Corso di Metodi di Trattamento del Segnale MODELLI STATICI, DINAMICI E DI RUMORE DEGLI AMPLIFICATORI OPERAZIONALI

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1 Corso di Metodi di Trattamento del Segnale MODELLI STATICI, DINAMICI E DI RUMORE DEGLI AMPLIFICATORI OPERAZIONALI

2 1. ANALISI STATICA! sat( x;a,b) = a x b x < a a x b x > b approssimazione spline della caratteristica di ingressouscita dell OpAmp

3 GUADAGNO INFINITO v 0; I 1 = ; I = R ; I 1 + I 0 = R

4 GUADAGNO FINITO I 1 = v ; I = v R ; I 1 + I 0; = Gv + R = + R R v v = R + + R

5 GUADAGNO FINITO = R G G + + R

6 . DINAMICA DEGLI OP-AMP ( t + Δt) ( t) + d = α t Espansione in serie Δt ( ) βv( t) Descrizione del feedback d = 1 α Δt ( t) β Δt v( t) = 1 τ ( t) bv( t) = B ( t) bv( t)

7 d = 1 α Δt ( t) β Δt v( t) = 1 τ ( t) bv( t) = B ( t) bv( t) nel caso statico = bτv = b B v = Gv B è l'inverso di un tempo caratteristico e corrisponde quindi ad una frequenza caratteristica e inoltre b = BG = gain-bandwih product (GBP)

8 Inoltre, da d = B ( t) bv( t) = B ( t) BGv( t) si trova anche ( ) = 1 G ( t) + τ d v t = τ G B t ( ) + d = 1 BG e Bt d ( e Bt ( t) ) e quindi t ( t) = BGe Bt e B t v ( t )d t = BG e 0 t 0 ( ) v ( t )d t B t t

9 Rianalisi dell amplificatore invertente con il modello dinamico appena trovato I 1 = v ; I = v R ; I 1 + I 0; v( t) = 1 BG B t ( ) + d + R = + R R v = 1 BG + R R = + + R R GR + R BGR B t d ( ) + d

10 Ponendo si trova γδ = R + + R GR ; δ = + R BGR = γδ δ d = δ γ + d = δ e γ t d ( e γ t ) e quindi ( t) = ( 0) 1 δ t 0 ( ) ( t )d t t e γ t quindi il circuito si comporta come un filtro RC passa basso con costante di tempo 1 γ = + R B G + + R ( )

11 3. RUMORE NEGLI OP-AMP sorgenti di rumore interne

12 sorgenti di rumore interne ed esterne!

13 derive dovute alle correnti di rumore che fluiscono nelle resistenze esterne: la tensione al terminale positivo vale V + = R 3 i np! mentre al terminale negativo, la corrente di rumore deve compensare la corrente che viene dalle due resistenze i nn + V out V + R V + = 0 i nn + V out R 3 i np R R i 3 np 1 = 0 V out = R R R i R i np nn Se si fa l'ipotesi molto ragionevole che le due correnti siano approssimativamente uguali, si vede che la deriva dovuta al rumore in corrente viene minimizzata prendendo 1 V out = R R R i R i = 0 R = R n n 3 + R

14 Per calcolare il rumore totale dovuto alle varie sorgenti di rumore si usa il principio di sovrapposizione e l indipendenza delle sorgenti: si calcola il rumore dovuto a ciascuna singola sorgente e si trova la varianza di rumore totale come somma delle varianze dei singoli processi di rumore Rumore termico di R1! e 1 = 4kT B i 1 = e 1 = 4kTB i 1 + i f = 0 e 1 = 4kTB = E 1 E 1 = R R e 1 = 4kTB R

15 Rumore termico di R! E = e = 4kTR B

16 Rumore termico di R3! V + = e 3 = 4kTR 3 B V + + E 3 V + R = 0 e 3 + E 3 e 3 R = 0 E 3 = + R e 3 = + R 4kTR 3 B E 3 = R + R 1 4kTR 3 B

17 La somma incoerente dei rumori termici dovuti alle sorgenti esterne produce dunque la seguente fluttuazione quadratica media totale sulla tensione di uscita E ext = E 1 + E + E 3 = 4kTB R + R + R + R 1 R 3 = 4kTB R + R 1 R + R + R 3

18 Rumore in tensione dell OpAmp (simile al caso di R3)! V + + E p V + R = 0 e p + E p e p R = 0 E p = + R e p

19 Rumore in corrente sull ingresso non-invertente (simile al caso precedente) questo caso è simile al caso precedente, con una tensione applicata al terminale positivo uguale a! V + = i np R 3 V + + E np V + R = 0 i np R 3 + E np i np R 3 R = 0 E np = + R R 3 i np

20 Rumore in corrente sull ingresso invertente in questo caso si deve considerare l'equilibrio tra correnti:! i nn + E nn R = 0 E nn = R i nn

21 La somma incoerente dei rumori termici dovuti alle sorgenti interne produce dunque la seguente fluttuazione quadratica media totale sulla tensione di uscita E int = E p + E np + E nn = + R e p + + R R 3 i np + R i nn

22 Considerando insieme le sorgenti di rumore interne ed esterne si trova infine la fluttuazione quadratica media totale E ext + E int = 4kTB R + R 1 R + R + R R e p + R + R 1 R 3 R 3 i np + R i nn