Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4

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1 Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica retta Per due punti distinti di R passa un unica retta Per due punti distinti di R passa un unico piano Per tre punti non allineati di R passa un unico piano Per quattro punti non allineati di R passa un unico piano In R, data una retta r e un punto P r, esiste un unica retta ortogonale e r e passante per P In R, data una retta r e un punto P r, esiste un unica retta ortogonale e r e passante per P In R, dato un piano Π e un punto P r, esiste un unica retta ortogonale e Π e passante per P In R determinare l equazione intrinseca e parametrica della retta passante per A = e parallela a v = EQUAZIONE PARAMETRICA: A + tv = + t x = t, cioè x = + t, EQUAZIONE INTRINSECA: a ortogonale a v è = a =. Quindi l equazione è (x ) + (x ) = cioè x + x = In R determinare l equazione intrinseca della retta passante per A = e perpendicolare a v =, EQUAZIONE INTRINSECA: (x ) + (x ) = cioè x + x 9 = EQUAZIONE PARAMETRICA: il vettore direttore della retta, che chiamiamo v deve essere perpendicolare a v: v =. Quindi l equazione parametrica della retta è A + tv = + t, cioè x = + t x = + t In R determinare un equazione intrinseca e una parametrica del piano passante per A =, 6 e perpendicolare a v = EQUAZIONE INTRINSECA: 6(x ) + (x ) + (x ) = cioè 6x + x + x = EQUAZIONE PARAMETRICA: Cerchiamo due vettori indipendenti perpendicolari a v: v = 6, v =. Quindi un equazione parametrica del piano è: x = + t A + tv + sv = + t 6 + s, cioè x = + 6t s x = + s

2 In R determinare un equazione intrinseca e una parametrica di una retta passante per A =, e perpendicolare al piano di equazione {x + x x = } EQUAZIONE PARAMETRICA: Sia v il vettore ortogonale al piano, v =. Allora l equazione parametrica della retta è: x = + t A + tv = + t, cioè x = + t x = t EQUAZIONE INTRINSECA: La retta r la otteniamo come sistema di due equazioni in due incognite (corrispondente all intersezione di due piani). I modo. Ponendo t = otteniamo il punto B = A + v =. Imponendo il passagio per A e per B troviamo le equazioni di due piani che soddisfano le condizioni richieste. II modo. Cerchiamo due vettori a, a. paralleli al piano di equazione {x + x x = }. a, a saranno i vettori perpendicolari alle equazioni dei due piani passanti per A. Ad esempio a =, a =. Un equazione intrinseca è quindi: (x ) (x ) = (x ) + (x ) = In R determinare l equazione intrinseca e parametrica di una retta passante per A =, e perpendicolare al piano di equazione {x + x x = } La retta r è perpendicolare al piano di equazione {x + x x = } se esoltanto se è perpendicolare la piano di equazione {x + x x = }. Quindi la soluzione dell esercizio e identica alla soluzione dell esercizio precedente. In R si considerino i punti A =, B = e la retta r passante per A e B. (i)il punto C = r? falso Infatti, sia v = B A =. La retta r ha equazioni A + tv. Il punto C r se e sole se esiste un t R tale che C = A = tv, cioè se t R risolve il sistema: + t = + t = + t = Tale sistema non ammette soluzione, quindi il punto C r.

3 In R calcolare l area del triangolo avente i vertici nei punti A =, B = Poniamo v = B A e v = C A. Cioè v =, v =, C = L area del parallelogramma generato dai vettori v e v è il doppio dell area del triangolo ABC! Quindi Area(ABC) = det = SECONDA PARTE Esercizio. In R sia A =, B = x +x x = Sia s la retta x +x x = e r la retta passante per A e B. (i) Determinare r s. x = La retta r ha equazioni parametriche: x = + t x = + t Sostituiamo le espressioni di x, x, x nel sistema che da le equazioni di s: +(t) ( + t) = +t ( + t) = La cui soluzione è t =. Cioè il punto della retta r che corrisponde a t =, ovvero il punto P = è il punto di intersezione delle due rette. In particolare le due rette sono incidenti. (ii) Determinare l equazione parametrica di una retta perpendicolare a r e s passante per l origine. Cerchiamo il vettore direttore dis: x +x x = x +x x = Ponendo x = t parametro si ha x = t, x =. x +x x = x x = x = t Pertanto s ha la seguente descrizione parametrica: x = t Il vettore direttore di s è quindi. x = Un vettore v = x x x risolve il sistema: +x +x = è perpendicolare a s e a r se e sole se è prependicolare ai due vettori direttori, ovvero se x x = Ponendo x = t si ha x = t e x = t. Pertanto un vettore perpendicolare ad entrambe le rette è v = x = t Imponendo il passaggio per l origine la retta cercate ha equazione parametrica: x = t x = t

4 Esercizio. In R siano A =, B = C =, D = Dimostrare che i punti sono allineati. Determiniamo un equazione parametrica della retta passante per A e per B. Sia v = B A =. La retta r ha equazioni A + tv. Il punto C r se e sole se esiste un t R tale che C = A = tv, cioè se t R risolve il sistema: + t = + t = + t = Tale sistema ha un unica soluzione t =, quindi il punto C r. Il punto D r se e sole se esiste un altro t R tale che D = A = tv, cioè se t R risolve il sistema: + t = + t = + t = Tale sistema ha un unica soluzione t =, quindi il punto D r. Quindi, poichè C e D appartengono alla retta per A e per B i punti sono allineati. Esercizio. Determinare per quali valori del parametro α R la retta r + t α (i) La retta r è ortogonale al piano di equazione {x + x + x = } se e solo se il vettore direttore della retta è proporzionale al vettore ortogonale al piano, ovvero se e solo se esiste λ R tale che α = λ Per λ =, α = il sistema ha soluzione, quindi per α = la retta è ortogonale al piano. x x x = (ii) La retta r è parallela alla retta s se e solo se il vettore direttore di s è parallelo x +x x = al vettore direttore di r. x x x = Il vettore direttore di s si ottiene risolvendo il sistema x +x x = La soluzione del sistema è x = x = x = t, Quindi un vettore direttore di s è :. La retta r è parallela alla retta s se e solo se esiste λ R tale che Cioè anche in questo caso si ha soluzione per α =. α = λ

5 Esercizio. Determinare la posizione reciproca (coincidenti, parallele non coincidenti, incidenti, sghembe) per ciascuna delle seguenti coppie di rette di R. Per ogni coppia si tratta di determinare l intersezione. Se l intersezione è un punto allora sono incidenti. Se l intersezione è tutta r allora sono coincidenti. Se l intersezione è l insieme vuoto occorre vedere i vettori direttori delle due rette per capire se sono parallele o sghembe. ) + t + s incidenti ) + t + s sghembe ) + t 7 + s coincidenti ) + t + s parallele ) + t x x +x = x x = parallele 6) + t x x +x = x x = coincidenti 7) + t x x +x = x x = incidenti 8) x x +x = x x = x x +x = x +x = sghembe

6 Esercizio. In R sia Π il piano passante per i punti A, B e C seguenti: A = B =, C = Il piano Π ha equazione cartesiana x x + x = Pertanto: (i) il punto D = Π? falso (ii) Determinare un vettore perpendicolare a Π : v = (iii) Determinare l equazione di un piano Π parallelo a Π tale che la distanza tra i due piani =d(π, Π ) =. Il piano Π è perpendicolare al vettore v =. Occorre trovare un punto E che dista dal piano Π. Per determinare il punto E consideriamo un punto della forma E = A + tv la cui distanza da A sia uguale a. Per definizione la distanza tra E ed A è d(a, E) = E A. Per costruzione E A = tv. Ma tv = t v = t + ( ) + = t. Quindi per t = ± si ha il punto cercato. Ponendo t = otteniamo E = A + v = + = L equazione del piano Π è quindi cioè (x ) (x + ) + (x ) = x x + x =

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