Grandezze vettoriali.

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1 Gndee vettoili. Desciione mtemtic: l ente l mtemtico vettoe I concetti nuovi e fecondi di somm di vettoi, podotti di vettoi ecc. sono pplicti ll meccnic... Secondo [l utoe] il vntggio mggioe del [metodo] consiste nel ftto che il clcolo è in ogni pssggio l pecis espessione del pocedimento mentle. Questo non è possiile qundo si us il metodo itule che intoduce te coodinte itie. L diffeen f l nlisi e l sintesi scompe, e i vntggi dei due metodi sono così iuniti. D E.Mch, L meccnic nel suo sviluppo stoico citico, (Td. it. oinghiei, Toino, 1977) con ifeimento i lvoi di H.Gssmnn (1844),.J.Möius (1827), W.R.Hmilton (1866).

2 Gndee scli e vettoili Distn, mss, tempetu ecc. sono completmente definite d 1 numeo ( unità misu) Gndee scli Velocità, fo, spostmento ecc. sono ctteiti d intensità o modulo (es. eeo viggi 700 km/h) dieione (l ett lungo cui si muove l eeo in quell istnte) veso (uno dei due vesi di pecoen dell ett) Gndee vettoili N v θ35 Un vettoe si indic con oppue il suo modulo si indic E Pe il suo cttee intuitivo, molti esempi utilienno il vettoe spostmento

3 Rppesentione di un vettoe cso 2D d es. lo spostmento OP in un pino Gficmente: segmento oientto (fecci) O θ P lunghe OP ( ) ngolo oientto ispetto d un ett dt 123 modulo dieione e veso (ppesentione in coodinte poli) In ltentiv: 123 O 123 P omponenti e ispetto d un sistem di ssi ctesini (coodinte ctesine), sono le componenti ctesine di not sul segno di, Relione f le 2 ppesentioni cosθ 2 2 ( sinθ tnθ )

4 Rppesentione di un vettoe. so 3D cso 3D In 3D, sevono 3 componenti: θ 3 componenti ctesine:,, oppue modulo 2 ngoli:, θ, φ φ Ten ctesin destos. Tsfomione coodinte ctesine / coodinte poli sinθcosφ sinθsinφ cosθ 2 ( cosθ tnφ 2 2 ) Due vettoi sono uguli <> sono uguli modulo, dieione e veso sono uguli le componenti,,

5 Opeioni con i vettoi onsideimo le seguenti opeioni: somm (o diffeen) (il isultto è un vettoe) es. somm di foe, di velocità... podotto di un vettoe pe uno scle (il isultto è un vettoe) es. quntità di moto podotto scle di due vettoi (il isultto è uno scle) es. lvoo podotto vettoile f due vettoi (il isultto è un vettoe) es. momento di un fo

6 Somm c Dti gli spostmenti e lo spostmento complessivo è Il vettoe spostmento si dice somm di e c c Regol del pllelogmm Quest egol ipoduce nche l somm di due foe, due velocità ecc. Disuguglin tingole: c

7 c c c c S 6 1 K K Α S Somm di vettoi Somm di vettoi Spesso conviene use le componenti ctesine: Α Α Α K K K K K K S S S Somm di più vettoi: Rppesentione gfic c

8 ) ( ) ( popietà commuttiv popietà ssocitiv Somm di vettoi. Popiet Somm di vettoi. Popietà

9 k k k k ( k k ) Podotto di uno Scle pe Vettoe: Vesoe : vettoe di modulo unitio u u u u stess dieione di stesso veso se k>0 veso opposto se k<0 modulo: 1 k 2 k2: vettoe doppio 1 2 k1 k2 Popietà distiutive ispetto ll somm Si può opee come con i numei eli k( ) k k modulo es. 2, quntità di moto mv,... u dieione e veso k -1: vettoe opposto u vesoi degli ssi: (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) i j k

10 Diffeen di vettoi. - ( ) si iduce ll somm - è il vettoe opposto di Α 0 si ope come sui numei eli. vle sempe l disuguglin tingole: c come con i numei eli, si può pote ll lto memo cmindo di segno

11 Scomposiione di un vettoe Scomposiione lungo due dieioni dte. Invesione dell egol del pllelogmm: c c ĵ î θ i inteesseà solo l scomposiione lungo dieioni otogonli f loo (ssi ctesini) e sono i vettoi componenti di e sono le componenti (ctesine) di i j P N P P T Esempio: scomposiione dell fo peso su un pino inclinto. P P T P N

12 è un vettoe (pseudovettoe) solo in 3D Podotto vettoile θ 0 θ 90 sin θ θ 0 minoe dei due ngoli θ e del pllelogmm Modulo: e del pllelogmm Dieione: otogonle d e Veso: mno dest o vite destos Popietà nticommuttiv: Popietà distiutiv: ( ) -

13 Podotto scle c cos θ ssoci 2 vettoi uno scle il minoe dei 2 ngoli θ Popietà commuttiv: Popietà distiutiv: ( ) 0 > 0 < 0 90 < θ < 180 e otogonli 0 < θ < 90 Esempio: lvoo cos u u ecc. 1

14 Podotto vettoile Podotto vettoile ( ) ( ) ( ) θ sin Fomlmente componente di otogonle d componente di otogonle ( ) Popietà nticommuttiv: Popietà distiutiv: l odine dei fttoi è impotnte d cui pemutione ciclic

15 Intepetione geometic. (t) d (t) so di vettoe di modulo costnte Deivt di un vettoe: d d d d ( ) d ( ) ( k) d d vettoe di modulo costnte ( ) 2 0 iò vle in pticole pe i vesoi (d es. vesoi degli ssi). d d dk k d Popietà d d d ( ) d d d d d d Esiste un vettoe ω tle che: d ω ω h il significto di velocità ngole: un vettoe di modulo costnte può solo uote.