A grande richiesta, esercizi di matematica&.!

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1 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = 1/x, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =1/(x+1) ; g(x) =1/(2x -1); g(x) =2 + 1/x ; g(x) =2-1/x ; g(x) =1/ x+1

2 Si trasla il grafico di 1/x in orizzontale di una unità verso sinistra per ottenere il grafico di 1/(x+1)

3 Si trasla il grafico di 1/(2x), ottenuto da 1/x moltiplicato per 1/2, in orizzontale di una unità verso destra per ottenere il grafico di 1/(2x-1)

4 Si trasla il grafico di 1/x in verticale di due unità verso l alto per ottenere il grafico di 2 + 1/x

5 Dal grafico di 1/x si ottiene il grafico di -1/x con una simmetria rispetto all asse delle ascisse, quindi una traslazione verso l alto di 2 unità e si ottiene il grafico di 2-1/x

6 Dal grafico di 1/x si ottiene il grafico di 1/(x+1), traslando in orizzontale verso sinistra di 1 unità, quindi una simmetria rispetto all asse x per x< -1 (dove la funzione 1/(x+1) è <0) e si ottiene il grafico di 1/ x+1

7 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = ex, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) = ex+1 ; g(x) = e-(x+1) g(x) = e2x-1; g(x) = e1-2x g(x) =2 + ex ; g(x) = 2 + e-x g(x) =2 - ex ; g(x) = e x ; g(x) = 2- e-x g(x) = 2 - ex ; g(x) = 2 - e-x g(x) =1/ (2 + ex) ; g(x) =1/ (2 + e-x) g(x) =1/ (2 - ex) ; g(x) =1/ (2 - e-x)

8 Il grafico di e2x-1 ottenuto dal grafico di e2x orizzontalmente verso destra di 1. traslando

9 Per ottenere il grafico di ex +2 si trasla verticalmente di 2 unità il grafico di ex. Per ottenere il grafico di 2- ex, si ottiene il grafico di - ex dal grafico di ex con una simmetria rispetto all asse x, quindi si trasla di 2 unità verso l alto

10 Dal grafico di 2- ex, con una simmetria rispetto all asse x del suo grafico per x>log2 (2- ex = 0 per x=log2), inalterato il grafico di 2- ex per x<log2, si ottiene il grafico di 2- ex

11 Il grafico di e x ottenuto dal grafico di ex per x>0, con simmetria rispetto all asse delle ordinate, essendo la funzione e x pari

12 La funzione 1/(2- ex ) è definita per x log2, infatti si ha una singolarità per 2- ex = 0, per x= log2.

13 La funzione 1/(2+ ex ) è definita per ogni x R, ed ha per immagine l intervallo (0, 1/2) (la funzione è limitata)

14 Dal grafico della funzione e-x si ottiene, traslando in orizzontale di 1 unità verso sinistra, il grafico di e-(x+1) Dal grafico di e-x al grafico di e-2x ed infine, traslando verso destra di 1 unità, il grafico di e-(2x-1)

15 Dal grafico della funzione e-x si ottiene, traslando in verticale di 2 unità verso l alto, il grafico di 2+e-x Dal grafico di e-x al grafico di - e-x ed infine, traslando verso l alto di 2 unità, il grafico di 2 - e-x

16 La funzione 1/(2+ e-x ) è definita per ogni x R, ed ha per immagine l intervallo (0, 1/2) (la funzione è limitata)

17 La funzione 1/(2- e-x ) è definita per x -log2, infatti si ha una singolarità per 2- e-x = 0, per x= -log2.

18 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = logx disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) = log(x+1) ; g(x) = log(2x-1); g(x) =2 + logx ; g(x) =2 - logx ; g(x) = logx ; g(x) = log x g(x) = 2 - logx ; g(x) =1/ (2 + logx) ; g(x) =1/ (2 - logx)

19 log(x+1) definito per x+1>0, quindi per x>-1; log(2x-1) definito per 2x-1>0, quindi per x>1/2

20 Dal grafico di logx al grafico di 2+logx, traslando in verticale di 2 unità verso l alto; Dal grafico di logx al grafico di -logx (simmetria rispetto all asse x) al grafico di 2-logx, traslando verso l alto di 2 unità

21 Dal grafico di logx si ottiene il grafico di logx, con una simmetria rispetto all asse x per 0<x<1, inalterato per x>1

22 La funzione log x è pari e definita in R/{0}, quindi, per ottenere il suo grafico, basta aggiungere il ramo per x<0 ottenuto dal grafico di logx con una simmetria rispetto all asse y

23 Grafico della funzione 1/(2+logx), si ha una singolarità in x=e-2. La funzione è definita per x>0 con x e-2. La funzione è positiva per x> e-2 dove 2+logx>0. Determina i limiti ai bordi del dominio& &

24 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! Dare un esempio di funzione f(x) definita su R, che sia decrescente, il cui limite per x sia 0, e per x + il limite sia Soluzione: Ce ne sono molte che soddisfano i requisiti richiesti, ad esempio f(x)= -ex Dare un esempio di funzione f(x) definita su R, che sia decrescente, il cui limite per x sia +, e per x + il limite sia 0 Soluzione: Anche in questo caso Ce ne sono molte che -x

25 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! Determinare x tale che e3x-1= 2 Determinare per quali x si ha e3x-1 2 SOLUZIONE:si applica il log in base e ad entrambi i membri dell uguaglianza, ottenendo 3x-1 =log2, quindi x=(log2 +1)/3 La disequazione è soddisfatta per 3x-1 log2, essendo la funzione logaritmo in base e crescente, quindi si ha x (log2 +1)/3

26 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! Determinare x tale che e1-2x= 3 Determinare per quali x si ha e1-2x < 3 SOLUZIONE:L equazione è soddisfatta per 1-2x=log3, quindi x= (1-log3)/2 La disequazione è soddisfatta per 1-2x<log3, quindi per x> (1-log3)/2

27 A grande richiesta, esercizi di matematica&.! Assegnata la funzione f(x)= 1/(1-2logx), determinare il suo insieme di definizione; determinare per quali valori x si ha f(x)>0. SOLUZIONE: La funzione log ha per dominio x>0, dobbiamo, inoltre, escludere la singolarità che si ha per 1-2logx=0 quindi per x=e1/2 Insieme di definizione {x R x>0 e x e1/2 } La funzione è positiva per 1-2logx>0, quindi per logx<1/2 Quindi essendo l esponenziale in base e crescente, per x< e1/2

28 Matematica e crescita di popolazioni&. - In una data popolazione, inizialmente costituita da 200 individui, il numero di individui varia dall anno n all anno successivo n+1, secondo la seguente legge an+1 = an + 0,4( an) a) determinare il termine generale della successione b) al passare del tempo a quale valore limite tende an?

29 Matematica e crescita di popolazioni&. Cerchiamo di trasformare la successione assegnata an+1 = an + 0,4( an) a0 = 200 in una successione geometrica (analoga a quella della duplicazione dei batteri& ). Si sottrae, ad ambo i membri della relazione che definisce la successione per ricorrenza, il numero 1000 an = an ,4( an)

30 Matematica e crescita di popolazioni&. Chiamando con xn = an -1000, otteniamo xn+1 = xn -0,4 xn = 0,6 xn x0 = -800 Quindi il termine generale è xn = -800(0,6)n Il termine generale della successione assegnata è perciò an = xn = (0,6)n La successione an, al crescere di n, tende al valore 1000

31 Matematica e crescita di popolazioni&. Una popolazione evolve secondo la legge N(t)= 50/(1 + 4e-0.7t) dove N(t) indica il numero di individui presenti nella popolazione al tempo t. Disegna il grafico di N(t) anche per t<0 SOLUZIONE: La funzione è definita su R ed è sempre positiva. Per t -, N(t) 0, mentre per t + N(t) 50. Intersezione con asse delle ordinate N(0) = 10. Il valore 25 (punto di mezzo nell intervallo immagine (0,50)) viene raggiunto per t =log4 /0.7

32 Grafico della funzione N(t)=50/(1 + 4e-0.7t)