Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati

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1 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati. Premesse L analisi dei carichi prodotti dal vento ed agenti sulle strutture tipiche dell ingegneria civile non può basarsi esclusivamente sulla considerazione delle leggi dell aerodinamica classica, valide in campo aeronautico per corpi profilati, ma deve tenere conto del carattere non sagomato (bluff-body) di strutture quali palazzi, torri, ponti, investite dal flusso atmosferico. Infatti, mentre nel caso di corpi profilati (aerodynamic bodies) immersi in una corrente fluida lo strato limite tende a rimanere attaccato alla loro superficie, per i corpi non profilati la presenza di discontinuità geometriche favorisce la formazione di zone di distacco del flusso e conseguentemente induce un marcato effetto di scia. La caratterizzazione delle azioni del vento su strutture a geometria bluff-body deve quindi basarsi non soltanto sulla considerazione della turbolenza presente nel flusso incidente, ma anche della turbolenza che localmente si genera nella corrente a causa della presenza della struttura in essa immersa. Le conseguenti fluttuazioni locali del flusso, presenti nella regione circostante l interfaccia solida, possono indurre una marcata variabilità nel tempo delle forze prodotte dalla corrente, la cui valutazione avviene generalmente in ragione della condizione di moto relativo tra il fluido e la struttura. In particolare, è necessario distinguere il caso in cui la struttura sia fissa o rigida dal caso in cui essa sia mobile o deformabile all interno del flusso. Si vuole far notare che un corpo si comporta come un aerodynamic body non soltanto in riferimento alla sua configurazione geometrica ma anche in relazione alla direzione del flusso incidente. In altri termini, anche un profilo alare, che tipicamente presenta un comportamento aerodinamico, sotto un angolo di incidenza non nullo può manifestare un carattere bluffness connesso ad una marcata condizione di distacco della vena fluida dal profilo (condizione di stallo). 5

2 6 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati Nel primo caso l analisi delle azioni del vento è puramente aerodinamica, in quanto esse dipendono unicamente dalla geometria della regione solida e dalle caratteristiche della corrente incidente. Nel secondo caso, invece, è necessario tenere conto anche delle condizioni di moto della struttura in quanto esse possono indurre una ulteriore perturbazione locale del flusso, contribuendo a modificarne l azione. Se la struttura è deformabile all interno della corrente incidente, l analisi dell influenza reciproca tra le deformazioni elastiche prodotte dalle forze aerodinamiche e le forze stesse è detta aeroelastica. In particolare, si definisce con il termine aeroelasticità la disciplina che studia i fenomeni di interazione fluido-struttura caratteristici dei problemi accoppiati di strutture deformabili investite da correnti fluide sensibili alle deformazioni da esse stesse prodotte.. Caratteristiche del flusso attorno ad un corpo non profilato Con l intento di analizzare gli effetti del vento su strutture con un prevalente carattere monodimensionale, quali sono i ponti di grande luce sia in configurazione sospesa che strallata, si consideri un flusso bidimensionale incidente un corpo rigido non profilato. È noto che, la presenza di un corpo immerso in una corrente d aria modifica localmente la traiettoria e la velocità del flusso. Tali variazioni dipendono sia dalla forma del corpo che dalle condizioni di velocità media e di turbolenza della corrente incidente. È altresì noto che, a seguito della condizione di aderenza del fluido alla superficie dell ostacolo, si determina un rallentamento del flusso all interno della regione fluida prossima all interfaccia solida, detta di strato limite. In questa zona la velocità del fluido varia da zero, sul contorno del corpo, fino al valore assunto dal flusso non perturbato, lontano dall ostacolo in esso immerso. Il carattere non profilato della regione solida, i.e. la presenza di brusche variazioni geometriche del suo profilo, comporta che in alcune regioni adiacenti alla superficie d interfaccia possa essere favorita la formazione di forti gradienti di pressione negativi, rispetto alla direzione della corrente indisturbata. Tale condizione induce localmente un inversione del flusso e cioè una condizione di separazione della vena fluida. Visto il carattere praticamente monodimensionale dei ponti di grande luce è possibile assumere che la corrente incidente trasversalmente alla linea d asse sia, in prima approssimazione, bidimensionale. Pertanto, l analisi dei carichi prodotti dal vento ed agenti sull impalcato può compiersi considerando un suo tronco di lunghezza unitaria. Il problema è quindi ricondotto alla considerazione di una corrente bidimensionale in cui è immersa la sezione trasversale (generalmente non profilata) rappresentativa della struttura.

3 Caratteristiche del flusso attorno ad un corpo non profilato 7 A seguito del distacco della vena fluida ed in relazione al carattere del flusso incidente, si possono generare, all interno della scia del corpo, strutture di natura vorticosa. Queste sono dipendenti, tra l altro, dal numero di punti di separazione e di riattacco della vena sulla superficie d interfaccia. n parametro utile a caratterizzare lo stato del flusso, perturbato dalla presenza del corpo in esso immerso, è senza dubbio il numero di Reynolds. Esso è definito come il rapporto adimensionale fra le azioni di inerzia e quelle viscose: Re = ρb µ (.) essendo ρ e µ rispettivamente la densità e la viscosità dinamica dell aria, la velocità media del flusso incidente e B una dimensione tipica della regione solida 3. Supponendo, senza perdere di generalità, che il flusso incidente sia laminare e cioè considerando come unico contributo alla turbolenza quella eventualmente indotta dalla presenza del corpo all interno della corrente, possono verificarsi le seguenti situazioni (figura.). Quando le forze di inerzia del fluido sono minori o al più confrontabili con quelle viscose (Re minore o vicino all unità) il fluido aderisce alla superficie d interfaccia e le linee di flusso coincidono con quelle fornite dalla teoria del moto potenziale, i.e. relative al caso ideale di un fluido incomprimibile, non viscoso, in condizioni di moto irrotazionale. In queste ipotesi non si originano effetti di scia e le deboli azioni sul corpo indotte dal fluido sono di tipo prettamente viscoso. Per numeri di Reynolds dell ordine della decina le forze di inerzia divengono apprezzabili ma non ancora tali da produrre l instabilizzazione ed il distacco dello strato limite. D altra parte, la presenza di discontinuità geometriche induce una condizione di separazione del flusso in corrispondenza degli spigoli del profilo, dando origine a due deboli vortici che, in mancanza di una sufficiente spinta inerziale, ristagnano nella parte posteriore dell ostacolo. Per numeri di Reynolds maggiori (fino a valori dell ordine delle migliaia) si osserva che gli effetti inerziali sono tali da indurre la perdita di simmetria dei vortici a valle del corpo. Conseguentemente, le strutture vorticose si distaccano in modo alternativo e ciclico dal profilo (fenomeno detto di vortex-shedding), estendendosi ad una distanza notevole lungo la corrente. La scia che si genera a valle della regione solida viene indicata come scia vorticosa di Bénard-von Kármán, in onore dei ricercatori che per primi studiarono le condizioni di distacco e diffusione dei vortici ([.], [.9]). L evidente ciclicità del fenomeno descritto fu osservata da Strou- 3 Tipici valori di densità e viscosità dell aria, per una temperatura di 5 o C e pressione atmosferica, sono: ρ =.kg/m 3 e µ = P a s.

4 8 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati hal [.45], il quale suggerì di rappresentarlo attraverso l introduzione di un numero adimensionale, detto appunto numero di Strouhal, definito come: St = n wb (.) dove con n w si è indicata la frequenza che caratterizza i cicli completi di distacco dei vortici dalla superficie del profilo. In particolare, fissata la geometria dell ostacolo, i risultati sperimentali mostrano che tale numero si mantiene praticamente costante al variare della condizione di velocità media della corrente incidente. Il valore del numero di Strouhal per una sezione circolare è dell ordine di., mentre per le usuali sezioni da impalcato St varia tra. e.. Per valori di Re superiori all ordine delle migliaia le azioni di inerzia sono abbondantemente preponderanti rispetto alle azioni viscose e conseguentemente le forze indotte sul corpo dalla corrente sono fortemente dipendenti dagli effetti di scia. In questo caso la probabilità che si stacchino dalla superficie del corpo vortici di dimensioni ragguardevoli è minima. D altro canto, la scia a valle dell ostacolo è fortemente instabilizzata (scia turbolenta) ed è costituita da piccole strutture vorticose di carattere random. Tale scia interagisce con la regione di flusso indisturbato per il tramite di zone cosiddette di scorrimento, generate in corrispondenza dei punti di discontinuità geometrica del profilo. In esse è possibile riscontrare la presenza di vortici di media scala che trasferiscono quantità di moto dalla corrente indisturbata alla scia turbolenta, sottraendo così energia al moto medio. È il caso di osservare che i fenomeni di scia appena descritti possono presentarsi anche per corpi profilati a comportamento aerodinamico. In questo caso si osserva sperimentalmente che in generale esiste una maggiore sensibilità al numero di Reynolds rispetto a corpi di tipo bluff-body. Ciò può giustificarsi osservando che per i corpi profilati la generazione dei fenomeni di scia turbolenta avviene per instabilizzazione viscosa dello strato limite. In altri termini, l assenza di discontinuità geometriche fa sì che il fenomeno di distacco di vena sia sostanzialmente connesso solo ad una condizione di squilibrio tra le azioni di attrito alla parete, di carattere viscoso, e le azioni di inerzia del fluido. Viceversa, nel caso di bluff-bodies la separazione è da considerarsi catalizzata da condizioni di singolarità geometriche e, conseguentemente, meno dipendente dalla mutua interazione tra gli effetti viscosi e quelli inerziali, i.e. meno dipendente da Re.

5 Le forze aerodinamiche 9 B Re Re linee di separazione scia turbolenta vortex-shedding Re 3 Re >> 3 zona di scorrimento Fig..: Linee di flusso al variare del numero di Reynolds per un corpo non profilato investito da una corrente uniforme..3 Le forze aerodinamiche.3. Corrente incidente laminare Si consideri un cilindro rigido e fisso nello spazio avente linea d asse rettilinea e lunghezza infinita. Inoltre, si assuma che detta struttura sia immersa in una corrente bidimensionale a carattere laminare. Considerato il piano della generica sezione trasversale S del cilindro, si introducano i riferimenti cartesiani (O, x o, y o ) solidale con S, i.e. fisso, e (O, x, y) definito in modo tale che l asse delle x sia disteso lungo la direzione del vento incidente (figura.). Si assuma, infine, che la velocità della corrente V L = i sia costante o al più debolmente variabile con il tempo. Dall integrazione del campo di pressione del fluido e delle azioni viscose sul bordo della sezione trasversale S si ottengono, per unità di lunghezza del cilindro, il vettore forza risultante F L (α, t) applicato in O ed il momento torcente M θl (α, t), in generale funzioni del tempo t e dell angolo di incidenza α, formato tra i versori i e i o relativi rispettivamente agli assi x e x o. In particolare, è possibile porre:

6 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati y y o F yl F L F xl x O x o M L B Fig..: Corrente incidente laminare: definizione dei sistemi di riferimento e delle grandezze caratteristiche. F L (α, t) = F xl (α, t)i + F yl (α, t)j (.3) D altro canto, ciascuna delle azioni che il vento esercita sulla struttura può pensarsi somma di un aliquota media ( ), costante o al più debolmente variabile con il tempo, e di una aliquota fluttuante ( ), in generale fortemente variabile con t: F L (α, t) = F L (α) + F L (α, t) M θl (α, t) = M θl (α) + M θl (α, t) (.4) Nel caso di corrente incidente laminare si definiscono allora i coefficienti aerodinamici adimensionali medi di resistenza (drag) e portanza (lift), C dl e C ll, in funzione delle omonime componenti di forza e della cosiddetta pressione dinamica del flusso indisturbato ρ : C dl (α) = F xl (α) ρ B C ll (α) = F yl (α) ρ B essendo B una dimensione caratteristica della sezione trasversale S. (.5) Analogamente, si definisce il coefficiente aerodinamico adimensionale medio di momento: C ml (α) = M θl (α) ρ (.6) B I coefficienti adimensionali appena introdotti dipendono, oltre che dall angolo d incidenza α, anche dalla geometria di S ed in generale dal numero di Reynolds.

7 Le forze aerodinamiche,8,8 C d,6,4,, Normandy Bridge (Projet Détaillé) Great Belt East Bridge 3 Sunshine Skyway Bridge 3 C,4, -,4 3 -, Angolo di incidenza -, Angolo di incidenza 8,3,5 C m, -,5 -, Angolo di incidenza 3 Fig..3: Coefficienti aerodinamici medi al variare dell angolo di incidenza per alcune tipiche sezioni da ponte ([.9], [.7],[.5]). La figura.3 mostra, per tipiche sezioni da ponte non profilate ed al variare di α, gli andamenti dei coefficienti aerodinamici medi nell ipotesi di corrente incidente laminare 4. Nella figura.4 è messa poi a confronto la dipendenza dal numero di Reynolds del coefficiente medio di drag per un profilo circolare ed uno quadrato. È immediato notare la maggiore variabilità con Re nel caso di sezione profilata, giustificabile, in virtù di quanto si accennava in precedenza, attraverso la considerazione di una instabilizzazione viscosa dello strato limite piuttosto che geometrica, tipica invece dei corpi non profilati. Le aliquote fluttuanti delle azioni del vento sulla struttura, visto il carattere laminare del flusso incidente, dipendono soltanto dai fenomeni di scia generati a valle di S ed in particolare dal fenomeno del vortex-shedding. Introdotti allora i coefficienti adimensionali di scia C kw (α, t) (k = d, l, m) si pone: 4 È il caso di osservare che i dati riportati in figura.3 sono espressi secondo una convenzione differente da quella sin qui adottata e che si adotterà nel seguito. In particolare, le forze aerodinamiche e conseguentemente i relativi coefficienti adimensionali non sono riferiti al sistema locale per S (individuato dagli assi x ed y in figura.) ma si riferiscono al sistema cartesiano globale ad assi x o, y o (cf. figura.).

8 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati,4, C d,6,,8,4 5 6 Re Fig..4: Coefficiente di resistenza medio al variare di Re per una sezione quadrata ed una circolare ([.39], [.53]). F xl (α, t) = ρ B C dw (α, t) F yl (α, t) = ρ B C lw (α, t) (.7) M θl (α, t) = ρ B Cmw (α, t) Nel range di valori del numero di Reynolds per cui si manifesta una condizione di distacco di vortici dal profilo, sempre in virtù della supposta laminarità della corrente incidente, si può assumere [.4] che la variabilità dei coefficienti di scia avvenga secondo leggi di tipo sinusoidale, le cui ampiezze C kl (α) (k = d, l, m) siano dipendenti dalla geometria di S oltre che dall angolo di incidenza α: C dw (α, t) = C dl (α) sin(πn xw t) C lw (α, t) = C ll (α) sin(πn yw t) (.8) C mw (α, t) = C ml (α) sin(πn θw t) Sperimentalmente si osserva che, in generale, l aliquota fluttuante della forza aerodinamica nella direzione della corrente è trascurabile rispetto a quella in direzione ortogonale, i.e. Cdw C lw, e che la frequenza di oscillazione dell azione lungo x è pari al doppio della frequenza di distacco di vortici, i.e. n xw = n w, mentre n yw e n θw sono praticamente coincidenti con n w, i.e. n yw = n θw = n w.

9 Le forze aerodinamiche 3.3. Corrente incidente turbolenta É noto che il campo di velocità di una corrente a carattere turbolento 5 presenta fluttuazioni istantanee rispetto alla condizione di moto medio. In altri termini, la velocità del flusso incidente può porsi nella forma: V T (t) = [ + ũ(t)]i + ṽ(t)j (.9) avendo indicato con la velocità media del flusso e con ( ) le corrispondenti aliquote fluttuanti, assunte a media nulla nel tempo. I versori i e j sono al solito relativi al riferimento cartesiano (O, x, y), definito considerando l asse delle x disteso lungo la direzione media del vento (figura.5). D altra parte, è possibile introdurre un riferimento istantaneo (O, x, ỹ), definito in modo tale che l asse x sia disteso ad ogni tempo t lungo la direzione istantanea del flusso, i.e. come V T (t). L angolo di incidenza istantaneo γ T (t) è definito allora in funzione dell angolo di incidenza α della corrente media e della sua variazione istantanea δ T (t) (cf. figura.5): [ ] ṽ(t) γ T (t) = α + δ T (t) = α + arctan + ũ(t) (.) Pertanto, la forza F T (α, t) che il vento esercita sulla struttura nel caso di corrente turbolenta, può scomporsi equivalentemente rispetto al riferimento medio (O, x, y) oppure rispetto a quello istantaneo (O, x, ỹ): F T (α, t) = F xt (α, t)i + F yt (α, t)j = F dt (α, t)ĩ(t) + F lt (α, t) j(t) (.) e ciascuna componente di F T (α, t), così come il momento torcente M θt (α, t), possono pensarsi somma di un aliquota media ( ) e di una fluttuante nel tempo ( ). Analogamente a quanto fatto nel caso di flusso incidente laminare si introducono per una corrente incidente turbolenta i coefficienti aerodinamici adimensionali medi di resistenza, portanza e momento, dipendenti dall angolo di incidenza del flusso medio, dalla geometria di S e dall intensità della turbolenza incidente: C dt (α) = F xt (α) ρ B C lt (α) = F yt (α) ρ B C mt (α) = M θt (α) ρ (.) B Come già accennato, le fluttuazioni nel tempo delle azioni aerodinamiche agenti sulla struttura sono connesse a due effetti sostanziali. Il primo è relativo alla 5 Tale evenienza occorre in presenza di vento fortemente rafficato o qualora la struttura sia all interno della scia generata da un altro ostacolo posizionato sopra vento.

10 4 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati y y F yt y o x F T x F T F dt u O F xt M T x o T T v V T Fig..5: Corrente incidente turbolenta: definizione dei sistemi di riferimento e delle grandezze caratteristiche. turbolenza del flusso incidente (azioni di buffeting), mentre l altro, esplicito nella formazione e nel distacco di vortici dal profilo, dipende dalla turbolenza generata dal corpo, visto come ostacolo al flusso medesimo. Pertanto, indicate con l apice le azioni che non tengono in conto gli eventuali fenomeni di vortex-shedding, è possibile generalizzare le definizioni (.) al caso di variazioni istantanee dell angolo d incidenza del flusso assumendo che le componenti fluttuanti di velocità siano piccole rispetto ad e debolmente variabili con il tempo. Conseguentemente, sotto questa ipotesi, si può assumere una variabilità quasi-stazionaria dell angolo di incidenza istantaneo (quasi-steady theory) e quindi si possono ritenere valide le seguenti relazioni: FdT (α, t) = ρv T (t)bc dt (γ T (α, t)) FlT (α, t) = ρv T (t)bc lt (γ T (α, t)) (.3) MθT (α, t) = ρv T (t)b C mt (γ T (α, t)) dove le componenti di forza si intendono riferite al sistema cartesiano istantaneo (O, x, ỹ) 6. Nel sistema di riferimento medio (O, x, y) si ricava banalmente (cf. figura.5): FxT = FdT cos δ T FlT sin δ T FyT = FdT sin δ T + FlT cos δ T (.4) 6 Nelle (.3), valendo la (.), si è messo in evidenza che, fissata la condizione di turbolenza per la corrente incidente, la dipendenza da γ T può essere intesa come dipendenza da α e da t.

11 Le forze aerodinamiche 5 potendo porre, sempre nelle ipotesi di validità della quasi-steady theory FxT (t) = ρv T (t)bc xt (γ T ) FyT (t) = ρv T (t)bc yt (γ T ) (.5) dove C xt (γ T ) = C dt (γ T ) cos δ T (t) C lt (γ T ) sin δ T (t) C yt (γ T ) = C dt (γ T ) sin δ T (t) + C lt (γ T ) cos δ T (t) (.6) Fissata la geometria di S le funzioni C xt, C yt e C mt possono svilupparsi in serie in un intorno di γ T = α: C xt (α, t) = C d + δ T (C d C l) + δ T (C d C d C l ) + o(δ T ) C yt (α, t) = C l + δ T (C d + C l ) + δ T (C d + C l C l) + o(δ T ) (.7) C mt (α, t) = C m + δ T C m + δ T C m + o(δ T ) γt =α ; C k = d C kt dγ T (k = d, l, m). γt =α avendo posto C k = C kt (α); C k = dc kt dγ T La variazione istantanea dell angolo di incidenza può analogamente svilupparsi in serie di Mc Laurin come (cf. equazione (.)): δ T (t) = [ ( ṽ(t) + ũ(t) ṽ 3 ) ] (t) ṽ(t) 4 3[ + ũ(t)] 3 + o + ũ(t) (.8) Sostituendo i precedenti sviluppi nelle (.5) e nella terza delle (.3) si ricava: F xt (α, t) = ρ BC d + ρũbc d + ρṽb(c d C l) + R o xt F yt (α, t) = ρ BC l + ρũbc l + ρṽb(c d + C l ) + Ro yt (.9) MθT (α, t) = ρ B C m + ρũb C m + ρṽb C m + RθT o essendo i termini R o T (α, t) residui che possono ritenersi trascurabili quando δ T è piccolo o equivalentemente quando si ha una condizione di debole turbolenza del flusso incidente, i.e. quando le componenti fluttuanti della velocità sono piccole rispetto alla condizione di moto medio. In particolare, risulta:

12 6 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati ] RxT o /ρb = C d (ũ + ṽ ) + (C d C l) [ũṽ + ṽ3 + 3( + ũ) (C d C d C l )ṽ + (C d R o yt /ρb = C l (ũ + ṽ ) + (C d + C l ) [ ũṽ + +C d )ṽ + (C l R o θt /ρb = C m (ũ + ṽ ) + C m +C m ṽ 3 6( + ũ) +... ṽ 3 3C d 3C l + C l) 6( + ũ) +... ṽ3 3( + ũ) ṽ 3 ] + (C l C l 3C l + 3C d C d) +... (.) 6( + ũ) ] [ũṽ + ṽ3 + 3( + ũ) C mṽ Quanto detto consente di rappresentare in modo soddisfacente le azioni del vento sulla struttura nell ipotesi di assenza di condizioni di vortex-shedding. Qualora invece si abbia distacco di vortici nella scia di S è necessario verificare se il contenuto in frequenza del fenomeno di vortex-shedding interagisca o meno con quello della turbolenza presente nella corrente incidente. Nel caso di distacco di vortici con contenuto in frequenza ben al di fuori da quello relativo alla turbolenza incidente, le densità spettrali della generica azione del vento connesse alle fluttuazioni turbolente ed a quelle da vortex-shedding si rappresentano qualitativamente come riportato in figura.6. Pertanto, sotto dette ipotesi, le fluttuazioni turbolente e quelle da vortex-shedding possono ritenersi con buona approssimazione indipendenti e quindi sovrapponibili, i.e. F kt (α, t) = FkT (α, t) + F kw (α, t) k=x,y M θt (α, t) = MθT (α, t) + M θw (α, t) (.) essendo al solito le grandezze ( ) rappresentative dei soli effetti connessi alla turbolenza del flusso incidente e quelle ( ) w relative ai fenomeni di scia. In particolare, analogamente a quanto fatto nel caso di flusso incidente laminare, le azioni di scia possono rappresentarsi come indicato nelle (.7), i.e. attraverso l introduzione di coefficienti adimensionali di scia. Detti coefficienti, nel caso di distacco di vortici con corrente incidente laminare, si sono rappresentati (cf. eq. (.8)) mediante leggi di tipo sinusoidale e quindi caratterizzando il contenuto in frequenza delle corrispondenti azioni mediante una sola frequenza rappresentativa. D altra parte, nel caso di flusso incidente turbolento si osserva che il contenuto in frequenza legato alle flut-

13 Le forze aerodinamiche 7 turbolenza vortex-shedding Densità Spettrale Frequenza 6 9 n kw (k = x, y, ) Fig..6: Andamento qualitativo delle densità spettrali per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute rispettivamente alla turbolenza presente nella corrente incidente ed al fenomeno del vortex-shedding. Caso in cui il contenuto in frequenza relativo al distacco di vortici è ben al di fuori di quello connesso alla turbolenza incidente. tuazioni da distacco di vortici si arricchisce al crescere dell intensità della turbolenza presente nella corrente (figura.7) 7. Conseguentemente, nel caso di corrente incidente turbolenta, una rappresentazione mediante leggi sinusoidali dei coefficienti di scia non è più ammissibile se non nello spirito di considerazioni di prima approssimazione. In definitiva, nel caso in cui n w sia sufficientemente grande rispetto al contenuto in frequenza della turbolenza atmosferica, in ragione delle relazioni (.7), (.9) e (.), si pone: F(α, t) = F(α) + Fũ(α, t) + Fṽ(α, t) + F w (α, t) + R o T (α, t) (.) essendo F(α, t) il vettore delle forze generalizzate aerodinamiche F xt (α, t) F(α, t) = F yt (α, t) M θt (α, t) (.3) ed avendo indicato con F(α), F (α, t) e R o T (α, t) rispettivamente il valore medio8 di 7 Così come nel caso di flusso incidente laminare anche nel caso di flusso turbolento può osservarsi sperimentalmente che C dw << C lw. In particolare, nella maggioranza dei casi risulta C dw. 8 È il caso di osservare che per come è stato introdotto, a rigore, il vettore F(α) non rappresenta esattamente la media delle forze aerodinamiche F(α, t). Esso caratterizza infatti le aliquote costanti di F(α, t) riferite alla velocità media della corrente ed approssima l effettivo vettore medio di forza nel caso in cui si ritengano trascurabili i contributi medi nel tempo dei termini quadratici in ũ e ṽ

14 8 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati flusso laminare Densità Spettrale piccola turbolenza grande turbolenza n kw (k = x, y, ) Frequenza Fig..7: Andamento qualitativo della densità spettrale per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute a vortex-shedding al variare dell intensità della turbolenza presente nella corrente incidente. F(α, t), le aliquote di fluttuazione a media nulla intorno a F ed il termine residuale R o T (α, t) = { } T RxT o RyT o RθT o, trascurabile per piccole intensità di turbolenza della corrente incidente. In dettaglio, si pone: F(α) = { } T ρ B C d, C l, BC m (.4) { } T Fũ(α, t) = ρbũ(t) C d, C l, BC m (.5) Fṽ(α, t) = { } T ρbṽ(t) C d C l, C d + C l, BC m (.6) F w (α, t) = ρ B { Cdw (t), Clw (t), B C mw (t) } T (.7) D altra parte, nel caso in cui il distacco di vortici nella scia di S avvenga con un contenuto in frequenza interagente con quello caratteristico della turbolenza del flusso incidente, si osserva che, al di sopra della frequenza principale di vortexshedding n w, il contenuto in frequenza globale tende ad essere eliso (figura.8). Pertanto, a seguito della presenza di condizioni di interazione fra i due fenomeni, non è più possibile sovrapporre semplicemente i relativi effetti e l approccio quasistazionario non fornisce una soddisfacente rappresentazione delle azioni che il vento esercita sulla struttura. Analogamente, se l intensità della turbolenza non è piccola e quindi se la variabilità e l ampiezza di ũ(t) e ṽ(t) con il tempo sono molto pronunciate, la teoria quasirispetto ad.

15 Le forze aerodinamiche 9 Densità Spettrale n kw Frequenza (k = x, y, ) Fig..8: Andamento qualitativo delle densità spettrali per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute rispettivamente alla turbolenza presente nella corrente incidente ed al fenomeno di vortex-shedding. Caso in cui il contenuto in frequenza relativo al distacco di vortici interagisce con quello connesso alla turbolenza incidente. stazionaria non è direttamente applicabile, ma è necessario ricorrere ad approcci differenti. Profilo alare sottile soggetto a raffiche di vento Il primo modello inerente l analisi delle azioni prodotte dalla turbolenza incidente si riferisce al caso di un profilo alare sottile soggetto a raffiche di vento e fu proposto da Küssner [.] in ambito aeronautico. Essendo trascurabile in tale contesto l effetto delle fluttuazioni orizzontali della velocità, l analisi è fondamentalmente incentrata sull effetto delle raffiche verticali. Küssner considerò il caso di un ala sottile che si muove in aria calma di moto rettilineo uniforme con velocità ed angolo di attacco nullo, investita istantaneamente da una raffica verticale infinitamente estesa di velocità ṽ o (figura.9). Tenuto conto B = b v o Fig..9: Profilo alare sottile soggetto a raffica verticale: convenzioni.

16 3 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati..8 (s) s = t/b Fig..: Funzione di Küssner al variare del tempo adimensionale s [.35]. che sotto le ipotesi dette da un analisi teorica risulta [.4] C l () = e C l () = π, egli ricavò che la forza di portanza per unità di lunghezza conseguente alla raffica indiciale verticale evolve nel tempo secondo la relazione: F yt (s) = ρ b(π)ṽo ψ(s) (.8) essendo B = b la corda del profilo, s = t/b il tempo adimensionale e ψ(s) una funzione indiciale detta funzione di Küssner. relazione [.7]: Quest ultima è approssimata dalla oppure ψ(s) =.5e.3s.5e.s (.9) ψ(s) = s + s s +.8s +.8 (.3) Le approssimazioni (.9) e (.3) sono appropriate per s =. Qualora s sia fortemente diverso da zero può invece convenientemente essere adottata la relazione: ψ(s) =.38e.75s.58e.6s (.3) La figura. mostra, al variare del tempo adimensionale, l andamento della funzione di Küssner nel caso di un profilo alare sottile. Si osserva che, a parte la fase transitoria iniziale, la forza aerodinamica verticale si porta in modo asintotico, al crescere di s, sul valore ρ b(π) ṽo. In altri termini, per s la forza F yt assume il valore corrispondente all angolo di incidenza stazionario α = ṽo. Per piccoli valori di ṽ o rispetto a il rapporto ṽo rappresenta infatti l effettivo angolo sotto il quale, a seguito del moto relativo fra il fluido ed il profilo, la corrente investe l ala.

17 Le forze aerodinamiche 3.5 Parte Immaginaria valori di k Parte Reale k = Fig..: Andamento della funzione complessa di Sears al variare della frequenza ridotta k della raffica [.35]. Per una raffica caratterizzata da una distribuzione di velocità verticale arbitraria ṽ(s) la forza di portanza agente sul profilo che avanza all interno della raffica stessa si ricava per applicazione del principio di sovrapposizione di Duhamel [.44]: F yt (s) ρ (b) = π = π s ṽ(s σ)ψ (σ)dσ = π ṽ (s σ)ψ(σ)dσ ṽ(σ) dψ (s σ)dσ (.3) ds avendo indicato ( ) = d( ) ds. Sotto le medesime ipotesi e considerando il caso di una raffica con distribuzione di velocità armonica del tipo ṽ(s) = ṽ o e iks, Sears dimostrò che la corrispondente forza di portanza fluttuante può porsi nella forma [.4]: F yt (s) ρ (b) = πṽ o Θ(k)eiks (.33) dove si è indicata con i l unità immaginaria, con k = bω/ la pulsazione adimensionale della raffica (o frequenza ridotta) definita rispetto alla semicorda b del profilo e con Θ(k) la funzione complessa di Sears rappresentata in figura.. È immediato verificare che la funzione di Küssner e quella di Sears sono in relazione fra loro per il tramite della trasformata di Fourier 9 : 9 [.5] Si ricorda che la trasformata di Fourier della funzione f(s) del tempo adimensionale s si esprime nel dominio della frequenza ridotta k come: f(k) = f(σ)e ikσ dσ

18 3 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati. v..8.6 Valori sperimentali (Jankauskas, 983) k /(+5k) k/ Fig..: Ammettenza aerodinamica per profili alari sottili [.35]. Θ(k) = ik ψ(σ)e ikσ dσ = e ikσ dψ (σ)dσ (.34) ds Poichè in generale i dati connessi al contenuto di turbolenza nel vento sono specificati in forma spettrale, è utile considerare la rappresentazione spettrale della (.33). In particolare, la densità spettrale della forza fluttuante di portanza è: S FyT (k) = (πρb) Sṽ(k)χṽ(k) (.35) dove con Sṽ si è indicata la densità spettrale della funzione ṽ(s) e con χṽ (k) = Θ(k) la cosiddetta ammettenza aerodinamica riportata in figura. e della quale una valutazione approssimata è stata proposta da Jancauskas [.6]: χ ṽ = + 5k (.36) Vale inoltre la seguente proprietà di convoluzione nel tempo. Se f (s) ed f (s) sono funzioni trasformabili secondo Fourier ed f (k), f (k) sono le rispettive trasformate, si ha che la trasformata di Fourier della funzione F (s) = s f(s)f(s σ)dσ risulta: F (k) = f (k)f (k) [.4] Assegnato il segnale random z(s) a media nulla la densità spettrale (o auto-spettro) di z(s), funzione della frequenza ridotta k, può definirsi in modo alternativo rispetto alla (.3) come: S z(k) = lim T T z(k)z (k) avendo indicato con z (k) la funzione complessa coniugata di z(k).

19 Le forze aerodinamiche 33 Azioni di buffeting per corpi non profilati. Approccio indiciale Alla luce delle considerazioni appena svolte, la valutazione attraverso la caratterizzazione del comportamento indiciale del profilo delle azioni indotte da raffiche di vento, i.e. da condizioni di buffeting, può generalizzarsi al caso di sezioni non profilate. In particolare, se si trascurano negli sviluppi del tipo (.7) i contributi infinitesimi di ordine superiore al secondo dipendenti dalle componenti fluttuanti di velocità, seguendo le linee guida suggerite da Davenport [.8] e Scanlan ([.34], [.35], [.4]), le relazioni del tipo (.9), ottenute tramite l approccio quasi-stazionario, possono modificarsi nel dominio del tempo come segue: C db (α, s) = D b(α, s) ρ B = F xt (α, s) FxT (α) ρ B [ = C d D ũ + Dũ] + (C d C l )Dṽ[ + Dũ] + (C d + C d C l )D ṽ (.37) C lb (α, s) = L b(α, s) ρ B = F yt (α, s) FyT (α) ρ B [ = C l L ũ + Lũ] + (Cd + C l )L ṽ[ + Lũ] + (C l + C d + C l)l ṽ (.38) essendo C mb (α, s) = M b(α, s) ρ B = M θt (α, s) MθT (α) ρ B = C m [Mũ + Mũ] + C mmṽ[ + Mũ] + (C m + C m )M ṽ (.39) Dũ = Lũ = Mũ = ũ(σ) ψ dũ (s σ)dσ D ṽ = ũ(σ) ψ lũ (s σ)dσ L ṽ = ũ(σ) ψ mũ(s σ)dσ Mṽ = ṽ(σ) ṽ(σ) ψ lṽ ψ dṽ (s σ)dσ (s σ)dσ (.4) ṽ(σ) ψ mṽ(s σ)dσ dove con s si indica il tempo adimensionale definito in funzione della dimensione caratteristica B di S (i.e. s = t/b = s/) ed avendo introdotto la notazione:

20 34 Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati ψ = dψ /ds. Nelle relazioni (.4) si è assunta valida l ipotesi di sovrapponibilità degli effetti alla Duhamel e si sono introdotte le funzioni indiciali del tipo alla Küssner ψ kq (s) (k = d, l, m; q = ũ, ṽ), la cui valutazione è essenzialmente connessa a procedure di carattere sperimentale ([.3], [.38]). In generale, esse risultano funzioni oltre che del tempo anche della velocità media della corrente. Nelle relazioni ( ) si sono introdotti i coefficienti adimensionali di buffeting C db, C lb, C mb essendo D b, L b, M b rispettivamente i relativi contributi dimensionali di resistenza, portanza e momento. È il caso di osservare che nelle precedenti espressioni oltre a comparire termini integrali lineari in ũ e ṽ compaiono anche termini integrali quadratici e termini misti. Questi ultimi sono da riguardarsi come termini di interazione fra le risposte, in termini di forze aerodinamiche sul profilo, connesse alle componenti fluttuanti di velocità ũ e ṽ. Sfruttando allora la proprietà di convoluzione nella frequenza, la trasformata di Fourier delle ( ) risulta Nelle ( ) si è assunto implicitamente che i valori di FxT (α), FyT (α) e M θt (α) non varino durante l intero processo. A rigore infatti, bisognerebbe portare in conto una loro variabilità transitoria tramite funzioni indiciali del tipo alla Küssner. In dettaglio, considerata una raffica ũ(s) l azione di portanza totale agente sul profilo risulta: F yt (s) = ρ BC l ψ lũ (s) + ρ BC l [L ũ + Lũ] essendo al solito C l = C lt (α). È immediato verificare che il primo termine rappresenta un contributo transitorio, convergente per s al valore di portanza stazionaria mentre il secondo è il contributo non stazionario connesso direttamente alla raffica ed esplicitamente indicato nella (.38). [.5] Se f (s) ed f (s) sono funzioni trasformabili secondo Fourier ed f (K), f (K) sono le rispettive trasformate, si ha che la trasformata di Fourier della funzione F (s) = f (s)f (s) risulta: F (K) = f (Ω)f (K Ω)dΩ π

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