Esercizi di Microeconomia Avanzata

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Gabriella Maggio
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1 Esercizi di Microeconomia Avanzata Oligopolio - Soluzioni May 7, 015 Esercizio 1 Si consideri un mercato caratterizzato dalla seguente funzione di domanda inversa: costo di produzione di ogni impresa che opera in questo mercato è C(q) = 4q p(q) = 100 Q Il 1 Si determini il livello di produzione in concorrenza perfetta e il prezzo Soluzione: p(q) = 100 Q = Q(p) = 50 05pin concorrenza perfetta si ha p = MC = 4 = Q CP = 48 Si determini il livello di produzione e il prezzo in monopolio Soluzione: il monopolista massimizza i protti π = (100 Q)Q 4Q La condizione del primo ordine è dπ dq = 100 4Q 4 = 0 = QM = 4, P M = = 5 3 Si assuma che vi sono due imprese che operano in questo mercato e che tali imprese competono a' la Cournot Derivare le funzioni di reazione di ciascuna impresa e rappresentarle gracamente Soluzione: l'impresa i massimizza i protti π i (q i, q j ) = (100 q i q j )q i 4q i rispetto a q i condizione del primo ordine è dπi = 100 4q i q j 4 = 0 = q i (q j ) = max { 0, 4 1 q j} La 4 Si determini l'equilibrio di Cournot Soluzione: dato che le due imprese sono identiche in equilibrio si avrà q 1 = q Possiamo sfruttare la simmetria del problema per ottenere le quantità di equilibrio: q 1 = 4 1 q 1 = q 1 = q = 16 Q = 3 e P = = 36 Esercizio Si consideri un mercato oligopolistico con imprese identiche La funzione di costo dell'impresa i è C(q i ) = F + cq i per i = 1,, La funzione di domanda inversa è P (Q) = A Q, dove Q = i q i Le imprese competono a' la Cournot 1

2 1 Determinare l'equilibrio di Cournot Soluzione: l'impresa i massimizza i protti π i = (A q i Q i )q i cq i F rispetto a q i La condizione del primo ordine è dπi = A q i Q i c = 0 = q i (q j ) = max { 0, 1 A 1 Q i 1 c} se ( 1 A 1 Q i 1 c) F Poichè le imprese sono identiche in equilibrio si avrà Q i = ( 1)q i e quindi q i = +1 per i = 1,, Di conseguenza Q = q i = +1 (A c) p = A+c +1 e π i = ( +1) F Come varia la quantità prodotta da ciascuna impresa al variare di? Soluzione: calcoliamo la derivata di q i rispetto a dq i d imprese ciascuna impresa produce una quantità inferiore 3 Come varia la quantità totale al variare di? Discutere = (+1) Soluzione: calcoliamo la derivata di Q rispetto a dq d = (+1) imprese la quantità totale oerta nel mercato aumenta 4 Determinare il numero di imprese in equilibrio con free entry nel mercato < 0 All'aumentare del numero di > 0 All'aumentare del numero di Soluzione: in equilibrio si deve avere che i protti di ciascuna impresa sono nulli, quindi F E è denita ( ) dalla condizione +1 F = 0 ( + 1) = () F 5 Il numero di imprese in equilibrio corrisponde al numero di imprese socialmente ottimo? Soluzione: si deve determinare il surplus sociale (social welfare SW) come funzione di e massimizzarlo rispetto ad SW è la somma dei protti delle imprese e del surplus del consumatore Il surplus del consumatore è l'area al di sotto della curva di domanda e sopra la linea del prezzo, [ ] quindi in questo caso è pari a CS() = 1 (A p)q = 1 () +1 SW () = πi () + CS() = ( ) [ ] +1 F + 1 () +1 Per trovare il valore di che massimizza SW consideriamo la condizione del primo ordine: dsw d = (A c) (+1) (+1) (+1) 4 F + 1 (A c) (+1) (+1) (+1) 4 = 0 Semplicando e mettendo in evidenza si ottiene () (+1) 3 = F e cioè ( SW + 1) 3 = () F Confrontando questa condizione con la condizione ottenuta al punto precedente si ha SW < F E : il numero di imprese in equilibrio con free entry è superiore al numero di imprese socialmente ottime Esercizio 3 Si consideri un mercato oligopolistico con imprese identiche La funzione di costo dell'impresa i è C(q i ) = cq i per i = 1,, La funzione di domanda inversa è P (Q) = Q 1/ɛ, dove Q = i q i Le imprese competono a' la Cournot 1 Determinare l'equilibrio di Cournot Soluzione: p c p = si ɛ ( dove s i = qi Q = 1 ɛc Quindi si ha: p = ɛ 1, Q = ɛc ɛ 1 ) ɛe qi = 1 ( ɛ ɛc ɛ 1)

3 Determinare i protti di ciascuna impresa ( ) ( ) ɛc π i = (P c)q i = ɛ 1 c 1 ɛc ɛ 1 Esercizio 4 Due imprese producono un bene omogeneo e competono sui prezzi Le due imprese si trovano ai due estremi di un segmento di lunghezza unitaria I consumatori (massa M) sono distribuiti uniformemente lungo il segmento e hanno identica valutazione del bene pari a v Ciascun consumatore acquista al massimo un'unità del bene e incorre in una disutilità pari t volte la distanza dall'impresa dalla quale acquista L'utilità di un consumatore ad una distanza d dall'origine è pari a v p 1 td se acquista dall'impresa 1 e v p t(1 d) se acquista il bene dall'impresa Si assuma che in equilibrio tutti i consumatori sono serviti 1 Determinare la posizione del consumatore indierente tra le due imprese in funzione di t, p 1 e p Soluzione: il consumatore indierente si trova ad una distanza z dall'impresa 1 tale per cui v p 1 t z = v p t(1 z) z = p p1+t Determinare le funzioni di domanda per ciascuna impresa Soluzione: la posizione del consumatore indierente ci aiuta a determinare le funzioni di domanda Chiaramente se z < 0 la domanda per l'impresa 1 è zero perchè tutti acquistano dall'impresa Se z > 1 la domanda per l'impresa è zero e tutti i consumatori acquistano dall'impresa 1 Se z [0, 1] la domanda per l'impresa 1 è data da tutti i consumatori che si trovano alla sinistra del punto z, cioè M z mentre la domanda per l'impresa è data da tutti i consumatori che si trovano alla destra di z, cioè (1 z)m Quindi: 0 se p 1 > p + t x 1 (p 1, p ) = p p 1+t M se p 1 [p t, p + t] M se p 1 < p t 0 se p > p 1 + t x (p 1, p ) = p 1 p +t M se p 1 [p 1 t, p 1 + t] M se p < p 1 t 3 Determinare le funzioni di reazione di ciascuna impresa Soluzione: si noti che per l'impresa j scegliere un prezzo p j > p i + t dà protti nulli come p j = p i + t e scegliere un prezzo p j < p i t dà protti negativi e inferiori a come p j = p i t Quindi possiamo 3

4 restringere l'attenzione a p j [p i t, p i + t] e il problema di massimizzazione di ciascuna impresa diventa max p j (p j c) t p j + p i M tc p j [p i t, p i + t] La condizione del primo ordine ci dà (p j c) M + t pj+pi M = 0 Tenendo presente il vincolo quindi otteniamo: p i + t se p i c t b j (p i ) = t+p i+c se p i [c t, c + 3t] p i t se p i c + 3t 4 Determinare l'equilibrio di ash simmetrico del gioco Soluzione: data la simmetria del gioco sappiamo che in equilibrio si avrà p 1 = p = p Quindi p = 1 (t + p + c) p = t + c Esercizio 5 Due imprese producono beni dierenziati e competono sui prezzi La funzione di domanda del bene i è D i (p i, p j ) = α i β i p i + γ i p j per i = 1, e i j 1 Determinare le funzioni di reazione di ciascuna impresa e rappresentarle gracamente Soluzione: ogni impresa sceglie il prezzo massimizzando i propri protti per un dato livello del prezzo scelto dall'altra impresa I protti dell'impresa i sono π i (p i, p j ) = (α i β i p i +γ i p j )p i Dalla condizione del primo ordine otteniamo: b i (p j ) = αi+γipj per i = 1, Determinare le condizioni sui parametri necessarie per l'esistenza di un equilibrio Soluzione: perchè vi sia un equilibrio la pendenza delle due curve di reazione deve essere tale per cui vi è intersezione b i (p j) = γi per i = 1, Si deve quindi avere γ1 β 1 < β γ γ 1 γ < 4β 1 β 3 Assumendo che le condizioni al punto sono soddisfatte, determinare l'equilibrio di ash in strategie pure Soluzione: dalla soluzione al punto 1 sappiamo cheb i (p j ) = αi+γipj per i = 1, Ponendo a sistema le due equazioni in due incognite otteniamo i prezzi di equilibrio p 1 = α1β+αγ1 4β 1β γ 1γ e p = αβ1+α1γ 4β 1β γ 1γ 4 Determinare prezzi e quantità di equilibrio quando γ i = 0 per ogni i Soluzione: ogni impresa sceglie il prezzo massimizzando i propri protti nel mercato in cui è monopolista I protti dell'impresa i sono π i (p i ) = (α i β i p i )p i Dalla condizione del primo ordine otteniamo: p i = αi per i = 1, 4

5 Esercizio 6 Si consideri un mercato oligopolistico con imprese identiche La funzione di costo dell'impresa i è C(q i ) = cq i per i = 1,, La funzione di domanda inversa è P (Q) = A Q, dove Q = i q i L'impresa 1 è leader nel senso di Stackelberg, mentre le restanti -1 imprese sono followers e competono a' la Cournot tra di loro 1 Determinare le funzioni di reazione delle imprese follower in funzione della quantità prodotta dall'impresa leader e dalle altre imprese follower Soluzione: π i (q i, q L, Q i F ) = (A q i q L Q i L )q i cq i dπi = A q i q L Q i L c = 0 = q i (q 1, Q i L ) = max { 0, 1 A 1 q L 1 Q i L 1 c} Determinare le funzioni di reazione delle imprese follower in funzione solo della quantità prodotta dall'impresa leader e del numero di imprese Soluzione: Poichè le -1 imprese che competono a' la Cournot sono identiche in equilibrio si avrà Q i L = ( )q i e quindi q i (q L ) = 1 q L per i = 1,, 1 Di conseguenza Q L (q L ) = ( 1)q i (q L ) = 1 [(A c) q L] 3 Determinare la quantità prodotta dall'impresa leader Soluzione: L'impresa leader massimizza i protti prendendo in considerazione la reazione delle altre imprese, quindi sceglie q L in modo da massimizzare π L (q L ) = ( A q L 1 [(A c) q L] ) q L cq L Dalla condizione del primo ordine si ottiene q L = 4 Come varia la quantità prodotta dall'impresa leader al variare del numero di imprese presenti nel mercato? Discutere Soluzione: L'impresa leader produce q L = Tale quantità non dipende dal numero di imprese presenti nel mercato perchè l'impresa leader ha il vantaggio della prima mossa e quindi non è inuenzata dal livello di concorrenza tra le imprese follower 5

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Domande 1. La seguente tabella rappresenta la curva di domanda relativa a un monopolista che produca a un costo marginale costante e pari a 5 euro. Prezzo 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Quantità 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a)