Appendice A Grafici elementari

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1 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza Appendice A Grafici elementari In questa appendice espongo alcune tecniche utili per ottenere grafici di funzioni che sono semplici trasformazioni di funzioni elementari. In particolare, data una funzione f di cui conosciamo il grafico, impareremo a disegnare il grafico delle funzioni (a) f() (b) f() (c) f() + k (d) f( ) (e) f( ) (f) f( + k) (g) kf() (h) f(k) dove k è una costante, cioè un numero reale. (a) Grafico di f(). Detto a parole, basta capovolgere il grafico di f facendone il simmetrico rispetto all asse. Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() f() Esempio Grafico di g() =. Dato che g() = ( ), si ha: f() Esempio Grafico di g() = ln. ln ln ln Esempio Grafico di g() = e. e e e Di norma, quando un grafico si ottiene da un altro con una qualche trasformazione, riporto tratteggiato il grafico precedente. Quando lo spazio me lo consente riporto anche l espressione analitica della funzione relativa al grafico tratteggiato.

2 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 2 (b) Grafico di f(). Detto a parole: dove la funzione è positiva la si lascia com è, dove è negativa si capovolge il grafico come fatto in precedenza. Il tutto segue dalla definizione di valore assoluto, che ricordo ancora una volta: f() = { f() f() 0 f() f() < 0. Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() f() f() Esempio Grafico di g() =. Esempio Grafico di g() = Esempio Grafico di g() = ln. ln ln Esempio Grafico di g() =. La funzione è ovviamente.

3 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 3 (c) Grafico di f() + k. Detto a parole: si muove il grafico di f verso l alto se k è positivo e verso il basso se k è negativo. Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() k > 0 k < 0 f() + k Esempio Grafico di g() = Esempio Grafico di g() =. La funzione è definita per 0. Per costruirlo si può iniziare da, costruire e infine +. (In ogni grafico a partire dal secondo è tratteggiato il grafico precedente). Esempio Grafico di g() = e. Per costruire questo si può iniziare da e, costruire e e infine e +. (In ogni grafico a partire dal secondo è tratteggiato il grafico precedente). e e e e e

4 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 4 (d) Grafico di f( ). Detto a parole: basta capovolgere il grafico di f facendone il simmetrico rispetto all asse (basta pensare che la funzione f( ) assume in lo stesso valore che la funzione f assume in ). Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() f( ) f() Esempio Grafico di g() = e. e e e Esempio Grafico di g() = ln( ). Ovviamente la funzione è definita sulle negative. ln( ) ln ln Esempio Grafico di g() = 3. Si noti che la funzione si può ottenere sia come ( 3 ), e quindi con un ribaltamento del grafico di 3 rispetto all asse sia come ( ) 3 e quindi con un ribaltamento della stessa rispetto all asse. Il risultato è ovviamente lo stesso Esempio Grafico di g() =. La funzione è definita per 0.

5 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 5 (e) Grafico di f( ). Detto a parole: sulle positive la funzione rimane quello che è; sulle negative ha un grafico simmetrico a quello che c è sulle positive. Gli eventuali valori che f assumeva sulle negative non hanno alcun effetto. Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() f( ) Esempio Grafico di g() = ln. La funzione è definita per 0. ln ln Esempio Grafico di g() = e. e e Esempio Grafico di g() =. La funzione è definita in tutto R. Esempio Grafico di g() = ( ) 2. ( ) 2 ( ) 2

6 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 6 (f) Grafico di f( + k). Detto a parole: si muove il grafico di f verso sinistra se k è positivo e verso destra se k è negativo. 2 Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() k > 0 k < 0 f( + k) Esempio Grafico di g() = ln( + ). La funzione è definita per >. ln( + ) ln ln Esempio Grafico di g() =. La funzione è definita per. Esempio Grafico di g() =. La funzione è definita per. Esempio Grafico di g() = e +. e e e e + 2 Attenzione. Non è come potrebbe sembrare: se k è positivo il grafico va spostato verso sinistra. Non è difficile capire il perché. Si consideri ad esempio f( + ): questa funzione assume in il valore che f assume in +, quindi è chiaro che il grafico di f( + ) è spostato a sinistra rispetto al grafico di f.

7 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 7 (g) Grafico di kf(). La moltiplicazione per un fattore k del valore di f produce una deformazione del grafico nella direzione delle (cioè in verticale). Più precisamente, se k > si ha una dilatazione del grafico, se 0 < k < si ha una contrazione. Con i valori negativi di k è lo stesso, solo che c è anche un ribaltamento nella direzione delle (come quando abbiamo visto il grafico di f()). Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() kf() k > 0 0 < k < Esempio Grafico di g() = 2 ln. 2 ln ln ln Esempio Grafico di g() = 2 e. e e 2 e /2 Esempio Grafico di g() = 2. / 2 / 2 2

8 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 8 (h) Grafico di f(k). La moltiplicazione per un fattore k dell argomento di f produce una deformazione del grafico nella direzione delle (cioè in orizzontale). Più precisamente, se k > si ha una contrazione del grafico, se 0 < k < si ha una dilatazione. 3 Con i valori negativi di k è lo stesso, solo che c è anche un ribaltamento nella direzione delle (come quando abbiamo visto il grafico di f( )). Ecco un disegno che illustra la trasformazione: f() f(k) k > 0 0 < k < Esempio Grafico di g() = (2 ) 2 e di g() = ( 2 )2. (2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 )2 2 2 Osservazioni Il grafico di g() = ln(2) è il grafico di ln 2+ln, che si può ottenere come già visto anche con una traslazione verso l alto del grafico della funzione logaritmica. Il grafico di g() = 2 è il grafico di 2, che si può ottenere come già visto anche con una dilatazione in verticale del grafico della funzione radice quadrata. Lo stesso dicasi per il grafico di g() = 4 2 = (2) 2. Si osservi anche che invece il grafico di g() = e 2 oppure g() = e /2 non rientrano in quelli già visti (se non quest ultimo). e e e e 2 e /2 Nel seguito vediamo qualche esempio in cui mettiamo insieme tutte le tecniche viste. 3 Anche per questo tipo di trasformazioni, come per f( + k), l effetto non è quello che forse uno si aspetta. Con un k > si ha una contrazione. E anche qui non è difficile capire il perché. Si consideri ad esempio f(2): questa funzione assume in il valore che f assume in 2, quindi è chiaro che il grafico di f(2) è come schiacciato orizzontalmente.

9 UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza 9 Esempio Grafico di g() = e. Si può ottenere disegnando in sequenza i grafici di e, e, e e e +. e e e e e e e Esempio Grafico di g() = ln. Si può ottenere disegnando in sequenza i grafici di ln, ln, ln e ln. ln ln ln ln ln ln Esempio In modo analogo si ottiene il grafico di g() =. Basta disegnare in sequenza i grafici di,, e. Esempio Grafico di g() = + +. Si può ottenere disegnando in sequenza i grafici di, +,