Unità di misura. Grandezza Unità Simbolo

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1 Grandezze Fisiche Sono grandezze in base alle quali descriviamo i fenomeni fisici; ad esempio la velocità, la temperatura, la pressione, la resistenza elettrica, etc. Per le grandezze fisiche è possibile definire: una unità di misura un criterio di confronto fra la grandezza e l unità di misura Esempio: lunghezza di un segmento: una volta noto un segmento unità di misura, la lunghezza del segmento è misurata dal numero di volte che esso contiene l unità. grandezze di una stessa classe: è possibile definire operativamente il confronto fra due di esse; per esse si può definire una serie di operazioni quali somma, sottrazione, ecc. Grandezze che appartengono alla stessa classe si dicono omogenee. somma e differenza possono avvenire solo tra grandezze omogenee. Per alcune osservabili, quali ad esempio il tempo o la temperatura, bisogna definire uno zero e quindi il tempo e la temperatura diventano intervalli di tempo o salti di temperatura. Tra le grandezze fisiche se ne scelgono alcune che vengono chiamate fondamentali e tutte le altre vengono derivate da queste. Le grandezze fondamentali sono il numero minimo di grandezze necessarie per descrivere i fenomeni a noi noti.

2 Unità di misura Per misurare le grandezze fisiche è necessario definire le unità di misura. Nel 1971 alla Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure sono state selezionate 7 grandezze fondamentali del Sistema Internazionale di Unità (SI). Tra queste la lunghezza [L], la massa [M], e il tempo [T] sono quelle che utilizzeremo nella prima parte del corso. Nel SI le unità di misura sono Grandezza Unità Simbolo lunghezza metro m massa kilogrammo kg tempo secondo s intensità di corrente elettrica ampere A temperatura grado Kelvin K quantità di materia mole mol intensità luminosa candela cd I campioni delle unità di misura devono rimanere inalterati nel tempo e accessibili. Il metro, storicamente, è definito come la decimillionesima parte della distanza tra polo e equatore lungo la linea meridiana passante per Parigi. Il campione di lunghezza è una sbarra di platino iridio (materiale poco deformabile) tenuta a 0 o C e sostenuta meccanicamente in modo da non subire deformazioni. Più di recente per avere un unità di lunghezza molto più precisa, si è definito il metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/ secondi.

3 Il campione SI di massa è un cilindro di platino-iridio, conservato presso l Ufficio Internazionale di pesi e misure, al quale è stata assegnata per convenzione internazionale la massa di 1kg. Qualsiasi fenomeno periodico può essere usato per definire una unità di misura del tempo: ad esempio le oscillazioni sincrone di un pendolo o di un cristallo di quarzo, ma anche il moto di rotazione della terra. Fino al 1956, si è usato il giorno solare medio per definire l unità di misura del tempo, prendendo: 1 s = 1 giorno solare medio Oggi si usa un unità di tempo molto più stabile così definita: un secondo è il tempo necessario alla luce (di una specifica lunghezza d onda) emessa da un atomo di cesio-133 per effettuare oscillazioni. Le unità di misura vanno scelte in maniera opportuna a seconda di quali grandezze si vogliono misurare. Ad esempio per misurare distanze astronomiche non è sensato usare il metro e si sceglie l anno-luce (pari alla distanza che la luce percorre in un anno)= m. Analogamente per distanze atomiche è conveniente usare l angstrom = m. Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli si usa la notazione scientifica che utilizza le potenze del 10. Inoltre si utilizzano prefissi per le unità di misura per moltiplicare per il relativo fattore. Esempio: m = m = 3.56Gm I prefissi più comunemente usati sono:

4 fattore prefisso Simbolo tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 3 milli m 10 6 micro µ 10 9 nano n pico p Grandezze scalari: si tratta di grandezze fisiche che sono completamente specificate da un numero reale espresso in opportune unità. Esempi di grandezze scalari sono la temperatura, la massa, il tempo, l energia. Per manipolare le grandezze scalari si adoperano le regole dell algebra ordinaria. Grandezze vettoriali: si tratta di grandezze fisiche che possono essere rappresentate da vettori. Un vettore è un ente geometrico individuato da un ampiezza o modulo (lunghezza del segmento che rappresenta il vettore), una direzione, cioè la retta a cui appartiene il segmento, e un verso, cioè una delle due orientazioni del segmento sulla retta. Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la velocità, la forza. a a b Convenzionalmente il modulo del vettore a si indica con a, oppure a. In figura i vettori a sono lo stesso vettore (stesso modulo, direzione e verso).

5 I vettori e le loro componenti Dato un sistema di assi cartesiano, un vettore può essere individuato mediante le sue componenti, cioè le sue proiezioni sui tre assi coordinati. Sia R un vettore qualsiasi che supponiamo di aver trasportato parallelamente in modo che il suo punto di applicazione coincida con l origine del riferimento (per semplicità consideriamo il caso bidimensionale). Tracciando le perpendicolari dall estremo di R agli assi coordinati otteniamo le quantità R x e R y, dette componenti del vettore rispetto al riferimento scelto. Se θ è l angolo che il vettore forma con l asse x si trova R x = R cos θ R y = R sin θ Quindi la direzione θ è individuata da Il modulo del vettore è R = tan θ = R y R x R 2 x + R 2 y che si generalizza al caso tridimensionale con riferimento di assi cartesiano xyz R = Rx 2 + Ry 2 + Rz 2 dove R z è la componente di R lungo l asse z.

6 Operazioni con i vettori Somma fra vettori La somma vettoriale di due vettori a e b si può effettuare graficamente: si traccia il vettore a (con il modulo dato in una scala opportuna), dalla punta di a si disegna il vettore b (sempre nella stessa scala), la somma è data dal vettore disegnato dall inizio di a alla punta di b Una regola equivalente è nota come regola del parallelogramma. La somma di vettori ha queste proprietà: a + b = b + a prop. commutativa ( a + b) + c = a + ( b + c) prop. associativa Moltiplicazione di un vettore a per un numero m: il risultato è un vettore m a il cui modulo è pari a m volte il modulo di a, ha stessa direzione e stesso verso di a se m è positivo, mentre ha verso opposto se m è negativo Moltiplicare un vettore per 1 vuol dire cambiarne il verso.

7 La regola del parallelogramma è intuitiva se pensiamo che un vettore può rappresentare ad esempio una forza. f 1 f 2 F = f 1 + f 2 Supponiamo che un pacco sia tirato da due funi che esercitano su di esso le forze f 1 e f 2 come in figura il pacco si muove nella direzione di F che è la somma delle due forze applicate. Se i vettori a e b sono paralleli la loro somma c è un vettore che la stessa direzione e per modulo la somma dei moduli a b c = a + b Differenza di due vettori Dati i vettori a e b si costruisce il vettore b. Il vettore a b è la diagonale OE del parallelogrammo AODE. Dalla figura si vede che OE è uguale AB. Quindi la somma a + b è la diagonale OC e la differenza a b è la diagonale AB del parallelogramma OACB.

8 Versore Un vettore unitario, detto anche versore, è un vettore di lunghezza unitaria (modulo=1) disposto in una particolare direzione. È privo di dimensioni e anche di unità di misura. Il suo unico scopo è quello di indicare la direzione â = a a In generale utilizzeremo i simboli î, ĵ e ˆk per indicare i versori tracciati nelle direzioni degli assi x, y e z e con verso positivo dato dalla mano destra. Utilizzando le operazioni definite prima, ogni vettore può essere scomposto nella somma di vettori diretti lungo gli assi coordinati. Se R x, R y e R z sono le componenti del vettore R lungo gli assi coordinati R = R x + R y + R z con Rx = R x î, R y = R y ĵ e Rz = R zˆk R = R x î + R y ĵ + R zˆk Addizione di vettori per mezzo delle loro componenti Dati due vettori a = a x î + a y ĵ + a zˆk b = bx î + b y ĵ + b zˆk la somma è a + b = (a x + b x )î + (a y + b y )ĵ + (a z + b z )ˆk la differenza a b = (a x b x )î + (a y b y )ĵ + (a z b z )ˆk

9 la moltiplicazione per un numero m m a = m a x î + m a y ĵ + m a zˆk Esempio: a = 4î ĵ b = 3î + 2ĵ a + b = î + ĵ a b = 7î 3ĵ Prodotto di due vettori: Si definiscono due tipi di prodotto tra due vettori: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale. Il prodotto scalare dà come risultato un numero (scalare), il prodotto vettoriale dà come risultato un vettore. Prodotto scalare: a b = ab cos φ dove a e b sono il modulo del vettore a e b rispettivamente e φ è l angolo compreso fra le due semirette equiverse su cui giacciono i due vettori Se due vettori sono ortogonali (φ = 90 o ) il prodotto scalare è zero: a b = 0. Se due vettori sono paralleli (φ = 0 o ) il prodotto scalare è massimo e pari al prodotto dei moduli: a b = ab. Prodotto scalare tra i versori di base: î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 î ĵ = ĵ ˆk = ˆk î = 0 Possiamo ora esprimere il prodotto scalare di due vettori in termini delle componenti a = a x î + a y ĵ + a zˆk b = bx î + b y ĵ + b zˆk a b = a x b x + a y b y + a z b z

10 Prodotto vettore: a b è un vettore di modulo pari a ab sin φ, direzione perpendicolare al piano individuato da a e b e verso ottenuto con la regola della mano destra: pollice su a, indice su b il medio individua il verso del prodotto. Se due vettori sono paralleli (φ = 0 o ) il prodotto vettoriale è zero: a b = 0. Se due vettori sono ortogonali (φ = 90 o ) il prodotto vettoriale è massimo e ha modulo pari al prodotto dei moduli: a b = ab. Prodotto vettoriale tra i versori di base: î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0 î ĵ = ˆk ĵ ˆk = î ˆk î = ĵ Possiamo ora esprimere il prodotto vettoriale di due vettori in termini delle componenti a = a x î + a y ĵ + a zˆk b = bx î + b y ĵ + b zˆk a b = (a y b z a z b y )î + (a z b x a x b z )ĵ + (a x b y a y b x )ˆk N.B.: a b = b a ma a b b a pensando alla regola della mano destra si vede che cambia il verso del vettore risultato a b = b a

11 Coordinate polari piane In alcuni casi, invece di considerare le componenti cartesiane del vettore posizione R = xî + yĵ, conviene usare le coordinate polari. Ad esempio se il punto si muove su una circonferenza, la sua posizione può essere individuata da R (raggio) che non cambia in modulo e dall angolo θ. Le relazione tra x, y, R e θ sono: x = R cos θ y = R sin θ R = x 2 + y 2 tan θ = y x In coordinate polari si introducono i versori û R e û θ il versore û R è diretto radialmente, mentre û θ è tangente alla circonferenza punto per punto û R = cos θî + sin θĵ û θ = sin θî + cos θĵ R = RûR N.B.: û R û θ = 0 I due versori û θ e û R hanno direzione che cambia da punto a punto, mentre î e ĵ hanno direzione fissa. A volte, invece di û θ e û R si usa la notazione ˆt (versore tangente) e ˆn (versore normale).

12 1. (Serway prob. 1.34) Siano A e B due vettori di modulo 3 m. A forma un angolo di 30 o con l asse x. B è parallelo all asse y. Trovare graficamente: a) A + B, A B, B A, A 2 B. b) Esprimere gli stessi vettori in componenti cartesiane. c) Calcolare il modulo dei vettori ottenuti. 2. (Serway Es. 1.9) Un escursionista inizia una gita camminando prima per 25.0 km esattamente in direzione sud-est dalla sua macchina. Si ferma e monta la sua tenda per la notte. Al secondo giorno, cammina per 40.0 km in una direzione a 60.0 o nord-est e trova una torre della guardia forestale. a) Determinare le componenti degli spostamenti dell escursionista il primo e il secondo giorno; b) determinare le componenti dello spostamento complessivo dell escursionista; c) determinare il modulo, la direzione e il verso dello spostamento totale. 3. (Serway prob. 1.42) Un vettore A ha le componenti x e y di 8.7 cm e 15.0 cm, rispettivamente. Il vettore B ha le componenti x e y di 13.2 cm e 6.6 cm, rispettivamente. Se A B + 3 C = 0, quali sono le componenti di C? 4. (Serway prob. 6.10) Dati i tre vettori A = 3î+ĵ ˆk, B = î+2ĵ+5ˆk, C = 2ĵ 3ˆk, determinare C ( A B) 5. (Serway prob. 6.9) Utilizzare la definizione di prodotto scalare per determinare l angolo tra i vettori A = î 2ĵ + 2ˆk e B = 3ĵ + 4ˆk.