I materiali ferromagnetici sono fortemente non lineari a causa dell'insorgere di fenomeni di saturazione e degli effetti isteretici.

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1 POBLEM MGNETOSTTICO IN PESENZ DI MTEILI NON LINEI Normalmente dspostv magnetc sono costtut da notevol quanttà d materale ferromagnetco, al fne d sfruttare l'elevata permeabltà relatva ed ottenere un elevato valore d nduzone magnetca con un numero d amperspre relatvamente basso. I materal ferromagnetc sono fortemente non lnear a causa dell'nsorgere d fenomen d saturazone e degl effett steretc. Trascurando gl effett steretc (ne materal ferromagnetc dolc l cclo d steres s presenta suffcentemente stretto attorno alla caratterstca d magnetzzazone normale), restano da consderare gl effett delle non lneartà dovute alla saturazone. I modell vst n precedenza (ν r =costante) sono vald solo per valutazon approssmate d problem magnetc comprendent regon costtute da materal ferromagnetc non satur (prmo tratto della curva B-H può essere consderato quas rettlneo). In tutt gl altr cas dovranno essere dsponbl de codc d anals n grado d trattare l fenomeno della saturazone ne materal ferromagnetc. I materal saranno modellzzat tramte la curva d saturazone normale (congungente dvers ccl d steres) passante per lo 0 per B=H=0.

2 La curva non è nota n forma analtca (a meno d modell puttosto semplc), ma solamente medante una caratterzzazone d tpo spermentale. Ccl d steres e curva d magnetzzazone normale.

3 Trascurando gl effett steretc l campo magnetco H ed l vettore nduzone magnetca B possono essere tra loro correlat medante una relazone costtutva dentfcata da una curva ad un solo valore, e modellzzata tramte una relazone funzonale del tpo: B = µ 0 µ ( B)H (147) r µ r (B) è una quanttà relatva al materale che tene conto della saturazone dello stesso. La quanttà µ 0 µ r è defnta come rapporto (punto a punto) tra l modulo del vettore nduzone magnetca B ed l modulo del vettore campo magnetco H. La curva dovrà essere nota n forma analtca, pertanto dovrà essere rcostruta a partre da una tabella d coppe d valor (B-H) determnat spermentalmente. In funzone della formulazone del problema (potenzale scalare o vettore) sarà utle conoscere l'espressone d µ(b) ovvero dell'nversa ν(b). Curva d saturazone tpo ed andamento della permeabltà relatva.

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7 In generale potremo dre che dovrà essere nota una funzone della generca ncognta u (potenzale scalare o vettore) del tpo: ( u) κ = f (148) Dove d volta n volta la quanttà κ potrà essere la permeabltà µ ovvero la rluttvtà ν n funzone dell'approcco seguto. La funzone f(u) deve essere contnua ed unvocamente defnta n termn del generco potenzale u. cordando la formulazone vsta n termn d potenzale vettore magnetco : [ ν( ) ] = µ 0 J (149) n tal caso l parametro d nteresse sarà: ( ) κ = ν r = f (150) Nello svluppo della dscretzzazone agl element fnt della (149) s otteneva una forma dscretzzata de coeffcent d elemento senza effettuare alcuna modellzzazone della caratterstca costtutva ν. Infatt le semplfcazon s ottenevano medante l'utlzzo d teorem dell'anals vettorale che permettevano d estrarre senza approssmazon l parametro ν dalla relazone n ν. [ ( )] $

8 La non lneartà del materale resta qund confnata ne coeffcent d elemento : = ν N N dω (151) Pertanto l problema della gestone delle non lneartà s rsolve specfcando un algortmo che permetta d trattare tale termne. Il termne d elemento vene trattato n funzone del tpo d elemento e d conseguenza del tpo d rappresentazone che s utlzza per rappresentare l'andamento della rluttvtà sull'elemento stesso (sub-, so-, super-parametrco). Per element del prmo ordne s ha che l termne ν è costante sull'elemento, n quanto l vettore nduzone magnetca B è costante sullo stesso. S avrà pertanto che la rluttvtà relatva è varable da elemento ad elemento ma costante su sngolo elemento. N N dω = 4 ( B ) ( b b c c ) ν = ν( B) + S (15) l termne ν(b) dovrà essere valutato con una tecnca d soluzone per equazon non lnear (B dpenda da ). Con element del secondo ordne ν sarà varable lnearmente sull'elemento (n quanto l campo magnetco vara lnearmente) ma resterà comunque dscontnua tra elemento ed elemento, n tal caso la rappresentazone può essere d tpo so-parametrco (andamento lneare) ovvero d tpo sub-parametrco (costante sul'elemento).!%

9 Nel caso so-parametrco s ha che la rluttvtà è rappresentable con una nterpolazone lagrangana del prmo ordne: ν = 3 = 1 N ν ν = ν B ( ) (153) Sosttuendo tale relazone nella formula che defnsce l coeffcente d elemento s ottene: 3 ( bb + cc ) 1 = ν N N dω = νl (154) 1S Gl altr termn della forma dscreta dell'equazone d governo non sono nfluenzat drettamente dalla non lneartà del materale. Pertanto l'assemblaggo della matrce conduce alla costruzone d un sstema algebrco globale del tpo: [ ( ) ]{ } { F} l= 1 K = (155) La matrce de coeffcent [K] non è pù costante, come nel caso lneare, e dpende drettamente dall'ncognta del problema (potenzale vettore magnetco). Tutt gl effett dovut alle non lneartà de materal ferromagnetc (quell consderat dal modello proposto) sono rappresentat nella matrce de coeffcent [K].!

10 Il rsultato ottenuto è perfettamente gustfcato, nfatt la matrce de coeffcent rappresenta la forma dscreta dell'operatore vettorale L ( ) applcato all'ncognta potenzale vettore, che contene anche la rluttvtà del materale: L = (156) ( ) [ ν( ) ] Il sstema algebrco che deve essere nvertto per determnare la soluzone approssmata del problema (155), è pertanto non lneare, rchede qund una tecnca d soluzone d zer d funzone per poter essere nvertto. [ ( ) ]{ } { F} = { 0 } { ( ) } = 0 K (157) Il problema defnto dalla relazone (157) è quello d determnazone degl zer d una funzone vettorale n uno spazo ad n dmenson n funzone d n varabl ncognte. Tra le tecnche d determnazone d zer d funzone non sono ovvamente applcabl, n questo caso, quelle d tpo chuso n quanto non sono not due estrem, per ogn varable, n cu sa compreso l corrspondente zero della funzone. Saranno pertanto applcabl solamente metod d tpo aperto. Il metodo pù semplce d tpo aperto è quello della Semplce Iterazone, che rchede la conoscenza d un punto nzale d tentatvo per avvare l metodo { 0 }, tramte l quale è possble calcolare la matrce de coeffcent [K( 0 )]. solvendo qund l sstema algebrco s ottene una nuova soluzone { 1 }: { } [ K( )] { F} = (158)!&

11 Il procedmento teratvo completo è rappresentato dal seguente flowchart : { 0 } stma nzale n [K( )] calcolo della matrce { 1-1 } =[K] {F} soluzone sstema algebrco no conv? test d convergenza s Il test d convergenza s effettua sulla dfferenza tra due soluzon successve, determnando l massmo e/o l valore quadratco medo del vettore d errore defnto dalla formula: { } ( n + 1 ) { } ( n + 1 e = ) { } ( n ) ( n+1 ) max { e} sogla (159) (160) Il rfermento d sogla è generalmente basato su d un concetto d tpo errore relatvo pertanto le relazon precedent devono essere modfcate defnendo un vettore errore relatvo l cu generco elemento è dato dalla relazone: ( n+ 1) ( n+ 1 ) { }! ( n ) ( n+ 1) ε = (161) max

12 Il metodo della semplce terazone può essere molto lento, dal punto d vsta della convergenza, e spesso non converge alla soluzone desderata. Nel caso del fenomeno della saturazone de materal ferromagnetc l'applcazone d un procedmento d questo tpo nnesca un fenomeno oscllatoro tra due poszon estreme della curva d magnetzzazone. Il valore nzale d tentatvo è quas sempre ottenuto consderando l campo magnetco nullo, utlzzando qund l valore nzale della rluttvtà ν r. Il valore della rluttvtà d elemento vene calcolato n base al valore del modulo del vettore nduzone magnetca sull'elemento stesso, nterpolando la curva ottenuta per punt a partre dalle coppe d valor (B,H) msurate.!

13 Metodo d Newton-aphson Il metodo vsto n precedenza della Semplce Iterazone è poco effcente e spesso non converge alla soluzone, comunque quando converge converge molto lentamente (elevato numero d terazon). Un metodo del II o ordne pù effcente è l metodo d Newton- aphson, pù rapdo nella convergenza rspetto al metodo della semplce terazone (metodo del prmo ordne), anch'esso con possbl problem d convergenza (dpendent dala poszone del punto nzale e dalla funzone d cu s cerca lo zero). Il metodo della tangente (o d N..) s basa sullo svluppo n sere d Taylor, fermato al prmo ordne, della funzone d cu s vuole determnare lo zero. Il metodo vene avvato da un punto nzale stmato a cura dell'utlzzatore. La funzone è, nel nostro caso: { } = [ K]{ } { F} = 0 (16) Per avvare l metodo è necessaro un punto nzale nello spazo ad n dmenson delle ncognte qund un vettore { 0 }. Svluppando n sere d Taylor lungo le n drezon d rcerca, a partre dal punto nzale { 0 } s ottene: 0 { ( { } + { } )} = { } T { } (163)!

14 !! dove dvers termn convolt nella (163) sono rappresentat da: { } { } { } = = = n n T n ; ; (163.1) ttolo d esempo l termne corrspondente alla prma rga del vettore {} è dato da: { } { } ( ) n n = (163.) Il prodotto del vettore d dervate parzal rspetto alle dverse ncognte per l vettore trasposto della funzone {} defnsce una matrce (che nel caso monodmensonale corrsponde alla tangente alla funzone nel punto nzale) che vene detta Matrce Jacobana del metodo: [ ] { } = = n n n n n n T J (164)

15 Pertanto la relazone che s ottene per lo svluppo n sere della funzone {} è: 0 0 { ( { } + { } )} = { ( { }) } + [ J ]{ } (165) La forma matrcale che s ottene è equvalente a quella del caso monodmensonale, solo espressa n termn d matrc e vettor. Uguaglando a zero lo svluppo n sere (165) s ottene una ntercetta per ogn asse dello spazo ad n dmenson, che rappresenta l punto d zero della tangente multdmensonale nel punto nzale { 0 }. S ottene pertanto un nuovo sstema algebrco da rsolvere per la varable vettorale {}: [ J ]{ } = { ( { }) } = ( [ K( { }) ]{ } { F} ) (166) Il metodo d Newton-aphson procede po n manera teratva secondo le relazon seguent: n+1 n n 1 { } { } [ J ] { ( { n }) } = (167) n n n dove: { ( { }) } = [ K( { }) ]{ } { F} Il vettore {} nella (167) rappresenta l resduo calcolato alla n- sma terazone, nfatt s ottene sosttuendo la soluzone d tentatvo { n } nel sstema algebrco e calcolando per ogn rga l resduo (che dovrebbe rsultare nullo se { n } fosse la soluzone esatta).!"

16 La matrce Jacobana [J] deve essere aggornata ad ogn terazone, n quanto rappresenta la tangente alla curva nel punto d tentatvo calcolato al passo precedente, nel caso monodmensonale la fgura che segue rappresenta l metodo: F K() 0 1 nche l vettore de resdu {} deve essere aggornato ad ogn terazone n quanto rappresenta l nuovo punto d partenza sulla curva [K]{}. La matrce Jacobana [J] vene costruta a partre dalla defnzone della stessa n funzone de termn d elemento. Defnendo l generco termne della matrce Jacobana come: J = = f (168) Ω Ovvamente coeffcent non null present nella generca rga -esma sono relatv a nod appartenent all'area d supporto del nodo.!#

17 Il termne può essere, per comodtà, scomposto ne dvers contrbut d elemento: = f (169) Ω Ω Ω nvertendo nella (169) gl operator d sommatora s ottene: = f (170) Ω Ω Ω S ottene pertanto che l termne d rga può essere scomposto ne contrbut de dvers element appartenent all'area d supporto: = = Ω Ω f (171) nalogamente l generco termne della matrce Jacobana può essere assemblato a partre da contrbut d elemento del tpo: J = = Ω f (17) La dervazone dell'espressone (17) conduce alla: J = + (173)!$

18 Il prmo termne della (173) s ottene dervando rspetto ad, mentre l secondo s ottene dervando coeffcent (dervazone del prodotto) che sono funzone d attraverso la non lneartà del materale (ν=ν(b)). La costruzone del coeffcente fnale della matrce Jacobana rchede la determnazone d una forma semplce (possblmente legata alle quanttà precedentemente calcolate) per la dervata de coeffcent d elemento rspetto alle ncognte : = ν N NdΩ (174) ν = N NdΩ (175) solo la rluttvtà relatva del materale dpende dal campo e qund dall'ncognta. La dervata della rluttvtà relatva rspetto all'ncognta può essere calcolata come dervata d funzone composta. Per ragon d smmetra della matrce la funzone ν vene consderata n termn del quadrato del modulo del vettore nduzone magnetca: ν = ν ( B ) ν = ν B B (176) "%

19 cordando che per element d qualsas ordne l vettore nduzone magnetca è dato dalla relazone: B = = Nl l uz l (177) s rcava che l quadrato del modulo del vettore nduzone magnetca è defnto n termn d soluzone numerca e d funzon nterpolant dalla: B = B B = N l l N l l l l (178) n quanto l'operazone d elevamento al quadrato rende ugual l prodotto scalare del rotore e quello del gradente (ovvamente solo n D). La dervata della (178) rspetto alla generca ncognta è pertanto: B = l N l l N (179) dervata del prodotto d funzon. Sosttuendo la (179) nella relazone che defnva la dervata della rluttvtà relatva (176), s ottene la (180): ν ν = ν ( B ) ν = B " ν B (176) ν = N l l N B (180) l

20 "& La (180) vene a sua volta sosttuta nella relazone che defnsce la dervata del termne d elemento (177), e s ottene la (181): Ω ν = d N N (177) ( ) Ω ν = d N N N N B l l l (181) Che può essere sosttuta nella relazone che defnsce l contrbuto d elemento al generco termne della matrce Jacobana (173), portando alla (181.1): + = J (173) + = J ( ) Ω ν + l l l d N N N N B (181.1) Muovendo l termne n sommatora su all'nterno dell'ntegrale (solo una parte de termn dpende dall'ndce ) s ottene: + = J Ω ν + d N N N N B l l l (18)

21 Nella (18) s può notare che l contrbuto d elemento alla matrce Jacobana [J] è smmetrco ne coeffcent, pertanto la matrce Jacobana contnua a godere delle propretà d smmetra tpche degl Element Fnt. Tale rsultato s ottene n forza della scelta d consderare la rluttvtà relatva ν come funzone del quadrato del modulo dell'nduzone magnetca B. La (18) può essere a questo punto ntegrata (l termne funzone d punto è costante sull'elemento) e permette d ottenere l'espressone del contrbuto d elemento alla matrce Jacobana [J]: 1 ν J = + 3 8S B ( bb + cc )( b bl + c cl ) l l (183) La (183) è una relazone d tpo smmetrco che contene un legame dretto con le ncognte del problema, qund la matrce Jacobana è legata drettamente al vettore delle ncognte {}. La formula può essere ulterormente semplfcata ntroducendo la defnzone d una quanttà d tpo geometrco legata al coeffcente d elemento: = N N dω = ν (184) supponendo d accettare la modellzzazone della rluttvtà costante sull'elemento, ma varable da elemento ad elemento. "

22 partre dalla defnzone d un coeffcente d elemento, legato solamente alla geometra (184), è possble defnre una ulterore quanttà basata su tal coeffcent: { S } = [ K ]{ } =m sm (185) la matrce [K * ] è una matrce locale d elemento defnta sulla base della sola geometra dell'elemento, ndpendentemente dalla caratterzzazone del materale. Il rsultato che s ottene è quello d poter descrvere l contrbuto d elemento alla matrce Jacobana medante una formula molto compatta, n termn de coeffcent base d elemento: ν J = ν + S B s s (186) La (186) presenta numerose analoge con l classco coeffcente d elemento, dove per esempo gradent sono sosttut da termn d tpo s. Dalla (186) s rcava che per ogn elemento può essere calcolata una matrce locale de contrbut alla matrce Jacobana n base alla formula: ν [ J ] ν [ ] + { S }{ S } T = S B (187) "

23 La matrce Jacobana globale s costrusce qund a partre dalle matrc local d elemento con un procedmento d assemblaggo delle rghe n base all'area d supporto del nodo corrspondente: = J Ω J (188) Il sstema algebrco fnale che s ottene deve po essere rsolto medante una delle tecnche d soluzone d sstem algebrc: [ J n+ ]{ n+ 1 } = { n } 1 (189) La soluzone teratva del metodo d Newton-aphson può essere utlzzata nella sua forma esatta ovvero utlzzando delle procedure semplfcate, quale ad esempo quella d non aggornare la matrce Jacobana ad ogn terazone, supponendola costante per un certo numero d pass (nteressante se s utlzzano solutor d tpo dretto). Tale procedura s nterpreta, nel caso undmensonale, come un mantenmento della pendenza per un dato numero d pass n luogo d un adeguamento della stessa ad ogn passo. "

24 In fgura è rappresentato un esempo undmensonale dell'algortmo d Newton-aphson modfcato. J Una possble ulterore modfca dell'algortmo d Newton- aphson è quella che utlzza un coeffcente d sovrarlassamento per la defnzone della successva soluzone teratva, l'obbettvo d tale modfca è gustfcato dal tentatvo d accelerare la convergenza del metodo (potes realstca se la convergenza è d tpo monotono): n+1 n { } = { } + σ{ } (190) spermentalmente, n talun cas, s è determnato un valore d σ vcno a. Un partcolare molto crtco, per la realzzazone d programm d anals che utlzzno l metodo d Newton-aphson, è quello della costruzone delle funzon relatve alla rluttvtà ν ed alla dervata della stessa rspetto al quadrato del vettore nduzone magnetca. "!

25 Il dato d partenza è la conoscenza per punt d una caratterstca d saturazone B-H, oltre naturalmente alla conoscenza del valore del modulo dell'nduzone magnetca B. partre dalla curva d saturazone, nota per punt, s rcavano le curve per punt della rluttvtà e della dervata rspetto a B n funzone d B stesso. Qund, medante un procedmento d nterpolazone a tratt, le due curve possono essere rcostrute n forma analtca. ν ν B B B Il punto crtco è rappresentato dalla dervazone della curva ottenuta per punt della rluttvtà n funzone del quadrato dell'nduzone magnetca. ν d ( ) [ pn ( B )] B ν = pn = (191) B d B S prefersce d solto realzzare una rappresentazone d ordne basso (nterpolazone lneare a tratt) che fornsce una dervata n forma d gradnata che può po essere medata ed nterpolata con una lneare a tratt (la dervata nfluenza solo la convergenza e non l rsultato dell'algortmo d N..). ""

26 Nel seguente flowchart è rportato lo schema d massma dell'algortmo d N.. Schema d massma del metodo d Newton-aphson. Costr. Coeff. Geom. ;f Soluz. Inz. { 0 }{ B 0 } calc. mat. elem. costr. Matr. Jacobana ν ; ν B [ J n ] calc. es. { n }= [ K n ]{ n } { F} Soluz. Sst. lg. { n+1 }= [ J n ]{ n } Calc. Sol. { n+1 }= { n }+{ n+1 } no max n+1 { } { n+1 } ε c s "#

27 Esemp pplcatv "$

28 etcolo adattato sulla soluzone lneare #%

29 Lnee d flusso caso lneare Mappa del modulo dell nduzone magnetca (caso lneare) #

30 vettor nduzone magnetca (caso lneare) #&

31 Lnee d flusso caso non lneare #

32 Mappa del modulo dell nduzone magnetca (caso non lneare) #

33 vettor nduzone magnetca (caso non lneare) #

34 retcolo adattato testna d regstrazone (caso lneare) lnee d flusso (caso lneare) lnee d flusso (caso non lneare) #!

35 mappa nduzone (caso lneare) mappa nduzone (caso non lneare) vettor del campo (caso lneare) vettor del campo (caso non lneare) #"