Distribuzioni doppie
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- Corrado Molteni
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1 Distibuzioi doppie Quado vegoo osideate ogiutamete due oloe di ua matie di dati si ha ua distibuzioe doppia disaggegata (o uitaia). Si tatta dell eleazioe delle modalità di due aattei ( X e Y ) ossevate pe ogi uità statistia del ollettivo osideato: ( x, y),( x, y), K,( x N, yn ) L ifomazioe oteuta i ua distibuzioe doppia disaggegata è solitamete sitetizzata tamite ua distibuzioe doppia di fequeza he viee appesetata tamite ua tabella a doppia etata i ui pe ogi oppia di modalità dei due aattei ( xi, y ), i K,, K, viee idiata la oispodete fequeza ogiuta ( ). Quado il aattee è quatitativo o molte modalità (tipiamete otiuo) possoo essee utilizzate delle lassi al posto delle modalità. X / Y y y... y... y x x x i i i i x......
2 Esempio Si osidei la seguete distibuzioe doppia disaggegata pe due aattei qualitativi (Sesso, Regioe) Nome Sesso Regioe. Rossi ahe A. Biahi F Calabia A. Fahi F Umbia G. Gii Piemote A. Gadi F ahe P. Lii F Umbia La oispodete distibuzioe doppia di fequeza è Regioe Sesso Calabia ahe Umbia Piemote 0 0 F 0 Esempio di distibuzioe i ui il aattee quatitativo è i lassi Reddito auo (x.000 ) Titolo di studio Li. media Diploma Lauea 3 9 4
3 Distibuzioi magiali Sommado le fequeze ogiute pe oloa si ottegoo le fequeze magiali di X he oispodoo al umeo di soggetti he pesetao ua eta modalità di questo aattee a pesidee dalla modalità di Y : i o Aalogamete, le fequeze magiali di Y si ottegoo sommado le fequeze ogiute pe iga: o i La somma di tutte fequeze ogiute (o di tutte le fequeze maigali) oispode alla umeosità del ollettivo N i i io o X / Y y y... y... y Totale x x x i i i i x o o io o Totale o o... o... o N 3
4 Assoiado a ogi modalità del aattee X la oispodete fequeza magiale, si ottiee la distibuzioe magiale di X. E la stessa distibuzioe he avemmo otteuto ossevado il aattee sigolamete. odalità ( x i ) Fequeze ( io) x x o o x i x Totale io o N I modo aalogo si ottiee la distibuzioe magiale di Y odalità ( y ) Fequeze ( o ) y o y o y y Totale o o N Etambe le distibuzioi possoo essee lette diettamete dalla tabella a doppia etata, quado soo peseti i totali (magii) di iga e di oloa. 4
5 Esempio Alla pima distibuzioe doppia osideata ell esempio peedete Regioe Sesso Calabia ahe Umbia Piemote Totale 0 0 F 0 4 Totale 6 oispodoo le segueti distibuzioi magiali di X e Y Sesso ( x i ) Fequeze ( io) Regioe ( y ) Fequeze ( o ) Calabia F 4 ahe Totale 6 Umbia Piemote Totale 6 Pe la seoda distibuzioe doppia osideata ell esempio peedete, si hao le segueti distibuzioi magiali Titolo di studio ( x i ) Fequeze ( io) Reddito ( y ) Fequeze ( o ) Li. media Diploma Lauea Totale 500 Totale 500 5
6 Distibuzioi odizioate La distibuzioe odizioata di Y dato limitatamete ai soggetti he pesetato la modalità assoiado a ogi modalità X xi è la distibuzioe di Y x i di X. Si ottiee y di Y la fequeza ogiuta di ( x, y ). i odalità ( y ) Fequeze ( ) y i y i y y Totale i io Ogi iga della tabella a doppia etata oispode a ua distibuzioe odizioata di Y pe ua eta modalità X. I modo aalogo possoo essee otteute le distibuzioi odizioate di X dato Y y. Ogua di queste distibuzioi oispode a ua divesa oloa della tabella a doppia etata. 6
7 Distibuzioi odizioate elative e peetuali Pe la distibuzioe odizioata di Y dato peetuali possoo essee alolate ome X xi, le fequeze elative e i e p i f i io io f Assoiado alla distibuzioe odizioata di Y dato X xi le oispodeti fequeze elative (o peetuali) si ottiee la distibuzioe odizioata elativa (o peetuale) di Y dato apie ome X iflueza Y. X xi. Questa distibuzioe pemette di odalità ( y ) Fequeze ( ) Feq. elative ( f i ) Feq. peetuali ( p i) y i f i p i y i f i p i y f i y Totale i f i p i p i io 00 Aalogamete si può otteee la distibuzioe odizioata elativa (e peetuale) di X dato Y y. 7
8 Esempio Pe la seoda distibuzioe doppia osideata ell esempio peedete si hao le segueti distibuzioi odizioate del eddito dato il titolo di studio dalle quali si può dedue he il seodo aattee è ifluezato dal pimo. Reddito ( y ) Titolo di studio lieza media Fequeze ( ) Relative ( f i ) Peetuali ( p i) ,507 5, , , ,349 34,9 Totale 35,000 00,00 Reddito ( y ) Titolo di studio diploma Fequeze ( ) Relative ( f i ) peetuali ( p i) ,058 0, ,447 44, ,447 44,7 Totale 85,000 00,00 Reddito ( y ) Titolo di studio lauea Fequeze ( ) Relative ( f i ) Peetuali ( p i) ,0469 4, ,969 9, ,656 65,6 Totale 64,000 00,00 8
9 Aalisi dell assoiazioe ta due aattei Lo sopo piipale dell aalisi di ua distibuzioe doppia è usualmete quello di stabilie se ta i due aattei osideati esiste ua elazioe e se, i patiolae, uo dei due (tipiamete X) ha iflueza sull alto (Y). Esempi: elazioe ta la poviia di esideza e spesa pe bei alimetai; elazioe ta voto di matuità e voto a u eto esame uivesitaio; elazioe ta sesso e eddito. Se X o ha alua iflueza su Y, alloa si die he Y è idipedete da X. I temii statistii questa situazioe si ha quado le distibuzioi odizioate di Y soo equivaleti pe ogi modalità di X, ioè hao le stesse fequeze elative (o peetuali): f f L f,,. K, Si può dimostae he si ha idipedeza statistia se e solo se le fequeze ogiute ossevate oispodoo alle fequeze teoihe sotto idipedeza ioo ˆ, i K,,, K,,. N La tabella di idipedeza si ottiee sostituedo a ogi fequeza ossevata ( ) la oispodete fequeza di idipedeza ( ˆ ). 9
10 Sotto idipedeza si hao le stesse distibuzioi magiali di quelle ossevate e la stessa fequeza totale ˆ, i K,, io i ˆ, K,,. o i ˆ N Quado Y o è idipedete da X, Y dipede da X e quidi i due aattei si dioo oessi. I patia, iò aade ogi volta he la tabella ossevata o oiide o quella di idipedeza. I patiolae, Y dipede pefettamete da X quado la modalità di X detemia automatiamee la modalità di Y. Ciò aade quado e si ha ua sola fequeza positiva i ogi iga della tabella a doppia etata mete le alte fequeze soo tutte ulle. 0
11 Esempio Pe la distibuzioe doppia dei aattee titolo di studio e eddito si ha la seguete distibuzioe di idipedeza Reddito auo (x.000 ) Titolo di studio Totale Li. media 70, 40,4 40,4 35 Diploma 7,0 34,0 34,0 85 Lauea,8 5,6 5,6 64 Totale 00,0 00,0 00,0 500 Siome la tabella ossevata o oiide o quella di idipedeza, i due aattei soo dipedeti e quidi si può agioevolmete iteee he il titolo di studio ifluezi il eddito. Se la distibuzioe doppia fosse ome la seguete, si avebbe pefetta dipedeza del eddito dal titolo di studio Reddito auo (x.000 ) Titolo di studio Totale Li. media Diploma Lauea Totale
12 isua della oessioe ta Y e X Il livello di oessioe ta i due aattei è tato più elevato quato più la tabella ossevata si disosta da quella di idipedeza. Pe misuae il livello di oessioe si fa quidi uso delle otigeze (assolute) io o ˆ, i K,,, K,,. N La tabella delle otigeze si ottiee idiado i ua tabella a doppia etata la otigeza ( ) oispodete a ogi oppia di modalità ( x i, y ). U impotate popietà di questa tabella è he la somma delle elle i ogi iga o oloa della tabella è ulla 0, i K,, e 0, K,,. i Dividedo le otigeze assolute pe le oispodeti fequeze sotto idipedeza si ottegoo le otigeze (elative) ˆ ˆ, i K,,, K,,. ˆ U idie sitetio di oessioe è l idie hi-quado he è ua somma podeata delle otigeze elative al quadato χ i ˆ ˆ i ˆ
13 Ua fomula alteativa, he o ihiede il alolo delle otigeze, pe l idie hi-quado è χ N i io o L idie hi-quado assume valoi ta 0 (el aso di idipedeza) e N mi[( ),( )] el aso di pefetta dipedeza di Y da X o di X da Y. Quidi è u idie di oessioe bilateale. U idie di oessioe alteativo a χ è la media quadatia podeata delle otigeze elative ψ ˆ χ N i ˆ N he assume valoi ta 0 e mi[( ),( )] E quidi possibile ostuie u idie elativo (he vaia ta 0 e ), hiamato idie di oessioe di Camé, ome C ψ mi[( ),( )] χ N mi[( ),( )] 3
14 Esempio Pe la distibuzioe doppia dei aattee titolo di studio e eddito si ha la seguete tabella delle otigeze Reddito auo (x.000 ) Titolo di studio Totale Li. media 7,8,6-0,4 0 Diploma -8,0 4,0 4,0 0 Lauea -9,8-6,6 6,4 0 Totale Il umeo di soggetti o eddito elevato e lieza media è mioe di quello atteso sotto idipedeza ( 3 0, 4) mete quello dei soggetti o lauea è supeioe ( 33 6, 4 ). Gli idii di oessioe soo pai a χ 3,9 e ψ 3,9 / 500 0, 53 Il massimo dell idie χ è mete quello dell idie ψ è,44 e quidi l idie di Camé è C 0,53,44 0,79 he idia ua modeato livello di oessioe. 4
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