Programmazione Matematica: VI Estensioni dell algoritmo del Simplesso

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1 Programmazione Matematica: VI Estensioni dell algoritmo del Simplesso Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna rev. 1.0 Aprile 2004 Algoritmo del Simplesso L algoritmo del Simplesso ad ogni pivot richiede l aggiornamento dell intero tableau Y (m+1) (n+1) Principalmente questo serve per trovare la colonna su cui fare il pivoting (calcolo costi ridotti) c* 0 0 c' F T costi ridotti (basta trovarne uno < 0) B 1 d I B 1 F soluzione (serve) di questa parte serve solo la colonna su cui si fa il pivot Pmat.Rev.2

2 1. Algoritmo del Simplesso Rivisto Prevede l aggiornamento esplicito di una matrice (m+1) (m+1), che chiamiamo K K (0) matrice iniziale, K (i) matrice all iterazione i I costi ridotti e le colonne aggiornate su cui si fa il pivot vengono generate solo se e quando necessario tempo per iterazione O(m 2 ) << O(nm) Pmat.Rev.3 Informazioni del Tableau Il tableau corrente è quello iniziale moltiplicato per l inversa della base corrente 0 c B T c F T c* 0 0 c' F T d B F B 1 d I B 1 F Pmat.Rev.4

3 Informazioni del Tableau (2) Se il tableau iniziale contiene una matrice identità con costi ridotti 0, nelle iterazioni successive in quella parte del tableau c è B c F T c* 0 c BT B 1 c' F T d I F B 1 d B 1 B 1 F K (0) K (i) Conoscere K (i) è sufficiente per il pivoting Pmat.Rev.5 Pivoting rivisto Dato il tableau originale Y = (A, c, d ) ed K (i) : 1. Generazione dei costi ridotti (pricing) si calcolano una colonna per volta finchè non se ne trova uno negativo (s) o si termina senza trovarne c j = c j c B B 1 A j = c j c B K (i) A j 2. Generazione della colonna (column generation) A j = B 1 A j = K (i) A j 3. Determinazione dell elemento pivot (riga r) 4. Aggiornamento di K (i+1) per la prossima iterazione Pmat.Rev.6

4 Vantaggi Nel pricing ci si può fermare alla prima colonna a costo negativo (Es. regola di Bland) Per la column generation oltre a K (i) basta la matrice A originale se A è sparsa la column generation se ne avvantaggia ed è molto veloce La matrice K (i) può essere memorizzata in forma prodotto (molto più compatta) K (i) = P i P 1 K (0) = P i P 1 dove ogni P i è un vettore Pmat.Rev.7 2. Problema in forma di massimo L algoritmo del simplesso fa riferimento alla forma standard (f.ob. di minimo) Se la funzione obiettivo è di massimo: 1. la si trasforma in forma di minimo 2. si usa la condizione di ottimalità modificata per la funzione obiettivo di massimo: la base corrente è ottima se tutte le variabili non in base hanno costo ridotto non positivo ( 0) Pmat.Rev.8

5 3. Variabili con upper bound E molto frequente che le variabili oltre ai lower bound (x j 0) abbiano anche upper bound (x j h j ) Il problema risultante min c T x Ax = d x 0 x h Può essere trattato ponendo gli upper bound in forma standard x j + x ja = h j si aggiungono fino ad n vincoli e variabili slack! Pmat.Rev.9 Variabili con upper bound (2) Gli upper bound si possono trattare in modo implicito (come i lower bound) Soluzione Base Ammissibile Estesa (SBAE): le n m variabili fuori base possono essere al lower bound (x j =0) all upper bound (x j = h j ) Ai fini dell ottimalità i ruoli delle variabili fuori base sono diversi: se al l. b. può solo aumentare e conviene se c j <0 se all u. b. può solo diminuire e conviene se c j >0 Pmat.Rev.10

6 Criterio di ottimalità estesa Per un problema di minimo una SBAE è ottima se il costo ridotto di ogni variabile fuori base è: c j 0 se la variabile è al lower bound (x j =0) c j 0 se la variabile è all upper bound (x j = h j ) Il metodo del simplesso visto fin qui si estende facilmente per trattare implicitamente le SBAE Pmat.Rev.11 Forma canonica estesa Supponiamo di definire due variabili non negative: x j+ = x j (l.b.) e x j = h j x j (u.b.) In questo caso il test di ottimalità è sempre c j 0 per entrambe In una data iterazione il simplesso usa una sola delle due variabili x j+ = x j e x j = h j x j Si usa un vettore di flag e j ={+, } per sapere quale Il tableau rappresenta quindi le equazioni: n j= 1 y ij x e j j = y i0 i = 1, K, m Pmat.Rev.12

7 Pivoting esteso Determina una variabile x j fuori base con c j < 0 determina θ je = min{α j, θ j, γ j } con: α j = h j θ j = min { y i0 /y ij con y ij > 0} γ j = min {(y i0 h β(i) )/y ij con y ij < 0} 1. Se θ je = α j la variabile x j va al bound opposto a) sottrai h j volte la colonna j dalla colonna 0 b) moltiplica la colonna j per 1 (cambia anche e j ) c) la base non cambia Pmat.Rev.13 Pivoting esteso (2) 2. Se θ je = θ j = min { y i0 /y ij con y ij > 0} (su riga k) a) la variabile x β(k) attualmente in base esce dalla base al suo vecchio bound (e β(k) non cambia) b) esegui il pivot sull elemento y kj 3. Se θ je = γ j = min {(y i0 h β(i) )/y ij con y ij < 0} (su riga k) a) la variabile x β(k) attualmente in base esce dalla base al bound opposto (e β(k) cambia) b) sottrai h β(k) da y k0, cambia il segno di y kβ(k) ed e β(k) c) esegui il pivot sull elemento y kj Pmat.Rev.14

8 Esempio min 2x 1 +x 2 +3x 3 2x 4 +10x 5 s.t. x 1 +x 3 x 4 +2x 5 = 5 x 2 +2x 5 +2x 4 + x 5 = 9 0 x 1 7, 0 x 2 10, 0 x 3 1, 0 x 4 5, 0 x 5 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z x x e Pmat.Rev.15 Esempio (2) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z x x e pivot su colonna x 4 : α j = h j = 5 θ j = min { y i0 /y ij con y ij > 0} = 9/2 γ j = min {(y i0 h β(i) )/y ij con y ij < 0} = 2 Pmat.Rev.16

9 Esempio (3) Caso 3. Se θ je = min {(y i0 h β(i) )/y ij con y ij < 0} (su riga k =1) a) la variabile x β(1) = x 1 esce dalla base al bound opposto (e β(k) cambia) b) sottrai h β(1) = 7da y 10, cambia il segno di y 11 ed e 1 c) esegui il pivot sull elemento y 14 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z x x e Pmat.Rev.17 Esempio (4) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z x x e pivot su colonna x 3 : α j = h j = 1 θ j = min { y i0 /y ij con y ij > 0} = 5/4 γ j = min {(y i0 h β(i) )/y ij con y ij < 0} = 3 Pmat.Rev.18

10 Esempio (5) Caso 1. Se θ je = α j, x 3 va al bound opposto a) sottrai h 3 =1 volte la colonna 3 dalla colonna 0 b) moltiplica la colonna 3 per 1 (cambia anche e 3 ) c) la base non cambia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 z x x e Stop! x 1 = 7, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 3, x 5 = 0 Pmat.Rev.19 Generazione di colonne In molti casi A e c di un problema PL o PLI sono definiti implicitamente da una regola di costruzione ed hanno un numero di elementi n >>1 Il numero di elementi di A e c in base è m << n A e c servono solo per calcolare i costi ridotti ed individuare le variabili da far entrare in base Se è possibile valutare i costi ridotti sulla base della regola implicita non è necessario costruire esplicitamente tutto il problema ma solo le colonne che via via entrano in base Pmat.Rev.20

11 Esempio: Bin Packing Problem m tipi di oggetti, per ogni tipo (i =1,,m) w i dimensione di un oggetto di tipo i b i quantitativo richiesto n numero totale di oggetti = Σ i=1,,m b i n contenitori (bin), ciascuno di capacità K impaccare tutti gli oggetti nel minor numero possibile di contenitori in modo che la somma delle dimensioni degli oggetti inseriti in ogni contenitore non superi la capacità K Modelli PLI con numero polinomiale di variabili Pmat.Rev.21 Modello di Gilmore Gomory Primo esempio di generazione di colonne (1963) Pattern di caricamento: vettore di m elementi che specifica il numero di oggetti di ciascun tipo inseriti in un bin (in modo ammissibile) Es. m=5, w=(2,3,4,5,7), b=(20,10,30,15,20), K=10 a 1 =(5,0,0,0,0), a 2 =(0,2,1,0,0), a ij = oggetti di tipo i nel pattern j J = insieme di tutti i pattern ammissibili J enorme (cresce esponenzialmente con m ed n) Pmat.Rev.22

12 Modello di Gilmore Gomory (2) x j = numero di volte in cui il pattern j è usato (GG) min Σ j J x j Σ j J a ij x j b i (i = 1,, m) x j 0 intero (j J) Il vincolo potrebbe essere anche = ma non serve Consideriamo il rilassamento continuo (accettabile se all ottimo le x>0 sono abbastanza grandi) Pmat.Rev.23 Modello di Gilmore Gomory (3) Supponiamo di conoscere J J con J << J tale che le colonne di J contengano una soluzione ammissibile (= base) di (GG) Ad es. J ricavato da una soluzione euristica Risolviamo il problema rispetto a J : x soluzione primale (x j =0 j J\J ), u soluzione duale la soluzione x è ottima se i costi ridotti c j 0, j J Pricing: trova una colonna da inserire in base (la migliore) ossia trova un pattern J con costo ridotto minimo min c' j J j j J j j ( ua ) = 1 ua = min 1 max j J Pmat.Rev.24

13 Modello di Gilmore Gomory (4) Pricing: trova un pattern ammissibile con il minimo costo ridotto (se negativo va inserito in J altrimenti stop: base ottima) a i = numero di oggetti di tipo i nel pattern z = max Σ i=1,...,m u i a i Σ i=1,...,m w i a i K a i 0 intero (i=1,...,m) è un Knapsack intero! se z 0 la soluzione è ottima! Pmat.Rev.25 Esempio m=5, w=(2,3,4,5,7), b=(20,10,30,15,20), K=10 soluzione/base iniziale: deve usare tutti i tipi a 1 =(1,1,1,0,0), a 2 =(0,0,0,2,0), a 3 =(0,0,0,0,1) mancano due colonne: slack di alcuni vincoli Per soddisfare b 3 =30 bisogna usare a 1 30 volte, quindi 1 e 2 sono prodotti in eccesso e si possono usare a 1a =( 1,0,0,0,0) ed a 2a =(0, 1,0,0,0) Pmat.Rev.26

14 Esempio (2) Risoluzione rilassamento iniziale: si ricava la soluzione x=(30,15/2,20,0,0), che si arrotonda in x=(30,8,20,0,0) che richiede 58 bin, la soluzione duale è u=(0,0,1,1/2,1) Il pricing genera la colonna a 4 =(0,0,2,0,0) e z = 2 Pivot sulla nuova colonna: base=(a 1,a 2,a 3,a 4,a 2a ) si ottiene x=(20,15/2,20,5,10), arrotondata in x=(20,8,20,5,10) che richiede 53 bin ed u=(1/2,0,1/2,1/2,1) Pmat.Rev.27 Esempio (3) Il pricing genera la colonna a 5 =(5,0,0,0,0) e z = 5/2 Pivot sulla nuova colonna: base=(a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ) (nessuno slack sui vincoli) si ottiene x=(10,15/2,20,10,2), arrotondata in x=(10,8,20,10,2) che richiede 50 bin ed u=(1/5,3/10,1/2,1/2,1) Il pricing genera la colonna a 6 =(0,1,0,0,1) e z = 13/10 Pivot sulla nuova colonna: base=(a 6,a 2,a 3,a 4,a 5 ) si ottiene x=(10,15/2,10,15,4), arrotondata in x=(10,8,10,15,4) che richiede 47 bin ed u=(1/5,0,1/2,1/2,1) Pmat.Rev.28

15 Esempio (4) Il pricing genera la colonna a 7 =(1,0,0,0,1) e z = 6/5 Pivot sulla nuova colonna: base=(a 6,a 2,a 7,a 4,a 5 ) si ottiene x=(10,15/2,10,15,2), arrotondata in x=(10,8,10,15,2) che richiede 45 bin ed u=(1/5,1/5,1/2,1/2,4/5) Il pricing genera la colonna a 8 =(1,0,2,0,0) e z = 6/5 Pivot sulla nuova colonna: base=(a 6,a 2,a 3,a 4,a 8 ) si ottiene x=(10,15/2,10,5,10), arrotondata in x=(10,8,10,5,10) che richiede 43 bin ed u=(0,0,1/2,1/2,1) Pmat.Rev.29 Esempio (5) Il pricing genera nuovamente la colonna a 3 =(0,0,0,0,1) e z = 1 La colonna fuori base a costo ridotto minimo ha costo ridotto nullo: la base corrente è ottima! La soluzione ottima frazionaria è: base=(a 6,a 2,a 3,a 4,a 8 ), x=(10,15/2,10,5,10), e usa 42,5 bin La soluzione intera arrotondata è: base=(a 6,a 2,a 3,a 4,a 8 ), x=(10,8,10,5,10), e 43= 42,5 bin soluzione ottima per il problema intero! Pmat.Rev.30