Le equazioni di alcune superfici dello spazio

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1 A Le equazioni di acune suerfici deo sazio L equazione di una suerficie ciindrica In geometria anaitica si dice suerficie ciindrica una quaunque suerficie ce a come direttrice una curva aartenente ad un iano e come generatrici e rette ce assano er e ce sono araee ad una data retta r (figura 1). Per scrivere equazione di un ciindro è necessario quindi conoscere equazione di e a direzione dee generatrici. Particoarmente semice è i caso in cui i ciindro a e generatrici araee ad uno degi assi cartesiani e a curva aartiene a iano coordinato ad esse erendicoare; si dimostra ce, in questi casi, a suerficie ciindrica a neo sazio a stessa equazione ce a ne iano cui aartiene. Figura 1 Ad esemio, a suerficie ciindrica ce a come direttrice a circonferenza de iano xy di equazione x 2 þ y 2 ¼ 9 e er generatrici e rette araee a asse z ce assano er i unti dea circonferenza, a ancora equazione x 2 þ y 2 ¼ 9; a suerficie ciindrica ce a come direttrice a araboa z ¼ y 2 de iano yz e come generatrici e rette araee a asse x ce assano er i unti dea araboa a ancora equazione z ¼ y 2. L equazione di una suerficie conica Una suerficie conica è una quaunque suerficie ce è uogo di rette assanti er un unto fisso V, detto vertice, e er i unti di una curva deo sazio ce non assi er V, detta generatrice (figura 2). Suoniamo ad esemio di voer scrivere equazione de cono ce a vertice ne unto V ð0, 1, 0Þ e ce a er generatrice a circonferenza di equazione (intersezione di una suerficie sferica con un iano) x 2 þ y 2 þ z 2 2x y z þ 1 ¼ 0 < x ¼ t Una retta assante er V a equazioni y ¼ 1 þ mt (A) : z ¼ nt Figura 2 Troviamo e intersezioni di tai rette con i iano cui aartiene a circonferenza x ¼ t y ¼ 1 þ mt da cui y ¼ 1 þ m >: z ¼ nt >: z ¼ n I unti intersezione sono quindi i unti P 1,1 þ m, n.

2 Affincé e rette er V siano generatrici de cono, tai unti devono aartenere aa circonferenza, cioè devono soddisfare equazione x 2 þ y 2 þ z 2 2x y z þ 1 ¼ 0. Troviamo così ce deve essere 1 þ 1 þ m 2 þ n2 2 1 þ m n 2 þ 1 ¼ 0 cioè m 2 þ n2 2 þ m 2 n ¼ 0 (B) Quest utima equazione raresenta a reazione ce individua i unti ce aartengono a cono. Cerciamo di riscrivera in funzione dee variabii x, y e z. Ricaviamo aora t daa rima equazione de sistema (A) e sostituiamo nee atre ottenendo t ¼ x y ¼ 1 þ m x >: z ¼ n x cioè >: m ¼ y 1 x n ¼ z x Sostituendo oi e esressioni trovate er i raorti m e n ne equazione (B) abbiamo infine equazione de cono y 2 þ z 2 Figura 3 þ xy xz x 2y þ 1 ¼ 0 Un caso in cui si ottiene un equazione articoarmente semice si a quando i cono è generato daa rotazione di una retta r er origine attorno a uno degi assi cartesiani. Se è amiezza de angoo formato da r con tae asse (figura 3), equazione de cono è n x 2 þ y 2 ¼ z 2 tan 2 se a rotazione avviene attorno a asse z n x 2 þ z 2 ¼ y 2 tan 2 n y 2 þ z 2 ¼ x 2 tan 2 se a rotazione avviene attorno a asse y se a rotazione avviene attorno a asse x Ad esemio equazione x 2 þ y 2 ¼ 1 3 z2 raresenta una suerficie conica avente vertice in O, asse di rotazione coincidente con asse z e angoo di semiaertura ¼ 30 (tan 2 ¼ 1 3 imica ¼ 30 Þ. L equazione di una suerficie di rotazione Una suerficie di rotazione è a suerficie generata daa rotazione di una curva attorno ad una retta fissa. Fðx, zþ ¼0 Se aartiene a iano xz ed a equazione e y ¼ 0 Figura a rotazione avviene attorno a asse z, un unto Pðx 0,0,z 0 Þ di tae curva descrive una circonferenza, con centro su asse z, ce aartiene a iano z ¼ z 0 e ce a quindi equazione x 2 þ y 2 ¼ x 2 0 (figura ). L equazione dea suerficie generata daa rotazione di attorno a asse z si ottiene eiminando x 0 e z ¼ z 0 z 0 dae equazioni Fðx 0,z 0 Þ¼0 x 2 þ y 2 ¼ x 2 0 z ¼ z 0 ed a quindi equazione F ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 þ y 2, z ¼ 0.

3 L equazione dea suerficie di rotazione si ottiene quindi sostituendo esressione ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 þ y 2 a osto di x ne equazione di. L equazione de cono recedente si trova aunto in questo modo: se z ¼ mx è equazione dea retta r, i ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cono a equazione z ¼ m x 2 þ y 2 da cui eevando a quadrato e tenendo conto de significato trigonometrico di m, m ¼ 1 si ottiene equazione data. tan Ad esemio, a suerficie ce si ottiene facendo ruotare eisse di equazione x2 a þ z2 ¼ 1 attorno a asse z a equazione 2 c2 x 2 þ y 2 a 2 þ z2 e si dice eissoide rotondo (figura 5). Figura 5 Anaogamente, a suerficie ce si ottiene facendo ruotare ierboe di equazione x2 z2 ¼ 1 attorno a asse z a equazione a2 c2 x 2 þ y 2 a 2 z2 e si dice ierbooide rotondo a una fada (figura 6). Figura 6 La stessa ierboe, ruotando attorno a asse x (i ragionamento è anaogo), genera una suerficie a cui equazione si ottiene sostituendo ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y 2 þ z 2 a osto di z e cioè Figura 7 x 2 a 2 y 2 þ z 2 Tae suerficie rende i nome di ierbooide rotondo a due fade (figura 7). Infine a araboa di equazione z ¼ ax 2, ruotando attorno a asse z, genera una suerficie di equazione z ¼ ax 2 þ ay 2 ce si dice arabooide rotondo (figura ). Figura

4 ESERCIZI Suerficie ciindrica Individua e caratteristice dee seguenti suerfici. 1 x 2 þ z 2 ¼ 9 generatrici araee a asse y; curva direttrice: ne iano xz, circonferenza con centro in Oð0, 0Þ e raggio 3 2 x ¼ z 2 9 generatrici araee a asse y; curva direttrice: ne iano xz, araboa con asse di simmetria coincidente con asse x e vertice in Vð 9, 0Þ 3 y ðx 1Þ 2 ¼ 0 generatrici araee a asse z; curva direttrice: ne iano xy, araboa con asse di simmetria araeo a asse y e vertice in Vð1, 0Þ y 2 ¼ z 2 ½asse xš 5 16x 2 þ 9z 2 ¼ 1 generatrici araee a asse y; curva direttrice: ne iano xz, eisse con centro di simmetria in Oð0, 0Þ, assi coincidenti con gi assi coordinati de iano xz, semiassi 3 e, fuoci su asse z 6 x 2 þ y 2 generatrici araee a asse z; curva direttrice: þ 2x þ 2y ¼ 0 ffiffiffi ne iano xy, circonferenza con centro in Cð 1, 1Þ e raggio 2 7 Scrivi equazione dea suerficie ciindrica con generatrici araee a asse x e avente come curva direttrice su iano yz a circonferenza con centro ne origine e raggio. ½y 2 þ z 2 16 ¼ 0Š Scrivi equazione dea suerficie ciindrica con generatrici araee a asse z e avente come curva direttrice, su iano xy, eisse con assi di simmetria coincidenti con gi assi cartesiani de iano indicato, semiassi uguai a 2 e 3 e fuoci su asse x. ½x 2 þ 9y 2 36 ¼ 0Š 9 Scrivi equazione dea sfera ce a centro ne unto di coordinate ð2, 1, 0Þ e raggio r ¼ 2. Verificato ffiffiffi ce i unto P 1, 0, 2 aartiene aa suerficie, determina i iano ad essa tangente in P. x þ y ffiffiffi 2 z þ 1 ¼ 0 Suerficie conica Individua e coordinate de vertice, asse di rotazione e angoo di semiaertura dee seguenti suerfici conice. 10 3x 2 þ 3y 2 ¼ z 2 Vð0, 0, 0Þ, asse z, ¼ i 6 11 y 2 þ z 2 x 2 ¼ 0 Vð0, 0, 0Þ, asse x, ¼ i 12 ðx 1Þ 2 þ y 2 3z 2 ¼ 0 Vð1, 0, 0Þ, asse z, ¼ i 3 13 x 2 þ z 2 þ z ¼ y 2 Vð0, 0, 2Þ, asse y, ¼ i 1 Determina equazione dea suerficie conica con vertice ne origine de riferimento cartesiano, asse coincidente con asse x ed angoo di semiaertura ¼ 6. x2 3y 2 3z 2 ¼ 0 15 Determina equazione dea suerficie conica con vertice ne origine de riferimento cartesiano, asse coincidente con asse y e assante er i unto Qð1, 1, 1Þ. x 2 þ z 2 ¼ 2y 2

5 Suerficidirotazione Individua e caratteristice dee seguenti suerfici. 16 x2 þ y 2 þ z2 9 ¼ 1 ½eissoide rotondo di semiassi 2, 2, 3Š 17 x2 þ y 2 25 z 2 ¼ 1 1 x2 3 y 2 þ z 2 ¼ 1 10 ½ierbooide rotondo a una fada di semiassi 5, 5, 1Š ffiffiffi ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi ierbooide rotondo a due fade, semiassi 3, 10, z ¼ 3x 2 þ 3y 2 ½arabooide rotondoš