METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 Introduon al METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

2 Ossrvaon su mtod varaonal approssmat classc L unon approssmant dvono: Soddsar rqust d contnutà Essr lnarmnt ndpndnt complt Soddsar l condon al contorno ssnal Dcoltà: Slonar don unon approssmant pr domn complss Dnr una procdura sstmatca pr dnr l unon approssmant Mtodo dgl lmnt nt

3 Rqust d una buona procdura computaonal Il mtodo dv avr una bas sca d un mpostaon matmatca Il mtodo non dv sorr d lmtaon pr problm dnt su domn complss La ormulaon dlla procdura non dv dpndr dalla spcca orma gomtrca dl domno Il mtodo dv ssr sucntmnt lssbl da potr ncrmntar l accurata dlla soluon crcata sna rormular tutto l problma Il mtodo dv potr ssr mplmntato smplcmnt d n modo automatco n un codc d calcolo Mtodo dgl lmnt nt

4 roblma D dlla barra w w w L quaon d campo condon al contorno Mtodo dgl lmnt nt

5 Ida d bas s rsdu Formulaon dbol d Rt w N j j j L N L j ' j j' d d L,.., N Sclta opportuna dll unon approssmant Mtodo dgl lmnt nt 5

6 w N j j j 5 5 Mtodo dgl lmnt nt 6

7 Mtodo dgl lmnt nt 7

8 Scma FEM. Dscrtaon dl domno n un nsm d lmnt. Drvaon dll quaon pr ogn lmnto dlla ms. ssmblaggo d tutt l quaon ottnut pr sngol lmnt pr dtrmnar l quaon dl sstma struttural complto. Imposon dll condon al contorno 5. Soluon dl sstma d quaon 6. ostprocssng dlla soluon Mtodo dgl lmnt nt 8

9 Scma FEM. Dscrtaon dl domno n un nsm d lmnt Dnon dlla ms Numraon d nod dgl lmnt ssgnaon dll proprtà agl lmnt. Drvaon dll quaon pr ogn lmnto dlla ms Formulaon varaonal pprossmaon Matrc d rgda, vttor dll or Mtodo dgl lmnt nt 9

10 Scma FEM. ssmblaggo d tutt l quaon ottnut pr sngol lmnt pr dtrmnar l quaon dl sstma struttural complto Condon d contnutà tra lmnt contgu rlaon d connttvtà lmnto nod rlaon tra grad d lbrtà global dl sstma d nod Idntcaon dll condon d qulbro tra l varabl scondar ssmblaggo dll quaon d lmnto nll quaon dl sstma Mtodo dgl lmnt nt

11 Scma FEM. Imposon dll condon al contorno Idntcaon d grad d lbrtà assgnat Idntcaon dll varabl scondar assgnat 5. Soluon dl sstma d quaon 6. ostprocssng dlla soluon Calcolo dlla drvata dormaon dlla soluon Calcolo dll tnson Rapprsntaon graca dlla soluon: dormata, curv d lvllo dll tnson, tnson quvalnt Mtodo dgl lmnt nt

12 . Dscrtaon dl domno roblma sco O L Modllo matmatco O L w L lmnt nod Dscrtaon agl lmnt nt O L w L Mtodo dgl lmnt nt

13 Dscrtaon dl domno Dnon dlla ms lmnto 5 Numraon d nod dgl lmnt Elmnto Nodo Nodo 5 nodo ssgnaon dll proprtà agl lmnt: pr ogn lmnto Mtodo dgl lmnt nt

14 . Drvaon dll quaon pr ogn lmnto c.c. ssnal w w -N N w w c.c. natural L quaon drnal w dv ssr soddsatta n tutt punt dlla trav. In partcolar dovrà ssr soddsatta nll lmnto Ω,. Enrga potnal pr l lmnto Π w w' d w d [ w w ] Mtodo dgl lmnt nt

15 Mtodo dgl lmnt nt 5 Drvaon dll quaon pprossmaon pr l lmnto n j j j w w [ ] [ ] Π n n n j j j n n n j j j w F w w K w d w w d ' ' ' ' j j d F d K dov

16 Staonartà dll nrga potnal total dl sngolo lmnto n Π w j [ K w ] F j j n quaon d qulbro approssmato Mtodo dgl lmnt nt 6

17 Funon d approssmaon pr l lmnto lmnto Ω nodo Drvaon dll quaon dmnson dll lmnto Funon d ntrpolaon d Lagrang w w j j spostamnto pr spostamnto pr s # j s j Mtodo dgl lmnt nt 7

18 Mtodo dgl lmnt nt 8 Matrc d rgda, vttor dll or x x x x d d K d d K d d K d d K ' ' ' ' ' ' ' ' ', ' Drvaon dll quaon matrc d rgda

19 Mtodo dgl lmnt nt 9 Drvaon dll quaon vttor dll or d d F d d F In dntva, la matrc d rgda d l vttor dll or valgono: [ ] { } F K Equlbro w w

20 . ssmblaggo 5 5 w w aramtr local aramtr global w w w w 5 w w 5 w w w w w w w w 5 Mtodo dgl lmnt nt

21 Matrc oolana d connttvtà: ssmblaggo Nodo Nodo 5 lmnto Esmpo L lmnto a nod. K s va sommar al trmn K dlla matrc global dlla struttura K s va sommar al trmn K dlla matrc global dlla struttura Mtodo dgl lmnt nt

22 Mtodo dgl lmnt nt 5 Elmnto 5 ssmblaggo Elmnto

23 Mtodo dgl lmnt nt ssmblaggo Elmnto 5 Elmnto 5

24 Mtodo dgl lmnt nt ssmblaggo Sommando l quaon ottnut pr sngol lmnt s ottn: 5

25 . Condon al contorno Non sono prsnt or applcat n nod ntrn Mtodo dgl lmnt nt 5

26 Condon al contorno Spostamnto nullo pr Fora assgnata pr L Mtodo dgl lmnt nt 6

27 Mtodo dgl lmnt nt 7 Condon al contorno In dntva Vttor dgl spostamnt Vttor dll or 5

28 Mtodo dgl lmnt nt 8 5. Soluon dl sstma d quaon 5

29 Mtodo dgl lmnt nt 9 Sstma d quaon 5 a b

30 Sstma d quaon S rsolv l sstma b. Not gl spostamnt nodal,, 5, s sosttuscono nl sstma a s rcava c rapprsnta la raon dl vncolo. Mtodo dgl lmnt nt

31 6. ostprocssng dlla soluon Calcolo dll tnson ntrn Intrprtaon dlla soluon Rapprsntaon graca d rsultat Mtodo dgl lmnt nt

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