5. L elasticità dei costi totali rispetto alla quantità, in termini semplificati si scrive come = AC

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1 Capitolo 8 Le curve di costo Soluzioni delle Domande di ripasso 1. La curva del costo totale di lungo periodo mostra il costo totale minimo per ogni livello di output, tenendo fissi i prezzi degli input. In altre parole, dati i prezzi degli input, la curva del costo totale di lungo periodo mostra, per ogni livello di output, il costo totale associato alla soluzione del problema di minimizzazione del costo di lungo periodo.. uando il prezzo di un input aumenta, l isocosto associato ad un dato livello di costo totale ruota verso l origine. Posto che l isocosto fosse tangente all isoquanto relativo al livello di output selezionato dall impresa, quando esso ruota non tange più tale isoquanto. Affinchè l isocosto sia tangente all isoquanto, l impresa deve spostarsi su un isocosto associato ad un costo totale più elevato, cioè un isocosto più a Nord-Est. 3. Se il prezzo di un input aumenta, mentre tutti prezzi degli altri input e l output rimangono invariati, il costo totale aumenterà, sebbene di una percentuale minore rispetto al prezzo dell input. Ciò accade perché l impresa sostituisce l input divenuto relativamente più costoso con gli altri input. uindi, se il prezzo del lavoro aumenta del 0%, mentre tutti i prezzi degli altri input rimangono invariati, il costo totale aumenta meno del 0%. Se i prezzi di tutti gli input aumentano della stessa percentuale, il costo totale aumenterà esattamente di tale percentuale. uindi, se prezzi degli input aumentano del 0%, il costo totale aumenterà del 0%. 4. a) Se MC > AC, il costo medio è crescente, e se MC < AC, il costo medio è decrescente. uindi, se la curva del costo medio è crescente deve trovarsi al di sotto della curva del costo marginale. b) Se la curva del costo marginale è crescente, essa può trovarsi sia al di sopra che al di sotto della curva del costo medio. Il solo fattore determinante è se la curva del costo marginale si trovi al di sopra o al di sotto della curva del costo medio. Se si trova al di sopra, il costo medio è crescente e se si trova al di sotto, il costo medio è decrescente. Il fatto che il costo marginale sia crescente o decrescente non ci dice nulla a proposito del costo medio.. L elasticità dei costi totali rispetto alla quantità, in termini semplificati si scrive come MC ε, AC Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-1

2 Dato che AC /, e Poiché e devono essere positivi, AC sarà sempre positivo. Il costo marginale, MC, rappresenta la variazione del costo totale associata ad un aumento dell output. Se l output aumenta, il costo totale, dati i prezzi degli input, aumenta e ciò implica che MC è sempre positivo. uindi, l elasticità dei costi totali rispetto alla quantità è sempre positiva. 6. Poiché il costo fisso non varia, il costo marginale riflette la variazione del costo variabile. uindi, come per la relazione tra una qualunque funzione media e una qualunque funzione marginale, se il costo variabile medio è decrescente, il costo marginale deve trovarsi al di sotto di esso, e se il costo variabile medio è crescente, il costo marginale deve trovarsi al di sopra di esso. Ciò implica che il costo marginale interseca il costo variabile medio in corrispondenza del minimo di quest ultimo. 7. La curva di costo medio di lungo periodo è l inviluppo delle curve di costo medio di breve periodo associate ai vari livelli di output. Se ciascuna di queste curve di breve periodo ha lo stesso minimo, la curva di costo medio di lungo periodo sarà una retta orizzontale tangente a questi punti di minimo. Dato che la curva di costo medio di lungo periodo è piatta, essa non è né crescente né decrescente, e la curva del costo marginale di lungo periodo sarà anch essa piatta e coinciderà con la curva di costo medio. 8. Se la curva del costo variabile medio è piatta, essa non è né crescente né decrescente. Il costo marginale sarà dunque uguale al costo variabile medio e la curva del costo marginale sarà anch essa piatta. Dato che il costo fisso medio è sempre decrescente, e il costo variabile totale è la somma verticale del costo variabile medio e del costo fisso medio, il costo totale medio sarà decrescente per tutti i livelli di. Graficamente, il costo totale medio sarà decrescente e si avvicinerà asintoticamente alla curva del costo variabile medio. 9. La risposta per questa domanda non è disponibile. Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8 -

3 Soluzioni dei Problemi 8.1 La Tabella è riportata sotto. Innanzitutto, Poiché il costo fisso è indipendente dalla quantità, la colonna TFC può essere riempita facilmente. Procedendo riga per riga, è facile vedere che, per 1, TVC TFC 80; riempire il resto della riga è altrettanto semplice. Per, TVC + TFC 180, e il resto segue facilmente. Per 3, sappiamo solo che TFC 0; quindi non possiamo dedurre nient altro. Per 4, *AC 380. Possiamo quindi ottenere TVC e AVC; tuttavia, non possiamo calcolare MC poiché non conosciamo o TVC per 3. Per, il passo fondamentale è usare MC() () (4) per calcolare () 0. Per 6, il passo fondamentale è TVC AVC* 70. TVC TFC AC MC AVC Per completare questa Tabella è utile aggiungere la colonna del Costo Fisso Totale (TFC). Il TFC per è *30 60, e questo valore è lo stesso per ogni altro livello di output. uindi, per 1, sappiamo che AC* 100, TVC TFC 40 e il resto è chiaro. In modo simile possiamo riempire le righe per, 3, 4, e 6. Per, dobbiamo usare il fatto che MC(6) (6) () per dedurre () 0. Il resto è semplice. TVC AFC AC MC AVC TFC Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-3

4 8.3 Partendo dalla condizione di tangenza, abbiamo MPL MP r K K L 1 K L Sostituendo nella funzione di produzione si ha LK L( L) L Inserendo questo risultato nell espressione di K K di cui sopra, abbiamo Infine, la sostituzione nell equazione del costo totale da come risultato mentre il costo medio è dato da AC 8 AC Dalla curva del costo totale, possiamo ricavare la curva del costo medio, AC ( ) Il punto di minimo della curva AC è il punto per il quale essa interseca la curva del costo marginale, cioè Ciò implica che il AC è minimo per. Per definizione, vi sono economie di scala quando la curva Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-4

5 AC è decrescente (il che accade per < ) e diseconomie quando è crescente (il che accade per > ). 8. a) Con una funzione di produzione lineare, l impresa opera in un punto d angolo che dipende dal fatto che si abbia < r oppure > r. Se < r, l impresa usa solo lavoro e quindi sceglie L. In questo caso il costo totale (inclusi i costi fissi) è. Se > r, l impresa usa solo capitale e dunque sceglie K. In questo caso, il costo totale è r. Se r 1, l impresa è indifferente tra le combinazioni di L e K tali che L + K. uindi, abbiamo (). b) Se il capitale è fisso a unità, l output dell impresa è dato da + L.Se l impresa vuole produrre < unità di output, deve produrre unità e buttarne. Il costo totale di produrre meno di unità è costante e pari a, cioè il costo del capitale fisso. Per > unità, l impresa aumenta l output aumentando l uso del fattore lavoro. In particolare, per produrre unità di output, l impresa usa unità di lavoro, con un costo di, e unità di capitale, con un costo di. uindi, S() + S() & () S() () c) Nel lungo periodo, dato che < r, l impresa produce il suo output interamente col fattore lavoro. uindi, (), come nel punto (b). Nel breve periodo, con un capitale fisso a unità, l output dell impresa è dato da + L. Se l impresa vuole produrre < unità di output, deve produrre unità e buttarne. Può produrre questo output usando il suo stock fisso di unità di capitale e zero unità di lavoro. Il costo totale di produrre < unità d output, quando il prezzo unitario del capitale è, è pari a 10. Per > unità, l impresa aumenta l output aumentando l uso del fattore lavoro. In particolare, per produrre unità di output, l impresa usa unità di lavoro, con un costo di, e unità di capitale, con un costo di 10. uindi, S() Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8 -

6 ( ) Si noti che quando K, 1 e r, la curva S giace al di sopra della curva. uesto perchè K non è mai la quantità ottima di capitale quando 1 e r. Di conseguenza, i costi totali dell impresa sono sempre più alti nel breve periodo che nel lungo periodo. 10 S() 1, r S() & () S() () 1, r d) La curva del costo totale è la stessa del punto (b), cioè (). uesto perchè l input meno costoso (in questo caso il capitale) continua ad avere un prezzo unitario di 1. Nel breve periodo, con un capitale fisso a unità, il costo di produrre < è. Per produrre più unità, l impresa usa unità di lavoro con un costo di ( ) 10. Inoltre usa unità di capitale con un costo di. uindi, per >, S() Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-6

7 S(),, r 1 S() & () S() S(),, r 1 10 () (),, r a) Gli input sono complementi e l impresa li usa in proporzione 1:1. uindi, () ( + r). b) Se r 1, allora (). Nel breve periodo, è impossibile produrre più di unità. uesto perchè min(l,) non può essere maggiore di. Per produrre unità, scegliamo L. Se r 1, ciò implica S() 1 +. (10 è il costo fisso dell input indivisibile, è il costo fisso del lavoro, e è il costo variabile del lavoro.) Il grafico sotto mostra () e S() per quando r 1. () S() c) Per 1 e r abbiamo () 3 e S() + 10 per non maggiore di. Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-7

8 (), 1, r () S(), 1, r 10 S() d) Per e r 1 abbiamo () 3 e S() + per non maggiore di. (),, r 1 () S(),, r 1 S() 1 10 Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-8

9 8.7 Poiché assumiamo che la soluzione sia interna, deve valere la condizione di tangenza. K uindi la combinazione ottima deve essere tale che. Ciò significa che L + 1 r rk rk L + 1. Sostituendo nella funzione di produzione, si ha, quindi K. r r Ciò implica che L 1. La curva del costo totale è dunque L + rk r. Se sostituiamo e r al posto di e r rispettivamente, otteniamo ()(r) () 4 r * ; quindi se i prezzi degli input raddoppiano, raddoppia anche il costo totale. 8.8 a) Uguagliando i rapporti tra produttività marginali e prezzi per lavoro e capitale: MP MP L K r KM LM 1 K L Uguagliando i rapporti tra produttività marginali e prezzi per lavoro e materie prime: MPL MPM m KM KL L M Sostituendo nella funzione di produzione si ha L L( L) 3 L 3 L 1/3 L Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-9

10 Sostituendo questo risultato nelle condizioni di tangenza di cui sopra si ha e K 1/3 M 1/3 b) 1/3 1/3 1/ /3 c) 1 AC 1/3 d) Si parta dalle condizione di tangenza MPL MPM m KM KL L M Ponendo K 0 e sostituendo nella funzione di produzione si ha L L(0) 1L L 1 Sostituendo questo risultato nella condizione di tangenza di cui sopra: Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-10

11 e) Nel breve periodo, M 1 M Graficamente, le curve del costo totale di breve e lungo periodo sono mostrate nella seguente figura. Costo totale S f) Il costo medio di breve periodo è dato da + 0 AC 8.9 Con K fisso a 0 unità, la funzione di produzione diventa 0L + M. uindi, L e M sono perfetti sostituti. Poiché MP L / 1, > MP M /m 1, il prodotto marginale per euro speso in lavoro è sempre maggiore di quello per euro speso in materie prime. uindi la combinazione di minimo costo è M 0 con L soluzione di 400 0L + 0, ovvero L 0. Il costo totale di breve periodo è C 16(0) + 4(0) + 1(0) 400. Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-11

12 8.10 S( ) S( ) 1000 SAC( ) + 0 AVC( ) AFC( ) Rappresentando SAC( ), AVC( ), e AFC( ) si ha Costo SAC AVC AFC Copyright 009 The McGra-Hill Companies srl Capitolo 8-1