Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d =
|
|
- Cesarina Gattini
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 I seguenti esercizi sono stti proposti, e qusi tutti risolti, ttrverso l miling list del corso di Geometri IV durnte l nno ccdemico 2004/2005. Esercizio 1. Dimostrre che se (X, d) è uno spzio metrico nche (X, d ) lo è, dove d = d 1+d. I Voglimo dimostrre che b c ogni volt che + b c. Ponimo = 1 +, b = 1 + b, c = 1 + c per vere dei denomintori un po meno brutti. Ottenimo: b (1 + 1 c ) 0 ogni volt che (occhio che cmbi nche l ipotesi) +b 1 c. N.B: prim,b,c erno 0, or,b,c sono 1. L disuguglinz che voglimo provre divent: c b usndo 1 l ipotesi ci bst dimostrre che 1 + +b b. Quest si riscrive come: +b +b 1 +b b che è ver se e solo se b + b 1 (i numertori sono uguli). M quest è sempre ver, perché dividendo d es per (che è 1) rimne: b 1 + b 1 ovvero b 1 b 1 che è vero perchè 1. II Il grfico dell funzione f(x) = x 1+x è un iperbole, che pss per l origine, con sintoto orizzontle l rett di equzione x = 1 (e sintoto verticle l rett y = 1). Considerimo solo l prte con x positiv. Innnzitutto notimo che se b c llor f() f(b) f(c). Per dimostrre che l disuguglinz tringolre si conserv bst dimostrre che se + b c llor f() + f(b) f(c) (non serve frlo per tutte le combinzioni possibili di,b,c). Considerimo l rett pssnte per f() e per f(b) (per cpirci qulcos è consiglibile fre un disegno), quest srà del tipo y = kx + h, con k e h positivi perché l funzione è crescente e l derivt second è sempre negtiv (o più semplicemente perchè si vede dl disegno) quindi d f() = k+h, f(b) = kb+h, f()+f(b) = k(+b)+2h k( + b) + h kc + h (perchè + b c), m l rett st sopr il grfico di f destr di b, quindi: kc + h f(c) cioé f() + f(b) f(c) che è quello che ci serve. III Dl ftto che f è crescente sui positivi segue: se + b > c llor f( + +b b) > f(c) cioé: +b+1 c c+1 cioé: +b+1 + b +b+1 c c+1. M llor nche +1 + b b+1 c c+1. 1
2 Esercizio 2. Dimostrre o confutre che d(x, y) 0 e d(x, y) = d(y, x), spendo: 1. d(, b) = 0 = b; 2. d(, c) + d(c, b) d(, b), b, c. L tesi è fls. Inftti si X = {, b} con l metric : d(, ) = 0, d(b, b) = 0, d(, b) = 1, d(b, ) = 1 che verific entrmbe le condizioni richieste, m non verific d(x, y) = d(y, x), in più questo non verific nenche l proprietà: d(x, y) 0. Esercizio. Determinre il numero di componenti connesse del seguente insieme: C 2 Y = {x, y C : x y}. Possimo porre Y = R 2 R 2 S, dove C 2 S = {((x, y), (z, w)) : (x, y) = (z, w), x, y, z, w R}. Y è connesso perché è connesso per rchi, inftti per ndre d ((, b), (c, d)) d ((x, y), (z, w)) intuitivmente si può prim tenere fermo (c, d) e muovere in modo continuo (, b) fino (x, y) senz pssre per (c, d). (Questo si può fre se (c, d) (x, y), nel cso ciò non fosse vero prim si spost di un po (c, d) e poi si f l stess cos). Un volt spostto (, b) in (x, y) si spost in modo continuo (c, d) in (z, w) senz pssre per (x, y). Esercizio 4. Un sottoinsieme S di uno spzio topologico X viene detto rro se non possiede punti interni. Dimostrre che un chiuso C in X è rro se e solo è frontier di un qulche perto di X. : Se C è chiuso e rro, llor C è l frontier di X C, che è perto. Dimostrimo innnzi tutto che X C = X. Inftti X X C è il complementre di un chiuso, quindi è perto, m è contenuto in C quindi X X C è vuoto perchè C è rro e non contiene perti diversi dl vuoto. Allor X = X C. Ricordndo che l interno di un perto è l perto stesso si h (X C) = (X C) (X C) = (X C) (X C) = X (X C) = C. : si A perto; si A = A Å = A A = C che è chiuso. Se C non fosse rro llor esisterebbe un punto di C che h un intero intorno contenuto in C, chimimo l perto contenuto in questo intorno I. M 2
3 C è contenuto in A che è il più piccolo chiuso che contiene A. Visto che A contiene A nche A (X I) A (perchè I è contenuto in A A), m A (X I) è un chiuso che contiene A, ed è più piccolo di A. Assurdo. Esercizio 5. Clcolre l crdinlità dell fmigli dei chiusi di R n nell topologi euclide. Si τ l insieme di tutti gli perti di R n. L crdinlità di τ (e quindi dell insieme dei chiusi) è ℵ 1, inftti si h τ ℵ 1 perché l insieme delle bolle di rggio 1 h crdinlità ℵ 1. Per dimostrre che τ ℵ 1, notimo che R n h un topologi bse numerbile (si prend come bse l insieme delle bolle di centro coordinte rzionli e di rggio rzionle) quindi h un bse di crdinlit ℵ 0 d ciò segue che τ ℵ 1, quindi, per qunto detto prim, τ = ℵ 1. Esercizio 6. Un sottoinsieme A di uno spzio topologico X viene detto perfetto se e solo se A = A, dove con A si intende l insieme dei punti di ccumulzione di A (un punto p X viene detto di ccumulzione per A se ogni perto di X contenente p contiene un punto q A con p q). Si provi che ogni sottoinsieme A perfetto di uno spzio topologico X, con X comptto e di Husdorff, non è numerbile. Premettimo un lemm: se {C i } i I, dove I è un rbitrrio insieme di indici, è un fmigli di comptti in uno spzio di Husdorff tle che l intersezione degli elementi di ogni sottofmigli FINITA è non vuot llor l intersezione di tutti gli elementi dell fmigli è non vuot. Useremo libermente il lemm, di cui dremo dimostrzione ll fine. Voglimo usre il lemm in questo modo: supponimo di vere un perfetto numerbile P. Mostrimo che si può costruire un successione di intorni comptti dei punti di P che non verific l tesi del lemm, quindi vremmo trovto l ssurdo. Ordinimo i punti di P in un successione {p n } n N. I punti inftti sono infiniti (bst usre che lo spzio è di husdorff e ogni punto è di ccumulzione). Prendimo p 1 e p 2, esisternno un intorno U 1 di p 1 e un intorno I 2 di p 2 che sono perti e disgiunti perchè P è di Husdorff. Considerimo X U 1 e chimimolo X 1. X 1 è un chiuso (perchè complementre di un perto) in un comptto, quindi X 1 è comptto, ed è di Husdorff. X 1 non contiene p 1 m contiene p 2. Si h 1 il più piccolo indice > 2 tle che p h1 pprteng X 1 (ne esiste 1 perchè X 1 è un intorno di p 2 e p 2 è un punto di ccumulzione). Esistono un intorno U 2 di p 2 e un intorno I h1 di p h1 che sono perti e disgiunti in X. Considerimo X (U 1 U 2 ) e chimimolo X 2. X 2 è chiuso in un comptto, quindi X 2 è comptto, ed è di Husdorff. X 2 non contiene p i per ogni i inferiore d h 1, m contiene
4 p h1. Si h 2 il più piccolo indice > h 1 tle che p h2 pprteng X 2. Esistono (permettetemi un ltr tiriter ltrimenti temo non si cpisc) un intorno U h1 di p h1 e un intorno I h2 di p h2 che sono perti e disgiunti in X. Considerimo X (U 1 U 2 U h1 ) e chimimolo X h1. X h1 è chiuso in un comptto, quindi X h1 è comptto, ed è di Husdorff. X h1 non contiene p i per ogni i inferiore d h 2, m contiene p h2. Or è chiro come si v vnti. Definimo or P, P 1, P 2, P h1, P h2... come intersezione tr X e X, X 1, X 2, X h1, X h2... rispettivmente. L successione P, P 1, P 2, P h1, P h2... è un successione di comptti l uno contenuto dentro l ltro. L intersezione di un numero finito di essi è divers dl vuoto, m l intersezione di tutti i comptti dell successione non contiene nessun p i quindi è vuot. Assurdo perché contrddice il lemm. DIMOSTRAZIONE DEL LEMMA: Si C 1 il primo comptto dell fmigli. Supponimo per ssurdo che nessun punto di C 1 pprteng ll intersezione di tutti i comptti. I comptti sono insiemi chiusi perchè un comptto in uno spzio di Husdorff è chiuso. Quindi se D i è il complementre di C i llor tutti i D i sono perti. Più precismente l unione di tutti i D i è un ricoprimento perto di C 1. Ne estrimo un ricoprimento finito e considerimo i rispettivi C i. Or C 1 ( C i ) srebbe vuoto. M è un intersezione di un numero finito di comptti dell fmigli e non dovrebbe essere vuot. Assurdo. Esercizio 7. Trovre un insieme perfetto P in uno spzio topologico X che non conteng nessun perto di X. Un insieme che h quest proprietà è un insieme molto noto per un ltr proprietà che poi esporrò: si chim INSIEME DI CANTOR, ed è ftto così: dll intervllo [0, 1] si tolg prim l intervllo (1/, 2/), poi per gli intervlli rimnenti (che sono [0, 1/] e [2/, 1]) si fcci un cos simile, cioé si divid l intervllo in tre prti uguli e si tolg quell in mezzo, lscindo gli estremi e si prosegu con l stess operzione infinite volte. Questo insieme è perfetto, è fcile, inftti, vedere che gli unici elementi che rimngono sono del tipo: dove gli i sono o 0 o 2. Quindi se x è un elemento dell insieme preso un qulunque perto contenente x esso conterrà un boll di rggio ɛ centrt in x. Or bst prendere n bbstnz grnde in modo che 2 si minore di ɛ. Or costruimo un punto che bbi lo stesso sviluppo n di x come somm di potenze di, m che differisc d x per l ddendo n. n Possimo ffermre che l distnz tr questo e x è minore di ɛ quindi x non è isolto. Or bst mostrre che l insieme di Cntor è chiuso, m questo è bnle perchè il suo complementre è stto costruito come unione di perti, quindi l INSIEME DI CANTOR è perfetto!. L proprietà di cui prlvo è che l insieme di Cntor è un esempio di insieme di misur null m che h l crdinlità del continuo: per verificre che è di misur null bst clcolrne l lunghezz come 1 (lunghezz di 4
5 tutti i pezzettini che si tolgono) e si trtt di clcolre un semplicissim serie geometric. Or utilizzimo qunto detto prim sullo sviluppo come potenze di : l crdinlità dell insieme è 2 ℵ 0 perchè per ogni i si hnno 2 scelte, quindi l insieme h l crdinlità del continuo. Esercizio 8. Dimostrre che D è denso in X se e solo se per ogni A perto non vuoto di X si h: A D. Esercizio 9. X si dice SEPARABILE se esiste un sottoinsieme di X che è numerbile e denso in X (l su chiusur è tutto X). Dimostrre che se X mmette un bse numerbile llor è seprbile. 5
Il lemma di ricoprimento di Vitali
Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per
Dettagli7. Derivate Definizione 1
7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte
DettagliSUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi
SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.
DettagliIntegrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero
DettagliPOTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
Dettaglisi definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
Dettagli8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.
8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma
INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente
DettagliINTERVALLI NELL INSIEME R
INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"
DettagliSPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali
SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione
DettagliIntegrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.
1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo
DettagliEsercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.
Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,
DettagliErasmo Modica. : K K K
L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce
DettagliFUNZIONI LOGARITMICHE
FUNZIONI LOGARITMICHE Voglimo vedere come dl grfico δ di un funzione y=f(x) si può pssre l grfico δ dell funzione y = f (x). Dobbimo vere ben presente il grfico dell funzione y = x con x R + e con >0,
DettagliANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008
ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli
DettagliMinimi quadrati e problemi di distanza minima
Minimi qudrti e problemi di distnz minim Considerimo un mtrice rettngolre B, con elementi b ij, i 1,..., n, j 1,..., m, con m < n (quindi, più righe che colonne. Voglimo risolvere il sistem linere (1 Bx
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
DettagliPietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale
Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;
DettagliIntegrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.
Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
DettagliFUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI
FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim
DettagliIntegrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie
Dettagli1 Equazioni e disequazioni di secondo grado
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo
Dettagli1 Integrale delle funzioni a scala
INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]
DettagliFUNZIONI IPERBOLICHE
FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,
DettagliMaturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +
DettagliSiano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
DettagliFunzioni a variazione limitata
Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni
Dettagli( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.
Dettaglidr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche
1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici
DettagliEllisse riferita al centro degli assi
Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
DettagliOsserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI
ELEMENTI DI TEORIA DEI NUMERI 1. Richimi di teori Con Z indichimo l insieme dei numeri reltivi. Comincimo con il ricordre l definizione di quoziente e resto dell divisione di due numeri in Z. Definizione
Dettagli26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di
DettagliESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009
ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 Dimetro Algoritmi. Ricordimo che un grfo non orientto, ciclico e connesso è un lero. Un lero può essere pensto come lero rdicto un volt che si si fissto un nodo come
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di
Dettagli1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =
Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml
Dettagli1 COORDINATE CARTESIANE
1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)
DettagliSuccessioni di Funzioni e Serie di Potenze
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un
Dettaglilim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)
Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)
Dettagli5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento
Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in
Dettaglicorrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in
Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino
Dettagli1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata
Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un
DettagliTOPOLOGIA GENERALE. Gianluca Occhetta. e primi elementi di topologia algebrica. Note di
Ginluc Occhett Note di TOOLOGIA GENERALE e primi elementi di topologi lgeric Diprtimento di Mtemtic Università di Trento Vi Sommrive 14 38050 - ovo (TN) Not per l lettur Queste note rccolgono gli rgomenti
DettagliAUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert
DettagliLEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione
LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico
DettagliEquazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi
Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz
DettagliAppunti di Analisi Matematica 1
Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi
DettagliI Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes
I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve
Dettagli{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri
Dettaglifattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio
Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +
DettagliNome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
DettagliDeterminanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler
Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte
DettagliNome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA
Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin
DettagliIl volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro
DettagliCorso di Analisi Matematica. Calcolo integrale
.. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile
DettagliSessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione
DettagliProprietà spettrali degli operatori limitati
Cpitolo 3 Proprietà spettrli degli opertori limitti 3.1 Lo spettro di un opertore limitto Definizione 3.1.1 Si A B(H). Un numero complesso λ pprtiene l risolvente ρ(a) di A se l opertore A λi è invertibile
DettagliSi noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1
APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del
DettagliEsercizi di Geometria
Ginluc Occhett - Elis Tsso Esercizi di Geometri IV unità didttic R R R R R Università di Trento Diprtimento di Mtemtic Vi Sommrive 14 38050 - ovo (TN) Indice 1 Topologi generle.............................................
DettagliLiceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ
Dettagli1 Espressioni polinomiali
1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono
DettagliIntegrale definito. Introduzione: il problema delle aree
Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,
DettagliStrumenti Matematici per la Fisica
Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr
DettagliSerie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1
Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione
DettagliMoto in due dimensioni
INGEGNERIA GESTIONALE corso di Fisic Generle Prof. E. Puddu LEZIONE DEL 24 SETTEMBRE 2008 Moto in due dimensioni Spostmento e velocità Posizione e spostmento L posizione di un punto mterile nel pino è
DettagliLICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO
LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici
DettagliEquivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali
Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt
DettagliCORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato
Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls
DettagliScheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le
Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:
DettagliAnalisi matematica. Materiale didattico
Anlisi mtemtic. Mterile didttico Lure triennle F.A.I. Rimini 7 ottobre 23 Indice Linguggio, funzioni elementri 2. Il linguggio degli insiemi.................................... 2.2 Numeri reli, vlore ssoluto,
DettagliArea del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.
DettagliDifferenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
DettagliLa parabola con asse parallelo all ady
L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin
DettagliIntegrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
Dettagli2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
DettagliProiettività della Retta e del Piano.
Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo
DettagliPrincipi di economia Microeconomia. Esercitazione 3. Teoria del Consumatore
Principi di economi Microeconomi Esercitzione 3 Teori del Consumtore Novembre 1 1. Considerimo uno studente indifferente tr il consumo di penne nere (x n ) e blu (x b ), e che cquist ogni nno un pniere
Dettagliacuradi Luca Cabibbo e Walter Didimo Esercizi di Informatica teorica - Luca Cabibbo e Walter Didimo 1
curdi Luc Cio e Wlter Didimo Esercizi di Informtic teoric - Luc Cio e Wlter Didimo 1 espressioni regolri e grmmtiche regolri proprietà decidiili dei linguggi regolri teorem di Myhill-Nerode notzioni sul
DettagliAppunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace
Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................
DettagliLa parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.
L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice
Dettagli3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
DettagliEquazioni parametriche di primo grado
Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,
DettagliUnità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI
ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con
DettagliMATEMATICA Classe Prima
Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi
DettagliGianluca Occhetta. Note di Geometria. IV unità didattica. Università di Trento Dipartimento di Matematica Via Sommarive Povo (TN)
Ginluc Occhett Note di Geometri IV unità didttic Università di Trento Diprtimento di Mtemtic Vi Sommrive 14 38050 - ovo (TN) refzione Le presenti note rissumono gli rgomenti trttti nel corso di Geometri
DettagliLezione 1 Insiemi e numeri
Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi
DettagliB8. Equazioni di secondo grado
B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere
DettagliNome..Cognome.classe 4C 7 Maggio Verifica di Matematica
Noe..Cognoe.clsse 4C 7 Mggio Verific di Mtetic PROBLEMA ( punti In un tringolo ABC il lto BC isur e l ngolo opposto è di. Deterinre in funzione dell piezz di ABC ˆ CH l ndento di f ( essendo CH e bisettrici
DettagliSeconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico
Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione
DettagliTEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY
TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni
Dettagli1 Integrali impropri di funzioni continue
ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in
DettagliLa dimostrazione per assurdo
L dimostrzione per ssurdo L dimostrzione per ssurdo in mtemtic è uno strumento utile per dimostrre certi teoremi. Ess procede secondo i seguenti pssi: 1. Si suppone che il teorem si flso. Si f vedere,
DettagliDeterminanti. Prodotto vettoriale. Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it I erminnti. Il prodotto vettorile. 11 Gennio 2016 Indice 1 Determinnti di mtrici 2 2 2 1.1 Clcolo del erminnte.
DettagliEsercizi su spazi ed operatori lineari
Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni
Dettagli