Esercizio 1. Si consideri la funzione di trasferimento. G(s) = K 1 + st

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1 Esercizio. Si consideri la funzione di trasferimento G(s) = K + st + sτ. Si dimostri che, qualunque siano i valori dei parametri reali K, T e τ, il relativo diagramma di Nyquist è una circonferenza. Si trattino separatamente i casi patologici (i) K =, (ii) T = τ nei quali la circonferenza si riduce ad un punto e il caso (iii) τ = nel quale il raggio della circonferenza è infinito e quindi la circonferenza si riduce ad una retta. Soluzione. Si considerino per prima cosa i casi patologici. Se K = e/o T = τ, la funzione di trasferimento è una costante e quindi il relativo diagramma di Nyquist è un punto (se K =, tale punto è nell origine degli assi, se K e T = τ, tale punto è in K). Se, infine, K, T τ e τ =, allora G(jω) = K( + jωt ) il cui diagramma di Nyquist è chiaramente una retta verticale di ascissa pari a K. Eliminati i casi patologici, si noti anzitutto che è sufficiente dimostrare l affermazione per K =. Infatti, per diversi valori di K l unica cosa che cambia è la scala nel diagramma di Nyquist (o, se cambia il segno di K, l orientazione degli assi del diagramma), e quindi queste variazioni lasciano immutata la forma del diagramma di Nyquist. Sia dunque G(s) = +st +sτ con T τ. I diagrammi di Bode di G(s) (nel caso di τ > T >, ma gli altri casi sono analoghi) sono Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figure : Diagrammi d Bode relativi a G(s).

2 Il diagramma di Nyquist ha quindi la forma: Figure 2: Diagramma di Nyquist relativo a G(s). È chiaro che il semidiagramma corrispondente alle ω parte, per ω =, dal punto e tende, per ω, al punto (dell asse reale) T/τ. Pertanto, se il diagramma descrive una circonferenza il suo centro deve essere in ( + T/τ)/2 = τ+t. Quindi, il diagramma descrive 2τ una circonferenza se e solo se R 2 := [Re[G(jω)] τ+t 2τ ]2 + [Im[G(jω)]] 2 è una costante (ossia è indipendente da ω). Si tratta dunque di calcolare Re[G(jω)] e Im[G(jω)]. Si ha Quindi G(jω) = ( + jωt )( jωτ) = ( + ω2 T τ) ω(t τ) + j + ω 2 τ 2 + ω 2 τ 2 + ω 2 τ. 2 [ ] 2τ( + ω R 2 2 T τ) (τ + T )( + ω 2 τ 2 2 [ ] 2 ) ω(t τ) = +. ( + ω 2 τ 2 )2τ + ω 2 τ 2 Sviluppando i calcoli, si ottiene facilmente da cui R 2 = [2τ( + ω2 T τ) (τ + T )( + ω 2 τ 2 )] 2 + [2τω(T τ)] 2 [( + ω 2 τ 2 )2τ] 2 R 2 = (T τ)2 (ω 2 τ 2 ) 2 + (T τ) 2 4τ 2 ω 2 [( + ω 2 τ 2 )2τ] 2 = (T τ)2 (ω 2 τ 2 + ) 2 [( + ω 2 τ 2 )2τ] 2 = (T τ)2 (2τ) 2. Si noti, infine che il diagramma in figura appare di forma ellittica anziché circolare solo perché le scale in ascissa e in ordinata sono differenti (utilizzando il comando Matlab axis( equal ) si forza l uguaglianza fra la scala in ascissa e quella in ordinata. In tal modo risulta evidente che il diagramma è una circonferenza). 2

3 Esercizio 2. Si consideri la funzione di trasferimento G(s) = [(s + )(s + 2)] 2. Si tracci il relativo diagramma di Nyquist e si calcolino margine di fase e margine di guadagno. Soluzione. La forma di Bode di G(s) è G(s) = 5/2 [( + s)( + s/2)] 2. I punti di spezzamento dei diagrammi di Bode (entrambi corrispondenti a poli doppi reali e negativi) sono pertanto in e 2. I diagrammi di Bode hanno dunque la forma: 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figure 3: Diagrammi d Bode relativi a G(s). 3

4 Il diagramma di Nyquist ha quindi la forma: Figure 4: Diagramma di Nyquist relativo a G(s). Si noti che la forma del diagramma alle alte frequenze non è molto ben apprezzabile dalla figura. In effetti, i due ingrandimenti riportati nelle figure successive permettono di apprezzare meglio l andamento della curva (che, come è evidente dalla teoria, deve tendere a zero avendo come tangente al punto limite il semiasse reale positivo)..4 x x 7 Figure 5: Ingrandimenti (più modesto a sinistra) del diagramma di Nyquist relativo a G(s). 4

5 Per calcolare il margine di fase m ϕ si deve calcolare la pulsazione di attraversamento ω A in cui il modulo di G(jω) è pari a. Imponendo G(jω) =, si ottiene (ω 2 + )(ω 2 + 4) = che risolta per ω > dà ω A =. Il margine di fase è dunque m ϕ = π+arg[g(jω A )] = π 2(Arg[+j]+Arg[2+j]) = π 2 π 4 2 arctan( 2 ) = π 2 2 arctan( 2 ) pari a circa 37 (vedi figura). Per calcolare il margine di guadagno M K si deve calcolare la pulsazione ω P in corrispondenza alla quale il diagramma di Nyquist attraversa il semi-asse reale negativo. Per fare ciò basta imporre che la parte immaginaria di G(jω) sia nulla. Si ha G(jω) = [(ω 2 + )(ω 2 + 4)] 2 [(2 ω2 ) 2 9ω 2 j6ω(2 ω 2 )]. Pertanto, la parte immaginaria di G(jω) si annulla se e solo se ω = oppure ω = ± 2. Evidentemente, la soluzione di interesse è ωp 2 = 2 da cui si calcola facilmente G(jω P ) = 8 = 5. Quindi il margine di guadagno è pari a pari a circa 5 db (vedi figura). M K = 2 log[/ G(jω P ) ] = 2 log(9/5) 5 Bode Diagram Gm = 5. db (at.4 rad/s), Pm = 36.9 deg (at rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figure 6: Margini di fase e di guadagno relativi a G(s). 5

6 Esercizio 3. Si consideri lo schema rappresentato in figura dove G(s) =, C(s) = K >. (s + ) 4 Si calcoli la costante K in modo che il margine di fase del prodotto L(s) = C(s)G(s) sia pari a 45. Fissato tale valore di K, si dica quanto vale il margine di guadagno. d(t) y (t) + C(s) G(s) + + y(t) Soluzione. Si tratta di calcolare che la pulsazione ω corrispondente al margine di fase assegnato si proprio la pulsazione di attraversamento ω A in cui il modulo di L(s) è pari a. Per calcolare ω (ricordando che 45 sono π/4 radianti) si deve imporre m ϕ = π 4 = π + Arg[L(jω)] = π 4 arctan(ω) da cui arctan(ω) = 3 π ossia ω 6 = tan [ 3 π].668 A questo punto, ω 6 coincide con la pulsazione di attraversamento ω A se e solo se L(jω ) =. Imponendo, questa condizione si trova K L(jω ) = ( + ω) = 2 2 da cui K = ( + ω 2 ) Risulta ora immediato tracciare il diagramma di Nyquist che ha la forma Figure 7: Diagramma di Nyquist relativo a L(s). 6

7 Si noti che la forma del diagramma alle alte frequenze non è molto ben apprezzabile dalla figura. In effetti, come è evidente dalla teoria, il diagramma deve tendere a zero avendo come tangente al punto limite il semiasse reale positivo. Anche in questo caso opportuni ingrandimenti illustrano questo fatto: 6 x x 4 Figure 8: Ingrandimenti (più modesto a sinistra) del diagramma di Nyquist relativo a L(s). Fissato il valore di K a K = ( + ω 2 ) 2 2.9, per calcolare il margine di guadagno, si deve determinare la pulsazione ω P in corrispondenza alla quale il diagramma di Nyquist attraversa il semi-asse reale negativo. Per fare ciò basta imporre che la parte immaginaria di L(jω) sia nulla. Si ha L(jω) = K (ω 2 + ) 4 [( jω)4 ] = K (ω 2 + ) 4 [( ω2 ) 2 4ω 2 4jω( ω 2 )]. Pertanto, la parte immaginaria di L(jω) si annulla se e solo se ω = oppure ω = ±. Evidentemente, la soluzione di interesse è ωp 2 = da cui si calcola facilmente Quindi il margine di guadagno è dato da pari a circa 5.63 db (vedi figura). L(jω P ) = 4K 2 4 = K 4. M K = 2 log[/ L(jω P ) ] = 2 log(4/k) 7

8 Bode Diagram Gm = 5.63 db (at rad/sec), Pm = 45 deg (at.668 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 9: Margini di fase di guadagno relativi a L(s). 8