Sistemi Lineari e Tempo-Invarianti (SLI) Risposta impulsiva e al gradino

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1 Sisemi Lineari e Tempo-Invariani (SLI) Risposa impulsiva e al gradino by hp:// Con sisema SLI si inende un sisema lineare e empo invariane, rispeo alla seguene figura: Lineare: si ha quando per esso è valida la sovrapposizione degli effei y =T [ a i x i ]= a i T[ x i ] con T[] si è indicaa la generica rasformazione del filro sul segnale di ingresso Tempo-invariane: quando a una raslazione dell'ingresso corrisponde una raslazione dell'uscia rispeo allo sesso segnale applicao in precedenza x() y() => x(-) y(-) I sisemi RLC con componeni passivi sono ipici filri lineari e empo-invariani. L'uscia del sisema è come ben noo l'inegrale di convoluzione del segnale di ingresso con la risposa impulsiva del sisema sesso. Quindi: y = x h = x h d = x h d queso perchè il segnale di ingresso può essere viso come una successione di impulsi e quindi l'uscia è proprio la sovrapposizione di quesi impulsi. Nella formula di cui sopra x() rappresena il segnale di ingresso, h() la risposa all'impulso e y() il segnale di uscia. Un'alra risposa ineressane è quella al gradino; essa può essere usaa in mole siuazioni. Avendo: = du d => u = d quindi: g = h d con ovvio significao dei simboli. Quesa relazione è molo imporane perchè ci consene di calcolare g() e h() semplicemene una dall'alra.

2 Filri del primo ordine Filro Passa Basso Un ipico filro è il seguene è una squadra RC del primo ordine passa basso. La risposa impulsiva può essere oenua anirasformando la funzione di rasferimeno calcolaa con la rasformaa di laplace, abbiamo: 1 Cs 1 R 1 = Cs RCs 1 = 1 1 s 1/ avendo poso: = RC essa è la cosanye di empo del circuio RC in esame. Ricordiamo che L 1 1 s p =e p u quindi H f h = 1 e / u menre la risposa al gradino è: g = h d = 1 e / u d = 1 e / d = 1 e / u com'è ovvio, essa segue il gradino avvicinandosi ad esso all'aumenare del empo. Queso è dovuo alla carica del condensaore. Dopo un po' di empo ovviamene il condensaore si carica alla ensione del gradino, menre la correne ende a zero, divenando il condensaore in praica un circuio apero. Queso è ovvio: dopo il ransiorio l'equilibrio è raggiuno e l'equilibrio è il circuio a regime coninuo. Filro Passa Alo Il circuio duale a queso è ovviamene il filro passa alo

3 Vediamo innanziuo la funzione di rasferimeno: R RCs R 1 = Cs RCs 1 per esso non abbiamo un'anirasformaa noevole, quindi conviene sviluppare endendo cono di ques'ulima: R RCs R 1 = =1 Cs RCs 1 RCs 1 =1 1 1 s 1 quindi: H s h = 1 e / u per la risposa al gradino abbiamo: g = h d = 1 e / u d = 1 e / d quindi sviluppando: g =e / u anche in queso caso l'inerpreazione è immediaa. A mano a mano che il empo aumena andiamo verso una siuazione di regime in cui il condensaore risula un circuio apero, e quindi l'uscia in condizioni saiche quali quelle di regime è nulla. Un ingresso ineressane è quello in cui a quesi circuii viene immesso un segnale rec() oppure onda quadra (ripeizione di segnali rec: reangolare) Risposa alla rec Prendiamo ad esempio il caso passa basso:

4 sia x =rec /T un impulso reangolare cenrao in zero e duraa T; poiché è valida la sovrapposizione degli effei; x =rec /T =u u T la scompongo come sovrapposizione di due gradini, poiché è valida la sovrapposizione degli effei, l'uscia posso scriverla come: y = g g T = 1 e / u 1 e T / u T alrimeni dovremmo usare l'inegrale di convoluzione. Il risulao può essere eseso se l'ingresso è cosiuio da un'onda quadra, dao che è semplicemene una sovrapposizione di rec; significa semplicemene che l'uscia sarà una sovrapposizione delle y() sopra rovaa. Nel seguene circuio RC è rappresenao il segnale di ingresso e di uscia simulao per mezzo del workbench Mulisim 1 XSC1 A B Ex Trig 2 R1 1 1Ω V1 BIPOLARVOLTAGE C1 1uF Segnale di ingresso con duy cicle 1% Segnale di uscia: in praica come si vede in queso caso l'uscia è praicamene l'inegrale del segnale di ingresso. Il circuio appena viso passa basso per frequenze elevae risula in praica un inegraore; infai: 1 1 s

5 se il sisema è sabile è lecio passare alla cosiddea risposa in frequenza operando la rasformazione s j, in queso caso il sisema è ceramene sabile perchè il suo unico polo è a pare reale negaiva, quindi: 1 H = 1 j per H 1 j come si vede se la cosane di empo si avvicina a uno essa è proprio la risposa in fequenza di un inegraore. Analoghi argomeni possono essere usai per sudiare un filro passa alo, evenualmene anche di ordine superiore.