Tecnica delle Costruzioni Esercitazione 02

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1 TECNICA DELLE COSTRUZIONI ESERCITAZIONI 1 Strutture reticolari METODO DEI NODI Si procede nell isolare un nodo della struttura reticolare tagliando le aste che vi convergono. Si esplicitano quindi gli sforzi normali trasmessi dalle aste al nodo e le eventuali forze esterne. Si scrivono infine le equazioni di equilibrio per il nodo in esame. Nel caso piano si hanno pertanto a disposizione per ogni nodo solo le rimanenti due equazioni di equilibrio: ΣF x,nodo =0 ΣF y,nodo =0. Si procede scrivendo l equilibrio di un primo nodo e poi, servendosi dei risultati ottenuti, di un secondo e così di seguito. Poiché si hanno a disposizione solo due equazioni di equilibrio per nodo, è necessario disporre di almeno un nodo a cui sono collegate solo due aste, in modo da avere in partenza due sole incognite. Successivamente si procederà utilizzando di volta in volta nodi per i quali si abbiano due sole incognite. 2 a.a

2 Procediamo innanzitutto al calcolo delle reazioni vincolari esterne: R 1x = F R 1y = R 3y = F/2 3 Si consideri quindi ogni nodo sul quale agiscono eventuali forze esterne e le azioni fornite dalle aste che in esso concorrono. Nel caso piano, affinché sia rispettato l equilibrio nel generico nodo k devono essere rispettate le seguenti condizioni: dove si è indicato con k il nodo in esame,con i il generico nodo collegato a k mediante un asta, con α ki il coseno dell angolo che la direzione k i (orientata da k verso i) forma con l asse x, e conβil coseno dell angolo che la direzione k i forma con l asse y. Il sistema di riferimento Oxy è centrato nel nodo k. 4 a.a

3 Le frecce illustrano la direzione delle forze su un asta. Il verso corrisponde ad una forza di trazione nell asta, che per il principio di azione e reazione è in verso uscente dal nodo. Si scrivono quindi le equazioni di equilibrio per il nodo in esame. 5 6 a.a

4 7 8 a.a

5 Dalla figura è chiaro che N 32 =0. Si può quindi procedere a riassumere gli sforzi nelle aste (le frecce indicano gli sforzi nelle aste): 9 METODO DELLE SEZIONI o METODO DI RITTER Una travatura reticolare generata a partire da un triangolo iniziale presenta la proprietà di poter essere tagliata da una sezione ideale, che divida la struttura integralmente in due parti sezionando solo tre aste non concorrenti nello stesso punto. Se preventivamente sono state calcolate le eventuali reazioni scrivendo l equilibrio di tutto il traliccio, restano come incognite solo gli sforzi normali di tutte le aste tagliate. Poiché l equilibrio di questa porzione consente di scrivere solo tre equazioni, il taglio non dovrà evidenziare più di tre incognite. E conveniente effettuare un taglio che consenta di calcolare uno sforzo normale incognito quale che sia il numero di aste tagliate. 10 a.a

6 La sezione taglia 3 aste non concorrenti nello stesso nodo. Lo sforzo in una delle tre aste viene calcolato mediante un equazione di equilibrio dei momenti intorno al polo in cui convergono le altre 2: a.a

7 13 Capriata Fink semplice 14 a.a

8 Calcolo delle reazioni esterne a.a

9 Calcolo dello sforzo N 21 con il metodo delle sezioni di Ritter 17 La sezione di Ritter da considerare taglia le aste B-2, 2-1 e 1-E. Ci si riferisce alla porzione di sinistra della travatura e si scrive l equazione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di intersezione delle aste B-2 e 1-E. Si ottiene: 18 a.a

10 19 20 a.a

11 Si ha quindi per il sistema equilibrato : 21 Utilizzando il metodo dei nodi (la travatura essendo equilibrata deve avere allo stesso modo ogni suo nodo equilibrato: deve quindi essere verificata per ciascun nodo la prima equazione cardinale della statica R = 0): 22 a.a

12 Allo stesso modo si poteva procedere tramite il metodo di Ritter (sezioni): a.a