Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni. normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi

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1 Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni Problema1 x = y Dato il punto P(0,1,2), la retta r: y = z 2 ed il piano α: x 3y + z = 0 a) Trova il piano passante per P e perpendicolare a r b) Trova un piano passante per P e parallelo a r c) Trova il piano passante per P e parallelo ad α d) Trova un piano passante per P e ortogonale ad α Soluzione problema1 a) Esprimiamo la retta r in forma parametrica r: y = t z = 2 + t normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi il piano cercato dovrà avere vettore 1(x-0)+1(y-1)+1(z-2)=0 x+y+z-3=0 b) I piani cercati sono infiniti, dobbiamo trovarne uno di questi. Se tale piano deve essere parallelo alla retta r allora i vettori direzionale della retta e nomale del piano che stiamo cercando devono essere perpendicolari. Basta quindi prendere un vettore perpendicolare al vettore direzionale della retta: (1,1,1). Ad esempio (1,-1,0). Un piano cercato sarà quindi 1(x-0)-(y-1)=0 x-y+1=0 c) Tale piano deve avere lo stesso vettore normale del piano α e deve passare per P 1(x-0)-3(y-1)+1(z-2)=0 x-3y+z+1=0 d) Ragioniamo come per il punto b) cerchiamo un vettore perpendicolare al vettore normale di α che è ad esempio (1,0,-1). Quindi il piano sarà 1(x-0)+1(y-1)-(z-2)=0 x+y-z+1=0 Problema2 x = 3t Dato il punto P=(0,1,2) e la retta r: y = 2 + t z = 1 t a) Trova la retta passante per P e parallela a r b) Trova una retta passante per P e perpendicolare a r c) Trova la retta passante per P, perpendicolare e incidente a r Soluzione problema2 x = 3t a) Tale retta è y = 1 + t z = 2 t b) Prendiamo un vettore nomale al vettore direzionale di r, ad esempio (0,1,1). Quindi scriviamo la x = 0 retta y = 1 + t z = 2 + t c) Troviamo il piano che passa per P ed è perpendicolare a r: 3(x-0)+1(y-1)-(z-2)=0 3x+y-z+1=0 Troviamo il punto A di intersezione tra tale piano e la retta r: 3 (3t)-2+t-1+t+1=0 11t=2 t= 2 A=( 6, 20, 9 ) La retta cercata sarà la retta che passa per P e per A:

2 x = 0 + ( ) t y = 1 + ( ) t z = 2 + ( ) t x = 2 11 t y = t z = t Problema3 x + y = 0 Data la retta r: x ay z = 0 sul piano ed il piano α: x+4y+z=0, trova per quali valori del parametro a la retta giace Soluzioni problema3 Scriviamo la retta in forma parametrica y = t intersechiamo tale retta col piano α z = (1 + a)t t+4(-t)+(1+a)t=0 (a-3)t=0 il valore cercato è a = 3 perche per tale valore l equazione è indeterminata Problema4 Dati i punti A(0,1,0) B(2,1,1) e C(0,-1,2) dimostra che non sono allineati e trova il piano che li contiene Soluzione problema4 x = 2t Per verificare se sono allineati troviamo la retta AB: y = 1 e verifichiamo se i punto C le appartiene: z = t 0 = 2t 1 = 1 essendo il sistema impossibile, il punto C non appartiene alla retta AB e quindi i tre punti non 2 = t sono allineati. Per trovare il piano usiamo il metodo algebrico ax+by+cz+d=0 b + d = 0 b = d b = d 2a + b + c + d = 0 2a c = 0 a = d con d=-2 si ottiene il piano x+2y+2z-2=0 2 b + 2c + d = 0 d + c = 0 c = d Problema5 x = y Trova il piano che contiene il punto P(1,0,3) e la retta x = 2 z Soluzione problema5 Prendiamo due punti della retta ad esempio A(0,02) e B(1,1,1). Il piano cercato è il piano passante per A Be P: c = d 2c + d = 0 2 a + b + c + d = 0 b = 3 d 4 2a + 3c + d = 0 a = 1 d 4 con d=4 si ottiene il piano x-3y-2z+4=0 Problema6 x = 1 + t Date la retta r: y = 2 + t z = 1 t x y 3 = 0 a) Dimostra che r è coincidente con la retta s: x + z 2 = 0 x = 2t b) Dimostra che r è parallela alla retta s: y = 3 2t e trova il piano che le contiene e la distanza tra z = 1 + 2t esse

3 x = 3 + 2t c) Dimostra che è incidente alla retta s: y = 1 + t trova il punto di incidenza e il piano che le z = 1 2t contiene d) Dimostra che è sghemba alla retta s: y = 0 e trova la comune perpendicolare e la distanza tra esse z = 0 Soluzione problema6 a) Se interseco la retta r con i due piani che compongono la seconda retta ottengo 1 + t + 2 t 3 = 0 che sono entrambe indeterminate. Quindi la retta r appartiene ad 1 + t + 1 t 2 = 0 entrambi i piani e quindi sono la stessa retta b) Il vettore direzionale di r è (1,1,-1), il vettore direzionale di s è (-2,-2,2). Essendo i due vettori paralleli le due rete sono parallele o coincidenti. Verifichiamo se la retta r passa per un punto di s: 0 = 1 + t 3 = 2 + t essendo il sistema impossibile le due rette non sono coincidenti. 1 = 1 t Per trovare la loro distanza possiamo intersecarle con un piano perpendicolare ad entrambe come ad esempio: x-y+z=0 che intersecato con r da 1+t+2-t+1-t=0 da cui t=4 e il punto è (5,2,-3) e intersecato con s da -2t-3+2t+1+2t=0 da cui t=1 e il punto è (-2,1,3) la distanza tra le due rette coincide con la distanza tra tali punti d= c) Per trovare il punto di incidenza si uguagliano le coordinate cambiando nome ad uno dei due parametri 1 + t = 3 + 2u u = t = 1 + u il punto di incidenza è quindi (1,-2,1) t = 0 1 t = 1 2u Per trovare il piano che le contiene facciamo il prodotto vettoriale tra i due vettori direzionali i j k v u = det ( 1 1 1) = ( 1,0, 1) Il piano cercato ha tale vettore normale e passa per il punto di intersezione delle due rette, quindi è: -1(x-1)-0(y+2)-(z-1)=0 x+z-2=0 d) I vettori direzionali delle due rette sono v =(1,1,-1) e u =(1,0,0) non sono proporzionali quindi le rette non sono parallele. Sono quindi o incidenti o sghembe. Vediamo se hanno punti in comune u = 1 + t 0 = 2 + t dato che il sistema è impossibile le rette non sono incidenti e quindi sono sghembe 0 = 1 t Per trovare la comune perpendicolare prendiamo il generico vettore che unisce il generico punto delle retta r al generico punto di s: generico punto di r: R=(1 + t, 2 + t, 1 t) generico punto di s: S=(u,0,0) generico vettore che unisce i punti di R ed S: R-S=(1+t-u,-2+t,1-t)

4 tale vettore deve essere contemporaneamente perpendicolare ad r e ad s quindi imponiamo che il prodotto scalare con i rispettivi vettori direzionali sia nullo: u (R S) = 0 v (R S) = t u = t u 2 + t 1 + t = 0 t = 1 + u I punti di minimo avvicinamento sono quindi Su r: A=(3/2,-1/2,1/2) e su s: B=(-1/2,0,0) u u = 0 t = x = t La retta che passa per essi è la comune perpendicolare y = t z = t 2 2 La distanza tra essi è la distanza tra le de rette sghembe 1 2 u = 1 2 D= = 9 2 Problema7 x + y 1 = 0 2x + y a = 0 Date le rette e trova per quale valore di a sono incidenti e per tali valori di x z = 0 x + z 2 = 0 a trova il piano che le contiene. Soluzione problema7 Mettiamo le rette in forma parametrica y = 1 t z = t e y = a 2t z = 2 t si cerca per quali valori di a le rette hanno un punto in comune t = u 1 t = a 2t t = 2 u t = u t = u da cui 1 u = a 2u u = a 1 u = 2 u u = 1 affinché sia compatibile deve essere a=2 Problema8 Dato il piano α:x-2y+z=0 ed il punto P(1,0,-1) ad esso appartenente x 2y + z = 0 a) Verifica che la retta r appartiene ad α e passa per il punto P x + z = 0 b) Trova una retta che appartiene al piano α ed è perpendicolare all asse x c) Trova la retta appartenente al piano α passante per P e parallela al piano 3x-z=0 Soluzione problema8 a) La retta passa per P perché P ne verifica le equazioni; inoltre la retta r è formata dal piano α quindi giace su esso b) Scegliamo un piano tangente all asse x come ad esempio x=0 e intersechiamo tale piano con il piano α x = 0 tale retta giace su l piano α ed è perpendicolare all asse x x 2y + z = 0 c) Cerco il piano parallelo a 3x-z=0 e passante per P: 3x-z+k=0 impostando il passaggio per il punto P 3+1+k=0 da cui k=-4 quindi il piano è quindi 3x-z-4=0. La retta cercata è quindi 3x z 4 = 0 x 2y + z = 0

5 Problema9 x 2y = 0 Dato il punto P(1,0,1) la retta r: ed il piano α: x-3y-z=0 z = 0 a) Trova la proiezione ortogonale di P su α b) Trova la proiezione ortogonale di P su r c) Trova la proiezione ortogonale di r su α Soluzione problema 9 x = 1 + t a) Cerchiamo la retta perpendicolare al piano α e passante per P: y = 3t z = 1 t retta col piano α e intersechiamo tale 1+t+9t-1+t=0 t = 0 il punto cercato è quindi (1,0,1) x = 2t b) Mettiamo r in forma parametrica y = t z = 0 Cerco il piano perpendicolare ad r e passante per P: 2(x-1)-3y=0 2x-3y-2=0 intersechiamo tale piano con la retta r: 4t-3t-2=0 t=2 il punto cercato è (4,2,0) c) Prendiamo due punti di r e proiettiamoli su α. Ad esempio A(0,0,0) (che giace su α) e B(2,1,0) le cui proiezioni su α sono: x = 2 + t y = 1 3t 2 + t 3 + 6t + t = 0 t = 1 8 B ( 17 8, 5 8, 1 8 ) z = t La retta cercata è la retta A B x = 17 8 t y = 5 8 t z = 1 8 t x = 17t che può essere scritta y = 5t z = t Problema10 x y = 0 Sulla retta r: z 3y + 1 = 0 Sia l origine degli assi trova un punto la cui proiezione ortogonale sulla retta s: x 2y = 0 z + x = 0 Soluzione problema10 Metto in forma parametrica la retta s: x = 2t y = t. Cerco il piano perpendicolare a s e passante per l origine z = 2t degli assi: 2x+y-2z=0 Il punto P cercato è dato dall intersezione tra la retta r e tale piano. Mettiamo la retta r in forma parametrica y = t z = 1 + 3t 2t + t + 2 6t = 0 t = 2 3 P(2 3, 2 3 1)

6 Problema11 x = y Trova la retta appartenente al piano α: x+2y+z=1 e perpendicolare e incidente alla retta r: x = z Soluzione problema11 Metto la retta in forma parametrica r: y = t che ha vettore direzionale v (1,1,1). La retta cercata ha il z = t vettore direzionale u perpendicolare a quello del piano e della retta, lo trovo facendo il loro prodotto vettoriale i j k u =det( 1 1 1)=(-1,0,1) Dovrà inoltre passare per il punto di intersezione tra r ed α: t+2t+t=1 t=1/4 P( 1, 1, 1 ) Quindi la retta cercata è: x = 1 t 4 y = 1 4 z = 1 + t 4 Problema12 Dati i piani x+2y-z+1=0 e 2x+4y-2z-2=0 verifica che sono paralleli e trova la distanza tra essi Soluzione problema12 Basta fare la distanza tra uno qualunque dei punti sul primo piano ed il secondo piano P(0,0,1) d= 2 = 2 = Problema13 x = y = 3y 2 Tra le rette incidenti le rette r: ed s:x z = 2 z + y = 0 a) Trova quella perpendicolare ad entrambe x = 3y b) Trova quella parallela alla retta h: z = x + 1 Soluzione problema 13 a) Mettiamo le rette in forma parametrica r: y = t z = 2 su r ed s x = 2 + 3u ed s: y = u z = u prendiamo i generici punti R(t,t,2) ed S=(-2+3u,u,-u). Considero il generico vettore congiungente le due rette R-S=(t-3u+2,t-u,2+u). trovo per quali u e t tale vettore è perpendicolare ad entrambe imponendo che il prodotto scalare con entrambe sia nullo 4 t 3u + t u = 0 t = 3(t 3u) + t u 2 u = 0 3 u = 2 i punti sono ( 4 3, 4 3, 2) e ( 4, 2 3, 2 3 ) 3 La retta cercata è quella passante per tali punti

7 x = 4 + ( 4 + 4) t 3 3 y = ( ) t z = 2 + ((2 2 3 ) t x = 3t b) Mettiamo la retta h in forma parametrica h: y = t z = 1 + 3t La retta h deve essere parallela al vettore R-S quindi k(3,1,3)=(t-3u+2,t-u,2+u) che porta al sistema 3k = t 3u = t u 3 = 2 + u R(2,2,2) S(1,1,-1) k = 1 3 che risolto da t = 2 u = 1 La retta cercata passa per tali punti x = 1 + t r: y = 1 + t z = 1 + 3t Quindi la retta cercata deve passare per i punti Problema14 Dati i punti nello spazio A(2,1,0) B(1,0,3) e C(0,1,1), a) Trova un quarto punto D che formi con A, B e C il vertici di un parallelogramma b) Trova l area del parallelogramma di lato AB e AC Soluzione problema14 a) Il quarto vertice si può ottenere imponendo che le diagonali di un parallelogramma si bisecano nel loro punto medio. Calcolo il punto medio di AB M=(3/2,1/2,3/2) tale punto deve essere anche punto medio di DC. Quindi D=2M-C=(3,1,4) b) Metodo1. Usando AB come base dobbiamo trovare l altezza relativa al lato AB: trovo il vettore A-B=(1,1,-3) trovo il piano normale ad A-B e passante per C: x+(y-1)-3(z-1)=0 x+y-3z+2=0 x = 2 + t trovo la retta AB y = 1 + t z = 3t trovo l intersezione H tre la retta AB ed il piano 2+t+1+t+9t+2=0 t=-5/11 H = ( 17, 6, 15 ) trovo l area del parallelogramma= AB CH = = Metodo2. L area per parallelogramma è data dal modulo del prodotto vettoriale dei vettori che formano due lati adiacenti: i j k (A B) (C B) = det ( 1 1 3) = (1,5,2) Area = (1,5,2) = 30 Problema15 Trova la retta r passante per il punto P(1,2,3) e parallela al vettore v = (0, 1,2). Determina poi i punti su essa che distano 1 da P.

8 Soluzione problema15 x = 1 Tale retta r è y = 2 t. Considero il generico punto su essa A=(1,2-t,3+2t). Impongo ora che la distanza z = 3 + 2t da P sia 1: PA=1 t 2 + 4t 2 = 1 t = ± 1 5. Quindi i punti cercati sono (1, 2 1 5, 3 ± 2 5 ) Problema16 Trova l equazione della sfera di centro (0,-1,2) e tangente al piano α: x + y + z = 0, trova quindi un piano parallelo ad α e anch esso tangente alla sfera Soluzione problema16 Per trovare il raggio della sfera calcolo la distanza tra il centro ed il piano tangente R = 1 3 quindi la sfera è: x2 + (y + 1) 2 + (z 2) 2 = 1 3 Per trovare l altro piano tangente parallelo ad α si cerca tra il fascio improprio di piani paralleli ad α quello che è posto ad una distanza pari al raggio: fascio improprio di piani paralleli ad α: x + y + z + k = k = k = 1 k = 0 k = 2 quindi il piano cercato è: x+y+z-2=0 Problema17 x + y = 0 Trova i punti di intersezione tra la retta r: 2x z = 0 tangente alla sfera in tali punti. e la sfera x2 + y 2 + z 2 4x = 0 e trova il piano Soluzione problema17 Esprimiamo la retta in forma parametrica: y = t z = 2t cerco i punti di intersezione tra la sfera e tale retta: t 2 + ( t) 2 + (4t) 2 4t = 0 t = 0 t = 2 9 A = (0,0,0) B = (2 9, 2 9, 4 9 ) Cerco il piano tangente in (0,0,0): il suo vettore normale sarà C-A dove C è il centro della sfera C-A=(2,0,0) quindi il primo piano è x = 0 C-B=(7/9,2/9,4/9) quindi il secondo piano è 7 9 (x 2 9 ) (y ) (z 4 9 ) = 0 Problema18 Data la circonferenza γ: x2 + y 2 + z 2 2x + 4y 2z = 0 x = y a) Trova il suo centro ed il suo raggio b) Trova la retta tangente a γ nell origine degli assi c) Trova la sfera che ha lo stesso centro e raggio di γ Soluzione problema18 Trovo il centro ed il raggio della sfera C(1, 2,1) R = 6 Trova la distanza centro-piano d= 3 2

9 x = 1 + t Trovo la retta r perpendicolare al piano e passante per C r: y = 2 t z = 1 Il raggio della circonferenza è = 3 2 Il centro A della circonferenza lo ottengo intersecando la retta r col piano: 1+t=-2-t t = 3 2 A = ( 1 2, 1 2, 1) Problema19 Trova l equazione della circonferenza di centro C(0,3,4) e raggio R=5 e giacente su un piano parallelo al piano xy. Soluzione problema19 Trovo la sfera di centro C(0,3,4) e raggio R=5: x 2 + (y 3) 2 + (z 4) 2 = 25. La circonferenza cercata sarà: x2 + (y 3) 2 + (z 4) 2 = 25 z = 0 Problema20 Trova la sfera tangente ai piani x+y+z+3=0 e x+y+z-3=0 ed avente centro sulla retta y = t z = t Soluzione problema20 Si osserva che i due piani sono paralleli. Il centro starà quindi nel punto medio delle intersezioni A e B tra la retta e i due piani ed il raggio sarà la semi-distanza tra i piani: cerco i due punti di intersezione: 3t + 3 = 0 t = 1 A = ( 1, 1, 1) 3t 3 = 0 t = 1 B = (1,1,1) Quindi il centro è (0,0,0) ed il raggio è R= 6 x 2 + y 2 + z 2 = 6

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