CORSO DI FISICA dispensa n.2 MECCANICA DEI FLUIDI

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1 CORSO DI FISICA dispensa n.2 MECCANICA DEI FLUIDI Meccanica dei fluidi La meccanica dei fluidi si occupa sia della statica (idrostatica) sia del movimento (idrodinamica) dei fluidi. Per fluidi si intendono sia i liquidi che i gas. I liquidi sono fluidi incompressibili (incomprimibili), non hanno un proprio vo- lume e prendono quello del recipiente in cui si trovano. I gas a differenza dei liquidi sono compressibili (comprimibili) ma come loro non sono dotati di proprio volume. 1.1 Idrostatica Le leggi fisiche enunciate in questa sezione valgono per un fluido perfetto. Un fluido perfetto è un modello fisico con le seguenti caretteristiche: ❼ alta fluiditá: le forze che legano le molecole del fluido sono deboli, rispetto per esempio ad un solido, e gli strati di molecole possono scorrere gli uni sugli altri. ❼ incompressibilitá: il fluido mantiene il medesimo volume. 1

2 1.2 La pressione Ogni forza che agisce su una superficie esercita una pressione che è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla superficie: p = F /S essa è il rapporto tra la componente F ortogonale alla superficie e la superficie. Dimensionalmente la pressione è una forza su una superficie e le sue unitá di misura Figura 1.1: Pressione. nel S.I. sono [N/m 2 ] che equivale ad un Pascal e si indica con [P a]. Nel sistema C.G.S. le unitá di misura sono [dine/cm 2 ] = baria, 1P a equivale a 10barie. Un altra unitá di misura molto usata è l atmosfera indicata con atm, 1atm = P a = 1, barie barie equivale ad 1 Bar. Un atm è la pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 760 mm al livello del mare. 1 mm di mercurio equivale ad 1 Torr. 1.3 Principio di Pascal Se si esercita dall esterno una forza su una porzione di superficie di un liquido in quiete, allora la pressione cosí generata si trasmette inalterata a tutti i punti del liquido. Facciamo riferimento alla figura (FIG.1.2): la pressione esercita sulla superficie S 1, per il principio di Pascal deve essere la stessa che si trasmette sulla 2

3 superficie S 2, ne segue che F 1 /S 1 = F 2 /S 2 Il torchio idraulico e i freni a disco di un automobile sono un applicazione del principio di Pascal. Figura 1.2: Principio di Pascal. 1.4 La legge di Stevino La legge di Stevino mette in relazione la pressione di un fluido con l altezza del suo contenitore. Supponiamo di voler calcolare la pressione esercitata sulla superficie S dalla colonnina di fluido di altezza h,(fig.1.3), questa risulterá essere uguale a p = F /S = mg/s ricordiamo che la massa puó essere espressa in funzione della densitá m = ρv, sostituendo otteniamo p = ρgh 3

4 che mette in relazione ρ ed h, la pressione esercitata dal fluido sulla superficie S é direttamente proporzionale all altezza. Se prendessimo in considerazione anche la pressione atmosfera, che in genere é indicata con p 0, l ultima relazione ottenuta diventerebbe p = p 0 + ρg Figura 1.3: Legge di Stevino. 1.5 Principio dei vasi comunicanti Supponiamo di avere dei recipienti di diversa forma e contenenti lo sesso liquido(fig.1.5), l altezza raggiunta dal liquido in tutti i recipienti sará la stessa. Infatti per il principio di Pascal abbiamo che p 1 = F 1 /S 1 = p 2 = F 2 /S 2 che si puó riscrivere, tramite la legge di Stevino come: ρgh 1 = ρgh 2 4

5 dove abbiamo supposto S 1 = S 2. Se la densitá é la stessa é ovvio che affinché le pressioni siano uguali deve essere h 1 = h 2. Il caso é piú complesso se ci sono liquidi con densitá diversa, in questo caso avremo che: ρ 1 h 1 = ρ 2 h 2 dalla quale segue che ρ 1 /ρ 2 = h 2 /h 1. Quindi il liquido a densitá maggiore raggiunge un altezza minore. Figura 1.4: Principio dei vasi comunicanti. 1.6 Principio di Archimede Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l alto, applicata al baricentro, pari al peso del volume di liquido spostato. Se il corpo immerso nel liquido ha una forza peso pari a P C = m C g = ρ C V g allora la spinta ricevuta dal liquido, chiamata forza di Archimede sarà pari a F A = ρ L V g dove il volume V é lo stesso del corpo immerso. Se F A = F C il corpo rimane in equilibrio all interno del liquido, se F A < F C il corpo affonda ed infine se F A > F C il corpo galleggia. La prima condizione si ha per ρ L = ρ C, la seconda per ρ L < ρ C e la terza per ρ L > ρ C. Se introduciamo il peso specifico definito come p s = ρg possiamo riscrivere le precedenti condizioni come: ❼ se p sl = p sc il corpo si trova in equilibrio 5

6 ❼ se p sl < p sc il corpo affonda ❼ se p sl > p sc il corpo galleggia Figura 1.5: Forza di archimede su un corpo immerso. 1.7 Accenni di idrodinamica Abbiamo precedentemente detto che l idrodinamica si occupa del movimento dei fluidi. In questa capitolo faremo però solo dei brevi accenni Equazione di continuità Iniziamo con il definere la portata di un fluido, essa è l unitá di volume di liquido che in un unitá di tempo attraversa la superficie S Q = V /t = As/t = Av Essa si misura nel S.I. in [m 3 /s]. La legge dice che la portata é costante e quindi date due superfici si ha A 1 v 1 = A 2 v 2 6

7 1.7.2 Teorema Torricelli Il teorema di Torricelli afferma che se in un contenitore di superficie S si applica un foro abbastanza piccolo tale che S f << S, dove con S f abbiamo indicato la sezione del foro, allora la velocitá di uscita del fluido sará. v = (2gh) 1/2 Figura 1.6: Teorema di Torricelli Teorema di Bernoulli La conservazione dell'energia per un fluido si può scrivere : mgh + 1/2mv 2 + pv = C OST che divisa per il volume V diventa: ρgh + p + 1/2ρv 2 = C OST Nel caso il condotto non abbia un dislivello allora l equazione di Bernoulli si riduce a p + 1/2ρv 2 = C OST Questo porta al cosidetto paradosso idrodinamico, se la superficie é piú piccola la velocitá aumenta ma la pressione diminuisce 7

8 Appendice alla legge di Stevino Nell'esempio che segue figura 1.7, si può osservare che la colonnina di mercurio in presenza del vuoto resta sollevata di 760 mm rispetto alla vaschetta schiacciata dalla pressione atmosferica. Figura 1.7: Tubo di Torricelli. Si veda il quesito n. 65 (quiz Pallai) Medicina AA 2004/2005 CORSI DI PREPARAZIONE AGLI ESAMI UNIVERSITARI LEZIONI INDIVIDUALI MIRATE E PERSONALIZZATE CORSI DI PREPARAZIONE ALLE FACOLTÀ A NUMERO CHIUSO RICERCHE BIBLIOGRAFICHE IMPAGINAZIONE ED ELABORAZIONE GRAFICA TESI ELABORAZIONE LUCIDI E POWERPOINT PER PRESENTAZIONI ELABORAZIONE GRAFICI PUBBLICAZIONI SCIENTIFICHE 8 Centro Studi Pallai Via Michelangelo Poggioli, 3 (a pochi passi dall Università Sapienza )