, i- perbole, conica degenere). Al variare della quota otteniamo quindi un insieme di coniche (più propriamente un fascio). Primo esempio (fascio di parabole): z D RR equazione della linea di livello di quota esplicitando la otteniamo: a b c Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: V ( ) 5 5 V ( ) Caratteristiche: - fascio di parabole concave verso il basso tutte con la stessa concavità (-/) e tutte con lo stesso asse di simmetria. Al variare di cambiano l ordinata del vertice e l intersezione con l asse 9

10 - al variare di si può immaginare una traslazione verticale delle parabole - può assumere qualsiasi valore - osservando le linee di livello si deduce che la funzione non possiede massimi e minimi (le linee non si chiudono attorno ad un punto). Secondo esempio (fascio di circonferenze): z 4 4 D RR 4 4 equazione linea di livello di quota 4 4 a b 4 Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: Caratteristiche: - fascio di circonferenze concentriche di centro 8 c 4 C e raggio al quadrato i valori di devono verificare la condizione, quindi S - per che è il centro di tutte le altre linee di livello si ha una conica degenere costituita dal punto le linee di livello si chiudono attorno al punto Questa situazione evidenzia la presenza di un massimo o di un minimo. Nel caso specifico, osservando l andamento delle linee di livello, il punto 8 si rivela essere un minimo assoluto e il valore più piccolo che assume la funzione in corrispondenza di questo punto è 4 6. Terzo esempio (fascio di ellissi): z D RR equazione linea di livello di quota

11 cioè: Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: Caratteristiche: - fascio di ellissi tutte di centro l origine - le linee di livello esistono solo se (nell equazione del fascio, al S primo membro abbiamo una somma di quadrati) : ] ] - per, cioè, si ottiene che è il centro di simmetria per tutte le altre linee di livello, cioè una conica degenere formata dal punto ( ) - non esistono linee di livello quando >, cioè quando <, questa situazione evidenzia la presenza di un massimo o - le linee di livello si chiudono attorno al punto ( ) di un minimo. Nel caso specifico il punto ( ) si rivela essere un massimo assoluto e il valore più grande che assume la funzione è. Quarto esempio (fascio di iperboli equilatere riferite ai propri asintoti): z D RR equazione linea di livello di quota, preferibile scriverla così Rappresentiamo tre linee di livello, per capire l andamento: 6 Caratteristiche: - fascio di iperboli equilatere riferite ai proprio asintoti - per > i rami dell iperbole si trovano nel I e nel III quadrante (>) - per < i rami dell iperbole si trovano nel II e nel IV quadrante - per si ha una conica degenere formata da una coppia di rette (cioè e ) - le linee di livello esistono per qualsiasi valore di - dallo studio delle linee di livello si può dedurre che la funzione non possiede massimi e minimi, infatti non ci sono punti attorno ai quali si chiudono. Quinto esempio (fascio di iperboli riferite ai propri assi di simmetria): z 4 D RR

12 4 equazione linea di livello di quota, che è preferibile scrivere in questa forma 4 Rappresentiamo tre linee di livello, per capire l andamento: iperbole con i vertici sull asse forma canonica a b quindi a e asintoti ± 6 iperbole con i vertici sull asse forma canonica 4 b ( )( ) conica degenere formata da una coppia di rette (gli asintoti di tutte le iperboli del fascio) Caratteristiche: - l equazione 4 rappresenta un fascio di iperboli - per 4, cioè 4, si ha la conica degenere l origine, cioè e - per > 4 i vertici dell iperbole sono sull asse delle - per < 4 i vertici dell iperbole sono sull asse delle formata da due rette passanti per, che sono gli asintoti di tutte le altre iperboli del fascio - dallo studio delle linee di livello si può dedurre che la funzione non possiede massimi e minimi Esempi di linee di livello funzioni algebriche irrazionali con indice pari Esempio : z Dominio: D {( ) RR } Equazione della generica linea di livello: con N.B. le linee di livello esistono solo per valori di, infatti la funzione esiste solo per valori positivi o nulli del radicando.

13 Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene: che è l equazione di un fascio improprio di rette con m Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: N.B. Con si ottiene la linea frontiera del dominio!!! 4 7 Dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. La linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione. Esempio : z D {( ) RR } con Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: V ( ) V ( ) Caratteristiche: - fascio di parabole concave verso il basso tutte con vertice sull asse delle - al variare di si ha una traslazione verticale delle parabole - dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione.

14 Esempio : z 4 4 D {( ) RR 4 4 } 4 4 con a b 4 Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: c circonferenza circonferenza Caratteristiche: - fascio di circonferenze concentriche di centro 8 C e raggio dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione. Esempio 4: z 4 D {( ) RR 4 } 4 con 4 4 con 4 Rappresentiamo due linee di livello, per capire l andamento: ellisse ellisse 4

15 Caratteristiche: - fascio di ellissi con centro ( ) - le linee di livello esistono solo per 4 e (sistema), quindi. - dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione. Esempio 5: z 4 D {( ) RR 4 con 4 4 } 4 fascio di ellissi con 4 Rappresentiamo tre linee di livello, per capire l andamento: 4 conica degenere formata dal punto () Caratteristiche: - Le linee di livello esistono solo se e 4. Risolvendo il sistema tra queste due disequazioni si S ottiene [ ] si ha una conica degenere formata dal punto ( ) < si ha un fascio di ellissi con centro ( ) > non esistono linee di livello quindi D [ ] - per - per - per - dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione assume valori compresi tra e. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione e la linea di livello individua i massimi assoluti (in questo caso solo il punto ( )). Esempio 6: z 4 D {( ) RR 4 } 4 con meglio scritta così: 4 4 5

16 Rappresentiamo tre linee di livello, per capire l andamento: Caratteristiche: - fascio di iperboli equilatere riferite ai proprio asintoti - per si ha una conica degenere formata da una coppia di rette (cioè e ) - per > i rami dell iperbole si trovano nel I e nel III quadrante - per < i rami dell iperbole si trovano nel II e nel IV quadrante - dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione. Esempio 7: z 4 D {( ) RR 4 } 4 con 4 Rappresentiamo tre linee di livello, per capire l andamento: 4 4 vertici sull asse vertici sull asse 4 4 ( )( ) conica degenere 6

17 Caratteristiche: - l equazione 4 rappresenta un fascio di iperboli - per 4 l origine, cioè, cioè, si ha la conica degenere e - per > i vertici dell iperbole sono sull asse delle formata da due rette passanti per, che sono gli asintoti di tutte le altre iperboli del fascio - per < i vertici dell iperbole sono sull asse delle - dallo studio delle linee di livello si comprende che la funzione non assume valori inferiori a. - la linea di livello quindi è formata da infiniti punti che sono tutti minimi assoluti per la funzione. Linee di livello di funzioni algebriche irrazionali con indice dispari Scritta l equazione di una generica linea di livello è sufficiente elevare alla n e studiare il fascio così ottenuto. z n f funzione irrazionale indice dispari, si determina il dominio, poi Cioè, data la funzione ( ) l equazione della generica linea di livello diventa n f ( ) n Si elevano entrambi i membri alla n e si ottiene ( ) f potenza) e adesso si ritorna ai casi studiati precedentemente. (attenzione, adesso è elevato ad una Cenni alle linee di livello di funzioni algebriche razionali fratte Funzioni razionali fratte con numeratore e denominatore di primo grado: La generica linea di livello di quota sarà data dalla equazione fratta a b c a b c a b c z a b c che può essere scritta in forma intera: ( a b c ) a b c (il denominatore sarà già stato posto nel domino). Al variare di otteniamo un fascio di rette. Le due rette a b c e a b c che identificano il fascio sono dette generatrici. La generatrice che è moltiplicata per sarà una retta esclusa dal fascio (vedi dominio e comunque non può essere ottenuta per alcun valore di ). Se un punto P del dominio tende ad un punto di questa retta allora la funzione tende all infinito. Teoricamente si dice che quella è la linea di livello. Al variare della quota otteniamo quindi un fascio di rette. Abbiamo due casi: le generatrici si intersecano e il punto di intersezione (che apparterrà a tutte le rette del fascio) è detto punto base o centro del fascio, oppure le generatrici sono parallele (non ci sono punti base). Il fascio è proprio nel un caso in cui tutte le rette passano per il punto base, hanno diverso coefficiente angolare e diversa ordinata all origine (sono espressioni in funzione di ). Il fascio è improprio nel caso in cui le generatrici sono parallele (non ci sono punti base) e differiscono solo per l ordinata all origine. Funzioni razionali fratte con numeratore e denominatore di primo grado non possiedono massimi e minimi. Esempio : 5 z 4 6 7

18 D {( ) RR 4 6 } equazione della generica linea di livello ( 4 6 ) 5 fascio di rette di generatrici 5 e 4 6 ( 4) ( 6) 5 In questo caso le generatrici sono tra loro parallele quindi le rette del fascio non si intersecano e non ci sono punti base. Abbiamo perciò un fascio improprio di rette tutte con lo stesso coefficiente angolare ( m ) NB: per non esiste la linea di livello perché risulta impossibile l equazione relativa. Esempio : z D {( ) RR } ( ) equazione della generica linea di livello fascio di rette di generatrici e ( ) ( ) Calcolo punti base (intersezioni): C( ) centro del fascio. Abbiamo perciò un fascio proprio di rette con cen- In questo caso le generatrici si intersecano nel punto ( ) tro C( ). ( ) 8

19 9 Funzioni razionali intere con numeratore e denominatore al massimo di secondo grado: f e d c b a f e d c b a z Una generica linea di livello di quota sarà data dalla equazione fratta: f e d c b a f e d c b a Che può essere ridotta in forma intera: ( ) f e d c b a f e d c b a. Nei casi da noi trattati, al variare della quota otteniamo semplici fasci di coniche. Tale fascio avrà due generatrici (rappresentate da numeratore e denominatore), potrà avere o non avere punti base (punti di intersezione comuni a tutte le coniche del fascio) e potrà avere o non avere coniche degeneri. Gli eventuali punti base si determinano come intersezione tra le generatrici. La conica moltiplicata per sarà esclusa dal fascio, perché non si otterrà per alcun valore di ( ). L andamento delle linee di livello, spesso, permette di stabilire se esistono massimi o minimi della funzione. Esempio : fasci di parabole z } RR ) {( D equazione della generica linea di livello ( ) fascio di parabole di generatrici () e ( ) la cui equazione in forma più comoda per essere studiato è ( ) ( ) Calcolo punti base (intersezioni): 4 9 ( ) P 4 9 P Caratteristiche: - Per si ha una conica degenere formata dalla retta - Per si ha una conica degenere formata da una coppia di rette ( e ) - Per e si ha un fascio di parabole di equazione con a, b e c, tutte passanti per l origine - Per < o > le parabole sono concave verso l alto

20 - Per < < le parabole sono concave verso il basso Rappresentiamo alcune coniche: ( ) ( ) ( ) ( ) conica degenere ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) conica degenere formata da due rette e Esempi sui fasci di circonferenze Nei fasci di circonferenze abbiamo un asse centrale e un asse radicale. L asse centrale è la retta che passa per i centri delle circonferenze (se non sono tutte concentriche) e l asse radicale è la retta che rappresenta la conica degenere e passa per i punti base (quando le generatrici si intersecano). La formula del raggio al variare di deve avere sempre il radicando non negativo. In particolare quando il radicando è nullo sia ha una conica degenere (un punto). Esempio 4: z D {( ) RR } ( 8 4) fascio di circonferenze di generatrici: 4 ( ) la cui equazione in forma più comoda per essere studiato è Calcolo punti base (intersezioni): equazione della generica linea di livello () e 8 4 ( ) ( ) non ci sono intersezioni

21 Caratteristiche: - Per - Per si ha una conica degenere formata dalla retta si ha un fascio di circonferenze di equazione a, b e c Le circonferenze hanno centro C e raggio con r. ( ) - Il radicando è non negativo solo se In particolare per 8 8 il raggio diventa nullo e le circonferenze degenerano in un punto (osservando le linee di livello si deduce che il primo valore corrisponde a un massimo e l altro è un minimo) Rappresentiamo alcune linee di livello: ( ) ( ) conica degenere (anche asse radicale) ( ) ( ) ( ) ( ) Esempio sul fascio di ellissi Esempio 5: z 4 4 D {( ) RR 4 4 }

22 4 4 ( 4 4) equazione della generica linea di livello fascio di ellissi di generatrici ( 4) ( ) 4 e 4 4 Calcolo punti base (intersezioni): 4 4 non ci sono intersezioni ( 4 4) ( 4) ( 4 4) ( 4 4) Conica degenere per /4 (l elisse si riduce in un punto, l origine degli assi). Esempio sul fascio di iperboli Esempio 6: z 4 4 D {( ) RR ( 4 4) 4 } equazione della generica linea di livello fascio di iperboli di generatrici ( 4) ( ) 4 e 4 4 Calcolo punti base (intersezioni): 4 4 non ci sono intersezioni

23 4 4 LIMITI E CONTINUITÀ Intorno circolare aperto Si chiama intorno circolare aperto di centro ( ) P e raggio r un cerchio privo di circonferenza che ha centro r. P e raggio r. La formula che definisce tale cerchio è ( ) ( ) Intorno di infinito ( ) < Si chiama intorno di l insieme di tutti i punti del piano cartesiano esterni ad un qualunque intorno circolare aperto con centro nell origine e raggio a piacere. NB. Sul piano cartesiano non esiste infinito o infinito come sulla retta orientata, ma solo infinito (senza segno). Punto interno P si dice interno all insieme A di coppie ordinate di numeri reali se esiste almeno un intorno circolare aperto di centro P sottoinsieme di A. Un punto ( ) Punto esterno P si dice esterno all insieme A di coppie ordinate di numeri reali se esiste almeno un intorno circolare aperto di centro P disgiunto da A (l intersezione tra A e l intorno è vuota). Un punto ( ) Punto frontiera P si dice frontiera per l insieme A di coppie ordinate di numeri reali se qualsiasi intorno circolare aperto di centro P contiene sia punti appartenenti all insieme A che non appartenenti. Un punto ( ) Punto di accumulazione P si dice di accumulazione per l insieme A di coppie ordinate di numeri reali se qualsiasi intorno circolare aperto di centro P contiene almeno un punto appartenente all insieme A diverso da P. Un punto ( ) NB. Se esiste un punto diverso da P appartenente sia all intorno che all insieme A allora ne esistono infiniti. Questa caratteristica (esistono infiniti punti di A in un intorno di P ) è una condizione necessaria per il calcolo del limite quando P tende a P. In altre parole quando calcolo il limite della funzione per P che tende a P, il punto P deve essere di accumulazione per il dominio. Punto isolato P appartenente all insieme A di coppie ordinate di numeri reali si dice isolato se non è di accumulazione per l insieme A. Un punto ( ) Limiti l Limite per P che tende ad un valore finito: lim f ( P) P P lim f ( ) ( ) ( ) ±

24 Limite per P che tende ad un valore infinito: f ( P) lim lim P ( ) f ( ) l ± Definizioni dei vari limiti: lim f ( P) l P P Il I P IP D \{P } f (P) I l P (dove I l è un intervallo aperto sull asse z e I P è un intorno circolare aperto sul piano ( )) f ( P) lim P I I P I D f (P) I Osservazione (dove I è un intervallo sull asse z illimitato a sinistra e I è un intorno di, cioè tutti i punti del piano ( ) esterni a un intorno circolare aperto con centro nell origine) Quando si calcola il limite per P P si deve immaginare che il punto P si può avvicinare a P seguendo infiniti percorsi diversi e qualunque sia questo percorso si deve osservare che la funzione assume valori sempre più prossimi al valore l del limite. Continuità La funzione z f ( ) si dice continua in un punto ( ) P P di ( P) in quel punto esiste ed è finito il limite per esiste la funzione in Po i due valori coincidono. In modo sintetico, deve essere: lim f ( P) f ( P ) P P P di accumulazione per il dominio se f, Sono continue nel loro dominio tutte le funzioni algebriche e trascendenti. NB. Nelle funzioni in due variabili, a differenza di quanto accadeva per quelle in una variabile, i concetti di continuità e derivabilità sono indipendenti (una funzione in una variabile, se derivabile è anche continua, ma non viceversa). Cioè esistono funzioni continue ma non derivabili e derivabili ma non continue (come si vedrà dopo aver definito le derivate). DERIVATE E PUNTI ESTREMANTI LIBERI 4

25 Funzioni subordinate Data la funzione z f ( ) per ogni punto ( ) P appartenente al dominio si possono definire due funzioni dette subordinate, una indicata con z nella sola variabile ottenuta sostituendo a nella funzione data e l altra indicata con z nella sola variabile ottenuta sostituendo a nella funzione data. NB. le funzioni subordinate sono le sezioni ottenute dalla funzione data mediante intersezioni con piani paralleli ai piani coordinati ( z e z). Sezionando con piani paralleli a z ottengo z, sezionando con piani paralleli a z ottengo z. Derivate parziali Una funzione in due variabili possiede due derivate parziali del primo ordine definite attraverso le funzioni subordinate. Si chiama derivata parziale rispetto alla variabile di una funzione z f ( ) in un punto P ( ) interno al dominio la derivata della funzione subordinata z f ( ) in quel punto. Cioè la derivata parziale ( P ) parole la derivata parziale ( P ) z ( P f ( ) ( ) ) lim f z è il limite del rapporto incrementale della funzione subordinata z in P in altre z è la derivata della subordinata f ( ) z in quel punto. Si chiama derivata parziale rispetto alla variabile di una funzione z f ( ) in un punto ( ) dominio la derivata della funzione subordinata z f ( ) in quel punto. z ( P f ) ( ) ( ) f lim P interno al La derivata di z ( P ) è il limite del rapporto incrementale della funzione z in P in altre parole la derivata parziale z ( P ) è la derivata della subordinata z f ( ) in quel punto. Schema sulle derivate del primo e del secondo ordine Le derivate del primo ordine sono due, quelle del secondo ordine sono 4, quelle del terzo sono. z z z z z z z derivate miste del secondo ordine 5

26 Teorema di Schwarz In un punto P ( ) interno al dominio della funzione f ( ) z le derivate miste del secondo ordine coinci- dono se valgono le seguenti ipotesi: - la funzione è derivabile almeno fino al secondo ordine in un intorno circolare aperto di centro P - le derivate miste sono continue in P NB. Per il calcolo delle derivate parziali di una funzione in due variabili si utilizzano i teoremi già studiati per le funzioni in una variabile, con la seguente avvertenza: quando si deriva rispetto ad la variabile è considerata una costante (come un numero) e viceversa quando si deriva rispetto ad è la variabile che deve essere considerata costante. Esempi. Le derivate del primo ordine di z 4 5 sono rispettivamente: z 8 5 e z 6. Punto stazionario Un punto P ( ) interno al dominio della funzione f ( ) funzione è derivabile e le derivate del primo ordine si annullano. Per determinare i punti stazionari di una funzione si deve risolvere il sistema e controllare che i punti trovati siano interni al dominio. Massimo relativo z z z si dice punto stazionario se in quel punto la Un punto P ( ) interno al dominio della funzione f ( ) P si ha ( P) f ( ) z si dice massimo relativo se per qualsiasi P appartenente ad un opportuno intorno circolare aperto di Minimo relativo f. Un punto P ( ) interno al dominio della funzione f ( ) P si ha ( P) f ( ) z si dice minimo relativo se per qualsiasi P appartenente ad un opportuno intorno circolare aperto di Massimo assoluto P f. Un punto P ( ) appartenente al dominio della funzione f ( ) P appartenente al dominio f ( P) f ( ). Minimo assoluto Un punto P ( ) appartenente al dominio della funzione f ( ) P appartenente al dominio f ( P) f ( ). Punto di sella P P P z si dice massimo assoluto se per qualsiasi z si dice minimo assoluto se per qualsiasi Un punto P ( ) interno al dominio della funzione f ( ) P esistono punti P tali che f ( P) f ( ) e punti P tali che ( P) f ( ) z si dice punto di sella se in qualsiasi intorno circolare aperto di P f. P 6

27 Hessiano Si chiama Hessiano della funzione z f ( ) in un punto ( ) P interno al dominio, supponendo che in P la funzione sia derivabile almeno fino al secondo ordine e che le derivate siano continue, il determinante della matrice: z z ( P ) z ( P ) ( P ) z ( P ) Cioè: H ( P ) Det z z ( P ) z ( P ) ( ) ( ) P z P. Teorema (condizione necessaria dei massimi e dei minimi) Condizione necessaria affinché in un punto P ( ) interno al dominio della funzione z f ( ), nel quale la funzione è derivabile, sia un massimo o un minimo relativo è che quel punto sia stazionario (cioè le derivate del primo ordine siano entrambe nulle). NB. Se P è un punto stazionario allora P non è necessariamente un massimo o un minimo relativo Viceversa se P è un massimo o un minimo relativo e la funzione è derivabile in quel punto P è un punto stazionario. Il teorema seguente definisce tutti i casi possibili. Teorema sulla classificazione dei punti stazionari (condizione sufficiente per l esistenza dei massimi e dei minimi relativi) Se P ( ) è un punto stazionario per la funzione f ( ) z, se in un opportuno intorno di P la funzione è derivabile almeno fino al secondo ordine e se in tale intorno le derivate (prime e seconde) sono continue (ipotesi nelle quali vale certamente il teorema di Schwarz, essendo ancora più restrittive) allora: a. Se H(P ) > e z (P ) > P è un minimo relativo per la funzione b. Se H(P ) > e z (P ) < P è un massimo relativo per la funzione c. Se H(P ) < P è un punto di sella per la funzione d. Se H(P ) P è un caso dubbio cioè le informazioni in nostro possesso non ci permettono di classificare il punto stazionario P. Per scoprire la natura di questo punto occorre utilizzare altri strumenti quali, ad esempio, le linee di livello. MASSIMI E MINIMI VINCOLATI Quando si devono determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione sottoposta a dei vincoli si parla di massimi e minimi vincolati. I vincoli possono essere espressi da equazioni e da disequazioni. Affrontiamo il caso in cui il vincolo sia un equazione (in due variabili). Si considerano due funzioni in due variabili, definite sullo stesso dominio: 7

28 z f z g ( ) ( ) con lo stesso dominio Anziché studiare la funzione f() nell intero dominio, si restringe il campo di variabilità al sottoinsieme formato dai soli punti che annullano la funzione g(), cioè si considera come nuovo dominio della funzione l insieme dei punti del dominio di f() che soddisfano anche l equazione ( ) Massimo relativo vincolato g. Un punto P ( ) interno al dominio della funzione z f ( ) e che soddisfa il vincolo ( ) g si dice massimo relativo vincolato se per qualsiasi P appartenente ad un opportuno intorno circolare aperto di P e che soddisfa il vincolo g ( ) si ha f ( P) f ( P ). Minimo relativo vincolato Un punto P ( ) interno al dominio della funzione z f ( ) e che soddisfa il vincolo ( ) g si dice minimo relativo vincolato se per qualsiasi P appartenente ad un opportuno intorno circolare aperto di P e che soddisfa il vincolo g ( ) si ha ( P) f ( ) Massimo assoluto vincolato f. P Un punto P ( ) appartenente al dominio della funzione z f ( ) e che soddisfa il vincolo ( ) dice massimo assoluto vincolato se per qualsiasi P appartenente al dominio e che soddisfa il vincolo ( ) ha f ( P) f ( ). P Minimo assoluto vincolato g si g si Un punto P ( ) appartenente al dominio della funzione z f ( ) e che soddisfa il vincolo ( ) dice minimo assoluto vincolato se per qualsiasi P appartenente al dominio e che soddisfa il vincolo ( ) ha f ( P) f ( ). P g si g si I metodi utilizzati per trovare i massimi e i minimi vincolati (relativi e assoluti), quando il vincolo è espresso da un equazione, sono: metodo elementare (si può applicare quando il vincolo è esplicitabile rispetto ad almeno una variabile) metodo geometrico (sfrutta una proprietà delle linee di livello) metodo del moltiplicatore di Lagrange (metodo algebrico applicabile sotto certe condizioni) Massimi e minimi vincolati: metodo elementare Data la funzione z f ( ) rispetto ad una delle due variabili:, allora i punti di massimo e di minimo vincolati di ( ) soggetta ad un vincolo g(),che supponiamo possa essere scritto in forma esplicita f si determinano individuando i punti di massimo e di minimo liberi (relativi o assoluti) della funzione di una sola variabile che si ottiene sostituendo alla funzione data la espressione ottenuta esplicitando il vincolo (rispetto a o ad ). NB. Questo metodo può essere applicato solo quando si può esplicitare la o la nel vincolo, cioè il vincolo può essere scritto nella forma h( ) o ( ). 8

29 Per trovare i punti di massimo e di minimo relativi liberi della funzione in una sol,a variabile ottenuta con la sostituzione, si procede come nelle funzioni in una variabile calcolando la derivata e i punti stazionari (ponendola uguale a zero). Successivamente si pone la derivata maggiore di per studiare la monotonia e classificare i punti stazionari trovati. Esempio: z di dominio DRR, con il vincolo 9 (già esplicitato rispetto ad ). Sostituiamo nella funzione data l espressione del vincolo: z ( 9 ) 9 Calcoliamo la derivata della funzione in una sola variabile z 9 : 6 8 Troviamo i punti stazionari della funzione: 6 8 Classifichiamo i punti trovati: z 6 8 > ] [ ] [ S - M m è un punto di massimo relativo e il valore corrispondente di ( ) 5 è un punto di minimo relativo e il valore corrispondente di ( ) 4 La funzione data possiede quindi un punto di massimo vincolato in A (,5 ) ed un punto di minimo vincolato in B (,). Tali massimi e minimi sono relativi (la funzione assume anche valori più grandi e valori più piccoli, rispettivamente di 5 e 4). Massimi e minimi vincolati: metodo geometrico (o delle linee di livello) Questo metodo si basa su una proprietà delle linee di livello: se ( ) P è un massimo o un minimo vincolato allora esiste una linea di livello tangente la curva del vincolo in quel punto. Per comprendere quanto affermato è sufficiente un esempio: se le linee di livello sono un fascio di circonferenze concentriche e il vincolo è rappresentato da una retta (non passante per il centro del fascio), ci saranno infinite linee di livello esterne alla retta, infinite linee secanti e una tangente (in altri casi potrebbero essere anche più di una le linee di livello tangenti al vincolo). A seconda dell andamento delle linee di livello quel punto di tangenza sarà un massimo oppure un minimo (vedere esem- pio sotto). o o o 9

30 Data la funzione z f ( ) ed un vincolo g ( ), i punti di massimo o di minimo della funzione sottoposta al vincolo sono dati dai punti di tangenza delle linee di livello della funzione data con il grafico del vincolo. La prima cosa da fare è trovare il valore di corrispondente alla linea di livello tangente il vincolo. Impostando il sistema f g (, ) ( ) si trova il valore di della linea di livello tangente e successivamente le coordinate del punto di tangenza che sarà poi il massimo o il minimo vincolato della funzione. N.B. Questo metodo, anche se applicabile in generale, presenta delle difficoltà dal punto di vista risolutivo. Il problema è di facile soluzione quando il sistema è di secondo grado (una equazione di secondo e una di primo) o riconducibile ad un sistema di secondo grado. Questa situazione si è già incontrata in terza studiando le rette tangenti ad una conica. Esempio: 4 9 con il vincolo z Le linee di livello della funzione data hanno equazione 4 9 e rappresentano un fascio di ellissi, mentre il vincolo è lineare (graficamente una retta). Ricerchiamo il valore di relativo all ellisse che ammette la retta del vincolo come retta tangente. Per farlo impostiamo il sistema: Sostituiamo nella prima equazione la ricavata dall equazione del vincolo, ottenendo: questa equazione è chiamata risolvente La linea di livello sarà secante se l equazione risolvente avrà due soluzioni reali distinte ( > ), la linea di livello sarà esterna se l equazione risolvente non avrà soluzioni reali ( < ), la linea sarà tangente se l equazione risolvente avrà due soluzioni reali coincidenti ( ). Applicando la condizione di tangenza: (che vale solo per i sistemi di secondo grado o riconducibili al secondo) troviamo i valori di per i quali si hanno le linee di livello tangenti al vincolo 96 6(9 ) 96 6(9 ) 9 Il punto di tangenza è la soluzione del sistema:

31 4 9 9 cioè il punto 9 P Dallo studio delle linee di livello si ricava che il punto funzione in quel punto vale 9. 9 P è un minimo relativo (e assoluto) vincolato e la N.B. Esiste un metodo alternativo per capire se il punto trovato è un massimo o un minimo, senza studiare le linee di livello. Si sceglie un valore di maggiore di quello trovato, se il sistema tra il vincolo e la linea di livello scelta è impossibile allora il punto trovato è un massimo, viceversa è un minimo. Massimi e minimi vincolati: metodo del moltiplicatore di Lagrange Il metodo prevede la costruzione di una funzione in tre variabili, detta funzione di Lagrange o lagrangiana. Se z f() è la funzione e g() il vincolo, allora la funzione di Lagrange è così definita: ( ) f ( ) g( ) L con R funzione Lagrangiana moltiplicatore di Lagrange (lambda) Si dimostra che i punti di massimo o di minimo vincolati della funzione f (, ) coincidono con i massimi ed i minimi liberi di L (,) tre variabili.. Il problema diventa, quindi, quello di determinare i massimi ed i minimi liberi di una funzione di Se la funzione L ha punti di massimo o di minimo relativi allora in tali punti si ha che (condizione necessaria affinché si abbia un massimo o un minimo):

32 ( ) ( ) ( ) L L L I punti le cui coordinate soddisfano il sistema si dicono punti stazionari di L. NB. ( ) L coincide sempre con il vincolo ( ) g. Hessiano orlato Si chiama hessiano orlato della funzione L in un punto ( ) P interno al dominio, supponendo che le funzioni f e g siano derivabili almeno fino al secondo ordine e con derivate continue, il determinante della matrice : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L g L L g g g Cioè: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det L L g L L g g g P H Teorema sulla classificazione dei punti stazionari della funzione di Lagrange Questo teorema richiede: che le funzioni f e g siano derivabili almeno fino al secondo ordine nei punti interni al loro dominio comune, che le derivate siano continue, che in un opportuno sottoinsieme del dominio le derivate prime della funzione g non si annullino contemporaneamente. Sotto queste condizioni, se ( ) P è un punto stazionario per la funzione L allora: a. Se ) ( > H P è un massimo relativo libero per la funzione L e quindi la funzione f ha un massimo relativo vincolato nel punto ) ( b. Se ) ( < H P è un minimo relativo libero per la funzione L e quindi la funzione f ha un minimo relativo vincolato nel punto ) ( c. Se ) ( H P è un caso dubbio (è necessario studiare la funzione in un intorno di P o analizzare le linee di livello). In questo caso il punto potrebbe essere anche di sella. Esempio: z con il vincolo 5 4 Scriviamo la funzione di Lagrange: ( ) ( ) ( ) ( ) ,, L Calcoliamo le derivate parziali di L rispetto alle tre variabili e risolviamo il sistema che si ottiene ponendole uguali a zero:

33 Il sistema ha come soluzione le terne di valori: I punti stazionari, quindi, sono: Determiniamo ora l hessiano orlato: A,, e B 6,, g 4 g L L L L H (,, ) det 4 ( )( 4) ( )( ) 4 [ ] ( ) ( 4) ( ) Calcoliamo ora l hessiano nei punti stazionari trovati: H ( A) 8 < A,, è un minimo relativo libero per la funzione di Lagrange e A (, ) minimo relativo vincolato per la funzione f ( ) 6,, f. H ( B) 8 > B è un massimo relativo libero per la funzione di Lagrange e ( 6,) relativo vincolato per la funzione ( ) è un B è un massimo