SIA DATO UN SOLENOIDE RETTILINEO DI LUNGHEZZA d, RAGGIO R e COSTITUITO DA N SPIRE.

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1 POBLEMA 11 SIA DATO UN SOLENOIDE ETTILINEO DI LUNGHEZZA, AGGIO e COSTITUITO DA N SPIE. A) DETEMINAE IL CAMPO MAGNETICO PODOTTO LUNGO L ASSE DEL SOLENOIDE. Un solenoie rettilineo è costituito a un filo conuttore a forma i elica cilinrica i piccolo passo, come mostrato in figura: L asse el solenoie è stato ientificato con l asse, lungo il quale vogliamo calcolare il campo magnetico prootto. Per ragioni i geometria, possiamo approssimare il solenoie con una successione i spire circolari i raggio, in ciascuna elle quali scorre una corrente i. Consieriamo inoltre la proiezione el solenoie su un piano passante lungo l asse. Ciascuna spira intercetterà questo piano in ue punti istanti 2: in un punto la corrente sarà entrante nel piano, nell altro uscente. Nella figura che segue è mostrata la proiezione el solenoie sul suetto piano: O

2 Il punto O in figura è il centro el solenoie sull asse. Introuciamo la ensità lineare n i spire, efinita come il numero i spire per unità lunghezza. Poiché lungo tutto il solenoie ci sono N spire, allora la ensità i spire n sarà: Vogliamo eterminare il campo magnetico in un punto generico ell asse. Dalla teoria è noto che ata una spira circolare attraversata a una corrente i e i raggio, il campo magnetico prootto in un punto P sull asse ella spira, istante r alla spira stessa, è pari a: (1) i r O u n P Il campo magnetico nei punti ell asse è iretto sempre parallelamente all asse. Poiché non cambia mai irezione, possiamo passare a una trattazione scalare el problema. Nel caso el solenoie, consieriamo un elemento infinitesimo i lunghezza el solenoie e un generico punto P sull asse. Vogliamo eterminare inizialmente il campo magnetico infinitesimo B prootto a nel punto P ell asse. All interno ell elemento i lunghezza ci sono n spire (in quanto n è la ensità lineare i spire) e in ciascuna elle quali scorre una corrente i: quini il campo magnetico B sarà pari a, utilizzano la (1): (2) In figura è mostrata la situazione creata:

3 r φ P O 0 Il campo magnetico nel punto P sarà la somma i tutti i contributi i tipo (2) ati a tutti gli elementi che compongono il solenoie, ovvero un integrazione. D altrone al variare i, varia anche r. Dobbiamo cercare i riconurre la (2) a un unica variabile, in moo a poter integrare più facilmente. Consieriamo il triangolo rettangolo i lati, r e. Dalla trigonometria è noto che: (3) e Differenziano ambo i membri i quest ultima, si ottiene (ricorano che ) (4) Insereno la (3) e la (4) nella (2), si ottiene: Siamo riusciti a ottenere un espressione per B che ipena a una sola variabile, l angolo φ. Per eterminare il campo magnetico B nel punto P, possiamo integrare l espressione appena trovata per B, tra l angolo φ 1 e l angolo φ 2. Qquesti ultimi, assieme all angolo φ 2 sono mostrati in figura:

4 φ 2 φ P 1 φ' 2 O 0 ( ) Dalla figura si evince che: e quini: ( ) Sostitueno nell espressione appena trovata per B si ha: ( ) (5) Cerchiamo ora i esprimere questo risultato in termini ella istanza i P a O. Detta la istanza i P a O, e consierano le notazioni introotte nella figura che segue: /2 r 1 φ P φ' 2 1 O 0 h 1

5 (6) Dalla figura si evince che: e usano il teorema i Pitagora: ( ) ( ) Insereno questi ultimi ue risultati nella (6) si ha: ( ) ( ) (7) Stesso iscorso per l angolo. Utilizzano la notazione introotta nella figura che segue: r 2 φ P φ' 2 1 O 0 /2 h 2 (8) Dalla figura si evince che: e usano il teorema i Pitagora: ( ) ( ) Insereno questi ultimi ue risultati nella (8) si ha:

6 ( ) ( ) (9) Inseriamo ora la (7) e la (9) nella (5). Si ottiene: ( ) ( ( ) ( ) ) Al centro el solenoie, ovvero quano = 0, il campo magnetico sarà: ( ) ( ) Se supponiamo che il solenoie siamo molto lungo e molto stretto, ovvero ci mettiamo nell approssimazione i >>, nell ultima espressione trovata possiamo trascurare al enominatore rispetto a (in quanto quest ultimo molto più grane) e si ottiene: ( ) In efinitiva, per un solenoie molto lungo e raggio molto piccolo, il campo magnetico al centro i esso è costante e ipene esclusivamente alla ensità n i spire e alla corrente i che l attraversa.