misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x"

Transcript

1 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto un punto, che chiamiamo l origine. Scegliamo poi tre rette perpendicolari che si incontrano in : due rette orizzontali come assi delle e delle, e la terza verticale come asse delle. Fissiamo su di esse un verso edun unità di misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali, che indicano rispettivamente le proiezioni di P sugli assi delle, e. P Fig.. Il punto P = ( nello spazio R 3. Le coordinate, e 3 individuano il punto P in modo unico. Si possono identificare quindi i punti P dello spazio con le terne : P =. Ad esempio, i punti sull asse delle sono quelli che soddisfano = =, i punti sull asse delle quelli che soddisfano = = e i punti sull asse delle quelli che soddisfano = =. L origine è il punto. L insieme delle terne ordinate si chiama spazio cartesiano e si indica con R 3 : R 3 = { :,, R}. Nello spazio R 3, insieme agli assi coordinati, si considerano anche i piani coordinati: sono i tre piani ortogonali che si intersecano nell origine, ognuno dei quali contiene due dei 3 assi coordinati. Essi sono: il piano (, i cui punti soddisfano =, il piano (, i cui punti soddisfano = ed il piano (, i cui punti soddisfano =.

2 = = = Fig.2. I piani coordinati in R 3 Come nel caso del piano, indicheremo in seguito con estremo il punto. anche il vettore uscente dall origine e di Fig.3. Il vettore = (. Il vettore = di lunghezza zero, si chiama vettore nullo. Per semplicità di notazione, scriveremo spesso sottointendendo = ; similmente scriveremo y per y y 2, etc... y 3 2

3 Definizione. Siano e y due vettori in R 3. Allora la somma + y di e y è il vettore dato da + y = + y + y 2 + y 3 Il vettore opposto del vettore è il vettore = La differenza y dei vettori e y è il vettore y = y y 2 y 3 Definizione. Sia λ R. Il prodotto di per λ è il vettore dato da λ = λ λ λ Come nel piano, anche nello spazio la somma tra vettori ha un interpretazione geometrica. Osserviamo che due vettori qualunque e y in R 3 sono contenuti in un piano π passante per, e y. Il vettore somma + y si trova applicando la regola del parallelogramma ai vettori e y sul piano π. Per costruzione, + y è contenuto nel piano π. Resta solo da verificare che le coordinate di + y così ottenute sono effettivamente + y + y 2 + y 3 Anche in R 3, il vettore differenza y è paralello alla retta passante per e y; la lunghezza di y è uguale alla distanza fra e y. y +y -y Fig.4. La somma + y, la differenza y. Osservazione. La costruzione appena discussa è utile perché riconduce la somma di vettori nello spazio ad una somma di vettori sul piano. Ci permette inoltre di definire l angolo ϑ fra due vettori e y dello spazio, 3

4 come l angolo da essi formato nel piano π che li contiene. Nel caso in cui e y sono uno multiplo dell altro, il piano π non è unico ed i vettori, y, + y, y stanno tutti sulla stessa retta. In questo caso, l angolo fra e y è ϑ =. y θ Fig.5 L angolo ϑ fra e y. La somma fra vettori gode delle seguenti proprietà: Proposizione 4.. (i (Proprietà associativa della somma Per ogni, y, z R 3 ( + y + z = + (y + z; (ii (Proprietà commutativa Per ogni, y R 3 + y = y + ; (iii (Proprietà associativa del prodotto Per ogni R 3 e λ, µ R λ(µ = (λµ; (iv (Proprietà distributiva Per ogni, y R 3 e λ, µ R λ( + y = λ + λy, (λ + µ = λ + µ. Dimostrazione. Anche in questo caso, le proprietà (i, (ii, (iii e (iv sono semplici conseguenze delle analoghe proprietà dei numeri reali. Definizione. (Prodotto scalare. Dati due vettori e y in R 3 il prodotto scalare y è il numero reale dato da y = y + y 2 + y 3. Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà 4

5 Proposizione 4.2. (i (Proprietà commutativa Per ogni, y R 3 y = y ; (ii (Proprietà distributiva Per ogni, y, z R 3 (y + z = y + z; (iii (Omogeneità Per ogni, y R 3 ed ogni λ R λ( y = (λ y = (λy; (iv (Positività Per ogni R 3, = se e soltanto se =. Dimostrazione. La dimostrazione è molto simile a quella della Prop..2 ed è lasciata al lettore. Definizione. La norma di un vettore R 3 è definita da = = Per il Teorema di Pitagora, la norma del vettore è uguale alla lunghezza del segmento congiungente e. Equivalentemente, la norma di è la distanza del punto dall origine Fig.6. Il Teorema di Pitagora in R 3. Analogamente, dalla Fig.4 vediamo che y è la distanza fra i punti e y y 2. Usando la norma, y 3 diamo un interpretazione geometrica del prodotto scalare. Proposizione 4.3. Siano e y due vettori in R 3. (i Allora y = y cos ϕ dove ϕ è l angolo fra i vettori e y. (ii I vettori e y sono perpendicolari se e soltanto se y =. 5

6 Dimostrazione. Sia π un piano che passa per, e y. Consideriamo in π il triangolo di vertici i punti, e y. Dalla Fig.4, vediamo che i lati del triangolo hanno lunghezze, y e y. Applicando la regola del coseno troviamo y 2 = 2 + y 2 2 y cos ϕ. Dalla definizione stessa della norma abbiamo e quindi ( y 2 + ( y ( y 3 2 = y 2 + y y y cos ϕ 2 y 2 y 2 2 y 3 = 2 y cos ϕ come richiesto. Per la parte (ii, osserviamo che cos ϕ = se e soltanto se ϕ = ±π/2, cioè se e soltanto se ϕ è un angolo retto. Corollario 4.4. (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Siano e y vettori in R 3. Allora y y. Dimostrazione. Questo segue dal fatto che cos ϕ. (Vedi l Eserc..B. Proposizione 4.5. Siano e y vettori in R 3. Allora (i (Disugualianza triangolare + y + y ; (ii Per ogni λ R λ = λ. Dimostrazione. (i Sia π un piano che passa per, e y. In π c è il triangolo di vertici, e + y. Poiché i lati hanno lunghezze, y e + y, la disuguaglianza triangolare in R 3 segue dalla disuguaglianza triangolare nel piano. Una seconda dimostrazione dello stesso fatto si può ottenere anche usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz del Cor.4.4: + y 2 = ( + y 2 + ( + y ( + y 3 2 = y 2 + y y ( y + y 2 + y 3 = 2 + y y, 2 + y y = ( + y 2. Poiché + y e + y sono numeri non negativi, possiamo estrarne le radici quadrate ottenendo la disuguaglianza cercata. (ii Direttamente dalla definizione della norma troviamo λ 2 = (λ 2 + (λ 2 + (λ 2 = λ 2 ( = λ 2 2. Estraendo le radici quadrate, otteniamo come richiesto. λ = λ Come applicazione del prodotto scalare, calcoliamo le proiezioni ortogonali di un vettore R 3 su una retta l o su un piano β, passanti per l origine. Proposizione 4.6. Sia un vettore in R 3. (i La proiezione ortogonale π( di sulla retta l passante per l origine e parallela al vettore y è data da π( = cy, ove c = y y 2 ; 6

7 (ii La proiezione ortogonale π( di sul piano β passante per l origine di equazione n = è data da π( = λn, ove λ = n n n. Dimostrazione. (i La dimostrazione è del tutto simile a quella della Proposizione.6 ed è lasciata al lettore. (ii Sia π( la proiezione ortogonale di sul piano β. Allora π( è un vettore perpendicolare a β e dunque soddisfa π( = λn per un opportuno scalare λ. Poiché π( appartiene a β vale n π( =, da cui si ricava λn n = n e quindi λ = n n n come richiesto. π β ( β Fig.7. La proiezione ortogonale del vettore sul piano β. Introduciamo adesso il prodotto vettoriale in R 3 : si noti che il prodotto vettoriale non è definito nel piano R 2, né in R n per n > 3. È una nozione che esiste solo in R3. Il prodotto vettoriale è un applicazione che ad una coppia di vettori, y R 3 associa un terzo vettore y R 3. Definizione. Siano, y R 3. Il prodotto vettoriale y di e y è il vettore di R 3 definito da y = 2y 3 y 2 y y 3 y 2 y Proposizione 4.7. Siano, y R 3. Il prodotto vettoriale y gode delle seguenti proprietà: (i y = y; (ii Il vettore y è perpendicolare sia ad che a y: ( y =, y ( y = ; (iii La norma di y soddisfa dove ϕ è l angolo fra e y. y = y sen ϕ, 7

8 Dimostrazione. (i Direttamente dalla definizione, abbiamo Per dimostrare (ii, calcoliamo y = y 2 y 3 y 3 y = y. y y 2 ( y = 2y 3 y 2 y y 3 y 2 y Similmente troviamo y ( y =. Per la parte (iii abbiamo 2 y 2 sen 2 ϕ = 2 y 2 ( cos 2 ϕ = ( y 3 y 2 + ( y y 3 + ( y 2 y =. = 2 y 2 ( y 2 = ( (y 2 + y y 2 3 ( y + y 2 + y 3 2 = y y y 2 + 2y y 2 + 3y y y 2 2 y y 3 2 y 2 y 3 = ( y 2 y 2 + ( y 3 y 2 + ( y 3 y 2 2 = y 2. Estraendo le radici quadrate, troviamo l uguaglianza cercata. Questo conclude la dimostrazione della proposizione. Proposizione 4.8. Il parallelepipedo di spigoli i vettori, y e z ha volume V dato da V = y 2 z 3 + y z 2 + z y 3 z 2 y 3 y z 3 z y 2 = det y z y 2 z 2 y 3 z 3. Dimostrazione. Il volume V del parallelepipedo di spigoli, y e z è uguale all area del parallelogramma di vertici,, y e + y moltiplicata per l altezza. L altezza è uguale alla lunghezza della proiezione del vettore z sulla retta che passa per e y. y θ z y ϕ Fig.8. Il parallelepipedo di spigoli, y e z. 8

9 Per la Prop..7, l area del parallelogramma è uguale a y sen ϕ, ove ϕ è l angolo fra i vettori e y, e la lunghezza della proiezione di z sulla retta per e y è uguale a z cos ϑ, ove ϑ è l angolo fra i vettori z e y. Il volume V è quindi dato da V = y sen ϕ z cos ϑ = y z cos ϑ = z ( y = z ( y 3 y 2 + z 2 ( y y 3 + z 3 ( y 2 y. Osserviamo infine che l espressione z ( y 3 y 2 +z 2 ( y y 3 +z 3 ( y 2 y coincide col determinante della matrice y z y 2 z 2, y 3 z 3 e ciò completa la dimostrazione della Proposizione. Definizione. L orientazione Or(, y, z di tre vettori, y, z R 3 è il segno del determinante det y z y 2 z 2 y 3 z 3 Si dice che, y, z sono orientati positivamente se Or(, y, z >. Per esempio, i vettori e, e 2 e e 3 sono orientati positivamente perchè det = + + =. Scambiare due vettori cambia il segno dell orientazione: Or(y,, z = Or(, y, z. Geometricamente, tre vettori, y e z sono orientati positivamente se possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l indice della mano destra. Altrimenti sono orientati negativamente e possono essere identificati rispettivamente con il medio, il pollice e l indice della mano sinistra. z indice z indice y pollice medio medio y pollice Mano sinistra Mano destra Fig.9. L orientazione. 9

10 Osservazione. I vettori {, y e y} formano una terna di vettori orientata positivamente. Esercizi. (4.A Siano = ( 2 3 e y = ( 2 3 due vettori in R 3. (i Calcolare y, + 3y e 2 + y. (ii Calcolare le lunghezze di questi vettori. (4.B Siano e y i vettori dell Eserc.4.A. (i Calcolare i prodotti scalari y, e anche (5 + 7y. (ii Calcolare il coseno dell angolo fra e y. (iii Calcolare il coseno dell angolo fra e + y. (4.C Sia il vettore dell Eserc.4.A. (i Trovare un vettore v tale che v =. (ii Trovare un vettore w tale che { w =, v w =. (4.D Sia v R 3 un vettore non nullo. Sia λ = v. (i Calcolare la lunghezza di λ v. (ii Trovare un vettore parallelo a v che abbia lunghezza /λ. (4.E Siano e y due vettori in R 3. Sia v = (i Calcolare le distanze y, v e y v. (ii Far vedere che v è il punto medio fra e y. (4.F Siano e y i due vettori dell Eserc.4.A. (i Calcolare y. (ii Calcolare ( y. (iii Calcolare l area del triangolo di vertici, e y. ( ( + y /2 ( + y 2/2. ( + y 3/2 ( ( (4.G Siano = e y = 2. (i Trovare un vettore v perpendicolare sia a che a y. (ii Trovare un vettore come nella parte (i, di lunghezza. (4.H Siano, y e z i vettori (, 2 ( 2, 2 ( 3. (i Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori, y e z. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori 2, y e z. (iii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + y, y e z. (iv Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + 5y + 7z, y e z. (4.I Siano, y e z i vettori in R 3 dati da ( 6 2, 3 ( 2 3, 6 ( (i Calcolare le lunghezze di, y e z e i coseni degli angoli fra, y e z. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori + 5y + 7z, y e z. ( ( ( (4.J Siano = e y = e z =. 2 3.

11 (i Calcolare i vettori ( y z ed (y z. (ii Calcolare ( y z ed (y z. (4.K Siano, y e z i vettori dell Eserc.4.H. (i Calcolare l orientazione Or(, y, z. (ii Calcolare l orientazione Or(y, z,. (iii Calcolare l orientazione Or(, y, + y. (4.L Siano,,..., 8 R 3 gli otto punti in R 3 dati da ( ( =, =, = 5 = ( 5, 6 = ( 5, 7 = ( 2 ( 2 5 (, 4 = (, 8 =. 5 (i Far vedere che,, e 4 sono i vertici di un parallelogramma. (ii Far vedere che i + 5 = i+4 per ogni i, i 4. (iii Far vedere che,..., 8 formano i vertici di un parallelepipedo. Calcolarne il volume. (4.M Siano, y, z R 3 e supponiamo che Or(, y, z = +. (i Far vedere che i vettori, y e z si possono mettere in ordine in sei modi diversi:, z, y oppure z,, y ecc. (ii Per tutti i sei modi calcolare l orientazione: Or(, z, y, Or(z,, y... ecc. (4.N Siano α, β, γ R numeri non nulli che soddisfano α + β + γ =. Consideriamo i seguenti vettori in R 3 : p = ( αβ βγ, q = γα ( βγ γα, r = αβ ( γα αβ. βγ (i Calcolare gli angoli fra i vettori p, q e r. (ii Calcolare il volume del parallelepipedo che ha come spigoli i vettori p, q e r.

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo

Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.

Dettagli

Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25

Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte

Dettagli

Argomenti Capitolo 1 Richiami

Argomenti Capitolo 1 Richiami Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)

Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.

VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:

Dettagli

Prodotto scalare e norma

Prodotto scalare e norma Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b

e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b 8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi

Dettagli

Funzioni goniometriche

Funzioni goniometriche Funzioni goniometriche In questa dispensa vengono introdotte le definizioni delle funzioni goniometriche. Preliminarmente si introducono le convenzioni sull orientazione degli angoli e sulla loro rappresentazione

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine

Esercizi di Geometria Affine Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Le sezioni piane del cubo

Le sezioni piane del cubo Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del

Dettagli

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008

ALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008 LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale

Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale Momento angolare L. P. Maggio 2007 1. Prodotto vettoriale 1.1. Definizione Il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali a e b è un vettore c così definito: a) Il modulo di c è pari all area del

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

Prodotto scalare. Piani e rette nello spazio. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Prodotto scalare. Piani e rette nello spazio. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Prodotto scalare in n. Piani e rette nello spazio. 17 Gennaio 2016 Indice 1 Prodotto scalare nello spazio

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı

Dettagli

1- Geometria dello spazio. Vettori

1- Geometria dello spazio. Vettori 1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2 1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero

Dettagli

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)

Dettagli

Francesco Zumbo

Francesco Zumbo La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

Dettagli

Problema ( ) = 0,!

Problema ( ) = 0,! Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente

Dettagli

Introduzione. Al termine della lezione sarai in grado di:

Introduzione. Al termine della lezione sarai in grado di: Anno 4 Prismi 1 Introduzione In questa lezione parleremo di un particolare poliedro detto prisma. Ne daremo una definizione generale e poi soffermeremo la nostra attenzione su alcuni prismi particolari.

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema

Dettagli

Proprietà fondamentali dei vettori

Proprietà fondamentali dei vettori Proprietà fondamentali dei vettori Luca Peliti 6 Luglio 2012 In queste note vorrei dimostrare in maniera esaustiva le proprietà elementari dei vettori nello spazio in tre dimensioni supponendo nota solo

Dettagli

vettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **

vettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * ** Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l

Dettagli

Il valore assoluto (lunghezza, intensita )

Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione

Dettagli

CENNI DI TRIGONOMETRIA

CENNI DI TRIGONOMETRIA CENNI DI TRIGONOMETRIA Seno Consideriamo una circonferenza C e fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che la circonferenza C sia centrata nell origine degli assi e abbia raggio. Dall origine

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO

1. SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO 1 SPAZIO VETTORIALE E SPAZIO EUCLIDEO 1 Lo spazio vettoriale R n Una n-nupla ordinata di numeri reali x = (x 1,x 2,,x n )sidice vettore a n dimensioni e il numero x i componente i-esima di x L insieme

Dettagli

I VETTORI DELLO SPAZIO

I VETTORI DELLO SPAZIO I VETTORI DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortogonale nello spaio Bisogna assegnare nello spaio un punto O (detto origine e tre rette per esso a due a due perpendicolari e orientate in modo concorde

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.

Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con. Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),

Dettagli

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze

Test su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare. Distanze

Appunti di Algebra Lineare. Distanze Appunti di Algebra Lineare Distanze 1 Indice 1 Distanze nel piano 1.1 Distanza punto-punto................................... 1. Distanza punto-retta.................................... 3 1.3 Distanza

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, 2015 1 Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando

Dettagli

I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro.

I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro. 1 I poliedri diagonale DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi. I poligoni che delimitano il poliedro

Dettagli

7. Integrazione delle funzioni di più variabili (II)

7. Integrazione delle funzioni di più variabili (II) 7. Integraione delle funioni di più variabili (II) http://eulero.ing.unibo.it/~baroi/scam/scam-tr.7b.pdf 7.5 Area del parallelogramma costruito su due vettori. Volume del parallelepipedo costruito su tre

Dettagli

C6. Quadrilateri - Esercizi

C6. Quadrilateri - Esercizi C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono

Dettagli

I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax

I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia

Dettagli

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre

Geometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione

Dettagli

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.

LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra

Dettagli

Le derivate parziali

Le derivate parziali Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme aperto A R 2 e sia P 0 = x 0, y 0 un punto di A. Essendo A un aperto, esiste un intorno I(P 0, δ) A. Preso un punto P(x, y) I(P 0, δ), P P 0, possiamo definire

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

C che hanno rispettivamente raggi di misura b e c e i cui centri sono rispettivamente sugli

C che hanno rispettivamente raggi di misura b e c e i cui centri sono rispettivamente sugli 4.3 Risposte commentate 4.1.1 Per rispondere alla domanda posta occorre ricordare la nota proprietà dei triangoli: in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due. Di conseguenza le

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Nozioni di calcolo vettoriale Unità Richiami. 1.2 Somma di vettori. Scomposizione.

Nozioni di calcolo vettoriale Unità Richiami. 1.2 Somma di vettori. Scomposizione. NOTA BENE: Orientativamente, gli studenti del Liceo Scientifico, compresa l opzione scienze applicate, affronteranno lo studio di questa unità nel 1 biennio. Quelli degli altri Licei lo faranno nel biennio.

Dettagli

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo

Dettagli

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.

Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti. Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema

Dettagli

Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:

Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: atematica per la nuova maturità scientifica. Bernardo. Pedone 8 PROBLE Considerato un qualunque triangolo BC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che: BD= DE = EC Siano poi ed i punti medi rispettivamente

Dettagli

Il Piano Cartesiano Goniometrico

Il Piano Cartesiano Goniometrico Valori di seno e coseno per angoli multipli di / Il Piano Cartesiano Goniometrico Seno e coseno: valori per angoli particolari September 1, 010 Valori di seno e coseno per angoli multipli di / Sommario

Dettagli

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sunra J.N. Mosconi 19 giugno 008 Problema 1 (a) Determiniamo in funzione di a i lati del triangolo. Essendo l angolo BĈA retto

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI

PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI M.GUIDA, S.ROLANDO, 01 1 PIANI E RETTE NELLO SPAZIO / ESERCIZI SVOLTI L asterisco contrassegna gli esercizi meno basilari (perché più difficili o di approfondimento). Sarà sempre sottinteso che nello spazio

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

Trigonometria angoli e misure

Trigonometria angoli e misure Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come

( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come Coordinate polari Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata

Dettagli

La composizione di isometrie

La composizione di isometrie La composizione di isometrie Quello che è più interessante in una trasformazione geometrica è studiare quali effetti ha sulle figure e soprattutto valutare quali proprietà delle figure di partenza si conservano

Dettagli

sen ; e sul teorema del coseno. 2

sen ; e sul teorema del coseno. 2 Esercizi sul grafico di funzioni: Lunghezza di una corda ( ) sen e sul teorema del coseno Esercizi sulla equazione della circonferenza centrata in un generico punto (, ) R Il prodotto di una funzione pari

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

3. Coordinate omogenee e trasformazioni dello spazio

3. Coordinate omogenee e trasformazioni dello spazio 3. Coordinate omogenee e trasformazioni dello spazio Passiamo ora a considerare le trasformazioni dello spazio tridimensionale. Lo spazio sarà identificato, mediante l'introduzione di un sistema di riferimento

Dettagli

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

Dettagli