Esercizi di Analisi Matematica 1 utili per la preparazione all esame scritto. File con soluzioni.

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1 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio Es. Esercizi di Aalisi Matematica utili per la preparazioe all esame scritto. File co soluzioi. a b Figura a 3 b Figura 3 4 a b Figura

2 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio Successioe a della figura. La successioe è limitata i quato ima [,/]; o è mootoa, ma oscillate; è covergete e lim a =. Successioe b della figura. La successioe è limitata i quato ima (,]; è mootoa decrescete; è covergete e lim a =. Successioe a della figura. La successioe è limitata i quato ima [ 5, ); è mootoa crescete; è covergete e lim a =. Successioe b della figura. La successioe è limitata i quato ima [,/); è mootoa decrescete defiitivamete, ovvero per 3; è covergete e lim a =. Successioe a della figura 3. La successioe o è limitata i quato ima [,+ ); è mootoa crescete; è divergete e lim a = +. Successioe b della figura 3. La successioe è limitata i quato ima ( 4,4); o è mootoa, ma oscillate; è idetermiata. Es. a) a = 4 log [ta ( π )], Z + è mootoa crescete, divergete, o limitata. lim a = +. if a = mi a = ( )) π (ta 4 log, supa = +. 5 b) a = cos(π) + si ( 4 π ), N o è mootoa, ma oscillate, idetermiata, limitata. if a =, supa = max a = 3. c) a = ( ) [log(3) log( + 3)], Z + o è mootoa, ma oscillate, idetermiata, limitata. if a = log(3), supa = log(3). d) a = ( ) e +, Z + o è mootoa, ma oscillate, idetermiata, limitata. if a = mia = e 3, supa = max a = e. e) a = + 8, N è mootoa crescete, divergete, limitata iferiormete, ma o limitata superiormete. lim a = +. if a = mi a = 8, supa = +. f) a = cos ( arcta ( + + )), N

3 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 3 è mootoa decrescete, covergete, limitata. max a = /. g) a = + +, N è mootoa decrescete, covergete, limitata. max a =. lim a =. if a =, supa = lim a =. if a =, supa = h) a = arcta( ), N + è mootoa decrescete, covergete, limitata. lim a = π/. if a = π/, supa = max a = π/4. i) a = arcta(( ) ), N + o è mootoa, ma oscillate, idetermiata, limitata. if a = π/, supa = π/. j) a = si(e ) +, N o è mootoa, ma oscillate, idetermiata, limitata. if a =, supa = 3. k) a = log(3 ), N è mootoa decrescete defiitivamete, ovvero per ; è covergete e lim a =, limitata. if a = mi a =, supa = max a = log(3)/. Es. 3 Calcolare i segueti limiti di successioe:! a) lim + ( + ) + 7 log = e ( + ) + b) lim + si π = π (3 + e). + 5! 4 log 4 log( + ) c) lim si + 5 si = 7 log 5 log 3 d) lim = log 5 3 ( + ). e) lim + f) lim + si(! + ) si 3si log( ) log( + 3) + si() =. ) log ( si g) lim + log() =. ( log + ) = 3. ()! h) lim = + [sugg. utilizzare il primo teorema del cofroto] + (4 + si )!

4 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 4 i) lim + ( ) ( e 3 + e si )! + 4 =. 3 + log( 3 + ) j) lim + log(( + 3)!) log(!) = 3 Es. 4 Calcolare i segueti limiti di successioe al variare di α R: ( + ) (3arcta( ) + α ) a) lim + 7 Se α = /, l = 3π/ + ; se α > /, l = + ; se α < /, l = 3π/. ( + 3log ) α b) lim Se α = 3, l = /4; se α > 3, l = + ; se α < 3, l =. log + ( 3 c) lim ) + 5 α + arcta( ). Se α =, l = (log )/5; se α <, l = + ; se α >, l =. ( ) cos 7 d) lim + α α R, l =. ( e) lim [si 8 )] + α + cos. Se α = 3, l = 9; se α > 3, l = + ; se α < 3, l =. Es. 5 Per ciascua delle segueti fuzioi reali f : R R: - determiare il domiio di f ed evetuali simmetrie; - determiare evetuali asitoti per f e classificarli; - discutere la cotiuità di f sul suo domiio. a) { arcta(x log(3 x )) se x se x =. domf = R, f dispari per x. y = π/ asitoto orizzotale destro. y = π/ asitoto orizzotale siistro. f è cotiua i R \ {}. x = è u puto di discotiuità, i particolare è u puto di discotiuità elimiabile. b) e x + x. e domf = R, f o preseta simmetrie. y = e (x + e ) è asitoto obliquo completo. f è cotiua i tutto il suo domiio.

5 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 5 c) 3 x 3 x. domf = R, f o preseta simmetrie. y = x + 3 fuzioe è cotiua i tutto il suo domiio. è asitoto obliquo completo. La d) (x + 7)log (x + 7). domf = {x R : x > 7}, f o preseta simmetrie. f o preseta asitoti. La fuzioe è cotiua i tutto il suo domiio. e) x 4 log x x. domf = (,) (,+ ). f o preseta simmetrie. y = x/ è asitoto obliquo completo. x = è asitoto verticale siistro, x = è asitoto verticale destro. La fuzioe è cotiua i tutto il suo domiio. ( x 4 x f) arcsi + ) x domf = [, ) (, ]. f è dispari. x = è asitoto verticale. La fuzioe è cotiua i tutto il suo domiio. g) log x domf = R \ {,,}. f o preseta simmetrie rispetto agli assi cartesiai. x = e x = soo asitoti verticali. La fuzioe è cotiua el suo domiio. h) 3 x(x ) domf = R. f o preseta simmetrie. La retta y = x 4/3 è asitoto obliquo. f è cotiua sul suo domiio. i) (log( x + )) 9 domf = (, e 3 ] [ + e 3,+ ). f è pari. No esistoo asitoti. f è cotiua su tutto il suo domiio. j) ( 3x ) + arcta x π se x se x = domf = R. f o preseta simmetrie. La retta y = π/ è asitoto orizzotale destro, la retta y = π/ è asitoto orizzotale siistro. f è cotiua da siistra i x =, ma discotiua da destra i x =. x = è puto di salto. k) e /x domf = R \ {}. f è pari. La retta y = è asitoto orizzotale completo. f è cotiua sul suo domiio. Es. 6 Discutere la cotiuità di ciascua delle segueti fuzioi f : R R sul proprio domiio.

6 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 6 a) b) x 7 3 x + arcta x + 7 x 7 se x 7 se x < 7 f è cotiua i R \ {7}. f è cotiua da destra i x = 7 e f(7) =, metre lim x 7 π/, ovvero f o è cotiua da siistra i x = 7. Il puto x = 7 è u puto di discotiuità di tipo salto. log( + (x ) ) cos(x + ) (x ) + (x ) (x + ) 3 se x ± se x = ± f è cotiua i R \ { }. Ifatti lim lim f() =, quidi f è cotiua x + x i x =. f o è cotiua i x =, i quato lim lim. Il puto x + x x = è u puto di ifiito. c) e x 3 se x e x 3 (x + )(x 3) se x = o x = 3 f è cotiua i R \ {,3}. f o è cotiua i x = : il puto x = è u puto di ifiito. f o è cotiua i x = 3: il puto x = 3 è u puto di discotiuità elimiabile. d) ( ) ( ) x exp si x se x ± se x = ± [dove exp(y) = e y ] f è cotiua i R \ {,}. f o è cotiua i x = : il puto x = è u puto di discotiuità di secoda specie. f o è cotiua i x = : il puto x = è u puto di discotiuità elimiabile. e) log x + 3 ex se x e x x se x = o x = f è cotiua i R \ {,}. f o è cotiua i x = : il puto x = è u puto di discotiuità elimiabile. f o è cotiua i x = : il puto x = è u puto di ifiito. Es. 7 Dire per quali valori del parametro α R ogua delle segueti fuzioi f : R R è cotiua i tutto il suo domiio.

7 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 7 a) b) cos(x ) x 4 se x + cos x α x 4 se x < I R \ {} f è cotiua α R, metre i x =, f è cotiua solo per α =. Se α si ha u puto di salto. ( + x) / x se x > α + 3x 3 x se x I R \ {} f è cotiua α R, metre i x =, f è cotiua solo per α = 6e. Se α 6e si ha u puto di salto. c) ( ) (x + )exp log(x + ) αx + log(x + 3) 5 se x > se 3 < x I domf \ { } f è cotiua α R, metre i x =, f è cotiua solo per α =. Se α si ha u puto di salto. Es. 8 Calcolare i segueti limiti di fuzioi: a) lim x π si x = : lim x π x π e si x b) lim = x ta x log( + log x) c) lim = x log x x 3 + x log(x) d) lim x + e x x + si(x) = six =, lim x π x π + six x π =. cos(x ) e) lim x (x ) si(x ) = ( ) log x arcta x f) lim = : x si((x )) ( ) ( ) log x arcta x lim = π log x arcta x si((x )) 4, lim x = π x + si((x )) 4.

8 Esercizi di Aalisi Matematica. Paola Gervasio 8 Es. 9 Sia a ua successioe ifiitesima, utilizzado alcui limiti fodametali per le fuzioi, calcolare i segueti limiti di successioe: e a a) lim = cos(a ) b) lim 3a 3 (a ) = si(a ) cos(a ) c) lim = d) lim a a si(a ) = e) lim ( + a ) /a = e e a f) lim 3si(a ) = 3