DIMOSTRAZIONE DEL METODO DELLE COSTANTI DI TEMPO DI CORTO CIRCUITO (SCTC) E DI CIRCUITO APERTO (OCTC) (G.Spiazzi)

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Severina Zamboni
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1 DIOSTAZIOE DE ETODO DEE OSTATI DI TEPO DI OTO IUITO (ST) E DI IUITO APETO (OT) (.Spzz) nderm un generc rete lnere cmpt d retenze, cndentr e genertr cmndt. E può rppreentre un generc mplfctre d cu ule nlzzre l cmprtment n b frequenz (n tl c cndentr cndert rnn d ccppment e d byp), ppure l cmprtment n lt frequenz (n quet c le cpctà cnderte n relte mdell ld n un nterll ete d frequenze de dpt tt, pù eentul cpctà eterne ggunte cn l ntent d lmtre l rpt n lt frequenz). E d ntre ce l rete è pr d genertr ndpendent, e rppreent cì l crcut rp, cn ngre nnullt. Inltre l rete cnder eere rdtt ( cndentr n ere n prllel n ttut dl cndentre equlente) e cnne (ete un funzne d trferment nn null fr le tenn u cndentr e l tenne d uct dell mplfctre). Per l necetà d quete pte edere l dcument ugl pprfndment del metd delle ctnt d temp. e frequenze prpre dell rete rp rppreentn pl del tem e cncdn cn le rdc del plnm crttertc dell rete (plnm denmntre d qul funzne d trferment l cu rete rp bb l te tplg). D quet rete mettn n edenz tutte le prte cu fnn cp cndentr (uppnm n ), cì cme rffgurt n fgur., Ν Ν Fgur ete lnere generc, cmpt d retenze e genertr cmndt, cn cndentr pt n edenz E pble eprmere le tenn ccun prt n funzne delle crrent d tutte le prte mednte un mtrce d retenze d dmenne x (, nlgmente, d cnduttnze ): () de le mtrc e nn l eguente frm:

2 , de l nertbltà delle mtrc è curt dll pte d rete cnne. l element delle mtrc e nn l eguente gnfct:,,, (.), (.b) In prtclre, rppreent l retenz t ll prt em cn tutte le ltre prte perte, mentre rppreent l cnduttnz t ll prt em cn tutte le ltre prte crtcrcutte. e equzn cttute de cndentr pn eere rggruppte nell eguente equzne mtrcle: d dt d dt de è un mtrce dgnle cntenente lr degl cndentr dell rete: O, O () e l (4) pn eere cmbnte tr lr per rcre l equzne dfferenzle ce eprme l cmprtment delle grndezze dell rete rp: d (5.) dt ppure d dt Tl equzn, nel dmn delle plce trfrmte dentn: ( I) ppure () (4) (4.) (5.b) (6.)

3 ( I) de I è l mtrce denttà (mtrce dgnle cn tutt un ull dgnle prncple). Il plnm crttertc dell rete rc dl ermnnte dell mtrce ( I) (7.) ppure, n md nlg, ( I ) Tl mtrc n d egut rprtte: I (6.b) (7.b) (8.) I (8.b) Dmtrzne del metd delle ctnt d temp d crcut pert Il clcl del ermnnte dell mtrce (8.) dà lug d un plnm crttertc l cu termne nt è untr, mentre l ermnnte dell mtrce (8.b) prduce l te plnm crttertc m epre n frm mnm, ente cè l ceffcente del termne n d grd uperre untr. Il ermnnte d un generc mtrce A può clclre nel eguente md (lupp ecnd un rg dell mtrce): ( A) ( ) ( T ) (9) de n gl element dell mtrce, è un nter celt nell nterll [,] e T è l ttmtrce ttenut dll mtrce A elmnnd l rg em e l clnn em. Per eemp, ceglend, dll (8.) ttene: ( I) ( ) ( T ) ( T )...( ) ( ) () T Per emplctà nlzzm l c.

4 ( I) ( ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) ( )( ) ( ) ( ) ( T ) ( ) ( ) () (.) (.b) ( T ) ( ) ( ) ( ) ( I) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (.c) In defnt, l plnm crttertc è, n quet c, un plnm del terz rdne cu ceffcent n dt dlle eguent epren: ( I) D( ) (4) (5) ( ) ( ) ( ) (6) [ ( ) ( ) ( ) ] (7) me può erre, l ceffcente relt l termne d grd untr rult mm d ctnt d temp. In prtclre, pm crere: (8) de cn l ntzne ntende l retenz t ll prt em cn le ltre prte perte. All te md, le ctnt d temp nell mmtr (8) engn te ctnt d temp d crcut pert. Il ceffcente, relt l termne d ecnd grd, dll (6) rult nece dt dll mm d prdtt d ctnt d temp. Al fne d cpre l gnfct fc d tl ctnt d temp, ()

5 cnderm l fgur, ce edenz due prte dell rete d cu un è crtcrcutt, mentre tutte le ltre prte cndern perte. e equzn lle due prte dnn le eguent due relzn: Sttuend l ecnd equzne nell prm ttene: (9) Dll () er ce () rppreent l retenz t ll prt em cn l prt em crtcrcutt e tutte le ltre prte perte. el egut ndcerem tle retenz cn l mbl. In md nlg: rppreent l retenz t ll prt em cn l prt em crtcrcutt e tutte le ltre prte perte. nfrntnd le () e () er ce le l eguente relzne: () Pm, qund, crere: (4) ell pte d pl dmnnte n lt frequenz (pl frequenz mnre d tutt gl ltr pl e zer dell funzne d trferment ld n lt frequenz), l frequenz d tgl uperre può eere pprmt dll eguente eprene: ωh f H (5) π π π () () Fgur ete per l clcl d

6 Dmtrzne del metd delle ctnt d temp d crtcrcut Per l dmtrzne del metd delle ctnt d temp d crtcrcut rult pù emplce prtre dll mtrce (8.b) clclndne l ermnnte (c ): ( I ) ( T ) ( T ) ( T ) ( T ) (6) (7) ( T ) (8) ( T ) ( I ) I ceffcent del plnm crttertc n dt dlle eguent epren: b b b b () (9) ()

7 b ( ) ( ) ( ) () b [ ( ) ( ) ( )] () Oerm ce l ceffcente b è epre mednte mm d ner d ctnt d temp d crtcrcut. In generle rult: n n n b (4) de cn ntende l retenz t dl cndentre em cn tutt gl ltr crtcrcutt. Il ceffcente b, nece, rult cmpt dll mm d ner d prdtt d ctnt d temp. Per cpre l lr gnfct fcc rferment ll fgur ce rprt due prte generce dell rete n cu un è lct pert, mentre tutte le ltre n crtcrcutte. e equzn lle due prte rultn, qund: Fgur ete per l clcl d Sttuend l ecnd equzne nell prm ttene: (5) (6) Dll (6) er ce (7)

8 rppreent l cnduttnz t ll prt em cn l prt em pert e tutte le ltre prte crtcrcutte. el egut ndcerem tle cnduttnz cn l mbl. In md nlg: rppreent l cnduttnz t ll prt em cn l prt em pert e tutte le ltre prte crtcrcutte. nfrntnd le (7) e (8) er ce le l eguente relzne: (9) In generle, qund, l ceffcente b n rult dt dll eguente eprene: n n n b (4) ell pte d pl dmnnte n b frequenz (pl frequenz mggre d tutt gl ltr pl e zer dell funzne d trferment ld n b frequenz), l frequenz d tgl nferre può eere pprmt dll eguente eprene: ω b n f π π π (4) (8) OTE:.

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