SOLUZIONI ESONERO DEL 1 APRILE 2015 Fisica per Ingegneria Gestionale A- L

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1 SOLUZIONI ESONERO DEL 1 APRILE 2015 Fisica per Ingegneria Gestionale A- L I valori numerici inseriti nei diversi compiti sono identificati dal pianeta denominato pianeta A nell esercizio 4. 1) Un aereo tocca terra a velocità scalare di 330 km/h. Il pilota si ricorda che nel viaggio di andata, prima del decollo, ci aveva messo 10 minuti a percorrere proprio quella pista alla velocità di 20 km/h. Quanto deve valere il modulo della accelerazione dopo l atterraggio per fermarsi esattamente alla fine della pista? Nel viaggio di andata: moto rettilineo uniforme Dx = V Dt = 20 km/h 10min = min = 3.34 km Nel viaggio di ritorno: moto uniformemente decelerato (modulo accelerazione a) v(t) = v0 at con v0 = 330 km/h = 91.7 m/s quindi se definisco t* come l istante di arresto v(t*)=0 si ha t* = v0 /a Dx = v0t* - ½ a(t*) 2 = v0 2 /a - ½ (v0 2 /a) = ½ (v0 2 /a) Modulo: v0 2 /2Dx = / = 1.26 m/s 2 (a negativa). 2) Cinque atleti si confrontano nella disciplina dei 100 metri piani. In un certo istante t 1 = 7.00 s nella parte finale della corsa, la velocità di tutti e cinque gli atleti è costante e pari a 8.00 m/s, ma a causa del differente scatto inziale, la posizione è differente, come indicato nella tabella. Improvvisamente, l atleta GER aumenta la sua velocità con accelerazione costante di 1.00 m/s 2, mentre gli altri continuano a correre a velocità costante. (a) Chi arriva primo? (b) Chi arriva secondo? (c) Qual è il tempo registrato dal cronometro d arrivo per i primi tre atleti? x m ITA m FRA m GER m RUS m USA Conviene calcolare lo spazio da percorrere per ciascun atleta e quindi il tempo che egli impiega, ed aggiungere 7.00s per calcolare il tempo totale. Calcoliamo solo ITA, GER e RUS. ITA RUS (Venere) GER Dx = x0 = 33.0m =23.0m =38.0m ttot = 7.0s + Dx/V =11.12s =9.88s (vedi sotto) =10.83 s Per l atleta GER abbiamo risolto l equazione di secondo grado per Dt: Dx = v0 Dt + ½ a Dt 2 ovvero ( ½ a) Dt 2 +( v0 ) Dt + (- Dx) = 0 Dt += (- v0 + ( v a Dx)) = (- 8+ ( )) = 3.83 s (la soluzione Dt < 0 non ha senso fisico) NOTA: per il compito Nettuno arriva prima GER, negli altri prima RUS (v. tabella) 3) L autista di un auto affronta una curva di raggio R=200m verso destra, premendo sull acceleratore. (a) Disegnare il suo vettore accelerazione. A metà della curva la velocità dell auto è 100 km/h e l auto esce di strada. (b) Da che lato della strada esce? (c) Quanto vale il coefficiente di attrito statico tra le gomme dell auto e la strada?

2 (b) esce a sinistra/esterno perché la forza d attrito statico (centripeta) non è più sufficiente per mantenere l accelerazione centripeta richiesta. (c) Al momento dell uscita di strada è stata raggiunto il valore massimo della forza di attrito statico F a e non può più essere data l accelerazione centripeta. 3 cifre significative. F a = - m v 2 /R µ s mg = - m v 2 /R µ s = v 2 /gr = (((100 km/h) / 3600)m/s) 2 / (9.81 m/s m) = ES2 X0_RUS(m) t_rus (s) ES 3 raggio mu_statico mercurio 79 9, ,328 venere 77 9, ,375 marte 75 10, ,437 giove 73 10, ,524 saturno 71 10, ,655 nettuno 69 10, ,874 4) Approssimiamo il moto dei pianeti intorno al Sole ad un moto circolare uniforme con il Sole nel centro del cerchio. Con i dati in tabella calcolare (a) la velocità angolare di Venere, chiamandolo pianeta A, in s - 1 e (b) il modulo della sua accelerazione centripeta. (c) Scegliere un altro pianeta B qualunque dalla tabella, calcolare il modulo della sua velocità scalare e dire se è maggiore o minore di quella del pianeta A. PIANETA RAGGIO dell ORBITA (m) PERIODO (giorni terrestri) Mercurio Venere Terra Marte Giove Saturno Nettuno (a) la velocità angolare ω è semplicemente l inverso del periodo per 2π. Il periodo va però convertito in secondi (s): 1 giorno terrestre = 24 h = s ω = 2π / (Τ 86400) (b) per il modulo dell accelerazione centripeta: ac=ω 2 R (= v 2 /R perchè v=ωr) (c) per la velocità scalare conviene usare v = ωr Si trova che i pianeti più esterni hanno velocità scalari più basse. ES 4 raggio(m) periodo(s) v angolare a_c v scalare mercurio 5,79E+10 7,60E+06 1,32E- 07 1,00E- 03 7,62E+03 Venere 1,08E+11 1,94E+07 5,15E- 08 2,87E- 04 5,57E+03 Marte 2,28E+11 5,94E+07 1,68E- 08 6,46E- 05 3,84E+03 Giove 7,78E+11 3,74E+08 2,67E- 09 5,56E- 06 2,08E+03 Saturno 1,43E+12 9,29E+08 1,08E- 09 1,66E- 06 1,54E+03 Nettuno 4,50E+12 5,18E+09 1,93E- 10 1,68E- 07 8,69E+02 Terra 1,50E+11 3,15E+07 1,99E- 07 5,96E- 03 2,99E+04 Nota: 3 cifre significative, dal raggio dell orbita

3 5) I tre corpi del sistema alla lavagna hanno masse m 1, m 2, m 3. In assenza di attrito calcolare (a) l accelerazione (b) le due tensioni delle due corde ideali. ΣF = ma per corpo1: m1g T12 = m1 a ΣF = ma per corpo2: m2g T23 + T12 = m2 a ΣF = ma per corpo3: + T23 = m3 a (a) Sommando tutto trovo: (m1+m2) g = (m1+m2+m3) a a = g (m1+m2)/(m1+m2+m3) (b1) dalla eq. del corpo 1 trovo: T12 = m1 (g a) = g (m1m3)/(m1+m2+m3) (b2) dalla eq. del corpo 3 trovo: T23 = m3 a = g ((m1+m2)m3)/(m1+m2+m3) Es5 m1 (kg) m2 (kg) m3 (kg) a (m/s2) T12 (N) T23 (N) mercurio ,4 8,9 27 venere , marte ,9 7,8 35 giove , saturno ,9 9,8 29 nettuno ,5 9,8 33 7) Una pallina di massa m=30.0 g è legata ad una fune lunga L=20.0 cm e parte dalla posizione di equilibrio sospesa, sottoposta alla sola forza di gravità lungo y. Si vuole far percorrere alla pallina un cerchio nel piano verticale xy. Che velocità iniziale minima diretta lungo x bisogna dare alla pallina in modo che la corda resti sempre tesa? La corda resterà tesa se la tensione T è maggiore di zero, ovvero se la forza di gravità non è mai sufficente a fornire l accelerazione centripeta necessaria a compiere il moto circolare non uniforme di raggio L. Quando la pallina arriverà sulla verticale in alto (istante finale f con massima forza di gravità radiale e minima velocità, se supera questo punto la corda resterà tesa), essa avrà una energia cinetica ridotta rispetto all inizio di ΔΚ= - ΔU g = - 2mgL

4 Posso calcolare la sua velocità finale da quella iniziale con la conservazione dell energia: vf 2 = [v ΔΚ/m] (ΔΚ negativo = - 2mgL) Poi devo imporre che la velocità finale sia tale che la forza di gravità (che nel punto in alto è diretta verso il centro del cerchio) non sia sufficiente a fornire una accelerazione centripeta minima da percorrere (istantaneamente per v=v f) un cerchio di raggio L m ac = m vf 2 /L = T + mg ; e T>0 solo se si ha: m vf 2 /L > mg vf 2 > Lg [v ΔΚ/m] > Lg v0 2 4Lg > Lg v0 2 > 5Lg v0 > 5Lg ( = 3.13 m/s per Venere. Altri: vedere tabella sotto.) 6) Un auto ibrida di massa m=1400 kg ha la batteria carica in modo che essa possa fornire un energia di kj e il serbatoio della benzina quasi vuoto. Il valore medio della forza di attrito è di N e i freni in media ricaricano la batteria di 2000 kj per ogni km percorso. Partendo dal livello del mare, deve arrivare in cima ad una strada di montagna lunga 20 km, a quota 1200 m sul livello del mare. Dovrà fermarsi a fare benzina? Spiegare perché. Suggerimento: 1 N= 1 J/m = 1 kj/km L energia potenziale gravitazionale della macchina deve aumentare a spese dell energia potenziale elettrica: ΔU g = mg*quota= 1, J = - ΔU el Il lavoro negativo fatto dalla forza di attrito è: W a = F a Δx = - 10 kn*20km = 10 7 J/km * 20km = J La ricarica della batteria fatta dai freni vale: ΔU b = 2000 kj/km*20km = +4, J quindi il totale dell energia della batteria vale: U b,tot = U b,0 + ΔU b = 30, J +4, J = 34, J Quindi l energia potenziale elettrica iniziale della batteria è sufficiente, perchè W a + ΔU el = (- 20-1,65) 10 7 J = 21, J < 34, J = U b,tot Non bisognerà fare benzina per aumentare l energia potenziale (chimica). 8) Da che altezza h 1 si deve lanciare uno sciatore dal trampolino orizzontale alto h 2 = 3.0 m (h 1 quota di partenza esclusa h 2) se vuole atterrare a 25.0 m dalla fine del trampolino? Il moto dello sciatore dopo aver lasciato il trampolino è parabolico, con velocità iniziale v0 interamente diretta lungo l orizzontale (x). Quindi detto t* l istante di caduta, la distanza D si può scrivere come: D = v0 t* dove per la legge di caduta dei gravi (moto lungo y) t* = (2h2/g) Da cui v0 = D/ (2h2/g) Possiamo ricavare h1 dalla conservazione dell energia meccanica mgh1 = ½ mv0 2 ovvero v0 = (2gh1) Quindi, semplificando si ha: D = (4h1h2) e h1 = D 2 /4h2 oppure h1 = v0 2 /2g Es8 D (m) h2 (m) h1(m) Es7 L(cm) vmin (m/s) Mercurio ,50 Venere ,13 Marte ,84 Giove ,71 Saturno ,43 Nettuno ,14

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