Microeconomia. 1. Si calcolino le produttività marginali del lavoro e del capitale e il saggio marginale di sostituzione tecnica.

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1 Micoeconomia Esecizio 1 Sia data la funzione di poduzione Q =K 1/ L 1/,conw =e =8. 1. Si calcolino le poduttività maginali del lavoo e del capitale e il saggio maginale di sostituzione tecnica.. Si deteminino le quantità ottime di capitale e lavoo e le funzioni di costo totale, medio e maginale nel lungo peiodo.. Nell ipotesi che l impesa disponga nel beve peiodo di K = 400, si deteminino le funzioni costo totale, medio e maginale nel beve peiodo. 1. Le poduttività maginali del lavoo e del capitale sono: MP L = Q L = K1/ L 1/ MP K = Q K = K 1/ L 1/ Il saggio maginale di sostituzione tecnica è dato dal appoto ta le due poduttività maginali: MRTS K,L = MP L MP K = K1/ L 1/ K 1/ L 1/ = K L. Pe deteminae le quantità ottime di capitale e lavoo pe ottenee un livello di poduzione Q, si deve eguagliae il saggio maginale di sostituzione tecnica al appoto ta i pezzi dei fattoi poduttivi: MRTS K,L = w V K L = 8 V K = 1 4 L Sostituendo questa elazione nella funzione di poduzione, si ha: µ 1 1/ Q =K 1/ L 1/ = 4 L L 1/ = L da cui si icava che le quantità ottime di lavoo e capitale sono: L = Q; K = 1 4 Q 1

2 Le funzioni di costo totale, medio e maginale nel lungo peiodo sono: TC = wl + K =Q Q =4Q AC = TC Q = 4Q Q =4 MC = TC Q =4. Nelbevepeiodolaquantitàdicapitaleèfissa (K = 400): Q =K 1/ L 1/ = 400L 1/ =40L 1/ Pe ottenee un livello di poduzione pai a Q, deve valee la elazione Q =40L 1/, da cui si ottiene la quantità ottima di lavoo: Q =40L 1/ V L 1/ = Q 40 V L = Q 1600 Le funzioni di costo totale, medio e maginale nel beve peiodo sono: Esecizio TC = wl + K = Q Q = AC = TC Q = Q Q MC = TC Q = Q 800 = Q 400 In una ceta industia, in condizioni di pefetta concoenza, nel beve peiodo opeano 0 impese, ciascuna con funzione di costo C(q) =+q. La funzione di domanda di mecato è Q d = 600 p. Stabilie: 1. La funzione di offeta della singola impesa e la funzione di offeta aggegata.. La configuazione del mecato di beve peiodo.. La configuazione di equilibio di lungo peiodo. 1. In pefetta concoenza ogni impesa opea ad un livello tale pe cui il costo maginale è pai al pezzo: MC = p

3 In questo caso il costo maginale è: MC(q) = C(q) q =6q Eguagliando il costo maginale al pezzo, si ottiene l offeta della singola impesa: q = p 6 Poiché le impese sono 0, l offeta aggegata è: Q s =0q =5p. L equilibio di mecato nel beve peiodo si icava dall eguaglianza Q d = Q s 600 p = 5p che dà p = 100 e Q d = Q s = 500. Ciò implica che ciascuna impesa poduce q = 500/0 = 16, 67.. Nel lungo peiodo, con libetà di entata, ogni impesa opea nel punto di costo medio minimo, ossia nel punto in cui la cuva di costo maginale inteseca la cuva di costo medio: MC = AC = p dove MC =6q e AC = C(q) q costo maginale si ottiene: = q +q. Eguagliando il costo medio al 6q = q +q V 6q =+q V q = Poiché il costo maginale e il costo medio calcolati in coispondenza di q = devono coincidee con il pezzo, si ha che: q p =6 Sostituendo il pezzo di equilibio nella funzione di domanda di mecato, si ottiene: Q d = In equilibio l offeta aggegata deve essee uguale alla domanda di mecato: Q s = Q d = 600 6

4 Il numeo di impese che opeano nel mecato si ottiene dividendo l offeta aggegata pe la quantità offeta da ciascuna impesa: Esecizio n = Qs q = 600 q 6 q =600 6 = 78, 85 In un settoe concoenziale opeano 1000 impese. La cuva di costo maginale di beve peiodo è: MC(q) =4+q. Se la cuva di domanda invesa del settoe è: p =10 Q d /1000, quale saebbe la pedita di suplus dei consumatoi e dei poduttoi se la poduzione dovesse essee azzeata? In pefetta concoenza ogni impesa opea ad un livello tale pe cui il costo maginale (4+q) è pai al pezzo p. Da questa eguaglianza si icava l offeta della singola impesa: q = p 4 Poiché nel mecato opeano 1000 impese, la funzione di offeta aggegata è: Q s = 1000(p 4) = 1000p 4000 Dalla elazione p =10 Q d /1000 si ha che la funzione di domanda di mecato è: Q d = p L equilibio di mecato si ha quando Q s = Q d : 1000p 4000 = p dacuisiottienechep =6e Q s = Q d = 000. Il suplus del consumatoe è dato dall aea S C nella figua: 000 (10 6) S C = Il suplus del poduttoe è (aea S P )è: = (6 4) S P = = 000 Se la poduzione dovesse essee azzeata (Q =0), si avebbe S P = S C =0. La pedita totale di suplus saebbe dunque pai alla somma delle due aee: S C + S p =

5 Figue 1: Esecizio 4 In una città 80 impese concoenziali identiche vendono lo stesso podotto dopo ave ottenuto dal Comune una licenza che costa 80 euo. Pe ciascuna impesa i costi fissi sono pai al costo della licenza. La funzione di costo maginale è: MC(q) =q. La funzione di domanda invesa di mecato è p = 80 0, 1Q d. 1. Ricavate la funzione individuale di offeta di ogni impesa e la funzione di offeta di mecato.. Deteminate il pezzo e la quantità venduta sul mecato di equilibio.. Pe aumentae le entate il comune può indiffeentemente (i) aumentae del 50% il costo di ogni licenza; (ii) concedee nuove licenze al vecchio costo di 80 ciascuna a 40 nuove impese identiche a quelle esistenti. Pe quale delle due politiche isulta maggioe la somma del suplus aggegato dei consumatoi e del suplus aggegato dei poduttoi? 1. Eguagliando il costo maginale al pezzo (q = p), si ottiene l offeta della singola impesa: q = p 5

6 Poiché nella città opeano 80 impese identiche ta loo, la funzione di offeta aggegata è pai a: Q s 1 =80q =80 p =40p. Dalla funzione di domanda invesa di mecato p = 80 Q d /10 si ottiene la funzione di domanda di mecato: In equilibio: Q d = p Q s 1 = Q d 40p = p dacuisihachep = 800/50 = 56 e Q s 1 = Qd =40. (i) Nel caso di un aumento del 50% del costo di ogni licenza le condizioni di equilibio non vaiano e, quindi, il pezzo e la quantità di equilibio sono quelli tovati al punto. Ciò dipende dal fatto che l impesa opea nel punto in cui il costo maginale è uguale al pezzo e il costo maginale non viene influenzato dalla vaiazione del costo della licenza, che è un costo fisso Scivendo p in funzione di Q s si ha: p = Qs 1 40 (ii) Se il comune concede la licenza a 40 nuove impese identiche a quelle esistenti, le impese che opeano nella città da 80 diventano 10. L offeta di ciascuna impesa imane invaiata (il costo maginaleèsempelostesso),mal offeta aggegata oa è: In equilibio: Q s = 10q = 10 p =60p Q s = Q d 60p = p da cui si ha che p =800/70 = 40 e Q s = Qd = 400. Scivendo p in funzione di Q s si ottiene: p = Qs 60 6

7 p 80 Q 1 s Q s Q Figue : Dalla figua è evidente che il suplus totale nel caso (ii) è supeioe al suplus totale nel caso (i). Anche se l esecizio non lo ichiede, è possibile calcolae il suplus aggegato nei due casi. In (i) il suplus del consumatoe è S C = (80 56) 40/ = 50880, il suplus del poduttoe è S P = 56 40/ = 670 e, quindi, il suplus aggegato è pai a S 1 = In (ii), invece, S C = (80 40) 400/ = 88000, S P =40 400/ = e S =