Indice delle lezioni (Prof. Storti-Gajani)

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1 Indc dll lzon (Prof. Stort-Gajan) Lzon numro cham d Elttromagntsmo Marzo 999 Lzon numro Approssmazon a paramtr Marzo 999 concntrat Lgg d Krchhoff d Ohm Bpol lttrc Collgamnt n sr n paralllo Lzon numro Potnza connzon d sgno Marzo 999 opologa dll rt: graf Lzon numro opologa dll rt: graf Marzo 999 soluzon d crcut: CN CS d rsolubltà Mtodo dll anals nodal Lzon numro Mtodo dll anals nodal 7 Marzo 999 Mtodo dlla tablla sparsa Mtodo dll anals nodal modfcata Lzon numro 6 Mtodo dll anals nodal 8 Marzo 999 modfcata Lzon numro 7 Dopp bpol: rapprsntazon matrcal Gnrator dpndnt Marzo 999 Lzon numro 8 Dopp bpol: passtà Marzo 999 Lzon numro 9 Dopp bpol: mtodo dll pro 6 Marzo 999 smplc Lzon numro Dopp bpol: mtodo dll pro 7 Aprl 999 smplc costruzon d un doppo bpolo a partr dalla rapprsntazon matrcal Doppo bpolo trmnato Gston d gnrator plotat nlla MNA Lzon numro Elmnt ratt 8 Aprl 999 ranstor dl prmo ordn Lzon numro Esmp sulla MNA con gnrator Aprl 999 plotat Lzon numro ranstor dl prmo ordn Aprl 999 Gl ntrruttor Lzon numro Equlbro stabltà d un sstma Aprl 999 Vson nrgtca dgl lmnt dnamc Lzon numro ranstor dl prmo ordn n prsnza d gnrator Aprl 999 Lzon numro 6 ranstor dgl ordn supror 8 Aprl 999 Lzon numro 7 p d qulbro 9 Aprl 999 Lzon numro 8 Forzant tmpoarant Maggo 999 I fasor Lzon numro 9 LKC d LKV con fasor 6 Maggo 999 Ammttnza mpdnza Lzon numro apprsntazon ngrsso-uscta 7 Maggo 999 Esmp Lzon numro apprsntazon ngrsso-uscta Il rsuonator Dopp bpol n rgm altrnato Maggo 999

2 Lzon numro Potnza n rgm snusodal Maggo 999 Potnza con fasor Lzon numro Potnza con fasor rasmsson d nrga lttrca fasamnto 9 Maggo 999 Lzon numro Sstm trfas Maggo 999 Lzon numro rasformata d Laplac applcata all 7 Maggo 999 rt Lzon numro 6 La funzon d trasfrmnto Esmp d dagramm d Bod Gugno 999 Lzon numro 7 Esmpo applcato Gugno 999 Lzon numro 8 Esmpo applcato Gugno 999 Sstm ch prdono l futuro Ossrazon su cas ch prsntano autoalor complss Anals complssa d un rsuonator Lzon numro 9 Auto nduttanza mutua nduttanza. Il trasformator. Il grator. Gl amplfcator oprazonal. Gugno 999 Bblografa: utto quanto sto sul rgm snusodal n ottmamnt rassunto nlla oc NEWOK ANALYSIS, SINUSOIDAL SEADY S. dlla Wbstr, Wly Enc. Of Elctronc Eng., d Wly, olum pagna 9 a cura d Amdo Prmol Gancarlo Stort-Gajan.

3 Lzon numro Marzo 999 cham d Elttromagntsmo. cordamo nnanztutto la rlazon fondamntal, d tpo sprmntal, ch sprm l ntrazon d du carch fss: l quazon d Coulomb: qq F K u r Data po una dstrbuzon d carch fss possamo rcordar la dfnzon d campo lttrostatco ch, dtta q una carca splorata, na dfnto com sgu: F [ Nwton] [ Volt] E q [ Coul omb] [ Mtro] La tnson, la prma grand protagonsta dl nostro corso, pota dunqu ssr dfnta com un laoro, n partcolar com l laoro d una carca ch s muo lungo una lna nl campo (pr qusto moto la tnson n dtta una grandzza d lna). Armo dunqu: E dl [ Volt] l Sccom samo nl caso d un campo lttrostatco, prò, al la rlazon sgunt: E dl l Qusta rlazon ha aldtà global; la sua corrsptta d aldtà puntual è, nc, la sgunt: ot E Il sgnfcato fsco d qust du rlazon è ch s trorà l mdsmo alor dl laoro pr qualunqu lna s us nl calcolo dll ntgral a patto ch tal ln abbano n comun punt strm. Inoltr, sccom l campo lttrostatco ha rotor nullo, tal campo ammtt un potnzal d è qund possbl dfnr la tnson com la dffrnza d potnzal tra du strm ctat. La sconda grand protagonsta dl corso d lttrotcnca è, oamnt, la corrnt. Qusta n consdrata una grandzza d suprfc poché msura la quanttà d carca ch attrarsa una suprfc nll untà d tmpo. La dfnzon classca dlla corrnt n funzon dlla carca è la sgunt: dq [ Coul omb] [ Ampr] dt [ Scondo] Dobbamo sottolnar l dnt contraddzon ch appar da ora nl sguto: pur ando dfnto, nfatt, la corrnt, ch mplca un momnto d carch, consdrrmo ancora ald l rlazon st pr l campo lttrostatco. Qusta contraddzon s rsol, n part, pnsando ch l carch n momnto s muoano molto lntamnt, n qusto modo tutt l drat tmporal possono ssr consdrat null d ha snso parlar d carch n momnto d campo lttrostatco. Molto spsso la corrnt lttrca n dfnta n modo drso sfruttando una grandzza dtta dnstà d corrnt ndcata con l smbolo J; tal dfnzon è la sgunt: J ds S Sfruttamo ora ntramb l dfnzon dat pr la corrnt lttrca (modfcando lggrmnt la prma n modo da nsrr la dnstà d carca ρ) d sprmamo la corrnt uscnt da una suprfc chusa. S arà allora: d Sn J ds n ρ dv S dt V L uguaglanza tra l scondo l trzo mmbro d qusta rlazon, qu n forma global, può po ssr rscrtta n forma puntual com sgu: dρ DJ dt Sccom, prò, possamo ancora, com abbamo accnnato prma, consdrarc n un campo lttrostatco, sarà alda anch la sgunt rlazon: D J Possamo dunqu dr ch l campo dnstà d corrnt lttrca è un campo solnodal qusto, dal punto d sta fsco, s traduc con l fatto ch l blanco dll carch ntrant d uscnt da una suprfc è smpr nullo. Qust consdrazon portano alla prma alla sconda lgg d Krchhoff ch drmo pù n dttaglo nl sguto. Consdramo ora la sgunt rlazon fsca, anch ssa d orgn sprmntal, ch rsulta ssr nc la bas torca dlla trza, fors, pù mportant, lgg ch s utlzza n lttrotcnca:

4 J γ E do la grandzza γ prnd l nom d conducbltà spcfca. Qusta rlazon n accompagnata dalla sua nrsa scondo la qual: E ρ J do la grandzza ρ prnd, nc, l nom d rssttà spcfca. A partr dalla prma d qust du rlazon possamo arrar, passando dal puntual al global, alla rlazon sgunt: g g( ) Da qusta rlazon possamo dfnr com sgu la conduttanza G: [ Ampr] [ Volt] g [ Smns] Partndo nc dalla rlazon nrsa, possamo, n manra assolutamnt dntca, arrar a dfnr com sgu la rsstnza : Volt [ ] [ Ampr] [ Ohm] r Vdamo ora d rscrr n manra dffrnt qust ultma rlazon. Pr far qusto s consdr un tubo d flusso comprso tra du suprfc qupotnzal a potnzal qualsas: X S,V S,V Sccom la corrnt ch scorr nl tubo d flusso è smpr la stssa, ha snso ndcarla sa rsptto alla suprfc ch rsptto alla suprfc, oro ha snso la sgunt rlazon: J ds J ds S S nndo po conto ch la dnstà d corrnt J è smpr normal alla suprfc S, la rlazon prcdnt può ssr rscrtta com sgu: JdS JdS S S Da qust ultma rlazon possamo dunqu arrar a dr ch: JS qund ch: J S Qusta rlazon è d mmdata comprnson pnsando al nom stsso con l qual n battzzata la grandzza J: dnstà d corrnt lttrca. Sccom po qust ultma rlazona al pr qualunqu szon dl tubo d flusso potrmo scrr ch: () x J cordamo ora la rlazon con la qual abbamo dfnto la tnson lttrca ch, nl caso n quston, può rscrrs com sgu: E dl S l () x

5 scrndo noltr la rlazon d proporzonaltà tra campo lttrco dnstà d corrnt lttrca com sgu (tnndo conto ch s J è funzon d x allora lo dorà ssr anch E): J () x γ Combnando qust ultm du rlazon consdrando l ntgral lungo una lna contnuta nl tubo d flusso s ottrrà: E() x dx dx γs () x dunqu la rsstnza può ssr sprssa com sgu: dx g r γs(x) oppur, pnsando ch la γ non sa una costant ma ch nga consdrata costant almno rsptto ad ogn suprfc, s arbb: dx g r γ ( x) S( x) E() x

6 Lzon numro Marzo 999 Approssmazon a paramtr concntrat. Lgg d Krchhoff d Ohm. Bpol lttrc. Collgamnt n sr n paralllo. Com prma cosa rcordamo tr rsultat a qual s è prnut durant la lzon numro ch ngono rassunt dall tr sgunt quazon: ot E D J r Consdramo ora un campo lttrostatco nl qual n mmrso un matral conduttor prftto (un matral n dtto conduttor s possamo supporr ch al suo ntrno c sa un nfntà d carch ch s possono muor, n po consdrato prftto s tal carch s muoono lbramnt). Dall lgg dll lttromagntsmo sappamo ch all ntrno dl conduttor s ha campo lttrco nullo: E Cond L rrotazonaltà dl campo lttrostatco, ndcata dalla prma dll rlazon troat durant la lzon, mplca ch, com s è gà sto, l campo lttrco ammtta gradnt, oro ch alga la rlazon: E Grad Combnando dunqu l ultm du rlazon sprss, rcaamo ch l potnzal sul conduttor è costant, oro: Cond Const Dtto qusto mmrgamo l oggtto rapprsntato nlla fgura sgunt n un campo lttrostatco: V V V S arà allora ch fl d qusto protocrcuto, ch sono d fl d conduttor, aranno al loro ntrno campo lttrco nullo aranno un potnzal costant. Non è prò dtto ch tutt conduttor sano allo stsso potnzal (anch s tutt punt d un sngolo conduttor hanno potnzal costant) qund è possbl ch tra du strm dgl lmnt ch damo apparr n qusto crcuto (potrbbro pr smpo ssr rsstor oppur gnrator) c sano dll dffrnz d potnzal. Cambando l potnzal n un punto d un conduttor, stantanamnt l potnzal cambrà n tutt punt d qul mdsmo conduttor. Qust ultma affrmazon è oamnt una approssmazon prché mpon ch la loctà con cu l carch s rorganzzano pr adattars alla arazon nl potnzal sa nfnta qusto è oamnt un assurdo; tal approssmazon è prò molto comoda qund rrà consdrata alda. E ncssaro, prò, sottolnar lmt d applcabltà d qusta approssmazon ch prnd l nom d approssmazon a paramtr concntrat: tal approssmazon al fno a ch l dmnson fsch dl crcuto rndono pratcamnt rrlant tmp d rsposta ad una prturbazon dl potnzal (n pratca l crcuto d ssr pccolo laorar n bassa frqunza). Dopo ar fatto qusto br dscorso ntrodutto damo com l tr rlazon rcordat all nzo dlla lzon c portano a tr lgg fondamntal pr l lttrotcnca. Consdramo prma d tutto la rlazon ch sprm la solnodaltà dl campo dnstà d corrnt lttrca applchamola, nl protocrcuto rapprsntato nl sguto, alla suprfc ndcata n fgura. Consdrando post l corrnt ntrant, s ottrrà la sgunt rlazon: I I I Possamo dunqu sprmr n modo gnrco la lgg d Krchhoff alla corrnt (LKC) dcndo ch la somma algbrca dll corrnt ntrant n una qualunqu suprfc è nulla. al lgg al pr qualunqu suprfc purchè non tagl uno d componnt dl crcuto. 6

7 Consdramo ora la rlazon ch sprm l rrotazonaltà dl campo lttrco applchamola, nl protocrcuto rapprsntato nl sguto, alla magla ndcata n fgura. Consdrando post l tnson concord con l snso dlla frcca, s ottrrà la sgunt rlazon: V V Possamo dunqu sprmr n modo gnrco la lgg d Krchhoff all tnson (LKV) dcndo ch la somma algbrca dll tnson ncontrat lungo una magla qualsas d ssr nulla. Qusta lgg è gà d pr sé contnuta nlla rlazon d rrotazonaltà dl campo lttrco prché gà qulla rlazon mplcaa ch l potnzal su un conduttor doss ssr costant. Vnamo ora, con lo scopo d analzzar gl lmnt sul crcuto (dopo arn analzzato nod l magl), alla trza rlazon troata nlla lzon numro. Oamnt tal rlazon non è altro ch una approssmazon, com tutt l rlazon ch modllzzano fnomn natural mplcano una dpndnza lnar. In fftt la rlazon n quston non è altro ch un caso partcolar d una class d rlazon sprmbl com sgu: f (, ) Una lgg d qusto tpo, prò, è molto poco gstbl, pr qusto moto, s trasforma n una dll du form sgunt: f() f () Nl prmo caso, nl qual rntra la rlazon approssmata ch stamo utlzzando, s parla d un componnt controllato n corrnt, nl scondo caso s parla d un componnt controllato n tnson. Damo dunqu la rapprsntazon d qullo ch da ora n po rrà chamato un bpolo, con suo rs d rfrmnto; d tal bpolo rrà data anch la carattrstca, ch non è altro ch l grafco dll andamnto dlla tnson n funzon dlla corrnt o crsa: V V I V VV-V I L andamnto dlla carattrstca prmtt d comprndr pr qual moto un bpolo d qusto tpo s chama lnar. Attacchamo, ora, al bpolo, una battra. Ottrrmo allora un crcuto com qullo rapprsntato qu d sguto. Nlla fgura n anch rapprsntata la carattrstca dlla battra (supponndo ch s tratt d una battra da V): V V I V VV-V - I V Intrscando la carattrstca dl bpolo con la carattrstca dlla battra, com n mostrato nlla pagna sgunt, s può stablr l punto d laoro dl smplc crcuto ch abbamo dsgnato; dcamo allora ch l sstma funzona a V a I ampr. E molto smplc comprndr ch, s non s foss utlzzato un bpolo lnar, l ntrszon dlla sua carattrstca con la carattrstca dlla battra potrbb anch ssr stata multpla, n qusto caso non sarbb stato possbl dfnr l punto d laoro, qust crcut non possono nfatt ssr analzzat con l mtodolog ch stamo analzzando. 7

8 V V I I I Vdamo ora n dttaglo, alcun bpol tmponarant partcolar. In prmo luogo c occupamo d bpol rsst, oro d bpol ch modllzzano pr l rsstnz ch, n crcut, ngono ndcat com sgu: Un altro bpolo mportant (ch modllzza pr la battra) è l gnrator dal d tnson. Com s d qu d sguto, sstono du mod d rapprsntar qusto tpo d bpolo: l modllo uropo l modllo statuntns; rsptt smbol sono sgunt: V UE - Usa Un trzo tpo d bpolo (ch, prò, non è controllato n corrnt ma è controllato n tnson) è l gnrator dal d corrnt; anch n qusto caso sstono du possbl rapprsntazon smbolch, qulla uropa qulla statuntns ch damo qu d sguto nsm alla carattrstca gnrca d qusto bpolo: V na na I UE Usa Concludamo qusta br rassgna su bpol ndcando un bpolo ch non è sattamnt tmponarant: l ntrruttor. L ntrruttor può ssr consdrato tmponarant soltanto s n consdrato durant dgl ntrall d tmpo n cu non camba l propro stato; quando l ntrruttor è aprto mplca ch s abba un crcuto aprto mntr quando l ntrruttor è chuso s parla d crcuto chuso. Nll mmagn sgunt ngono ndcat l carattrstch dl crcuto aprto (nl qual ho corrnt nulla) dl crcuto chuso (nl qual ho tnson, ntsa com dffrnza d potnzal tra du punt dl conduttor, nulla: V V I V I I Ossramo ch, combnando l carattrstch assocat a quattro bpol ch abbamo dscrtto, è possbl ndduar una qualunqu rtta sul pano (,). Ora ch abbamo dfnto qualch bpolo, damo com è possbl collgar nsm bpol stss. Farmo l dscorso analzzando collgamnt fatt con bpol rsst ma trormo un mtodo, qullo dll carattrstch, pr collgar n sr qualunqu tpo d bpolo. Il prmo tpo d collgamnto d du o pù bpol è l collgamnto n sr. Un crcuto ch prsnta du rsstor collgat n sr è rapprsntato nl sguto. S applchamo la lgg d Krchhoff dll corrnt (LKC) alla suprfc rapprsntata n fgura s ottn: 8

9 V V I I VI VI Applchamo ora la LKV all unca magla prsnt nl crcuto, prndndo com rfrmnto l rso ndcato n fgura; s arà qund: Combnando qust du ultm rlazon l lgg d Ohm rlat a du rsstor s ottn: r r ( r r ) req Qusto sgnfca ch collgar n sr du rsstor qual a consdrar un unco rsstor d rsstnza: r Eq r r Sfruttando l carattrstch ossramo com la carattrstca dl bpolo ottnuto dal collgamnto n sr d du bpol rsst s ottnga sommando a partà d corrnt l carattrstch d du bpol d partnza: V I S ossr com la rsstnza qualnt d du rsstor collgat n sr è maggor dll sngol rsstnz d du rsstor componnt. Il mtodo d somma ch sfrutta l carattrstch può ssr applcato a qualunqu tpo d bpolo, non solo a bpol rsst. Vdamo ora l scondo tpo d collgamnto tra du bpol: l collgamnto n paralllo. I VI A I I VI V Applcando la LKV all unca magla prsnt nl crcuto ottnamo: Applchamo ora nc la LKC al nodo ndcato n fgura con la lttra A ottnamo: Combnando qust du ultm rlazon tnndo conto dlla lgg d Ohm ch carattrzzano du bpol componnt l crcuto (lgg sprss n funzon dll nduttanza) s ottn: g g ( g g ) g Eq Qusto sgnfca ch collgar n paralllo du rsstor qual a consdrar un unco rsstor d conduttanza: 9

10 g Eq g g Abbamo fatto dunqu, pr l collgamnto n paralllo, un dscorso prfttamnt analogo a qullo fatto pr l collgamnto n sr; con la notazon dl Bottan s dc ch l collgamnto n paralllo è l procdmnto dual rsptto al collgamnto n sr. Dal punto d sta dll rsstnz possamo dr ch la rsstnza qualnt dl rsstor ottnuto da una coppa d rsstor collgat n paralllo è: r Eq r r Il dscorso rman oamnt aldo anch s ngono usat pù d du rsstor. man aldo anch l procdmnto d somma dll carattrstch; nl caso dl collgamnto n paralllo, prò, la somma non n pù fatta a par corrnt ma a par tnson qund, com s d n fgura, la rsstnza complssa è mnor dll sngol rsstnz componnt l collgamnto. V I

11 Lzon numro Marzo 999 Potnza connzon d sgno. opologa dll rt: graf. Prma d passar al scondo mportant punto dl corso, la topologa dll rt, rdamo alcun asptt mportant rlat all carattrstch d a bpol n gnral. Innanztutto è mportant sottolnar ch la carattrstca d un bpolo non ha un sgnfcato complto fno a quando non s stablsc una connzon d rfrmnto rlata alla corrnt d alla tnson dl bpolo stsso. Fondamntalmnt sstono du connzon d sgno ch ngono ndcat grafcamnt anch qu d sguto: la connzon dgl utlzzator (ch prd posta la corrnt ntrant nl bpolo la tnson controrsa rsptto alla corrnt) la connzon d sgno d gnrator (ch, nc, consdra posta la corrnt uscnt da un bpolo la tnson concord con la corrnt). V V I Utlzzator I Gnrator La dffrnza tra qust du connzon è faclmnt comprnsbl s andamo a consdrar la potnza ch sappamo ssr dfnta com: P Nl caso d un bpolo utlzzator la potnza posta è la potnza ntrant nl bpolo stsso (s parla allora d un bpolo passo) mntr nl caso d gnrator la potnza posta è la potnza uscnt dal bpolo (s parla d un bpolo atto). Dal punto d sta dll carattrstch, la zona n cu un bpolo (rapprsntato con la connzon d sgno dgl utlzzator) è consdrato passo, è qulla zona dl grafco n cu tnson corrnt hanno prodotto posto. Nl caso partcolar d un bpolo rssto, dl qual abbamo gà sprsso la rlazon tra corrnt tnson, la potnza potrà ssr sprssa com sgu: P r g Vn data l sprsson dlla potnza sprssa consdrando l bpolo comandato n corrnt ma anch l sprsson dlla potnza sprssa consdrando l bpolo comandato n tnson prché la sclta d una mtodo o dll altro dntrà crucal quando s aranno bpol non lnar. Concludamo qusto prmo argomnto ossrando ch sst un approcco drso da qullo utlzzato n qust pagn; tal approcco, ch s fa rsalr alla scuola d Bottan ch non rrà qu usato, è tutto basato sul conctto d ampromtro d oltmtro. Passamo ora, dunqu, al captolo sulla topologa dll rt. Pr prma cosa rassumamo brmnt, nll mmagn sgunt, tr tp d bpol ch conoscamo: l rsstor, l gnrator dal d tnson l gnrator dal d corrnt. E A VI Possamo ossrar com un rsstor solato nllo spazo possa gà d pr sé ssr consdrato un crcuto (ngono nfatt soddsfatt l lgg d Krchhoff): s trattrà d un crcuto con corrnt nulla, oamnt, con tnson nulla. Anch un gnrator d tnson dal, solato nllo spazo, può ssr consdrato gà d pr sé un crcuto: s trattrà d un crcuto ch prsnta corrnt nulla tnson (nl caso dl gnrator ndcato n fgura) E. Un gnrator d corrnt solato nllo spazo non ha nc nssun snso fsco qund non può ssr consdrato com un crcuto; nfatt la corrnt ch n mposta dal gnrator non ha la possbltà d crcolar qund la lgg d Krchhoff all corrnt non rrbb soddsfatta. Il mnmo crcuto ch utlzza soltanto un gnrator dal d corrnt è qund un gnrator dal d corrnt cortocrcutato: A S rcord noltr quanto dtto anch a proposto d crcut aprt d crcut chus s ossr ch un gnrator d tnson spnto qual ad un crcuto chuso mntr un gnrator d corrnt spnto qual ad un crcuto aprto. Vdamo ora com gstr l rt con l quazon d Krchhoff. Innanztutto dobbamo ossrar ch l lgg d Krchhoff prscndono compltamnt dal tpo d componnt utlzzat pr comporr un crcuto; prscndrmo anch no dal tpo d componnt ch costtuscono la rt andando a sfruttar l mtodo dscrtto d graf. Pr comprndr ch cosa sa la tcnca rapprsntata d graf s consdr l sgunt crcuto dl tutto gnrco la sua rapprsntazon con l mtodo d graf. Pr comprndr mglo la rapprsntazon bsogna ossrar ch, nl dsgno dl crcuto, sono stat mss n dnza nod tnndo prsnt ch tra l nodo l nodo bs c è solo un

12 tratto d crcuto chuso ch qund possamo consdrar l nodo l nodo bs com un unco nodo (un dscorso analogo n fatto pr nod bs); pr qusto moto la rapprsntazon con graf (ch ad ogn bpolo assoca un arco ch collga nod) non prsnta nod bs bs. bs bs Dfnamo nnanztutto grafo connsso un grafo nl qual è possbl passar da un nodo ad un altro qualsas con un prcorso chuso. Scglamo ora d rs d rfrmnto pr l corrnt su ar bpol ch costtuscono la rt: bs bs Com prma cosa analzzamo la LKC. Consdramo dunqu post l corrnt uscnt alutamo la LKC rspttamnt pr l nodo numro, l nodo numro l nodo numro. S ottrrano l tr sgunt quazon: S può faclmnt ossrar com la trza quazon sa una combnazon lnar dll prm du; abbamo dunqu du quazon lnarmnt ndpndnt (dtt quazon a nod ndpndnt) n cnqu ncognt. Possamo allora gnralzzar l dscorso dr ch s s ha un crcuto con n nod d l lat s potranno scrr n- LKC n l ncognt. L du quazon a nod ndpndnt ch abbamo troato possono ssr rscrtt n forma matrcal com sgu: Oro: A Do A prnd l nom d matrc d ncdnza dl grafo, mntr è l ttor dll corrnt. Passamo ora ad samnar l LKV. Utlzzrmo, pr ogn bpolo, la connzon dgl utlzzator. Dcdamo noltr arbtraramnt ch l nodo dl grafo sa l potnzal d rfrmnto qund supponamo ch tal nodo abba tnson nulla (abbamo sclto propro qusto nodo prché ra qullo dl qual ra stata scartata l quazon rlata all corrnt). Introducamo qund potnzal rlat a nod dl grafo. Analzzando ar lat dl grafo (dal lato numro al lato numro ) s ottngono l cnqu sgunt quazon:

13 V V bs bs V V V accoglndo n forma matrcal l cnqu quazon ch abbamo troato s ottn la sgunt quazon matrcal: A do è l ttor dll tnson, A è ancora la matrc sta prma mntr è l ttor d potnzal. L du lgg d Krchhoff, dunqu, s rassumono nll du sgunt rlazon matrcal: A A Ossramo ch, trasponndo la sconda d qust rlazon s ottn: A Moltplcando ora a dstra pr l ttor dll corrnt, s ottn: A Uguaglando ora qust ultma quazon con la rlazon matrcal ch sprm l LKC s ottn l sprsson dl torma d llgn scondo l qual: Qust ultma rlazon m dc ch l blanco d potnza dl crcuto è nullo. Sccom non abbamo usato la lgg d Ohm, qusta sprsson al pr qualunqu tpo d bpolo o utlzz, purchè rmangano ald l lgg d Krchhoff. Dfnamo ora un albro d un grafo com qulla part d un grafo pr la qual posso collgar tutt nod dl grafo snza far dgl anll chus; pr l grafo ch stamo utlzzando, un albro dl grafo è rapprsntato nlla fgura sgunt: Ossramo ch sono stat cambat rs d rfrmnto dll corrnt; qusto non comporta nssun problma n quanto stamo facndo un dscorso puramnt gnrco. S ossr altrsì ch s n tolto uno d lat dll albro, l grafo composto dall albro dnta sconnsso; possamo dunqu dr ch un albro d grafo è composto dal mnmo numro d lat ch m prmttono d crar un grafo connsso ch collgh nod assgnat. I lat dl grafo ch compongono

14 l albro ngono dtt lat d albro mntr lat dl grafo ch non compongono l albro ngono dtt lat d coalbro. Vdamo ora una mtodologa ch sfrutta l albro pr ar l mnmo numro d LKC d LKV ndpndnt ch dscrono la rt rapprsntata dal grafo. Consdramo dunqu l ultmo grafo dsgnato occupamoc dll LKC. S prnda un lato d albro pr olta s consdr po una suprfc (dtta suprfc d taglo; lat dl grafo conolt nl taglo andranno a formar l nsm d taglo) ch tagl solo un lato d albro pr olta (n fgura damo com, nl nostro caso, qusto corrsponda a consdrar l du suprfc S d S). S S Applcando la LKC alla suprfc S, prndndo post l corrnt uscnt dalla suprfc, s ottn: Applcando po la LKC alla suprfc S, prndndo qusta olt post l corrnt ntrant nlla suprfc, s ottn: Occupamoc ora dll LKV, pr far qusto, sfruttrmo l coalbro; prndamo, nfatt, un solo lato d coalbro pr olta costruamo un prcorso chuso sfruttando solo lat d albro; l magl ch così s ottngono ngono po orntat sgundo l rso ch d posta la tnson dl ramo d coalbro sclto. Nl caso dl grafo ch stamo analzzando s ottrranno l tr magl a, b c ndcat n fgura: Applcando la LKV rspttamnt all magl a, b c s ottn: Abbamo dunqu tr quazon (n gnral n armo l-n). rasformamo ora l du LKC n una sprsson matrcal: Q Do la matrc Q, ch prnd l nom d matrc d taglo fondamntal, arà la sgunt forma: Q rasformando, nc, la LKV n una rlazon matrcal, s ottn:

15 B Do la matrc B sarà la sgunt: B Possamo ossrar ch sa la matrc Q ch la matrc B sono compost da sottomatrc dnttà all qual ngono aggunt dll part (ch drano dal coalbro) ch trasportano l nformazon. S potrbb, nfn, dmostrar, la aldtà dlla sgunt rlazon: B Q

16 Lzon numro Marzo 999 opologa dll rt: graf. soluzon d crcut: CN CS d rsolubltà. Mtodo dll anals nodal. Nll ultma lzon aamo sto com, dato un crcuto, l LKC l LKV s potssro rscrr n forma matrcal com sgu: A A Sfruttando graf, nc, l LKC l LKV nano rassunt nll du rlazon matrcal: Q B Dall quazon matrcal sprss nl prmo sstma s ra arrat ad sprmr la forma matrcal dl torma d llgn scondo l qual l ttor dll tnson l ttor dll corrnt sono smpr ortogonal tra d loro. Vdamo ora alcun rlazon matrcal sgnfcat: partndo dalla sconda quazon dl prmo sstma moltplcando a snstra pr la matrc B s ottn: B B A Combnando qusta rlazon con la sconda quazon dl scondo sstma ndcato s ottn: B A Sccom po qusta rlazon d rmanr alda pr qualunqu ttor d potnzal, s arà: B A S ossr anch ch lo stsso lgam ch c è tra l du quazon dl prmo sstma sst anch tra la prma quazon dl scondo sstma l quazon sgunt: Q A do damo apparr l ttor dll tnson d albro. Pr capr mglo da do s orgna qusta rlazon s consdr l grafo sgunt, dl qual è stato dnzato l albro l nodo sclto com nodo d rfrmnto: V V V V V Sfruttando l mtodo sto nlla lzon prcdnt pr crar magl a partr da lat d coalbro applcando a tal magl l LKV, rcaamo, da qusto grafo, l du rlazon sgunt: Dunqu, l ultma sprsson matrcal sta potrà ssr, nl caso d qusto grafo, splctata com sgu: S ossr ch, s nl ttor dll tnson ch c è a prmo mmbro mttamo pr prm l tnson d albro, la prma part dlla matrc Q è una matrc dnttà. Pr quanto rguarda, nfn, la sconda quazon dl scond sstma, sst una rlazon dntca a qull fno ad ora sprss tra l altr copp d rlazon analzzat con la sgunt: do è stato ntrodotto l ttor corrnt d coalbro. B C In concluson, l LKC l LKV possono ssr rapprsntat tramt uno d sgunt sstm (d cu gl ultm du sono tra d loro dual): 6

17 A Q B A Q C A B Vnamo ora al problma prncpal dll lttrotcnca: l problma lgato alla rsoluzon d crcut. Com prma cosa dobbamo ossrar com un crcuto possa ammttr una soluzon, non ammttr soluzon oppur ammttr nfnt soluzon. Charamo mglo quanto dtto rcordando ch s ra sto com l mnmo crcuto ralzzabl utlzzando soltanto gnrator d corrnt ra un gnrator d corrnt cortocrcutato. Non aa nfatt snso pnsar ad un crcuto composto da un solo gnrator d corrnt sospso nl uoto. Qusta confgurazon, nfatt, corrsponda alla connsson n sr dl gnrator d corrnt con un crcuto aprto ma, pr quanto prcdntmnt dtto su crcut aprt su crcut chus, qusto non è altro ch un caso partcolar dlla sgunt confgurazon: A A do l corrnt gnrat da du gnrator sono drs. S applchamo la LKC ad un nodo qualunqu d qusto crcuto ottrrmo la sgunt rlazon: A A Oamnt qusta rlazon ha snso soltanto s l du corrnt sono l una l opposto dll altra n caso contraro, appunto, non c sono soluzon. Anch quando, prò, l du corrnt sono ffttamnt l una l opposto dll altra, l crcuto ammtt nfnt soluzon prché tra du punt dl crcuto o posso mttr una tnson qualunqu cò è accttabl. Vdamo dunqu qual sono l CN l CS ch m prmttono d troar la soluzon d un crcuto (troar la soluzon d un crcuto sgnfca troar tnson corrnt su tutt lat dl crcuto). CN affnchè un crcuto ammtta soluzon è ch non sstano nsm d taglo d gnrator d corrnt. Pr comprndr mglo tal CN faccamo rfrmnto allo schma sgunt nl qual è rapprsntato un nsm d taglo composto da gnrator d corrnt: S S s ass una stuazon dl gnr s applcass la LKC alla suprfc S s ottrrbb la sgunt rlazon: S qusta rlazon non n soddsfatta, non c sono soluzon, s nc qusta rlazon n pr caso soddsfatta c sono nfnt soluzon. CN affnchè un crcuto ammtta soluzon è ch non sstano magl d gnrator d tnson. Qusta CN è la dual d qulla prcdnt; s nfatt n applcata la LKV ad una magla composta sclusamnt da gnrator d tnson, ottnamo una sommatora d tnson uguaglata a zro; s cò non è ffttamnt ro, l crcuto non ammtt soluzon, mntr s la rlazon n pr caso rfcata, l crcuto ammtt nfnt soluzon (l ndcson è, n qusto caso, lgata al fatto ch n qusta magla potrbb crcolar una corrnt qualsas). Oamnt non è dtto ch un crcuto ch soddsf l CN sa ffttamnt rsolubl. S consdramo nfatt l sgunt crcuto:.ohm A -ohm.ohm 7

18 ossramo ch du rsstor da,ω sono connss n sr, qusto sgnfca ch un crcuto dl tutto analogo a qullo dsgnato è l sgunt: A -ohm ohm Ora, damo ch du rsstor suprstt sono collgat n paralllo, qund l crcuto dsgnato qual ad un crcuto nl qual c è un unco rsstor d rsstnza nfnta, qusto qual ad ar, prò, un gnrator d corrnt collgato con un crcuto aprto, com abbamo gà dtto, qusto è mpossbl. In bas a quanto sto n qusto smpo possamo dr ch CS affnchè un crcuto abba soluzon è ch tutt rsstor abbano rsstnza posta o comunqu, ch tutt rsstor prsnt abbano rsstnza dllo stsso sgno. Vdamo ora alcun mtod d anals dll rt (oro alcun algortm ch c prmttono d troar la soluzon d una rt). Il prmo mtodo ch damo è l mtodo dll anals nodal (NA). Qusto mtodo n applcato quando abbamo un crcuto composto solo da rsstor post (o comunqu concord) da gnrator d corrnt ch sa tal pr cu l sottografo ch rguarda sol rsstor prsnt nl crcuto sa connsso. Il prmo passo nlla rsoluzon è qullo d toglr tutt gnrator d corrnt d alutar la rlazon: A do la matrc utlzzata contn solo l corrnt lgat a rsstor. attaccando gnrator arò dunqu la sgunt rlazon: A S do l nuoo ttor colonna ch è stato nsrto tn conto solo dll corrnt lgat a gnrator. Consdramo ora la lgg d Ohm ch, pr ogn lmnto rssto prsnt nlla rt, c da una rlazon dl tpo: g (s ossr ch s è prfrto utlzzar l conduttanz nc ch l rsstnz nll splctar la lgg d Ohm). utt l rlazon d qusto tpo m prmttono d costrur, complssamnt, la sgunt rlazon matrcal: G Combnando dunqu nsm l ultm du rlazon matrcal scrtt s ottn: A G S cordamo ora nc la LKV sprssa n forma matrcal, scondo la qual: A Combnando ancora l ultm du rlazon matrcal scrtt s ottn: A G A Y n S Affnchè qusto sstma d quazon abba soluzon, la matrc Y d ssr nrtbl, quando lo è (lo è ad smpo s sono rfcat l CN la CS ch abbamo prmsso), nfatt, s ottn: Y n S Una olta troato l ttor colonna d potnzal, posso utlzzarlo pr rcaar l tnson, sfrutto nfatt la rlazon: A Infn, una olta troat l tnson, posso rcaar l corrnt usando la rlazon: G A qusto punto l crcuto è rsolto. Vdamo un smpo pratco d utlzzo d qusto mtodo sfruttando l sgunt crcuto: S A S S S S 8

19 9 E mportant spcfcar ch l tnson rlat a ar bpol, ch n fgura non sono stat rapprsntat pr una quston d spazo, sono nts prs con la connzon dgl utlzzator qund smpr contrors rsptto all corrnt ch, nc, sono rapprsntat nllo schma. Applchamo dunqu la LKC a nod, dl crcuto ottnndo l tr sgunt rlazon: Abbamo n qusto modo splctato, pr qusto crcuto, la rlazon matrcal: S A Esplctamo ora l lgg d Ohm rlat a cnqu rsstor dl crcuto: ( ) ( ) ( ) g g g g g g g g g g Abbamo n qusto modo splctato pr qusto crcuto la rlazon matrcal: G Sosttuamo ora l scondo nsm d rlazon nl prmo nsm, ottnndo: 6 Abbamo n qusto modo splctato pr qusto crcuto la rlazon matrcal: n S Y Esplctando qust ultma rlazon n forma matrcal s ottn: 6 S ossr com la matrc Y ch rsulta n qusto caso sa smmtrca qund nrtbl. Ossramo ch c è un modo molto rapdo pr complar la matrc Y: gl lmnt sulla dagonal prncpal sono nfatt ottnut smplcmnt sommando alor numrc dlla conduttanza d bpol ch affrscono al nodo ttolar dlla rga (la rga rguarda l nodo, la l tc ), pr complar la matrc ngl lmnt fuor dalla dagonal prncpal s prnd l lmnto d matrc carattrzzato dagl ndc j, s guarda l ramo ch collga nod j, s prnd l alor d conduttanza prsnt su qul ramo lo s camba d sgno.

20 Lzon numro 7 Marzo 999 Mtodo dll anals nodal. Mtodo dlla tablla sparsa. Mtodo dll anals nodal modfcata. Nll ultma lzon abbamo dscrtto un mtodo rsoluto dtto mtodo dll anals nodal; tal mtodo d rsoluzon s basaa sulla sgunt trna d rlazon matrcal: A S A G Com abbamo gà sto, la combnazon d qust tr rlazon (ch sprmono, rspttamnt, l LKC, l LKV l lgg d Ohm) c porta alla sgunt quazon matrcal: A G A S Da qusta rlazon, nfn, posto ch l dtrmnant dlla matrc Y non sa nullo, s ottn: ( AG A ) S S è così rsolto l problma. Pr com, prò, è stato prsntato, l mtodo dll anals nodal è molto macchnoso (cosa comprnsbl pnsando ch è stato pnsato pr l calcolator), soprattutto, è molto rdutto prché c prmtt d gstr solo crcut ch contngono rsstor gnrator d corrnt. Vdamo allora un modo drso d sprmr l mtodo dll anals nodal. Inc d partr dall tr rlazon matrcal prma st, s parta dall sgunt tr: Q S Q A G S ossr, n prmo luogo, com la rlazon ch sprm l lgg d Ohm non sa cambata non ssndo una rlazon topologca. Da qust tr rlazon, tramt una combnazon molto sml a qulla prcdnt, s arra alla sgunt rlazon matrcal: Q GQ A S Anch n qusto caso possamo, sotto crt condzon, splctar la rlazon rsptto alla matrc colonna dll tnson d albro ottnr la sgunt rlazon rsoluta dl crcuto: A ( QGQ ) S Gunt a qusto punto consdramo l tr rlazon dual rsptto all tr rlazon ch abbamo prso pr sprmr n modo drso l anals nodal; s arà dunqu: B C B Ossramo ch, splctando la lgg d Ohm rsptto alla rsstnza utlzzando qusta trna d quazon nc d qull prcdnt, stamo consdrando un mtodo dual rsptto al mtodo dll anals nodal ch m prmtt d gstr dll rt ch contngono solo rsstor gnrator d tnson (con l mtodo dll anals nodal s potano gstr crcut compost solo da rsstor gnrator d corrnt). Sfruttando qust tr rlazon s arra alla sgunt sprsson matrcal: B B dalla qual s potrà rcaar l sprsson: BB C Da qust ultma rlazon possamo rcaar l ttor dll corrnt d coalbro: C ( BB ) Ora ch abbamo troato un sstma ch m prmtt d gstr anch crcut ch contngono gnrator d tnson (purché non c sano prò d gnrator d corrnt), andamo a gnralzzar ultrormnt l dscorso. ornamo dunqu ad sprmr l lgg d Krchhoff tramt l du sgunt sprsson matrcal: A A Pr quanto rguarda, nc, l lgg d Ohm rlat a bpol, nc d sprmrl nlla solta forma damo com qust s possano gnralzzar; s consdramo, nfatt, un sngolo bpolo supponamo ch qusto sa carattrzzato dalla rlazon: g damo com qusta rlazon costtuta ada bn sa s l bpolo n quston è un rsstor, sa s l bpolo è un gnrator d corrnt (nl qual caso G sarà nulla), sa s l bpolo è un collgamnto n paralllo tra un gnrator d corrnt un rsstor. Abbamo dunqu troato una forma pù gnrca pr sprmr la rlazon costtuta d un bpolo, nfatt qusta rlazon s rfrsc ad un bpolo ch è gnrcamnt mostrato nlla prma fgura dlla pagna sgunt. Pr l ntro crcuto, la sngola rlazon prma sta n gnralzzata nlla sgunt sprsson matrcal: G Combnando dunqu qust ultma sprsson matrcal con l sprsson matrcal ch m sprma la lgg d Krchhoff a nod, s ottn la sgunt quazon:

21 ( AG A ) A I GV G V I Dall ultma rlazon scrtta s può rcaar com sgu l ttor dll tnson : ( AG A ) A In qusto modo abbamo tato l passaggo concttual, ch s ra ncontrato dscrndo l mtodo dll anals nodal, ch conssta nllo staccar gnrator pr po rcollgarl subto dopo ntroducndo l ttor dll corrnt mpost da gnrator. S combnamo, ora, l ultma rlazon scrtta con l quazon matrcal ch sprma la lgg d Krchhoff all corrnt ottnamo la rlazon: V A A ( AG A ) A Possamo dunqu troar una rlazon ch sprm l corrnt dl crcuto n funzon dll corrnt mpost da gnrator, nfatt, sosttundo l ultma rlazon troata nlla rlazon matrcal ch sprma l lgg d Ohm, s ottn: G A [ A] ( AGA ) A I GA ( AG A ) do I è la matrc dnttà. Samo ora dunqu n grado d gstr rt ch prsntno rsstor d un solo tpo d gnrator; un crcuto d qusto tpo ha com carattrstca una rtta dl pano qund la sua rlazon costtuta potrà ssr sprssa tramt la rlazon: oppur tramt la rlazon: G Qust du formulazon prndono rspttamnt l nom d torma d hnn d torma d Norton. L du ultm rlazon scrtt possono ssr condnsat nll unca rlazon sgunt: m n Un qualsas gnrator ch, n un crcuto, fa part d un lato dscrtto da una dll ultm tr rlazon scrtt, s chama gnrator accompagnato; s ogn gnrator prsnt nl crcuto è un gnrator accompagnato tutt rsstor dl crcuto hanno rsstnza d sgno concord, allora l crcuto ammtt scuramnt soluzon. ornamo ora all rlazon matrcal scrtt n prcdnza ossramo com la matrc A sa una matrc d rango massmo; cò fa s ch l nrtbltà dlla matrc Y dpnda solo dalla matrc G. Vdamo dunqu com è fatta qusta matrc G. Gl lmnt d tal matrc sono l g ch appaono nll sngol rlazon dl tpo: g Possamo dunqu affrmar ch la matrc G è una matrc dagonal, nfatt l sngol quazon dl tpo dll ultma scrtta possono ssr mss assm n un sstma ch, splctato n forma matrcal, sarà dl tpo: g... g g... g l... g l l g Affnché la matrc G sa scuramnt nrtbl, dorà ar tutt gl lmnt sulla dagonal prncpal drs da zro; qusto sgnfchrà ch c d ssr un rsstor pr ogn lato ch qund tutt gnrator prsnt nl crcuto sano accompagnat; noltr, la matrc G d ssr dfnta posta, oro tutt l g dono ar lo stsso sgno. Crchamo ora d troar un mtodo ch m prmtta d gstr anch dll rt ch contngano, oltr a rsstor, ntramb tp d gnrator. Qusta rcrca c portrà ad analzzar du mtod rsolut: l mtodo dlla tablla sparsa (SA) l mtodo dll anals nodal modfcata (MNA). Soffrmamoc dunqu, pr prma cosa, sul mtodo dlla tablla sparsa (Spars ablau mthod). Qusto è un mtodo ch s basa sulla forza bruta n quanto prd d utlzzar tutt l quazon ch s possono strarr dal crcuto d

22 rsolr l sstma complsso. C s basa dunqu sull lgg d Krchhoff all corrnt, sprss n forma matrcal com sgu: A S consdrano po l LKV, sprss n forma matrcal tramt la rlazon: A, nfn, s consdrano l lgg d Ohm rlata a ar bpol facnt part dl crcuto sprss nlla loro forma mplcta ch orgnano la sgunt rlazon matrcal: M N U Mttndo nsm qust tr rlazon matrcal s ottn l sgunt sstma rsoluto: A I A M N U Ogn lmnto d qusta rlazon matrcal è, a sua olta, una matrc; qusto può far ntur qual sa l problma assocato a qusto mtodo d rsoluzon: l ccsso numro d quazon d ncognt da gstr. Il scondo mtodo sul qual c soffrmamo è l mtodo dll anals nodal modfcata (Modfd Nodal Analsys). Consdramo dunqu una rt ch contnga solo rsstor, gnrator d corrnt un gnrator d tnson. La prsnza d qusto unco gnrator d tnson rnd nutlzzabl l mtodo dlla normal anals nodal poché pr l gnrator d tnson non è possbl consdrar una rlazon costtuta ch lgh la corrnt passant nl gnrator alla sua tnson. Pr rsolr qusto problma, com drmo nlla prossma lzon, aggungrmo all ncognt ch ar utlzzando l anals nodal, la corrnt ch passa pr tal gnrator d tnson. Ar aggunto un ncognta m mpon, prò, d troar anch una ultror quazon, altrmnt l numro dll ncognt suprrbb l numro dll quazon l problma non sarbb unocamnt rsolubl.

23 Lzon numro 6 8 Marzo 999 Mtodo dll anals nodal modfcata. Nll ultma lzon abbamo solamnt accnnato al mtodo dll anals nodal modfcata ch prmtt d gstr rt ch prsntno rsstor gnrator d ntramb tp, damo ora pù n dttaglo n ch cosa consst tal mtodo. framoc dunqu al nodo h ndcato nlla fgura sgunt al qual affrscono du rsstor, un gnrator dal d corrnt un gnrator dal d tnson: A h Applcando a tal nodo la LKC, s ottrrà (dtto l numro d bpol ch affrscono al nodo) una rlazon dl tpo: S al nodo h affrssro solo d bpol rsst sarbb possbl combnar l ultma rlazon scrtta con l quazon d Ohm rlat ad ogn rsstor -smo; qusto c prmttrà d rscrr la prcdnt sommatora nl modo sgunt: g ( ) S, nc, al nodo h, oltr a rsstor, affrssro anch d gnrator d corrnt, la rlazon prcdntmnt scrtta dorbb ssr compltata con la sommatora dll corrnt mpost da gnrator d corrnt, s dorbb qund ar (supposto ch al nodo affrssro rsstor d n gnrator d corrnt): g A ( j ) n Sccom, prò, al nodo h affrsc anch un gnrator d tnson, la LKC applcata a tal nodo d contnr anch la corrnt ch pron da tal bpolo; da quanto sto nll lzon nll srctazon prcdnt, prò, sappamo ch la corrnt ch crcola su un gnrator d tnson è smpr ncognta; sarà dunqu ncssaro ntrodurr nlla sommatora un ncognta n pù, la corrnt ch attrarsa l gnrator d tnson; s arà dunqu: g A ( j ) n gt do, con l pdc gt, s ndca l gnrator d tnson. C rndamo dunqu conto ch, s prma aamo com ncognt solo potnzal ch staano a nod, ora dobbamo ntrodurr com ncognta anch la corrnt sul gnrator d tnson. Sccom, prò, abbamo ntrodotto un ncognta n pù, dobbamo ntrodurr anch una ultror quazon: s dunqu l gnrator d tnson nsrto nlla rt foss l sgunt: V n j n h gt L quazon n pù ch dormmo utlzzar sarbb la sgunt: h Vdamo un smpo pratco nl qual s utlzza l mtodo rsoluto dll anals nodal modfcata pr rsolr l crcuto rapprsntato nlla prma fgura dlla pagna sgunt. Com prma cosa applchamo la LKC a nod,, ottnndo, rspttamnt, l sgunt tr rlazon: x A x Esprmamo ora l corrnt prsnt nl crcuto n funzon dll tnson; pr far qusto dormo splctar la lgg d Ohm rlata ad ogn sngolo rsstor combnar qust rlazon con l sprsson dll tnson n funzon d potnzal, rcaat dall LKV; complssamnt s ottrrà l sgunt sstma d quazon:

24 g g g g g g ( ) ( ) A g E V g g V x g S aggung ora l quazon ch sprm la prsnza dl gnrator d tnson: E Complssamnt, dunqu, s dorà rsolr l sgunt sstma sprsso n forma matrcal: g g g g g g g A g g g x E S ossr com la prma part dlla matrc quadrata (n partcolar l prm tr rgh l prm tr colonn) possa ssr costruta con l mdsmo trucchtto d cu aamo gà parlato pr costrur la matrc nl mtodo dll anals nodal. Complssamnt la matrc è rsultata una matrc smmtrca ma qusta è una partcolartà d qusto smpo. Concludamo qusta lzon occupandoc d partcolar collgamnt n sr d n paralllo d bpol ch conoscamo. Gà durant l srctazon numro aamo sto ch la sr d un gnrator d corrnt d un rsstor è prftta mnt qualnt al solo gnrator d corrnt poché la tnson sul gnrator è gnota non ha mportanza qual sa la tnson sul rsstor; un dscorso analogo ra stato fatto pr la confgurazon dual, oro pr l collgamnto n paralllo tra un gnrator d tnson d un rsstor. E dunqu possbl non consdrar rsstor n qust confgurazon a mno ch, oamnt, non sano rchst corrnt tnson propro su qu rsstor oppur non sa rchsto un blanco d potnz. Altr confgurazon sgnfcat sono l sgunt: collgamnto n sr d du gnrator d tnson: un tal bpolo è qualnt ad un unco gnrator d tnson ch gnr una tnson par alla somma dll tnson gnrat da du sngol gnrator: E E E E collgamnto n paralllo d du gnrator d corrnt: un tal bpolo è qualnt ad un unco gnrator d corrnt ch gnr una corrnt par alla somma dll corrnt gnrat da du sngol gnrator: A A A A collgamnto n sr d un gnrator d corrnt d un gnrator d tnson: un tal bpolo è qualnt ad un unco gnrator d corrnt ssndo l gnrator d tnson nnflunt nl dtrmnar la corrnt ch fuorsc dal bpolo (s da la fgura nlla pagna sgunt); collgamnto n paralllo d un gnrator d tnson d un gnrator d corrnt: un tal bpolo è qualnt ad un unco gnrator d tnson ssndo l gnrator d corrnt nnflunt nllo stablr la tnson ch s ha a morstt d tal bpolo:

25 E A A E A E

26 Lzon numro 7 Marzo 999 Dopp bpol: rapprsntazon matrcal. Gnrator dpndnt. Fno ad ogg abbamo smpr parlato d rt compost sclusamnt da bpol. In raltà bpol sono cas partcolar d multporta con un unca porta (ogn porta lttrca è formata da du morstt). Gnralzzamo ora l dscorso a multporta soffrmandoc, n partcolar, su multporta con du sol port: dopp bpol. Grafcamnt un doppo bpolo n ndcato con l sgunt smbolo: V V V V A pror, applcando l lgg d Krchhoff al doppo bpolo, potrmmo pnsar ch qusto oggtto prsnt tr tnson ndpndnt (c sono nfatt quattro tnson dll qual una rsultrà combnazon dll altr) tr corrnt ndpndnt. Gà prò collgando l doppo bpolo n quston ad una rt qualsas, com mostrato nll mmagn sgunt: V V c s accorg, smpr utlzzando l lgg d Krchhoff, com algano l du sgunt rlazon tra l corrnt: E mportant prcsar ch rs ch appaono nll du prcdnt fgur sono qull concord con la connzon prsa soltamnt. Oltr al lgam gà sto tra l corrnt, prò, sstono d lgam anch tra l corrnt l tnson, sattamnt com pr bpol pr qual ala la lgg d Ohm. Nl caso d dopp bpol, oamnt, l arabl n goco sono (du tnson du corrnt) qund non bastrà un unca quazon, n srranno du. Molto gnrcamnt tal du quazon saranno dl tpo: f(,,, ) f (,,, ) L funzon mplct com qull ch appaono n tal sstma sono soltamnt abbastanza complcat da gstr; dobbamo dunqu troar dlla altr funzon pù faclmnt utlzzabl; s consdrrà dunqu l sstma sgunt: f(, ) f (, ) S not ch s sta facndo un dscorso prfttamnt analogo a qullo n prcdnza fatto pr bpol. Parlando d bpol, nfatt, s ra dtto com una funzon mplcta dl tpo: f (, ) foss pratcamnt ngstbl la s ra sosttuta con l du formulazon altrnat ch sprmano l bpolo com controllato n corrnt puttosto ch n tnson: G Nll anals d rt compost da molt rsstor, utlzzando la notazon ch carattrzza l controllo n tnson, s arraa a rapprsntazon matrcal dl tpo: G do la matrc G ra dl tpo: 6

27 g... g... G g n E mportant sottolnar com tal matrc sa dagonal. Proamo ora a pnsar ad una matrc G complta (pr facltà la pnsrmo d ordn ); la rlazon matrcal prcdntmnt scrtta assumrà dunqu la sgunt forma: g g g g Esplctando qusta rlazon matrcal n forma d sstma d quazon s ottrrà: g g g g Qusto sstma è dl mdsmo tpo d qullo scrtto n prcdnza pr sprmr la rlazon tra corrnt tnson pr l doppo bpolo. A qusto punto dnta natural pnsar al bpolo com ad un caso partcolar d multporta con un unca porta pr l qual la matrc G rsult dagonal. Dobbamo ora troar un modo pr rcaar trmn g ch appaono com lmnt dlla matrc G. Un prmo mtodo ch possamo usar è qullo dtto mtodo dll pro smplc. Qusto mtodo part dal fatto ch, pr smpo, l prmo lmnto dlla matrc G s può rcaar, posta nulla la tnson alla porta numro, tramt la rlazon: g A lllo pratco, far qusto sgnfca cortocrcutar la porta numro dl doppo bpolo (n modo da ottnr ch la tnson a qulla porta sa nulla), collgar la porta numro con un gnrator d tnson n modo da fssar la tnson alla porta (soltamnt s usa un gnrator d tnson da V n modo da ar numr smplc), msurar la corrnt ch scorr nlla porta numro, oprar l prcdnt rapporto rcaar l alor d g (s da la sgunt fgura). V V Pr rcaar l scondo trmn dlla dagonal prncpal s usrà la rlazon: g Qusto sgnfca dor far un laoro dntco a qullo fato prcdntmnt, cortocrcutando, prò, qusta olta la porta numro mttndo l gnrator d tnson alla porta numro. Pr rcaar trmn fuor dalla dagonal l procdmnto sarà un procdmnto analogo nl qual sarà prò ncssaro consdrar d crcut aprt (prché s dorà mporr nulla la corrnt non la tnson, laorar con d gnrator d corrnt. Il mtodo dll pro smplc è dunqu un mtodo macchnoso, nl caso d multporta con tant port, molto lungo. Prma d dr l scondo mtodo ch prmtt lo studo d dopp bpol dobbamo parlar dll altr rapprsntazon matrcal possbl pr dopp bpol. Parlando d bpol s ra sto com la rapprsntazon matrcal ch sfrutta la matrc G m prmtta faclmnt d arrar alla rapprsntazon matrcal ch sfrutta la matrc ; s aa nfatt: G Un dscorso analogo s potrà far anch pr l caso d dopp bpol anch s sarà ncssaro ntrodurr alcun spcfch ultror. Nl caso d bpol smplc, nfatt, la matrc G è, com s è dtto, una matrc dagonal qund, n quanto tal, è smpr nrtbl; qusto sgnfca ch nl caso d bpol l sstnza dlla rapprsntazon G mplca smpr l sstnza dlla rapprsntazon. Nl caso d dopp bpol, nc, ssndo G, una matrc complta, è anch possbl ch tal matrc sa sngolar, qusto la rndrbb non nrtbl qusto, a sua olta, rndrbb mpossbl la rapprsntazon. Affnchè tal rapprsntazon ssta, dunqu, la matrc G non d ssr sngolar. Oltr all rapprsntazon G d, ch sono l rapprsntazon n funzon, rspttamnt, dlla tnson dlla corrnt, sstono dll rapprsntazon brd (carattrzzat dall matrc brd H H ) dll rapprsntazon dtt rapprsntazon d trasfrmnto (carattrzzat dall matrc d trasfrmnto ). portamo, dunqu, nl sguto, l 6 possbl rapprsntazon matrcal ch carattrzzano un doppo bpolo: 7

28 8 a) G b) c) H d) H ) f) Da notar l sgno mno ch appar nll rapprsntazon ) d f) ch è douto smplcmnt alla tradzon. L 6 rapprsntazon matrcal ch abbamo lncato (all qual sono stat tolt ttor d costant ch n tora l accompagnano) sono l rapprsntazon possbl pr un doppo bpolo, non è prò dtto ch un partcolar doppo bpolo l ammtta tutt 6 (abbamo sto n prcdnza com sa possbl, pr smpo, ch un doppo bpolo non ammtta la rapprsntazon ). Una rapprsntazon matrcal ch nc sst smpr pr un doppo bpolo è la rapprsntazon mplcta ch arà l sgunt asptto: N M Da tal rapprsntazon è possbl rcaar la rapprsntazon G (dtta anch rapprsntazon paralllo) la rapprsntazon (dtta anch rapprsntazon sr), s arà, nfatt: N M qund è: N M G M N qund è: M N G Dunqu appar dnt com l sstnza dll rapprsntazon G dpnda dall nrtbltà dll matrc M d N. Pr ottnr l du rapprsntazon brd s d modfcar la rapprsntazon mplcta n modo da ottnr: N M L matrc brd s ottrranno allora nl modo sgunt: M N H M N H Con rfrmnto all matrc M d N orgnal, l nuo matrc d coffcnt saranno: n m n m M, m n m n N Pr ottnr l du rapprsntazon d trasmsson s d nc modfcar la rapprsntazon mplcta n modo da ottnr: N M L matrc d trasmsson s ottrranno allora nl modo sgunt: M N M N Con rfrmnto all matrc M d N orgnal, l nuo matrc d coffcnt saranno: n m n m M, n m n m N Dunqu l scondo mtodo pr rsolr un doppo bpolo consst nl troar l du matrc M d N; una olta troat tal matrc s possono troar tutt l rapprsntazon possbl pr l doppo bpolo n quston. S ossr ch, pr rcaar l ar matrc d coffcnt ch m prmttono d rcaar tutt l ar rapprsntazon, non s d far altro ch rmscolar n modo opportuno l colonn dll du matrc M d N: [ ] C C M, [ ] C C N

29 9 Con rfrmnto all matrc M d N orgnal, l altr matrc d coffcnt saranno: [ ] C C M, [ ] C C N [ ] C C M, [ ] C C N Vdamo ora un smpo pratco nl qual s rsol un doppo bpolo crcando la rapprsntazon matrcal mplcta. Consdramo dunqu l sgunt doppo bpolo: V V Ossramo, nnanztutto, ch rsstor prsnt n qusto doppo bpolo sono collgat scondo una confgurazon non ancora sta fno ad ora, la confgurazon a, dtta anch confgurazon a stlla. Oamnt pr rsolr qusto doppo bpolo s consdra ch l corrnt l tnson all port sano un dato dl problma (n fftt dobbamo pnsar a qusto doppo bpolo com ad un oggtto attaccato ad una rt qund tal tnson tal corrnt ngono stablt da tal rt). Oamnt rsulta lmntar alutar la caduta d tnson su rsstor ; s arà nfatt: Ora applchamo una LKC al nodo al qual confrscono tr rsstor, ottnndo: Una olta troata tal corrnt s può faclmnt rcaar la caduta d tnson sul rsstor cntral: ( ) Ora applchamo la LKV all du magl dl doppo bpolo, ottnndo l sgunt sstma: ( ) ( ) scramo, adsso, qusto sstma n forma matrcal: ( ) ( ) Abbamo dunqu troato la rapprsntazon matrcal mplcta d qusto partcolar doppo bpolo. Data qusta rapprsntazon possamo ora troar la matrc, s arà nfatt: ( ) ( ) N M Una olta troata la rcaamo anch la G com sua nrsa, s arà dunqu: ( )( ) G Sccom da ora n po potrà spsso captar d dor nrtr matrc d ordn, è fors utl rcordar l apposta rgola, scondo la qual: ( ) a c b d A A d c b a A dt Un smpo d bpolo dual rsptto a qullo prcdntmnt sto è l sgunt: V V π Anch n qusto caso rsstor sono collgat n una confgurazon ma sta, dtta confgurazon π (o anch confgurazon a trangolo). Vdamo ora ultror lmnt ch s possono troar nll rt oltr a gnrator d tnson, d corrnt, rsstor dod: gnrator dpndnt. I gnrator ch abbamo sto fno ad ora s chamano gnrator ndpndnt poché la corrnt o la tnson ch gnrano non dpnd da nnt altro all nfuor dl gnrator stsso. Un gnrator d tnson dpndnt è nc un gnrator ch gnra una tnson ch dpnd dalla corrnt (caso a) oppur dalla

30 tnson (caso b) su un altro ramo dl crcuto. Analogamnt un gnrator d corrnt dpndnt è un gnrator ch gnra una corrnt ch dpnd dalla tnson (caso c) oppur dalla corrnt (caso d) ch c è su un altro ramo dl crcuto. L rapprsntazon grafch d tal lmnt sono l sgunt: Caso (a) Caso (b) Caso (c) Caso (d) αv x ρvx γv x α x I gnrator dpndnt sono stat ntrodott solo ora prché qust lmnt non sono d bpol, gnrator dpndnt sono, n raltà, d dopp bpol. Una rapprsntazon pù prcsa d gnrator dpndnt (ch comunqu non s troa su dsgn dll rt, è nfatt la sgunt: Caso (a) αv x Caso (b) ρ x V x x VCVS Gnrator d tnson Controllato n tnson V x Caso (c) γv x CCVS Gnrator d tnson Controllato n corrnt x Caso (d) α x VCCS Gnrator d corrnt Controllato n tnson CCCS Gnrator d corrnt Controllato n corrnt L grandzz ρ γ prndono rspttamnt l nom d transrsstnza d transconduttanza. Crchamo ora una rapprsntazon matrcal pr l gnrator plotato dl caso (a); un anals dlla struttura c porta nnanztutto al sgunt sstma: α portando tal sstma n forma matrcal c s accorg d ar troato mmdatamnt la sconda forma brda; s ha nfatt la matrc: H α Pr tal doppo bpolo s potrbb rcaar, ma no non lo farmo, anch la matrc, qust du matrc sono, prò, l unch matrc sstnt pr qusto doppo bpolo. Sccom la matrc G non sst, qusto doppo bpolo, nsrto n un crcuto, rnd nutlzzabl l anals nodal pr la rsoluzon dl crcuto stsso (sarà dunqu ncssara l MNA). L unco gnrator plotato ch ammtt la rapprsntazon G è l gnrator rapprsntato nl caso (c).

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