Esercitazioni di Biostatistica. In collaborazione con la Dott.ssa Antonella Zambon

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1 Esercitazioi di Biostatistica I collaborazioe co la Dott.ssa Atoella Zambo

2 ESERCIZIO Nome Geere Età (ai compiuti) Livello istruzioe Distaza (km) Atoio M 8.0 Claudio M 7. Lucia F.0 Aa F 6. Marco M Giuseppe M. Aldo M.0 Maria F - Liceza elemetare - Liceza media - Diploma scuola superiore - Laurea 7.7 Variabile Uità statistica

3 ESERCIZIO : frequeza Ua prima sitesi può essere effettuata costruedo la lista delle modalità di ua variabile accompagate dalle rispettive frequeze assolute: distribuzioe di frequeze assolute Modalità y y j y J totale Frequeza o relative: distribuzioe di frequeze relative j J J j j Modalità y y j y J totale Frequeza p p j p J p j f j

4 ESERCIZIO Nome Geere Età (ai compiuti) Livello istruzioe Distaza (km) Atoio M 8.0 Claudio M 7. Lucia F.0 Aa F 6. Marco M Giuseppe M. Aldo M.0 Maria F - Liceza elemetare - Liceza media - Diploma scuola superiore - Laurea 7.7

5 ESERCIZIO : distribuzioe Geere Frequeza Frequeza assoluta relativa M 0.6 F 0.7 Serie statistica Totale 8 Livello istruzioe Frequeza assoluta Frequeza relativa Totale 8 8 Variabile statistica degeere Come riassumere la variabile distaza?

6 ESERCIZIO Distaza Frequeza Frequeza assoluta relativa Seriazioe statistica Totale 7 Classi di modalità Le classi vao defiite i modo che: o siao troppe é troppo poche siao disgiute Le classi devoo avere la stessa ampiezza? compredao tutte le modalità osservate

7 ESERCIZIO : diagramma a barre Geere Frequeza Frequeza M F Totale assoluta 8 relativa L altezza del rettagolo è proporzioale alla frequeza della modalità Valido sia per variabili omiali o umeriche discrete M F

8 ESERCIZIO : istogramma Distaza 0 Totale Nell istogramma soo le aree e o le altezze dei rettagoli ad essere proporzioali alle frequeze. Frequeza assoluta 7 Frequeza relativa Puto cetrale, 0 0 (+0)/ (+)/ (+)/ *0. 0,,0 7, 0,0,,0 7, 0,0,,0

9 ESERCIZIO : i riferimeto all esercizio Idicare la tipologia di ogi variabile cosiderata. Quali idici di posizioe è possibile calcolare per le diverse variabili? Calcolare tali idici per il geere, livello d istruzioe ed età. Cofrotare.

10 ESERCIZIO La carica virale di HIV- è u oto fattore di rischio per la trasmissioe eterosessuale dell HIV; i soggetti co carica virale di HIV- più elevata hao u rischio maggiore di trasmettere il virus al parter o ifetto. Alcui ricercatori hao misurato la quatità di RNA di HIV- presete el siero ematico di u gruppo di persoe co parter sierocovertiti (ovvero o ifetti all iizio ma diveuti positivi all HIV durate lo studio): (copie di RNA/ml). Rappresetare i dati e calcolare media, mediaa e deviazioe stadard.

11 Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete ESERCIZIO

12 Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete ESERCIZIO

13 Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete 0 7 Frequeza Frequeza relativa Totale Copie di RNA/ml ESERCIZIO

14 ESERCIZIO Copie di RNA/ml Totale Frequeza 7 0 Frequeza relativa *0 - Poligoo di frequeza

15 MEDIA ESERCIZIO paziete y Copie di RNA/ml y paziete Copie di RNA/ml i i , 9 0 Valida solo per dati quatitativi Defiizioe?

16 ESERCIZIO paziet e Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml paziete ( x i x) paziete ( x i x) ,0-880,9-6,9 0,0 977, ,9-8,9-89,9,0-606, , Prima proprietà (del baricetro) i ( y ) i y 0

17 Secoda proprietà ESERCIZIO i ( ) y A mi A y i paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml (scelto arbitrariamete) y i y i 767, y yi i d 7, d 767,

18 ESERCIZIO Terza proprietà (di Cauchy) La media è sempre compresa tra l osservazioe più piccola e la più grade Quarta proprietà (di liearità) y ax + b a,b R y ax + b

19 ESERCIZIO Limitazioi: dati o quatitativi diversi ordii di gradezza (ad es ) preseza di valori estremi (ad es ) Sesibile a variazioi ei dati (o robusta)

20 ESERCIZIO MEDIANA Valida per dati qualitativi ordiali o quatitativi paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml E quel valore della variabile che, rispetto all ordiameto o decrescete delle osservazioi, risulta preceduto e seguito dalla stessa porzioe di osservazioi (0%) a meo di effetti di discretizzazioe

21 ESERCIZIO MEDIANA paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml La mediaa di ua variabile è quel valore che soddisfa cotemporaeamete alle due codizioi: almeo il 0% delle uità statistiche preseta modalità iferiori o pari alla mediaa almeo il 0% delle uità statistiche preseta modalità superiori o pari alla mediaa

22 ESERCIZIO paziete M M e + Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml se è pari se è dispari paziete Copie di RNA/ml paziete M Copie di RNA/ml ,

23 ESERCIZIO QUANTILI paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml U quatile di livello α è quel valore di ua variabile qualitativa ordiale o quatitativa che, rispetto all ordiameto o decrescete delle osservazioi, risulta preceduto da α*00% osservazioi e seguito da (-α)*00% osservazioi, a meo di effetti dovuti alla discretizzazioe

24 ESERCIZIO QUANTILI paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml La mediaa è u particolare quatile, quello di livello α0.0 I quatili di livello α0., 0,0 e 0,7 soo detti quartili I quatili di livello α0. e 0,66 soo detti terzili

25 QUANTILI paziete 0 Copie di RNA/ml 06 paziete 6 Copie di RNA/ml 0 80 Dai dati ordiati della variabile Y il quatile di livello α è dato dalla: modalità che si trova ell itero successivo a (*α) se * α è u umero o itero modalità che si trovao elle posizioi (*α) e (*α)+ se * α è u umero itero Achtug!!! Ordiare i dati

26 QUANTILI paziete Copie di RNA/ml paziete Copie di RNA/ml Il rage iterquartile è dato dalla differeza tra il valore del quartile co livello α0.7 e quello co livello α0.. Questo itervallo idica che il % delle osservazioi soo iferiori all estremo iferiore del rage e il % soo superiori all estremo superiore.

27 QUANTILI mi Q Q Q max Diagramma box plot (detto a scatola a baffi oppure box ad whiskers plot) Il rage iterquartile può essere u utile idice di dispersioe quado si ritiee che la deviazioe stadard (e quidi la variaza) sia troppo ifluezata dalle code della distribuzioe

28 CAMPO DI VARIAZIONE paziete Copie di RNA/ml Misure della variabilità Mi:06 Max:96 Campo di variazioe:

29 Copie di RNA/ml paziete ( ) y y s i i s s VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD (campioaria)

30 paziete Copie di RNA/ml ( x i x) 807, ,0 ( x ) i x,6*0 8,8*0 8 9,0*0 8,6*0 8 s i ( y y) i , 79* ,7*0 8,*0 8 s s ,* ,0,8* ,* ,9* ,7* , -660,7*0 8,*0 8 6,7* *0 8,*0 8 s s,6*0 0,8*0 9,8*0 0 79, ,* ,*0 8,8*0 8,6*0

31 paziete Copie di RNA/ml Variaza: formula ridotta i s ( ) y i y Σy i 9 i i ( y y) y i i i y i (Σy i ),7*0

32 Copie di RNA/ml paziete ,76* ,66* i x (Σy i ),8*0 i i i i y y,69 *0 0,7 *0,8*0 0,8*0 9,69*0 s ESERCIZIO

33 Prima proprietà s 0 L uguagliaza si ha solo se la variabile è degeere Secoda proprietà (di liearità) y ax + b a,b R y s x s a Esercizio: Aalogie e differeze tra queste proprietà e quelle della media

34 COEFFICIENTE DI VARIAZIONE paziete Copie di RNA/ml Valido solo per variabili che assumoo valori positivi CV s x x.9 E u idice adimesioale di variabilità relativa el seso che misura la variabilità dei dati teedo coto dell ordie di gradezza del feomeo. Essedo u umero puro permette di cofrotare variabili diverse

35 ESERCIZIO Nella seguete tabella è riportata la distribuzioe di frequeza del umero di coloie per piastra dopo ioculo co ua sospesioe batterica Numero di coloie 0 Frequeza 8 6 6

36 Numero di coloie 0 Frequez a f i *x i Tale procedura equivale a fare la media co la formula precedete sommado volte 0, 8 volte etc e dividedo tale somma per il umero totale di piastre y J j J j j * y j j J j j * y j 69 9,77

37 Numero di coloie 0 Frequeza Frequeza cumulata Qual è la mediaa? N è dispari quidi occorre cercare la modalità della variabile a cui è associata la frequeza cumulata più piccola per la quale vale la relazioe: F cum j +

38 Numero di coloie 0 Frequeza Frequeza cumulata Qual è la mediaa? Se N fosse pari occorre cercare le modalità della variabile a cui soo associate le frequeze cumulate più piccole per le quali valgoo le relazioi: F cum j F cum j +

39 Numero di coloie 0 Qual è la variaza? Frequeza (x i -x) f i * (x i -x) s J j j * ( y y) j.7

40 ESERCIZIO Nella seguete tabella è riportata la distribuzioe di frequeza dell età di isorgeza di patologie tiroidee i maschi assistiti presso u cetro edocriologico. Determiare la media la mediaa e la moda Età Frequeza

41 Età 0-0 Frequeza Valore cetrale f i *x vci Le osservazioi che cadoo i ua classe coicidoo co il puto cetrale della classe Le osservazioi soo distribuite i modo uiforme ella classe di apparteeza y k i i k i * y i vci

42 Co questa procedura o si ottiee il valore della media che si otterrebbe lavorado sui valori idividuali. I questo caso si ottiee ua approssimazioe. Ifatti a tutti i soggetti ella classe d età 0-0 si attribuisce ua età pari al valore cetrale ovvero il che o è detto che rispoda al vero. Tale ragioameto si ripete ache per le altre classi. Se però è abbastaza grade e la distribuzioe è poco asimmetrica tale approssimazioe risulta poco importate perché gli errori tedoo a bilaciarsi. Lo stesso risultato si ottiee utilizzado classi meo ampie

43 Età Frequeza 6 Frequeza cumulata La classe mediaa è 0-60 Estremo iferiore della classe mediaa M L if + ( ) i mediaa * c Numerosità campioaria Somma delle frequeza delle classi prima della classe mediaa Frequeza della classe mediaa Ampiezza delle classi

44 Età Frequeza Frequeza cumulata La classe mediaa è M L if + ( ) i mediaa * c ( 6) 0 + *

45 Età Frequeza Estremo iferiore della classe modale La classe modale è la 6070 Vale solo se le classi hao la stessa ampiezza Eccesso della frequeza della classe modale rispetto alla frequeza della classe immediatamete precedete Moda Lif + * c + Eccesso della frequeza della classe modale rispetto alla frequeza della classe immediatamete successiva Ampiezza delle classi

46 Età Frequeza 6 6 La classe modale è Vale solo se le classi hao la stessa ampiezza Moda Lif + * c * ,98 y. 0 Q 7. Moda Dati questi risultati possiamo affermare che i dati si distribuiscoo come ua Normale?

47 ESERCIZIO Come si calcola la moda se le classi o hao la stessa ampiezza? Classe modale? N posti letto Frequeza

48 Rapporto tra frequeza e ampiezza della classe N posti letto Frequez a Ampiezza della classe Desità di frequeza Classe modale

49 ESERCIZIO 6 Il umero di mosche preseti i ua popolazioe di laboratorio di Drosophila melaogaster costituita origiariamete da 00 elemeti, viee rilevato i tre periodi successivi. Al primo coteggio si rilevao mosche, al secodo 96 e al terzo 69. Qual è il tasso di icremeto medio della popolazioe?, Icremeti, 7, osservati ei tre periodi

50 ESERCIZIO 6, Icremeti, 7, osservati ei tre periodi y Si deve mateere ialterato il prodotto!!!

51 ESERCIZIO 6, Icremeti, 7, osservati ei tre periodi, *00 96,7*, *00 69,88*,7*, *00 Si deve mateere ialterato questo prodotto!!! y g y log y i i g log y i i

52 ESERCIZIO 6 y g y log y i i g log y i i Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica del logaritmo delle osservazioi log y g log y i *( ) 0. i yg ( 0,), exp La popolazioe ha subito u tasso di icremeto medio del %

53 ESERCIZIO Adesso si matiee ialterato il prodotto!!! Usata i microbiologia e sierologia quado le osservazioi soo espresse i titoli i cui valori soo multipli dello stesso fattore di diluizioe

54 ESERCIZIO 7 Ua proteia viee studiata mediate l elettroforesi per cooscere la velocità di migrazioe media. La proteia viee fatta correre su gel i campo elettrico per 0 mm e viee misurato il tempo di percorreza i prove diverse. Prova Tempo (sec)

55 y Prova Tempo (sec) Velocità 0 0/00,0 mm/sec 60 0/600, mm/sec 0 0/00,66 mm/sec 0 0/00,0 mm/sec 70 0/700,9 mm/sec y i i 0,0 + 0, ,9 0, 7 y No è la velocità media perché: a i y i i y i 0,7 * 0 09, mm La media armoica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci delle osservazioi. Adatta a valori espressi come rapporti.

56 Prova Tempo (sec) Velocità /Velocità 0 0/00,0 mm/sec /0,0 60 0/600, mm/sec /0, 0 0/00,66 mm/sec /0,66, 0 0/00,0 mm/sec /0,0, 70 0/700,9 mm/sec /0,9, y a i yi + +, +, +, 0, E la velocità media perché: 0, * 0 00 mm

57 ESERCIZIO 8 Cique dietologi rilevao la circofereza addomiale (idice di valutazioe del grasso addomiale) delle loro pazieti prima di u trattameto dimagrate. Noto il valore medio delle pazieti di ciascu dietologo è possibile determiare la circofereza media geerale di tute le pazieti? Dietologi A B C D E N pazieti 0 Circofereza media

58 Dietologi A B C D E N pazieti 0 Circofereza media y k i k i i * i y i ( 88*) + ( 8*0) ( 9*)

59 ESERCIZIO 9 Nella seguete tabella soo riportati i carichi di rottura espressi i ewto di alcui cavi di acciaio. Determiare il campo di variazioe. Carico di rottura 9,-9,7 9,8-0, 0,-0,7 0,8-,,-,7,8-,,-,7,8-, N di cavi 7 6

60 Carico di rottura 9,-9,7 9,8-0, 0,-0,7 0,8-,,-,7,8-,,-,7,8-, N di cavi 7 6 Campo di variazioe estremo superiore della classe più resistete - estremo iferiore della classe meo resistete, - 9,,9 Newto

61 ESERCIZIO 0 Data la seguete distribuzioe di frequeza dei livelli di colesterolo sierico i 067 maschi di età compresa tra i e i ai, determiare la variaza e la deviazioe stadard Livello di colesterolo sierico (mg/00 ml) Frequeza

62 Livello di colesterolo sierico (mg/00 ml) Frequeza s k * ( ) y y *( y y) i vci i i i k k i vci i

63 Livello di colesterolo sierico (mg/00 ml) Frequeza Valore cetrale i *x cvi y k i i k i * y i vci mg/00 ml

64 s Livello di colesterolo sierico (mg/00 ml) k * i i k Frequeza ( y y) i vci i Valore cetrale ( y vci y) -99, -9, -9, 0,86 60,86 00,86 0,86 80,86 067,8 067 ( y y) vci ( ) 988,7 97, 66,, 70,9 07,7 98, 70, 97, i * y y vci 777,6 6 69,8 9076,86 9, 87,6 787,86 6,70 067,8 (mg/00 ml)

65 Livello di colesterolo sierico (mg/00 ml) Frequeza Valore cetrale ( y ) ( ) vci y ( y ) vci y *( y y) i vci i * y y 00-99, 988,7 777,6 0-9, 97, , 66, 69,8 0 0,86, 9076, ,86 70,9 9, 00 00,86 07,7 87, ,86 98, 787,86 80,86 70, 6,70 vci s s 97,, 0 mg/00 ml

66 ESERCIZIO Cofrotare la variabilità dei due gruppi A e B el caso di osservazioi espresse ella stessa scala ( ) o co diverse scale di misura ( ) A B A B 0, ,8 0,, 0, 0,9 08 yi y s 8,67 0,9 7,8,67 6 0, 086, 8,0 CV s y *00 CV 0, 9,0,6,6

67 ESERCIZIO Soo stati raccolti i valori di glicemia i u campioe di 0 soggetti sai, espressi i mg di glucosio per 00 ml di sague. Si stimi il valore medio di glucosio el sague, si foriscao tre itervalli di cofideza per l igota media a livello di sigificatività α rispettivamete pari a 0.0, 0.0, 0.0 e si commetio i risultati otteuti. Soggetto Mg/mlY

68 a) Stima putuale di µ Utilizzo lo stimatore media campioaria Y 877.8mg/ml 0 i i y b) Stima itervallare di µ 87.78mg/ml Stima putuale di µ Utilizzo la formula: s Pr y t, α, g µ y + t α g s α

69 Gli estremi dell itervallo di cofideza soo dati da: y ± t α, g s a) Y 87.78mg/ml c) sdeviazioe stadard 0 i ( y y) i.8

70 d) Scegliamo u valore tabulare di t co 9 gradi di libertà (-) corrispodete ad ua probabilità - α caso: α 0.0 t 0.90;9.8 caso: α 0.0 t 0.9;9.6 caso: α 0.0 t 0.99;9.0 Achtug!!!! Y valori di t si riferiscoo alla tabella della distribuzioe a code. Se si utilizza la tabella della ripartizioe ivece si deve dimezzare α.

71 Estremi itervallo: α 0.0 ±.8(.8 / 0) Estremi itervallo: α 0.0 ±.6(.8 / 0) Estremi itervallo: α ±.(.8 / 0) 0. 7.

72 α mg/ml α mg/ml α mg/ml Y I tre itervalli soo cetrati sulla stima forita dalla media campioaria ma presetao ampiezze diverse. Dimiuedo ifatti il grado di icertezza (α ) ottego itervalli via via meo precisi. Dimiuedo il grado di icertezza siamo più sicuri ma meo precisi.

73 ESERCIZIO Stimare, co cofideza del 9%, l itervallo di cofideza dell altezza media di ua varietà di pomodoro, attraverso 7 esemplari alti,,,,,, pollici y s i ( y y) i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 7

74 s Pr y t, α, g µ y + t α g s α µ i,7,7* 7,98 µ s,7 +,7* 7,60

75 ESERCIZIO Da ua popolazioe co σ è stato estratto u campioe di 0 uità co y. Calcolare l itervallo di cofideza per la vera media co u errore α pari all %. σ Pr y z α µ y + z α z σ α µ i,7*,6 µ s +,7* 7, 0 0 Ache i questo caso si cosidera la distribuzioe a code altrimeti si dimezza α

76 ESERCIZIO Altezza i cetimetri di piatie di mais:,6, 0, 8 e. Calcolare l itervallo di cofideza per l altezza media della popolazioe. Si cosideri u livello di cofideza del 9% s i y ( y y) i ( 6) ( 6) 0 t ;0, µ i 6.78*.08 µ s * 9. 9

77 Si immagii ora di cooscere la variaza della popolazioe e che questa sia pari a 0, come cambiao gli itervalli di cofideza? Z 0, µ i 6.96*. µ s * I questo caso l ampiezza è miore il che è atteso i base al fatto che la stima itervallare dipede da ua quatità stimata µ metre el caso precedete all errore commesso ella stima di µ si deve aggiugere quello per la stima di σ.

78 ESERCIZIO 6 I u campioe di 0 idividui sai è stata misurata la glicemia. La media è risultata pari a 80 mg di glucosio/00 ml di sague. E ota la deviazioe stadard della popolazioe che è pari a. µ s µ i z - α 80.96* * Voledo otteere u grado di precisioe maggiore, ad esempio u itervallo pari alla metà di quello otteuto quate osservazioi soo ecessarie?

79 8.6 ~9, ~9, ~.6 ~.6 α σ µ σ α α + Pr z y z y 80 x

80 ± z y z y z y z y z y σ σ σ σ σ α α α α α

81 * * * * z z σ σ α α

82 Si potrebbe ache risolvere così: Semiampiezza precedete.96* Semiampiezza attuale ½ semiampiezza precedete.96 * 0.96 * Perché il risultato è diverso? Quale coviee scegliere?

83 ESERCIZIO 7 U campioe di 00 osservazioi è estratto da ua popolazioe di media igota e variaza pari a. La media campioaria è pari a 0. Calcolare gli itervalli di cofideza per la media della popolazioe a livello del 9%. Quato dovrebbe essere la umerosità campioaria per otteere u itervallo di cofideza al 9% co ampiezza al più pari a.? µ i 0.96* 9.0 µ s *

84 µ s µ i * (0.96* ) *.96* µ s µ, i *,96*.,96*..96*..96*. 80

85 ESERCIZI Si vuole stimare il perimetro toracico medio di ua certa popolazioe. Di cosegueza si cosidera u campioe di 0 soggetti co perimetro toracico medio pari a 90. Se la popolazioe si cosidera distribuita i modo ormale σ0, determiare u itervallo di cofideza per µ al 90%. [Soluzioe: ] Il umero medio di battiti al miuto di u campioe di 8 operai vale 7, co s.. Si costruisca u itervallo di cofideza al 99% per la media della popolazioe. [Soluzioe: ]

86 ESERCIZI Si cosideri la seguete tabella di frequeza che riporta le merci e i passeggeri sbarcati agli scali portuali di alcue regioi italiae el 988 Regioe Friuli V. G. Veeto Emilia Romaga Marche Merci (migliaia di toellate) Passeggeri (migliaia) 8 66 Ci si chiede se è più variabile lo sbarco di merci o lo sbarco dei passeggeri. [Soluzioe: CV 0.7 e 0.8]

87 ESERCIZI Sia Y la variabile quatitativa discreta che descrive il umero di compoeti delle famiglie resideti al cesimeto del 98 i Liguria N compoeti o più Frequeza Qual è la mediaa? [Soluzioe: ]

88 ESERCIZI Si cosiderio i dati di peso e l altezza di 667 statuitesi esamiati tra il 960 e il 96 dal Public Health Service. Questi dati soo stati raggruppati i 7 classi d età e per geere dado origie a gruppi. Quali iformazioi si possoo dedurre dal grafico? Ivecchiado la gete o si accorcia!!! Il fatto è che si stao cofrotado i uo specifico istate temporale idividui ati i epoche diverse (e quidi probabilmete alimetati i modo diversi durate le giovai età)

89 ESERCIZI Si effettuao 0 misurazioi di ua variabile quatitativa ( di fiori di ua piata) e si ottegoo i segueti risultati 8 0 Costruire ua tabella della distribuzioe di frequeza e rappresetarla graficamete. Calcolare media, moda, mediaa e deviazioe stadard [Soluzioe:.8,,,.7]

90 ESERCIZI La seguete tabella si riferisce a 0 idividui. Le variabili soo: Pulspulsazioi cardiache rilevate a riposo Pulspulsazioi cardiache rilevate dopo 00 metri di passo veloce Fumo: fumatore o fumatore Altezza i cm. Peso i kg. Attività sportiva: bassa, media, alta

91 ESERCIZI Classificare le variabili cosiderate Calcolare media, variaza, Q, Q e Q per le variabili quatitative. Quale variabile è la più dispersa? Calcolare moda e mediaa per le variabili fumo e attività sportiva Calcolare u itervallo di cofideza per la media delle variabili quatitative. Nei fumatori è più variabile Puls o Puls? E ei o fumatori?

92 ESERCIZI Attività sportiva Peso Altezza Fumo Puls Puls

93 ESERCIZI Puls Puls Fumo Altezza Peso Attività spo media 70, 80,9 80,9 7,6 moda mediaa var 9,00 7, 6,688 66, cv 0,79 0,99 0,07 0,08 Q 6, 7,7 77, 67, Q 7, mi max rage Puls Puls Altezza Peso Ic if 6,768 7,698 78, 69,897 Ic sup 7,878 86,60 8,78 77,60 Puls Puls fumo media 7,87 80,87 fumo variaza 0,87,7 o fumo media 68,68 8,0769 o fumo variaza 6,908 06,6 fumo cv 0,669 0,090 o fumo cv 0,7 0,7676

94 ESERCIZI La seguete tabella si riferisce al peso (kg) e all altezza (cm) di 0 bambii. Peso Altezza

95 ESERCIZI Suddividere le variabili i classi di uguale ampiezza e costruire la tabella di frequeza. Calcolare media e variaza dai dati origiali e da quelli categorizzati e cofrotare i risultati. Peso Frequeza Altezza Frequeza Totale Totale Media Variaza Dati origiali Dati divisi i classi

96 ESERCIZI Suddividere le variabili i classi di uguale ampiezza e costruire la tabella di frequeza. Calcolare media e variaza dai dati origiali e da quelli categorizzati e cofrotare i risultati. Peso Frequeza Altezza Frequeza Totale 0 Totale 0 Dati origiali Dati divisi i classi Dati origiali Dati divisi i classi Media Media.07.9 Variaza 7.7. Variaza 0.6.

97 ESERCIZI Soo qui di seguito riportate le durate i ai degli studi compiuti da 0 persoe Rappresetare graficamete la distribuzioe degli ai di studio Quate persoe hao studiato almeo ai? Completare la tabella seguete e calcolare media e variaza Ai di studio (y i ) i y i i y i y i i Totale

98 ESERCIZI Completare la tabella seguete e calcolare media e variaza [Soluzioe:, 8] Ai di studio (y i ) i y i i y i y i i Totale 0 0

99 ESERCIZI Ua popolazioe è costituita da quattro appartameti A, B, C e D. La caratteristica i studio è rappresetata dal di vai Appartameto A B C D N vai Calcolare media e variaza della variabile ella popolazioe P.S. La variaza ella popolazioe è idicata come σ calcolata come: σ N i ( y y) i N ed è

100 ESERCIZI Estrarre tutti i 6 possibili campioi di due uità e calcolare la media campioaria Appartameti A A AB AC AD BA B B B C B D C A C B C C C D D A D B D C D D Valori - Media campioaria

101 ESERCIZI Tracciare il grafico della distribuzioe della media campioaria Calcolare la media delle medie campioarie Calcolare la variaza e lo scarto quadratico medio delle medie campioarie Cofrotare questi valori co quelli otteuti cosiderado tutti i campioi

102 ESERCIZI U isieme di dati ha media e deviazioe stadard y s Agli dati se e aggiuge uo di valore uguale a y y + Si ottiee così ua uova media e ua uova deviazioe stadard s + Si può dire quale delle tre relazioi sotto idicate è valida (se SI evideziarla; se NO dare ua breve giustificazioe) y < y s < s y s y s y > Si può dire quale delle tre relazioi sotto idicate è valida (se SI evideziarla; se NO dare ua breve giustificazioe s > s y

103 ESERCIZI Le due figure rappresetao i diagrammi a barre di due isiemi di dati. Idichiamo co y e s la media e lo scarto della figura e co y s e la media e lo scarto della figura Figura Figura Delle sei relazioi sotto idicate idicare le due corrette y < y y s < s s y y > y s s > s

104 ESERCIZI Si cosiderio due osservazioi co valore uguale e scoosciuto s tale che s<t. A questi dati se e aggiugoo 8 tutti co valore t. Il valore medio dei 0 dati complessivi rispetto a quello dei due iiziali: aumeta dimiuisce rimae ivariato Lo scarto dei 0 dati complessivi rispetto a quello dei due dati iiziali: aumeta dimiuisce rimae ivariato

105 ESERCIZI Su uo stesso sistema di assi soo riportati i diagrammi a barre di due isiemi di dati: il gruppo A e il gruppo B. Dire quale dei due isiemi ha media maggiore e quale scarto maggiore. [Soluzioe: media maggiore A, scarto maggiore B]

106 ESERCIZI Date 0 osservazioi di cui è oto che: i y i.68 i y i 0.67 stimare media e variaza campioaria forire u itervallo di cofideza per la media a livello α0.90 [Soluzioe: 0., 0., ]

107 x,..., x ESERCIZI Si hao osservazioi di ua certa variabile e se e coosce la media x. Si defiisce y i x.allora la i + media delle osservazioi y,..., è: y x x + x x +

108 ESERCIZI Quato vale il primo quartile? Quato il secodo? Quato il terzo?

109 ESERCIZI I biologi che studiao la salute della pelle misurao la velocità co cui le uove cellule tedoo a chiudere u taglio fatto co u rasoio sulla pelle di ua salamadra aestetizzata. Qui di seguito soo riportati i dati relativi a 8 salamadre misurati i micrometri (u milioesimo di metro) all ora Assumedo che la deviazioe stadard dei tassi di riovo della pelle ella popolazioe delle salamadre sia pari a 8 micrometri per ora calcolare u itervallo di cofideza per il tasso medio di riovo al 90% di cofideza. [Soluzioe:,7-8,77]

110 ESERCIZI Quato dovrebbe essere la umerosità campioaria per poter stimare il tasso tasso medio di riovo co u errore di o più di micrometro per ora? [Soluzioe: 7]