Esercizio (tratto dal Problema 4.24 del Mazzoldi 2)

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1 1 Esercizio (tratto dal Problema 4.4 del Mazzoldi ) Due masse uguali, collegate da un filo, sono disposte come in figura. L angolo vale 30 o, l altezza vale 1 m, il coefficiente di attrito massa-piano è µ 0.4. ll istante t 0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva ce la massa sospesa scende. Calcolare: 1. l accelerazione del sistema fino a ce la massa sospesa tocca il suolo. il tempo impiegato dalla massa sospesa per giungere al suolo 3. la distanza totale d percorsa in salita dalla massa ce si trova sul piano inclinato (si tenga presente ce la massa ce si trova sul piano inclinato prosegue il suo moto per un tratto ance dopo ce la massa sospesa a toccato il suolo).

2 SOLUZIONE Fissiamo convenzionalmente il segno dell accelerazione verso il basso per la massa m e T T R F att verso l alto (lungo il piano inclinato) per la massa m. 1. ppliciamo le equazioni della dinamica a ciascuna delle due masse. Ricordiamo ce lungo il piano inclinato la forza peso P si scompone nelle sue componenti P parallela e P perpendicolare al piano { P m g sin (1) P m g cos La componente ortogonale P è compensata esattamente dalla reazione vincolare R del piano, e quindi non dà luogo ad alcuna accelerazione nella direzione ortogonale. La forza di attrito a modulo F att µp ed è diretta lungo il piano inclinato in verso opposto a quello del moto. Dal testo sappiamo ce il moto di è verso l alto lungo il piano, dato ce scende. Dunque abbiamo Pertanto F att µm g cos m a m g T m a T µm g cos m g sin Utilizzando m m m e sommando membro a membro le due equazioni otteniamo da cui otteniamo Sostituendo i valori numerici () ma mg(1 µ cos sin ) (3) a g(1 µ cos sin ) a 9.81 m (1 0.4 cos π sin π) s m/s (5) (4)

3 3. Dato ce il corpo parte con velocità nulla, si può applicare la formula per il tempo di caduta libera di un moto uniformemente accelerato con accelerazione a t cad a (6) La formula (6) si può ricavare direttamente dalla legge oraria di. Siccome il verso convenzionale scelto implica ce l asse z è rivolto verso il basso, la legge oraria per il moto di si scrive z (t) + 1 at, e imponendo ce z 0 si ottine la (6). Sostituendo i valori numerici 1 m t cad 0.75 m s 1.63 s (7) 3. Quando il corpo raggiunge il suolo, il corpo a percorso un primo tratto di lungezza pari ad lungo il piano inclinato (dato ce il filo è supposto inestensibile) e a la stessa velocità (lungo il piano) ce il corpo possiede (verticalmente) al momento di impatto col suolo (sempre percé il filo è supposto inestensibile): v v a t cad a (8) Dopo ce il corpo a toccato il suolo, il filo non esercita più alcuna tensione sul corpo, ce prosegue il suo moto verso l alto sotto l azione della componente longitudinale della forza peso e della forza di attrito (entrambe dirette verso il basso lungo il piano inclinato). Denotiamo con a l accelerazione del corpo in questo secondo tratto s. s Per trovare la distanza percorsa in questo secondo tratto possiamo procedere in due modi: Primo modo (equazioni del moto): Usando le equazioni del moto: F ma µmg cos mg sin ma a g(µ cos + sin ) (9)

4 4 Utilizziamo ora la formula (valida per il moto accelerato uniforme) v fin v in a s (10) dove s è la distanza percorsa dal corpo fino ad arrestarsi, v in v a e v fin 0. Pertanto Ricordando l Eq.(4) possiamo scrivere s v in a a g(µ cos + sin ) s Sostituendo i valori numerici otteniamo a g(µ cos + sin ) (1 µ cos sin ) (µ cos + sin ) s (1 0.4 cos π 6 sin π 6 ) 1 m (0.4 cos π 6 + sin π 6 ) (11) (1) 0.09 m (13) Quindi in totale la distanza percorsa dal corpo lungo il piano è d + s 1.09 m (14) Secondo modo (teorema dell energia cinetica): ppliciamo il teorema dell energia cinetica al secondo tratto del moto del corpo : K W (15) dove K è la variazione di energia cinetica e (dall istante in cui la tensione non agisce piú all istante in cui il corpo si arresta lungo il piano inclinato), e W è il lavoro delle forze ce agiscono sul corpo in tale tratto del moto (forza di attrito e componente longitudinale della forza peso). Pertanto abbiamo K 1 m(v fin v in) 1 m(0 v ) 1 m a ma [usiamo l eq.(4)] mg(1 µ cos sin ) (16)

5 5 D altra parte il lavoro W è W F d s o tratto o tratto ( F att + P ) d s [ F att e P sono opposte al moto] ( F att + P ) ds o tratto [ F att e P sono costanti] ( F att + P ) s (µmg cos + mg sin ) s (17) Sostituendo (16) e (17) nell Eq.(15) otteniamo da cui mg(1 µ cos sin ) s (µmg cos + mg sin ) s (18) (1 µ cos sin ) (µ cos + sin ) (19) Sostituendo i valori numerici otteniamo s (1 0.4 cos π 6 sin π 6 ) 1 m (0.4 cos π 6 + sin π 6 ) 0.09 m (0) Quindi in totale la distanza percorsa dal corpo lungo il piano è d + s 1.09 m (1)