QUADERNI DEL DIPARTIMENTO DI ECONOMIA, FINANZA E STATISTICA

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1 ISSN LA VERA STORIA DI XS SUL VAR DI UNA OBBLIGAZIONE LEHMAN A TASSO VARIABILE Flavio ANGELINI Quaderno n. 122 Ottobre 2013 QUADERNI DEL DIPARTIMENTO DI ECONOMIA, FINANZA E STATISTICA

2 La vera storia di XS Sul VaR di una obbligazione Lehman a tasso variabile Flavio Angelini Sommario Un bel giorno Scilla, una persona che vuole essere molto prudente, investe i risparmi di una vita su un obbligazione. Scilla è tranquilla, perché l obbligazione, emessa dalla banca Lehman Brothers, rientra in un elenco di obbligazioni dichiarate a basso rischio/rendimento dal consorzio Patti Chiari. Il giorno dopo accende la radio e scopre che la banca è fallita. La sua vita, da quel preciso istante, cambia. Questo lavoro è tratto da questa storia, che è una storia vera. Per rischio si intendono due cose. Primo, il rischio di insolvenza. Questo viene gestito attraverso il rating dell emittente, inserendo nell elenco solo emittenti con alto rating (Lehman aveva rating A). Secondo, il rischio di mercato, ovvero il rischio che variazioni del prezzo del titolo possano portare perdite all investimento. Questo viene controllato attraverso il VaR, inserendo nell elenco solo obbligazioni con basso VaR, non superiore a una certa soglia. Tale soglia era fissata allo % giornaliero per un livello di confidenza del 99%. Insieme a Scilla ci sono varie migliaia di piccoli e medi investitori, per nozionali complessivi di diversi miliardi di euro, sia semplici acquirenti di obbligazioni Lehman, sia sottoscrittori di polizze assicurative in cui le obbligazioni Lehman erano inserite come garanzia di capitale. I numeri di questo disastro sono forniti dal Corriere della Sera il 20 agosto 2010, che parla di 100 mila risparmiatori coinvolti per un investimento complessivo tra i 3 e i 4 miliardi di euro. L espresso il 30 ottobre 2008 parla di 1.9 miliardi di esposizione per 111 mila polizze. Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica, Università di Perugia, Via Pascoli, 20, Perugia, flavio.angelini@unipg.it,

3 Molti di loro sono in causa con le loro banche e con il consorzio Patti Chiari che si occupava di redigere l elenco. Ci sono cause, ad esempio presso i tribunali di Padova, Milano, Sanremo. Sostengono che il VaR delle loro obbligazioni aveva superato, abbondantemente e da vari mesi, la soglia massima e dunque che quelle obbligazioni sarebbero dovute uscire dall elenco. Un semplice e diretto backtesting, rappresentato sommariamente nella Figura 1, mostra inequivocabilmente che le cause hanno un fondamento, in particolare per l obbligazione XS di cui si occupa il presente documento. Ovvero, che qualsiasi misura di VaR al 99% giornaliero per XS che rientri nel limite massimo dello % può essere dichiarata errata con un margine di errore prossimo allo zero. 2

4 1 Introduzione Un bel giorno Scilla, una persona che vuole essere molto prudente, investe i risparmi di una vita su un obbligazione. Scilla è tranquilla, perché l obbligazione, emessa dalla banca Lehman Brothers, rientra in un elenco di obbligazioni dichiarate a basso rischio/rendimento dal consorzio Patti Chiari. Il giorno dopo accende la radio e scopre che la banca è fallita. La sua vita, da quel preciso istante, cambia. Questo lavoro è tratto da questa storia, che è una storia vera. Per rischio si intendono due cose. Primo, il rischio di insolvenza. Questo viene gestito attraverso il rating dell emittente, inserendo nell elenco solo emittenti con alto rating (Lehman aveva rating A). Secondo, il rischio di mercato, ovvero il rischio che variazioni del prezzo del titolo possano portare perdite all investimento. Questo viene controllato attraverso il VaR, inserendo nell elenco solo obbligazioni con basso VaR, non superiore a una certa soglia. Tale soglia era fissata allo % giornaliero per un livello di confidenza del 99%. Insieme a Scilla ci sono varie migliaia di piccoli e medi investitori, per nozionali complessivi di diversi miliardi di euro, sia semplici acquirenti di obbligazioni Lehman, sia sottoscrittori di polizze assicurative in cui le obbligazioni Lehman erano inserite come garanzia di capitale. I numeri di questo disastro sono forniti dal Corriere della Sera il 20 agosto 2010, che parla di 100 mila risparmiatori coinvolti per un investimento complessivo tra i 3 e i 4 miliardi di euro. L espresso il 30 ottobre 2008 parla di 1.9 miliardi di esposizione per 111 mila polizze. Molti di loro sono in causa con le loro banche e con il consorzio Patti Chiari che si occupava di redigere l elenco. Ci sono cause, ad esempio, presso i tribunali di Padova, Milano, Sanremo. Sostengono che il VaR delle loro obbligazioni aveva superato, abbondantemente e da vari mesi, la soglia requisito massima e dunque che quelle obbligazioni sarebbero dovute uscire dall elenco. Un semplice e diretto backtesting, rappresentato sommariamente nella Figura 1, mostra inequivocabilmente che le cause hanno un fondamento, in particolare per l obbligazione XS di cui si occupa il presente documento. Ovvero, che qualsiasi misura di VaR al 99% giornaliero per XS che rientri nel limite massimo dello % può essere dichiarata errata con un margine di errore prossimo allo zero. Questo è vero non solo a posteriori, cioè il giorno del fallimento, ma è vero anche da vari mesi prima, sicuramente a partire dal marzo del Ad esempio, l 1/4/2008, guardando i precedenti 250 giorni, si contano 19 violazioni di VaR, cioè il 7.6% delle volte, contro l ipotetico 1%. La probabilità che su 250 osservazioni si abbiano 19 violazioni di un VaR al 99% corretto è di circa 2 su Detto in altra 1

5 0.04 rendimenti logaritmici dal 6/4/2006 al 12/9/2008 e VaR giornaliero soglia % /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 1: Variazioni (rendimenti logaritmici) giornaliere dell obbligazione XS e livello del VaR giornaliero limite massimo (0.3125%) (Fonte prezzi dell obbligazione: Bloomberg). 2

6 maniera, se ogni anno si facesse il backtesting, 19 violazioni in un anno di un VaR corretto si avrebbero 2 volte ogni 100 miliardi di anni. L 1/4/2008 è stato giorno di revisione dell elenco Patti Chiari, in cui alcune obbligazioni sono uscite dall elenco, ma non quelle Lehman. Il 12/9/2008, il giorno di apertura dei mercati precedente alla dichiarazione di fallimento di Lehman, si contano 34 violazioni nei 250 giorni precedenti, il 13.6% delle volte. La probabilità che questo avvenga, sempre se il VaR fosse stato corretto, è circa 1.3 su I risultati della procedura di backtesting sono illustrati nel dettaglio nel Paragrafo 4, che è dunque il paragrafo centrale del presente documento. Nel Paragrafo 5 vengono effettuate delle stime di VaR dell obbligazione implementando metodi standard, utilizzati dalle banche, che tengono conto della variabilità passata delle quotazioni di mercato dell obbligazione. Tale paragrafo serve come conferma, pur se superflua, che il VaR aveva effettivamente superato la soglia requisito diversi mesi prima del fallimento. I risultati sono stati ottenuti tramite MATLAB. Il caso Lehman differisce dai casi precedenti, Argentina, Parmalat, Cirio, proprio in quanto alcune obbligazioni Lehman, tra cui quella analizzata nel presente documento, erano inserite nell elenco Patti Chiari. Patti Chiari, nato con dichiarati obiettivi informativi e di trasparenza (Elenco delle obbligazioni a basso rischiorendimento - Guida pratica [7]), doveva selezionare le obbligazioni in base a criteri oggettivi che ne garantissero la bassa rischiosità, i quali criteri dovevano essere continuamente monitorati. L investitore sarebbe stato avvertito se qualche parametro avesse cambiato la misura della rischiosità del suo investimento o se la sua obbligazione fosse uscita dall elenco. Questi investitori non cercavano obbligazioni ad alto rendimento, come invece era stato per gli altri casi citati. A parte la drammatica ricaduta sociale e economica del caso Lehman, il problema è ancora attuale per i piccoli e medi risparmiatori. Le obbligazioni governative o corporate, in quanto di struttura tipicamente semplice e facilmente comprensibile, rappresentano possibili e appetibili forme di investimento, e spesso vengono proposte dalle banche e dagli intermediari finanziari a cui la clientela al dettaglio si rivolge. Potrebbe sembrare che un piccolo investitore, che investa per difendere il suo capitale dall inflazione e per avere rendimenti di entità limitata, sia interessato solo al primo tipo di rischio, al rischio di insolvenza. Questo tipo di investitore terrà probabilmente il titolo fino alla scadenza, percependo interessi periodici, che siano a tasso fisso o variabile, e riprendendo il valore di rimborso acquistato alla scadenza. Si potrebbe dunque argomentare che questo tipo di investitore non è interessato al rischio di mercato. In realtà, potrebbe accadere che lei o lui vogliano liquidare, in parte o per intero, il proprio investimento prima della scadenza. Questo potrebbe avvenire sia per esigenze personali, sia per motivi legati all emittente, ad esempio 3

7 una diminuzione della sua affidabilità creditizia, eventualmente certificata da un abbassamento di rating, ma non necessariamente. Ad esempio, un aumento delle quotazioni dei CDS dell emittente o notizie sui media, che faccia percepire che l investimento non è più sicuro come in precedenza. In questo caso, l investitore si troverebbe sicuramente a dover rivendere l obbligazione a un prezzo minore di quello a cui aveva comprato, subendo una perdita, la cui dimensione non è facile da prevedere. Basti pensare ai titoli di Stato dell Italia, non solo i BTP di cui si parla sui media, ma anche i CCT, percepiti come titoli a basso rischio. In realtà, le oscillazioni di prezzo di tali titoli sono piuttosto forti e sicuramente non sono influenzate in prevalenza dai tassi d interesse dell area Euro, bensì da fattori legati alla situazione dello Stato Italiano, in special modo la sua affidabilità creditizia. Stesso discorso per tutte le obbligazioni corporate, in particolare quelle bancarie, che giornalmente vengono proposte alla clientela al dettaglio come investimento a basso rischio. Se uno osserva le serie storiche passate dei prezzi di questo tipo di obbligazioni, pur dalla struttura molto semplice, sia governative che bancarie, si rende conto che non si può più parlare di titoli a basso rischio e che occorre implementare dei metodi efficaci per la misurazione del rischio di mercato insito in questo tipo di investimento. Occorre inoltre che tale rischio sia comunicato al cliente in modo trasparente. 2 Le obbligazioni in esame L obbligazione presa ad esempio nel presente documento è una obbligazione molto semplice, plain vanilla. È stata emessa da Lehman il 5/4/2004 con scadenza il 5/4/2011. L obbligazione è indicizzata all euribor a tre mesi più uno spread dello 0.35%, con cedole a cadenza trimestrale. I prezzi giornalieri dell obbligazione, forniti da Bloomberg, rappresentati nel grafico in alto della Figura 2, si riferiscono al periodo dal 5/4/2006 al 12/9/2008 (giorno di apertura mercati precedente la dichiarazione di fallimento). Nel grafico in basso della Figura 2 sono mostrati i rendimenti logaritmici giornalieri. Da una semplice visione della serie dei rendimenti logaritmici del titolo, risulta evidente che la serie non è stazionaria. Possiamo distinguere almeno due periodi, separati intorno alla metà del Ma si vede anche un ulteriore cambio di regime nei primi mesi del 2008, tra febbraio e marzo. Risulta altresì evidente che la serie presenta code grosse. Ad esempio, in circa due anni e mezzo, per 637 osservazioni, considerando i valori di media µ e deviazione standard σ stimati sull intero campione, ci sono 3 valori minori di µ 5σ, circa lo 0.5%, eventi estremi dunque. 4

8 105 serie storica prezzi dal 5/4/2006 al 12/9/ /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 0,03 0,01 0 0,01 0,03 0,05 0,07 serie storica rendimenti logaritmici dal 6/4/2006 al 12/9/2008 0,09 0,1 01/01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 2: Serie storica dei prezzi (in alto) e dei log-return (in basso) dell obbligazione LB (Fonte Bloomberg). 5

9 Dato il carattere della serie, le statistiche standard sono state calcolate sugli ultimi 250 giorni e poi mosse giorno dopo giorno con un sistema di finestra mobile. Al passare del tempo la volatilità su base annua passa dall essere al di sotto dell 1% nella prima parte del 2007 a raggiungere il 2% verso la fine del 2007, fino a salire intorno al 6% nella prima parte del 2008 e raggiungere e superare il 7% nell estate del L asimmetria è sempre negativa e raggiunge anche i valori -5 e -6. La curtosi invece è molto alta, nella parte centrale del 2007 è intorno a 40, per un periodo del 2008 raggiunge quasi il valore 100. Su tutto il campione abbiamo una curtosi di 153. La curtosi fornisce una misura della grassezza delle code della distribuzione dei rendimenti, e i valori detti confermano la presenza di eventi estremi. Le altre obbligazioni Lehman che mi risultano inserite nell elenco alla data del 13 settembre 2008 sono: XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS , XS Di queste sono in possesso della serie storica delle quotazioni, fornite da Bloomberg, e si potrebbe dunque effettuare la stessa analisi qui svolta per XS e mostrare che non hanno caratteristiche di bassa rischiosità, perlomeno negli ultimi mesi. Il caso Lehman è sicuramente molto evidente e, forse, fa storia a sé. Ma basta vedere la serie storica delle quotazioni del CCT con scadenza 1/7/2013 dal 5/4/2006 al 1/7/2013 rappresentata nella Figura 3 per rendersi conto che il problema è attuale e coinvolge tutti i risparmiatori. 3 Il rischio di mercato e il VaR 3.1 Definizione e requisito Patti Chiari Un portafoglio finanziario è soggetto al rischio di mercato, ovvero al rischio di diminuzione del valore di mercato della posizione. Questa diminuzione è causata dalle variazioni sfavorevoli delle quotazioni di mercato dei titoli nel portafoglio. Nel lavoro consideriamo il rischio di mercato di una obbligazione acquistata per investimento, a tasso fisso o a tasso variabile, dunque il rischio di una diminuzione della sua quotazione di mercato. In questo caso, un fattore di rischio, che ne influenza la quotazione di mercato, è rappresentato dai tassi d interesse nella valuta di riferimento dell obbligazione. Un altro fattore che potrebbe influire è il tasso di cambio, nel caso la valuta di riferimento dell obbligazione sia una valuta estera. Considereremo solo obbligazioni in euro, dunque questo tipo di rischio non è presente. Quello che 6

10 102 serie storica prezzi /01/06 01/01/08 01/01/10 01/01/12 01/01/ serie storica rendimenti logaritmici /01/06 01/01/08 01/01/10 01/01/12 01/01/14 Figura 3: Serie storica dei prezzi (in alto) e dei log-return (in basso) del CCT con scadenza 1/7/2013 dal 5/4/2006 al 8/5/2013 (Fonte Bloomberg). 7

11 può invece influire in maniera rilevante, come vedremo, sono fattori connessi alla situazione dell emittente, in primis la sua affidabilità creditizia nei mercati finanziari. Questo è scritto nel documento tecnico RiskMetrics (2012) [4]: The main risk factors of corporate bonds are considered to be interest rate risk, which is due to the fluctuation of risk-free interest rates and credit risk that incorporates the risk of the default; or, in a mark to market approach, the creditworthiness of the issuer changes. 1 Uno degli indici più usati per la misurazione del rischio di mercato è il VaR. In particolare, oggetto dell analisi è il VaR con livello di confidenza del 99%. Detto in maniera semplice, il VaR al 99%, è la perdita relativa 2 che sarà superata soltanto l 1% delle volte. Più precisamente, dato un orizzonte temporale di T giorni, si definisce V la variazione di valore del titolo (in generale del portafoglio) in T giorni. Dato un livello di confidenza p, nel nostro caso p = 99%, il VaR al livello di confidenza p è definito come Prob ( V V ) V ar = 1 p dove V è il valore della posizione all istante di valutazione e il segno meno serve meramente per avere come VaR un numero positivo. Il punto cruciale della stima del VaR risiede ovviamente nella stima della distribuzione di V. Sebbene ci sia una vasta letteratura scientifica per la stima di tale distribuzione e dunque per la stima del VaR, è indubbio che uno standard operativo è rappresentato dai modelli e dalle metodologie proposte da RiskMetrics. Ma non esiste il metodo per la stima del VaR. Nei documenti RiskMetrics si fa riferimento a diversi modelli e metodi. In Mina e Xiao (2001) [3, Capitolo 7], si suggerisce inoltre di riportare i risultati di diversi metodi per l analisi del rischio del portafoglio o titolo in esame. Infatti, The comparison of results from different methods is useful to study the effect of our distributional assumption, and estimate the potential magnitude of the error incurred by the use of the model. 3 Per questi motivi, inoltre, qualunque modello andrebbe testato, che è quello che faremo nel Paragrafo 4. 1 I principali fattori di rischio di una obbligazione corporate sono considerati essere il rischio di tasso d interesse [...] e il rischio di credito che incorpora il rischio di insolvenza; o, in un approccio mark-to-market, i cambiamenti di affidabilità creditizia dell emittente. 2 Nell accezione data in questo contesto da Patti Chiari. Altre volte ci si riferisce al VaR come perdita in termini di capitale. 3 Il confronto dei risultati di metodi differenti è utile per studiare l effetto delle nostre assunzioni sulle distribuzioni, e stimare la potenziale grandezza degli errori in cui si incorre utilizzando il modello. 8

12 3.2 Rischio di tasso In questo paragrafo si vuole analizzare se il rischio di tasso, ovvero il rischio legato alle variazioni di tasso d interesse, sia sufficiente a spiegare la variabilità delle quotazioni di mercato del titolo e le perdite di valore subite dall obbligazione in esame e dunque a misurarne il rischio di mercato. Questa analisi si potrebbe estendere a molte altre obbligazioni corporate o governative, in particolare quelle emesse dallo Stato Italiano, e anche in tempi recenti. Si ipotizza dunque che l unico fattore che influenza le quotazioni dell obbligazione siano i tassi d interesse interbancari dell area euro, i cui dati sono stati reperiti tramite Datastream. Si possono dunque utilizzare i principi di base della finanza matematica, in particolare il principio di arbitraggio, per calcolare prezzi e variazioni relative. L obbligazione in esame diventa assimilabile a una obbligazione zero coupon a breve, con scadenza inferiore a tre mesi, il periodo inter-cedolare, con l aggiunta di una cedola fissa (lo spread contrattuale). Si sottrae il rateo per ottenere i prezzi puliti, epurati dall effetto della vicinanza della cedola. I prezzi così ottenuti sono rappresentati nel grafico in alto della Figura 4. Nel grafico in basso si possono vedere i relativi rendimenti logaritmici. Tali grafici vanno confrontati con la Figura 2 che contiene i prezzi e rendimenti di mercato dell obbligazione. Risulta evidente che i tassi d interesse non sono il fattore di rischio prevalente di tale obbligazione. Si notino infatti i differenti limiti degli assi y tra i grafici delle Figure 4 e 2. I prezzi di mercato del titolo hanno oscillato da poco più di 100 fino a scendere a meno di 75. I prezzi calcolati solo attraverso la curva dei tassi d interesse vanno da poco più di a poco meno di 101, proprio in virtù del fatto che, considerando solo i tassi d interesse, l obbligazione in esame è assimilabile a un titolo con scadenza al più trimestrale, e dunque con bassa variabilità. Si noti inoltre che anche nel primo periodo, in cui le variazioni dei prezzi di mercato erano comunque molto contenute, il prezzo ottenuto solo con i tassi d interesse è più alto di quello di mercato, proprio perché non tiene conto dell affidabilità creditizia dell emittente e delle sue specificità. Ad esempio, il 5/4/2006, primo giorno del campione analizzato e giorno di stacco cedola, il prezzo teorico ottenuto è , sopra la pari per la presenza dello spread, contro della quotazione di mercato. Il rischio legato alla controparte c è sempre stato, ma ha assunto un ruolo via via predominante. Nella Figura 5 è rappresentato il discount spread, o zero-discount margin, rispetto alla curva dei tassi d interesse interbancari, calibrato sui prezzi dell obbligazione (si veda O Kane e Sen (2005)). Come si vede, nella prima parte del campione lo spread è basso, circa 20 bps. Nella seconda parte del 2007 inizia ad alzarsi, oscillare tra i 100 e i 200 bps. Da febbraio 2008 oltrepassa stabilmente i 200 bps, 9

13 102 simulation of (clean) prices with effective rates /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 0,01 simulation of log return with effective rates 0,005 0,005 0,01 01/01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 4: Prezzi (clean) teorici determinati solamente dalla curva dei tassi d interesse (in alto) e relativi rendimenti logaritmici. 10

14 0.14 discount spread /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 5: Discount Spread calibrato sui prezzi dell obbligazione. fino ad arrivare a superare anche i 600 bps. Questo misura di nuovo come i prezzi dell obbligazione siano prevalentemente spiegati da fattori legati all emittente e non dai tassi d interesse. 4 Backtesting Data l ampia gamma di metodologie e modelli per la stima del VaR, i risultati delle procedure devono essere sottoposti a test di verifica. Il backtesting è un test statistico che viene utilizzato per la verifica del modello di stima del VaR, e rientra 11

15 nella categoria dei test d ipotesi. Viene raccomandato alle banche dagli accordi di Basilea, redatti dal Comitato di Basilea, in qualità di controllo dei loro sistemi di stima del VaR per la definizione dei requisiti patrimoniali (si veda il documento del Comitato di Basilea (1996) [1]). Cosa ancora più importante, nell ambito del presente documento, il backtesting era parte della seconda fase del processo di composizione dell elenco Patti Chiari: Dopo aver individuato le sottoclassi sulla base delle caratteristiche dei titoli [...], per ciascuna sottoclasse si astrae un titolo teorico e ne viene determinato il VaR. Il Processor associa poi i VaR teorici alle singole obbligazioni. Si verifica quindi il comportamento dei singoli titoli rispetto a quello teorico (procedura di backtesting) (pag. 19 della Guida all operatore bancario [6]). Il test in generale vuole verificare l ipotesi che la stima di VaR ad un determinato livello di confidenza effettuata dal modello sia corretta. Va sottolineato che i test statistici sul VaR, in quanto percentile, sono piuttosto delicati, e a volte è complesso interpretarne i risultati. Una discussione su questi limiti e problematiche si trova nella letteratura scientifica, ma è anche contenuta nel documento del Comitato di Basilea (1996) [1]. Ci sono due rischi nelle risposte, accettare l ipotesi quando invece la stima non è accurata, oppure rigettare l ipotesi quando invece la stima è accurata. Quest ultimo è detto errore di tipo I ed è quello di interesse in questa trattazione. Nel caso in esame i risultati sono talmente forti che sono difficilmente discutibili. Con riferimento ai requisiti dell elenco Patti Chiari, l ipotesi che si vuole testare è: il VaR al 99% dell obbligazione non ha mai superato lo % giornaliero. Secondo la Guida Patti Chiari [6], questo dovrebbe corrispondere a un VaR dell 1% settimanale. In realtà, queste due cifre non corrispondono, come spiegato nell appendice A.1. Si osservi che non è dato di sapere quale sia il VaR effettivamente stimato, su cui andrebbe fatto il test. Il rigetto della soglia massima di VaR porta comunque a maggior ragione a rigettare la stima effettiva e con maggiore probabilità di non incorrere nell errore di tipo I. Per il backtesting, il Comitato di Basilea raccomanda l uso di un anno di osservazioni giornaliere passate, ovvero 250 osservazioni. In breve, un dato giorno, si considerano i 250 giorni passati e si producono le stime di VaR con il modello utilizzato per tutti questi giorni. Nel caso in questione abbiamo un valore fissato alla soglia massima dello %. Si osservano le realizzazioni passate dei rendimenti del titolo e si contano il numero di violazioni, quando cioè il rendimento di un dato giorno supera la stima del VaR effettuata il giorno precedente. Il test si basa sull ipotesi che le violazioni siano indipendenti nel tempo. Il Comitato di Basilea (1996) [1] definisce tre zone, la zona verde (0-4 violazioni), la zona gialla (5-9 violazioni) e la zona rossa ( 10 violazioni). Per la zona rossa, il Comitato di Basilea afferma 12

16 che outcomes in the red zone (ten or more exceptions) should generally lead to an automatic presumption that a problem exists with a bank s model. This is because it is extremely unlikely that an accurate model would independently generate ten or more exceptions from a sample of 250 trading outcomes. 4 La procedura è rappresentata nella Figura 1 su tutto il campione in esame. Il grafico mostra la serie storica dei rendimenti logaritmici presenti nella Figura 2. Viene ora evidenziato il livello del VaR di % con una linea orizzontale. Le violazioni sono tutti i superamenti della linea orizzontale da parte dei rendimenti. Le violazioni su tutto il campione sono 37 su 637 dati, circa il 5.81%, da confrontare con l 1%. Va però considerato che fino a metà del 2007 le fluttuazioni di prezzo erano molto basse e, come si vede, non c è stata alcuna violazione. 5 Le violazioni sono tutte occorse nell ultimo anno, dunque nelle ultime 250 osservazioni. Il test è stato effettuato ogni giorno a partire da 250 giorni dopo la prima data del campione dei rendimenti, che è il 6/4/2006, quindi dal 21/3/2007 fino al 12/9/2008. I risultati sono riportati nella Figura 6. Nel primo periodo (almeno fino a metà 2007), come già detto, non ci sono violazioni. Le violazioni iniziano nella seconda meta del 2007, all inizio in numero minore di 5, mantenendo le stime nella cosiddetta zona verde. A cavallo tra il 2007 e il 2008 il test comincia a produrre delle violazioni in numero maggiore o uguale di 5, dunque collocandosi nella zona gialla. A partire dal 3 marzo 2008 si entra nella zona rossa e non se ne esce più, arrivando a superare, qualche giorno prima del fallimento, le 30 violazioni. Ad esempio, l 1/4/2008, data di revisione dell elenco Patti Chiari, si contano 19 violazioni. La probabilità che questo avvenga è di circa 2 su Se ogni anno si facesse il backtesting, 19 superamenti in un anno di un VaR corretto si avrebbero 2 volte ogni 100 miliardi di anni. Il 17/6/2008 si contano 23 violazioni. La probabilità che questo avvenga è 2 su Il backtesting è stato effettuato anche per verificare l ipotesi che il VaR al 99% giornaliero non abbia mai superato la soglia dello %, il che corrisponderebbe effettivamente all 1% settimanale (si veda l Appendice A.1). I risultati sono meno forti ovviamente, ma portano lo stesso a rigettare l ipotesi. In conclusione, il backtesting, effettuato in un qualunque giorno tra il 3/3/2008 e il 12/9/2008, rigetta l ipotesi che il VaR al 99% giornaliero dell obbligazione sia dello % o più basso. La probabilità di rigettare una stima corretta è remota. 4 risultati nella zona rossa dovrebbero generalmente portare a una automatica supposizione che esiste un problema con il modello della banca. Questo perché è estremamente improbabile che un modello accurato generi dieci o più eccezioni indipendenti da un campione di 250 valori di mercato. 5 Il VaR giornaliero stimato nel Paragrafo 5 era ben al di sotto di % in quel periodo, si vedano le Figure 7 e 8. 13

17 35 backtesting: numero di violazioni su 250 osservazioni /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 6: Backtesting: numero di violazioni della soglia massima del % del VaR al 99% giornaliero su 250 osservazioni passate. 14

18 In particolare, se l 1/4/2008, il giorno di revisione dell elenco, qualcuno avesse effettuato un backtesting su una stima di VaR che rientrasse nel limite requisito, avrebbe rigettato tale stima con una sicurezza del %. In altri termini, la soglia massima requisito di VaR, e dunque le eventuali stime di VaR, finiscono ampiamente nella cosiddetta zona rossa. Pertanto, qualsiasi misura di VaR al 99% giornaliero per l obbligazione che rientri nel limite massimo dello % può essere dichiarata errata con un margine di confidenza ampissimo. 5 Metodi standard per la stima del Var Per avere una prima sensata stima di VaR al 99% giornaliero dell obbligazione si possono applicare i metodi standard tra quelli maggiormente utilizzati dalle banche per i loro portafogli, modello RiskMetrics con stima della volatilità tramite EWMA e simulazione storica (si veda Finger (2012) [2]). Si può inoltre adottare l approccio descritto da Mina e Xiao (2001) nel cap. 1: In addition to straight equities, there are a range of instruments for which we have a history of prices, but not a good pricing function in terms of underlying risk factors. [...] Outside straight equities, we could model Brady bonds using their own time series of prices instead of utilizing a model based on an underlying yield curve. 6 I metodi qui utilizzati sono anche in linea con la definizione della Guida all operatore bancario di Patti Chiari [6] per cui ll rischio di mercato di uno strumento finanziario quotato può essere stimato misurando un indicatore della variabilità (volatilità) mostrata nel passato dalle quotazioni di mercato del titolo, indicatore che fornisce una misura sintetica della prevedibile variabilità del valore di quel titolo nel futuro. Uno dei più noti è l indice VaR.... Anche se abbiamo visto che Patti Chiari dichiarava di non calcolare il VaR delle singole obbligazioni, ma di verificare tramite backtesting il comportamento dei singoli titoli rispetto al VaR teorico di una obbligazione rappresentativa. I risultati della stima di VaR giornaliero tramite la simulazione storica sono rappresentati nella Figura 7, utilizzando 250 e 500 osservazioni passate. Le stime partono dunque dopo rispettivamente 250 e 500 giorni dall inizio del campione. 6 Oltre ai titoli azionari semplici, ci sono un insieme di strumenti per i quali abbiamo una storia di prezzi, ma non una buona funzione di prezzo in termini di fattori di rischio sottostante. [...] Oltre a semplici titoli azionari, potremmo modellare obbligazioni Brady usando la loro serie storica di prezzi invece di utilizzare un modello basato sulla curva dei tassi sottostante. 15

19 var giornaliero, simulazione storica con finestra mobile oss 500 oss /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 7: Stima del VaR al 99% giornaliero dell obbligazione tramite il metodo della simulazione storica applicato ai prezzi, usando 250 e 500 osservazioni passate. Le stime partono dunque da 250 o 500 giorni dopo l inizio del campione. 16

20 I risultati della stima del VaR giornaliero tramite il modello RiskMetrics sono rappresentati nella Figura 8. Il parametro della stima EWMA è stato posto pari a λ = 0.94, in linea con le indicazioni RiskMetrics. Le stime tramite simulazione storica, pur non andando oltre l 1.3% giornaliero (a parte l ultimo eccezionale giorno), collocano il VaR stabilmente sopra la soglia dello % a partire da verso la fine del 2007, e ampiamente sopra tale soglia da marzo Anche il modello RM-EWMA produce stime al di sopra della soglia negli stessi periodi, ma con andamento maggiormente variabile, arrivando a superare anche valori del 2% giornaliero. Confrontando i risultati ottenuti con i due metodi, si vede che quelli ottenuti con il metodo della simulazione storica sono meno reattivi alle variazioni di regime, dato che tengono conto in maniera uniforme di tutte le variazioni giornaliere passate, anche quelle precedenti alla metà del 2007 (in modo particolare usando 500 osservazioni passate) in cui il prezzo del titolo aveva un altro andamento. Bisogna riportare che il metodo della simulazione storica produce risultati migliori nelle procedura di backtesting rispetto al modello RM-EWMA, ma non pienamente soddisfacenti. Infatti, nell ultimo periodo finisce nella zona gialla, mentre il metodo RM-EWMA nella zona rossa. Questo è dovuto probabilmente proprio alla sua stabilità e minore reattività. La conclusione è che anche tali metodi non riescono a cogliere appieno il rischio di mercato dell obbligazione, mancando di capacità previsiva. Questo è dovuto al fatto che si sono trascurate importanti informazioni sull emittente, quali le quotazioni dei CDS e dei corsi azionari. In alternativa, si potrebbe pensare di implementare un metodo basato sull identificazione di fattori di rischio e su una formula di pricing che dipenda da tali fattori. Se si volesse utilizzare solo la curva dei tassi come fattore di rischio, implementando un metodo di approssimazione lineare basato sul pricing tramite principio di arbitraggio, e utilizzando delle stime di matrice varianza-covarianza EWMA per le variazioni dei tassi d interesse, le stime che verrebbero sono rappresentate nella Figura 9. Come si vede, i valori massimi raggiunti dalle stime sono dell ordine di , ovvero di un ordine di grandezza inferiori rispetto alle stime precedenti. Questo è in linea con il fatto che l obbligazione, se non si considerano fattori legati all emittente, come la sua affidabilità creditizia, è assimilabile a un titolo con scadenza minore del trimestre. Questo metodo non tiene però affatto conto della variabilità delle quotazioni passate del titolo, in accordo con quanto detto nel Paragrafo 3.2, e porta dunque a valori gravemente sottostimati. Per tener conto dei fattori legati all emittente, si può, in linea con Mina e Xiao (2001) [3], determinare uno spread calibrato che assumerebbe il significato di spread creditizio. La formula di pricing è descritta ad esempio in O Kane e Sen (2005) [5] 17

21 var giornaliero, ewma log return 0 01/01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 8: Stima del VaR al 99% giornaliero dell obbligazione tramite il modello RM-EWMA applicato ai prezzi. Le stime partono da 112 giorni dopo l inizio del campione. 18

22 e lo spread (chiamato zero-discount margin) andrebbe calcolato in modo da riprodurre le quotazioni di mercato dell obbligazione, data la curva dei tassi d interesse. Tale spread è stato già mostrato nella Figura 5. Applicando di nuovo il metodo dell approssimazione lineare e stime EWMA della matrice di varianza-covarianza delle variazioni dei fattori di rischio, i tassi d interesse e lo spread, si possono produrre delle stime di VAR. Non è sorprendente che tali stime siano pressoché identiche a quelle ottenute con il metodo EWMA applicato direttamente alle quotazioni dell obbligazioni. Lo spread creditizio calibrato non è che una maniera diversa di esprimere la differenza dei prezzi dell obbligazione rispetto a quelli di un titolo bancario di riferimento. Anche tale metodo pertanto non fornisce risultati soddisfacenti. 6 Conclusioni Le obbligazioni emesse da Lehman Brothers, in particolare quella con codice ISIN XS analizzata in dettaglio nel documento, non potevano essere considerate a basso rischio, perlomeno negli ultimi mesi prima del fallimento. In particolare, in quegli ultimi mesi, non soddisfacevano il requisito sul VaR per essere inclusi nell elenco redatto e controllato dal consorzio Patti Chiari. Il problema, a parte le drammatiche ricadute sociali e economiche del caso Lehman, è attuale e riguarda i risparmiatori, dato che le obbligazioni governative o corporate, di struttura tipicamente semplice e facilmente comprensibile, rappresentano possibili e appetibili forme di investimento, e vengono spesso proposte dagli intermediari a cui la clientela al dettaglio si rivolge. Quello che serve è una maggiore consapevolezza, sia da parte degli intermediari che da parte della clientela al dettaglio, del rischio insito in tali obbligazioni. Questo non è solamente legato al rischio di insolvenza dell emittente. C è altresì il rischio che fattori legati all emittente, in particolare la sua affidabilità creditizia, causino una perdita di valore dell investimento, senza necessariamente che questa fallisca. Il problema di una corretta misurazione del rischio di mercato di una obbligazione di questo tipo sarà oggetto di studio futuro. A Appendici A.1 VaR settimanale e giornaliero, che confusione Dalla Guida all operatore bancario redatto da Patti Chiari [6]:...nell Elenco sono ammessi solo titoli di Stato e obbligazioni il cui VaR esprima - nel 99% dei casi - 19

23 3.5 x 10 4 VaR giornaliero metodo parametrico (senza discount spread) /01/06 01/01/07 01/01/08 01/01/09 Figura 9: Stima del VaR settimanale dell obbligazione tramite il metodo parametrico RM con solo rischio di tasso, senza inserire lo spread creditizio. 20

24 oscillazioni di valore non superiori all 1% su base settimanale. Ciò corrisponde a un VaR giornaliero inferiore o uguale allo %. Dal punto di vista strettamente teorico non esiste una formula che fa passare dal VaR giornaliero a quello settimanale. Per stimare il VaR settimanale bisognerebbe determinare la distribuzione dei rendimenti settimanali. L unico modo per interpretare il corrisponde è fare uso della regola della radice. La regola della radice ha i suoi fondamenti teorici, ma è anche prodotto di alcune semplificazioni e viene utilizzata per la sua grande semplicità. Il fatto è che anche usando questa la corrispondenza è sbagliata. Infatti, la regola della radice dice che, considerando una settimana composta da 5 giorni lavorativi, V ar settimanale = V ar giornaliero 5 Dire VaR settimanale dell 1% significa dire, secondo questa formula, VaR giornaliero %. Non si riesce a indovinare come venga fatto corrispondere la soglia di VaR giornaliero di %. In altri termini, a un VaR giornaliero dello % corrisponde un VaR settimanale di circa lo 0.7%. Riferimenti bibliografici [1] Basle Committee on Banking Supervision, (1996), Supervisory framework for the use of backtesting in conjunction with the internal models approach to market risk capital requirement [2] Finger, C., (2012), Risk disclosure and backtesting, 2011 year in review, MSCI.com [3] Mina, J. and Xiao, J.Y., (2001), Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard, RiskMetrics [4] MSCI (2012), Quantifying the Bond Basis risk - A RiskMetrics RiskManager Case Study, disponibile sul sito MSCI [5] O Kane D., Sen, S., 2005, Credit spreads explained, Journal of credit risk, vol1, No. 2, [6] Patti Chiari, Guida all operatore bancario - L elenco delle obbligazioni a basso rischio-basso rendimento, ottenibile dall autore su richiesta 21

25 [7] Patti Chiari, Elenco delle obbligazioni a basso rischio-rendimento - Guida pratica, ottenibile dall autore su richiesta [8] Corriere della Sera (20 agosto 2010), Rivincita su Lehman [9] L Espresso (20 ottobre 2008), Centomila italiani traditi da Lehman 22

26 ISSN QUADERNI DEL DIPARTIMENTO DI ECONOMIA, FINANZA E STATISTICA Università degli Studi di Perugia Quaderni pubblicati nel Febbraio 2012 Carlo Andrea BOLLINO Gianfranco DI VAIO Paolo POLINORI Spillover ed eterogeneità spaziali nei livelli d efficienza delle amministrazioni locali: un applicazione ai comuni dell Emilia Romagna 102 Marzo 2012 Massimiliano DEIDDA , the decade that led to the employment decline in Europe 103 Agosto 2012 Ana RINCON Michela VECCHI Francesco VENTURINI 104 Settembre 2012 Davide CASTELLANI Valentina MELICIANI Loredana MIRRA 105 Settembre 2012 David ARISTEI Manuela GALLO 106 Ottobre 2012 Andrea CAPOTORTI Gianna FIGÀ-TALAMANCA 107 Ottobre 2012 David ARISTEI Manuela GALLO 108 Ottobre 2012 Simona BIGERNA Carlo Andrea BOLLINO 109 Ottobre 2012 Francesca CECCACCI Paola DE SALVO Giovanna DEVETAG 110 Ottobre 2012 Flavio ANGELINI Stefano HERZEL 111 Novembre 2012 Mirella DAMIANI Fabrizio POMPEI Andrea RICCI 112 Dicembre 2012 Fabrizio LUCIANI Stefano ZAMBERLAN Quaderni pubblicati nel 2013 ICT spillovers, absorptive capacity and productivity performance The determinants of inward foreign direct investment in business services across european regions The Drivers of Household Over- Indebtedness and Delinquency on Mortgage Loans: Evidence from Italian Microdata On an implicit assessment of fuzzy volatility in the Black and Scholes environment Interest Rate Pass-Through in the Euro Area during the Financial Crisis: a Multivariate Regime-Switching Approach Electricity demand in wholesale italian market La conoscenza collettiva e il web: le Online Knowledge Communities Delta Hedging in Discrete Time under Stochastic Interest Rate Labour Shares and Employment Protection in European Economies Bisogni contro utilità: un interpretazione bioeconomica della crisi 113 Gennaio 2013 Misbah TANVEER Choudhry Age Dependency and Labor Productivity Divergence 114 Gennaio 2013 Carlo Andrea BOLLINO Davide CIFERRI Paolo POLINORI Integration and convergence in European electricity markets I

27 115 Gennaio 2013 Slawomir I. BUKOWSKI The Degree of the Polish and Slovak Equity Market Integration with the Euro Area Equity Market 116 Aprile 2013 Mirella DAMIANI Andrea RICCI 117 Maggio 2013 Elena STANGHELLINI Eduwin PAKPAHAN 118 Luglio 2013 Flavio ANGELINI Stefano HERZEL Marco NICOLOSI The role of education of entrepreneurs on adoption of different contingent pay schemes: evidence from Italian firms Identification of casual effects in linear models beyond Instrumental Variables Costi impliciti e profilo rischioconvenienza di prodotti finanziari illiquidi 119 Settembre 2013 Katrin OLAFSDOTTIR Efficiency of Collective Bargaining in the Public Sector: a Natural Experiment 120 Settembre 2013 Elena VAKULENKO Labour Market Analysis using Time Series Models: Russia Ottobre 2013 Simona BIGERNA Carlo Andrea BOLLINO Hourly Electricity Demand in Italian Market 122 Ottobre 2013 Flavio ANGELINI La vera storia di XS Sul VaR di una obbligazione Lehman a tasso variabile II