Variazione di una funzione

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1 a) Variazione di una funzione Variazione di : Δ= 2-1 Δf Variazione di f: Δf= 2-1 =f( 2 )-f( 1 ) b) 1 Δ 2 In questo caso a una variazione di, Δ, corrisponde una piccola variazione di f, Δf Δf In questo caso a una variazione di, Δ, corrisponde una grande variazione di f, Δf 1 Δ 2 f Il rapporto incrementale esprime la variazione di f in corrispondenza alla variazione di 1

2 Significato geometrico del rapporto incrementale Δf B f = tan f =tan A θ C 1 Δ 2 Il rapporto incrementale e' uguale alla tangente trigonometrica dello angolo θ che la retta passante per i punti A e B forma con l'asse. Con riferimento alle figure precedenti: Piccola variazione piccolo θ piccola tgθ Grande variazione grande θ grande tgθ In generale in tratti diversi della curva f, il rapporto incrementale varia, quindi abbiamo diversi tgθ 2

3 Rapporto incrementale variabile Δf Δf A A θ h +h B θ h +h B C f( +h)-f( ) f( +h)-f( ) C Calcoliamo il rapporto incrementale partendo da un punto e aggiungendo una quantita' variabile h f = f h f 0 0 h Spostiamo B verso A, allora la retta congiungente A - B si sposta cambiando pendenza. Se A tende a B la retta AB tende alla retta tangente alla curva in A, e il rapporto incrementale tende al coefficiente angolare della retta tangente 3

4 Derivata di una funzione in un punto Δf A B θ 0 h C f( +h)-f( ) +h Il rapporto incrementale f = f h f 0 0 h Per h m=lim h 0 0 diventa f h f h =tan 0 Il limite m, uguale alla tan 0, risulta diverso da un punto all'altro della curva, e percio' dipende dall'ascissa : m e' una funzione di e viene indicata con f ' o df in, e viene chiamata derivata della funzione f() nel punto 4

5 Derivata di una funzione in un punto - seguito Il limite per h 0, quando esiste ed e' finito, del rapporto incrementale, rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto (,f( )). Osservazione: La retta tangente a una curva in un punto e', in generale, unica e pertanto e' unico il limite f ' del rapporto incrementale per h 0 indipendentemente dal segno, cioe' sia da sinistra che destra. Sono quindi uguali derivata destra e derivata sinistra lim - h 0 f h f h derivata sinistra Fanno eccezione i punti angolosi f lim 0 h f + h h 0 derivata destra 5

6 Derivata di una funzione in un punto- seguito Prescindendo dal significato geometrico si puo' definire in generale la derivata di una funzione =f(). Definizione: Si dice derivata di una funzione =f() nel punto є D, il limite se esiste ed e' finito, del rapporto incrementale calcolato per = al tendere comunque a zero dell'incremento attribuito alla variabile indipendente in corrispondenza di f ' = lim 0 =lim h 0 f h f h Calcolo della derivata in un punto: 1. determinare l'incremento Δ 2. calcolare il rapporto incrementale Δ/Δ 3. determinare il limite per Δ 0 di Δ/Δ 6

7 Derivata di una funzione in un punto- seguito Vediamo come si applica la definizione con un esempio. = f = 2 = f h f = h 2 2 =2h h 2 =h 2 h = h 2 h 0 lim 0 h =lim h 0 =2 h 2 h =2 7

8 La funzione derivata e le derivate successive Data una funzione f() derivabile in ciascun punto di un intervallo A appartenente al dominio di f() si dice che f() e' derivabile nell'intervallo A dando origine a un'altra funzione '=f'() chiamata funzione derivata di f(). La funzione f'() definita in un proprio campo di esistenza Σ' puo' essere a sua volta una funzione continua e derivabile in un intervallo A' dando origine alla derivata della derivata di f() chiamata derivata seconda di f(), f () o df 2 2 Allo stesso modo si definisce la derivata terza, quarta, n-esima di una funzione. 8

9 Derivate di funzioni fondamentali Riassumiamo le derivate di funzioni fondamentali che serviranno in seguito: dk 1. derivata di una costante: =0 2. derivata di = : =1 3. derivata di = 2 : 2 =2 4. caso generale, derivata della funzione = n : de ± 5. derivata =e ± : =±e± dsin 6. derivata =sin() : =cos 7. derivata =cos() : dcos = sin n =nn 1 9

10 Regole di derivazione Riportiamo di seguito le regole di derivazione di funzioni composte. a. derivata di una somma di funzioni: f = f 1 ± f 2 df = df 1 ± df 2 e' la somma delle derivate b. derivata di un prodotto di funzioni: df ( ) = df ( ) 1 f ( )+ f ( ) df ( ) esempio: f ( )=k f 2 ( ) df ( ) = dk f ( )+k df ( ) 2 2 =k df ( ) 2 f ( )= f 1 ( ) f 2 ( ) 10

11 Regole di derivazione - seguito c. derivata di un quoziente: df = f = f 1 f 2 df 1 f 2 f 1 df 2 f 2 2 esempio: f =tan = sin cos dtan = cos cos sin sin cos 2 = cos2 sin 2 cos 2 = 1 cos 2 11

12 Regole di derivazione - seguito d. derivata di una funzione di funzione: df z=g = df z dg dz esempi: f = f k f =sin k f =cos k f =e ±k z=k df df z =k dz z=k df =kcos k z=k df = ksin k z=±k df =±ke±k f = f g 12

13 Relazione tra funzioni e derivate -ε +ε -ε +ε Data una funzione =f() definita in un intervallo A si dice che essa e' crescente in un punto se in un intorno completo di si ha f f f 0 si dimostra che f'( )>0 Data una funzione =f() definita in un intervallo A si dice che essa e' decrescente in un punto se in un intorno completo di si ha f f f 0 si dimostra che f'( )<0 Si dimostra che e' vero anche il viceversa 13

14 Massimi e minimi di una funzione f ' =0 [, ] f ' 0 [, ] f ' 0 f() crescente f() decrescente -ε +ε f ' f ' f ' f ' ' 0 X 0 punto di massimo per la funzione f ' =0 [, ] f ' 0 [, ] f ' 0 f() decrescente f() crescente -ε +ε f ' f ' f ' f ' ' 0 X 0 punto di minimo per la funzione 14

15 Massimi e minimi di una funzione - seguito Condizione necessaria ma non sufficiente affinche' sia punto di massimo o di minimo e' f'( )=0. Occorre inoltre determinare i segni di f'() a sinistra e destra di e quindi occorre risolvere oltre l'equazione f'()=0 le disequazioni f'()>0, f'()<0 Se il segno di f'() non cambia allora il punto e' un punto di flesso. 15

16 Massimi e minimi di una funzione - seguito Un altro metodo usato per determinare se un punto per cui f'( )=0 e' di massimo o minimo si basa sullo studio di f ( ): 1. se f ( )>0 allora f'() in un intorno di cresce, cioe' la pendenza della curva cresce e la concavita' della funzione e' rivolta verso l'alto e quindi f() ha un minimo 2. se f ( )<0 allora f'() in un intorno di decresce, cioe' la pendenza della curva diminuisce e la concavita' della funzione e' rivolta verso il basso quindi f() ha un massimo 3.se f'()=0 e f ( )=0 in punto non e' ne' di massimo ne' di minimo, ma si dice che la funzione ha un punto di flesso. 1 16

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y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m =

y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m = DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA E DERIVABILITA PUNTI DI NON DERIVABILITA

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