Esercitazione 6 - Soluzione

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1 Anno Accademico Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione lineare rappresentata nella base canonica da: A = Di che trasformazione si tratta? Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro base. Soluzione La matrice rappresenta una proiezione sul piano xy. A ha tre righe e tre colonne, quindi rank(a) 3. Esiste un minore non singolare A = ( ma il determinante di A è nullo (la matrice ha una riga nulla). Si conclude che rank(a) = 2, quindi dim (Im (L)) = 2. Per il teorema delle dimensioni abbiamo che dim (Ker (L)) = 3 dim (Im (L)) =. Per determinare il nucleo di L risolviamo il sistema Ax = : x = y = =. Il nucleo è formato dai vettori nella forma (,, λ), cioè dai vettori paralleli all asse z. Una base per il nucleo è quindi il versore dell asse z, e 3 = (,, ) T. Dato un generico vettore di R 3 x = (x, y, z) T l immagine di A è data da Ax = (x, y, ) T. L immagine è quindi formata da tutti i punti del piano xy. Una possibile base è data dalle due colonne di A linearmente indipendenti cioè ), ()

2 Esercizio 2 Sia L : R 3 R 5 l applicazione lineare rappresentata nella base canonica da: A = Determinare Ker(L), Im(L), le loro dimensioni e una loro base. Soluzione La dimensione dello spazio di partenza R 3 è 3, dunque rank(a) 3. Inoltre, A contiene una sottomatrice 3 3 avente determinante non nullo: = = 3. Quindi A è di rango 3. Poiché dim (Im (L)) = rank(a) = 3, dal teorema delle dimensioni abbiamo che dim (Ker (L)) = dim(r 3 ) dim (Im (L)) =, e dunque Ker(L) = {}. Una base per Im (L) è data da tre colonne linearmente indipendenti di A. Una base è quindi formata dai vettori: Esercizio 3 Discutere la risolubilità dei seguenti sistemi lineari utilizzando il Teorema di Rouché-Capelli: x + y + 2z + 3w = 3 x 2y + z + w = 8 3x + y + z w = 2

3 2x + y + z 2w = 3x 2y + z 6w = 2 x + y z w = 6x z 9w = 2 5x y + 2z 8w = 3 Nel caso in cui i sistemi sono risolubili, si determini l espressione generale della soluzione. Soluzione del sistema Indichiamo con A la matrice del primo sistema lineare: 2 3 A = 2 3 Poiché A contiene una sottomatrice 3 3 avente determinante non nullo: = 3, il suo rango è 3. Se chiamiamo L : R 4 R 3 l applicazione lineare rappresentata dalla matrice A, abbiamo che dim (L) = 3, e quindi Im(L) = R 3 : l applicazione è suriettiva. Se ne deduce che il sistema lineare correspondente ammette almeno una soluzione per ogni termine noto. Inoltre, per il teorema delle dimensioni, si ha dim(ker(l)) =. Il sistema ammette quindi soluzioni, qualunque sia il termine noto. Per determinare le soluzioni, portiamo a secondo membro i termini contenenti w. Si ottiene il sistema di tre equazioni in tre incognite: x + y + 2z = 3 3w x 2y + z = 8 w 3x + y + z = + w Con semplici passaggi si trova che x = 2 + w, y = e z = 8 2w. Le soluzione del sistema sono quindi tutti i vettori del tipo ( 2,, 8, ) + w (,, 2, ) w R. Soluzione del sistema 2 Indichiamo con C la matrice del secondo sistema lineare: C =

4 Osserviamo che la quarta riga della matrice è uguale alla somma delle sue prime tre righe. In più, la quinta riga è uguale alla somma delle sue prime due righe. Quindi il suo rango è uguale al rango della sottomatrice: Questa matrice contiene una sottomatrice 3 3 di determinante non nullo: =, dunque il suo rango è 3, e rank(c)=3. Consideriamo ora la matrice D, ottenuta orlando la matrice C con la colonna dei termini noti: D = Come prima, la quarta riga della matrice è uguale a la somma delle sue prime tre righe. Ora però la quinta riga non è piu uguale a la somma delle sue prime due rigue. Il rango di D è quindi uguale al rango di D = Questa matrice ha una sottomatrice 4 4 di determinante non nullo: = = , quindi è di rango 4. Poichè la matrice dei coefficienti del sistema e la matrice completa hanno rango diverso, il sistema non ha soluzione per il teorema di Rouché-Capelli. 4

5 Esercizio 4 a) Discutere l esistenza di soluzioni non banali del sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite x, y, z, t: h x h y + t = x 2 y z = + y + h z + t = al variare del parametro reale h e, quando esistono, trovare le soluzioni. b) Discutere la risolubilità del sistema non omogeneo, avente termine noto b = (, 2, 2) T, al variare del parametro h. Soluzione a) Indichiamo con A la matrice del sistema: h h A = 2 h Poiché la sottomatrice composta dai primi due elementi della terza e della quarta colonna ha determinante: =, la matrice A ha rango 2 per ogni valore di h. Calcoliamo il determinante di tutte le matrici ottenibili da A orlando tale sottomatrice. Orlando la sottomatrice con la prima colonna e l ultima riga, otteniamo: h h =, poiché la prima riga è ottenibile moltiplicando la seconda riga per h e sommando la terza. Orlando la sottomatrice con la seconda colonna e l ultima riga e sviluppando il determinante lungo l ultima colonna, otteniamo: h 2 h = 2 h + h 2 = 2 h + + h = h. 5

6 Per h la matrice del sistema ha rango 3, mentre per h = la matrice del sistema ha rango 2. Conseguentemente, per h il sistema ammette 4 3 = soluzioni, ovvero le soluzioni formano un sottospazio di dimensione e possono essere scritte in funzione di un parametro arbitrario. Per h = il sistema ammette 4 2 = 2 soluzioni, ovvero le soluzioni formano un sottospazio di dimensione 2 e possono essere scritte in funzione di due parametri arbitrari. Calcoliamo le soluzioni per h =. Una maniera sistematica per determinare i parametri liberi da cui dipende la soluzione è la seguente: teniamo a primo membro le incognite correspondenti alle colonne che formano una base dell insieme immagine (ovvero le colonne che formano il minore d ordine r = rank(a) non nulllo) e portiamo a secondo membro le altre incognite. Nell esempio in questione, come abbiamo visto, il minore è sempre non nullo, e quindi le 3 e e 4 e colonne sono linearmente indipendenti, e lo stesso vale per le due prime righe. Possiamo quindi eliminare la 3 a riga in quanto dipendente dalle altre due. Il sistema omogeneo si riduce quindi a { x + y + t =. x 2 y z = Le soluzioni possono quindi essere scritte come: (x = s, y = s 2, z = s 2 s 2, t = s 2 s ), ovvero formano il sottospazio di dimensione 2 generato dai vettori: (,,, ), (,, 2, ). Per h, il minore d ordine r = rank(a) non nullo è formato dalla seconda, terza e quarta colonna. Teniamo quindi tutte le equazioni e portiamo a secondo membro la prima incognita, ottenendo: h y + t = h x 2 y z = x y + h z + t = Dalla seconda equazione, ricaviamo y = x z 2. Sostituendo nella terza equazione, otteniamo t = ( 2 h) z x 2. Dalla prima equazione otteniamo infine: z = x. Le soluzioni del sistema lineare possono quindi essere scritte come: (x = s, y =, z = s, t = h s), ovvero formano il sottospazio di dimensione, generato dal vettore: (,,, h). 6

7 b) Per h, poiché la matrice del sistema ha rango 3 e lo spazio di arrivo è di dimensione 3, l applicazione lineare L : R 4 R 3 rappresentata dalla matrice è suriettiva. Quindi, per ogni termine noto b, il sistema Ax = b ammette almeno una soluzione. Questa soluzione non è unica: se x è soluzione del sistema, allora per ogni α R, e per ogni x Ker(L), x + α x è anche soluzione del sistema. Ricordiamo che Ker(L) è formato dalle soluzione del sistema omogeneo. Per h =, la matrice del sistema ha rango 2. Consideriamo ora la matrice B, ottenuta orlando la matrice A con il vettore dei termini noti b = (, 2, 2) T : B = B contiene una sottomatrice 3 3 avente determinante non nullo: = 2 2 = 3 ] =. 2 2 Quindi B ha rango 3. Poichè la matrice dei coefficienti del sistema e la matrice completa hanno rango diverso, il sistema non ha soluzione per il teorema di Rouché-Capelli. Esercizio 5 [Da un tema d esame, 27 ] Si consideri la seguente matrice: A = 2 2 m 2 m 2 m ed il seguente termine noto: b = (3,, 2, 2) T,. Si determini, al variare del parametro m, il rango della matrice e una base dell insieme immagine. 2. Usando il teorema di Rouché-Capelli, si discuta al variare del parametro m se il sistema lineare Ax = b ammette una soluzione e se questa è unica. 3. Si determini per quali valori di m il vettore x p = (,,, ) T è soluzione del sistema. 4. Per il valore m = 2 si determini una base di Ker(A). 5. Sempre per m = 2 si determini la soluzione generale del sistema Ax = b. 7

8 Soluzione. Osserviamo che la matrice A contiene un minore di ordine 2 non singolare: A = ( 2 quindi rank(a) 2 per ogni m. Orlando A con la quarta riga si ottiene il minore di ordine 3 A = 2 2 che ha determinante -2, quindi rank(a) 3 per ogni m. Infine calcoliamo il determinante di A (partendo dalla terza riga): det(a) = 2 det ), 2 m m m = 2( m 2 m + 2). Il determinante di A quindi si annulla per m = e m = 2. Nel caso m m 2 una base per l immagine è costituita dalle quattro colonne linearmente indipendenti di A, oppure dalla base canonica di R 4. Nel caso m = m = 2 una base per l immagine è costituita dalle tre colonne di A linearmente indipendenti cioè la prima, seconda e quarta colonna. 2. Nel caso m m 2 la matrice A è invertibile quindi il sistema ammette una soluzione unica. Nel caso m = m = 2 bisogna valutare il rango della matrice B ottenuta orlando A con il termine noto. B = m 2 2 m 2 m 2 Orliamo il minore A con la quinta colonna, ottenendo det B = det La matrice B quindi ha: B = m m 2 m 2 ( m) det = 2m + 4.

9 rango 4 se m m 2 rango 4 se m = rango 3 se m = 2. Quindi nel caso m = 2 rank(a)=rank(b)=3 e il sistema ammette soluzione, in particolare soluzioni. 3. Cerchiamo il valore di m per cui Ax p = b: + 2 = m = 2 = 2 2 = 2 la prima, terza e quarta equazione sono identità, e dalla seconda si ricava m = Sostituiamo m = 2 nella matrice A e imponiamo Ax = : x + y + 2z = 2y 3z + w = 2y = 3x + 2y + 2w = Quindi una base per il nucleo è (-2/3,,/3,). x + 2z = 3z + w = y = 3x + 2w = x = 2/3λ z = λ/3 y = w = λ 5. Poichè nel caso m = 2 il rango è 3, e le colonne linearmente indipendenti sono la prima, la seconda e la quarta, portiamo a destra l incognita che corrisponde alla terza colonna, cioè z, e ricaviamo le altre incognite di conseguenza. x + y + 2z = 3 2y 3z + w = 2y = 2 3x + 2y + 2w = 2 x + y = 3 2z 2y + w = + 3z y = 3x + 2y + 2w = 2 x = 3 2z w = + 3z 2 y = 3x + 2w = La soluzione del sistema è quindi (2-2z,, z, -3+3z). Si osservi che il caso z = corrisponde al punto 3. 9

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