Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d =

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1 I seguenti esercizi sono stti proposti, e qusi tutti risolti, ttrverso l miling list del corso di Geometri IV durnte l nno ccdemico 2004/2005. Esercizio 1. Dimostrre che se (X, d) è uno spzio metrico nche (X, d ) lo è, dove d = d 1+d. I Voglimo dimostrre che b c ogni volt che + b c. Ponimo = 1 +, b = 1 + b, c = 1 + c per vere dei denomintori un po meno brutti. Ottenimo: b (1 + 1 c ) 0 ogni volt che (occhio che cmbi nche l ipotesi) +b 1 c. N.B: prim,b,c erno 0, or,b,c sono 1. L disuguglinz che voglimo provre divent: c b usndo 1 l ipotesi ci bst dimostrre che 1 + +b b. Quest si riscrive come: +b +b 1 +b b che è ver se e solo se b + b 1 (i numertori sono uguli). M quest è sempre ver, perché dividendo d es per (che è 1) rimne: b 1 + b 1 ovvero b 1 b 1 che è vero perchè 1. II Il grfico dell funzione f(x) = x 1+x è un iperbole, che pss per l origine, con sintoto orizzontle l rett di equzione x = 1 (e sintoto verticle l rett y = 1). Considerimo solo l prte con x positiv. Innnzitutto notimo che se b c llor f() f(b) f(c). Per dimostrre che l disuguglinz tringolre si conserv bst dimostrre che se + b c llor f() + f(b) f(c) (non serve frlo per tutte le combinzioni possibili di,b,c). Considerimo l rett pssnte per f() e per f(b) (per cpirci qulcos è consiglibile fre un disegno), quest srà del tipo y = kx + h, con k e h positivi perché l funzione è crescente e l derivt second è sempre negtiv (o più semplicemente perchè si vede dl disegno) quindi d f() = k+h, f(b) = kb+h, f()+f(b) = k(+b)+2h k( + b) + h kc + h (perchè + b c), m l rett st sopr il grfico di f destr di b, quindi: kc + h f(c) cioé f() + f(b) f(c) che è quello che ci serve. III Dl ftto che f è crescente sui positivi segue: se + b > c llor f( + +b b) > f(c) cioé: +b+1 c c+1 cioé: +b+1 + b +b+1 c c+1. M llor nche +1 + b b+1 c c+1. 1

2 Esercizio 2. Dimostrre o confutre che d(x, y) 0 e d(x, y) = d(y, x), spendo: 1. d(, b) = 0 = b; 2. d(, c) + d(c, b) d(, b), b, c. L tesi è fls. Inftti si X = {, b} con l metric : d(, ) = 0, d(b, b) = 0, d(, b) = 1, d(b, ) = 1 che verific entrmbe le condizioni richieste, m non verific d(x, y) = d(y, x), in più questo non verific nenche l proprietà: d(x, y) 0. Esercizio. Determinre il numero di componenti connesse del seguente insieme: C 2 Y = {x, y C : x y}. Possimo porre Y = R 2 R 2 S, dove C 2 S = {((x, y), (z, w)) : (x, y) = (z, w), x, y, z, w R}. Y è connesso perché è connesso per rchi, inftti per ndre d ((, b), (c, d)) d ((x, y), (z, w)) intuitivmente si può prim tenere fermo (c, d) e muovere in modo continuo (, b) fino (x, y) senz pssre per (c, d). (Questo si può fre se (c, d) (x, y), nel cso ciò non fosse vero prim si spost di un po (c, d) e poi si f l stess cos). Un volt spostto (, b) in (x, y) si spost in modo continuo (c, d) in (z, w) senz pssre per (x, y). Esercizio 4. Un sottoinsieme S di uno spzio topologico X viene detto rro se non possiede punti interni. Dimostrre che un chiuso C in X è rro se e solo è frontier di un qulche perto di X. : Se C è chiuso e rro, llor C è l frontier di X C, che è perto. Dimostrimo innnzi tutto che X C = X. Inftti X X C è il complementre di un chiuso, quindi è perto, m è contenuto in C quindi X X C è vuoto perchè C è rro e non contiene perti diversi dl vuoto. Allor X = X C. Ricordndo che l interno di un perto è l perto stesso si h (X C) = (X C) (X C) = (X C) (X C) = X (X C) = C. : si A perto; si A = A Å = A A = C che è chiuso. Se C non fosse rro llor esisterebbe un punto di C che h un intero intorno contenuto in C, chimimo l perto contenuto in questo intorno I. M 2

3 C è contenuto in A che è il più piccolo chiuso che contiene A. Visto che A contiene A nche A (X I) A (perchè I è contenuto in A A), m A (X I) è un chiuso che contiene A, ed è più piccolo di A. Assurdo. Esercizio 5. Clcolre l crdinlità dell fmigli dei chiusi di R n nell topologi euclide. Si τ l insieme di tutti gli perti di R n. L crdinlità di τ (e quindi dell insieme dei chiusi) è ℵ 1, inftti si h τ ℵ 1 perché l insieme delle bolle di rggio 1 h crdinlità ℵ 1. Per dimostrre che τ ℵ 1, notimo che R n h un topologi bse numerbile (si prend come bse l insieme delle bolle di centro coordinte rzionli e di rggio rzionle) quindi h un bse di crdinlit ℵ 0 d ciò segue che τ ℵ 1, quindi, per qunto detto prim, τ = ℵ 1. Esercizio 6. Un sottoinsieme A di uno spzio topologico X viene detto perfetto se e solo se A = A, dove con A si intende l insieme dei punti di ccumulzione di A (un punto p X viene detto di ccumulzione per A se ogni perto di X contenente p contiene un punto q A con p q). Si provi che ogni sottoinsieme A perfetto di uno spzio topologico X, con X comptto e di Husdorff, non è numerbile. Premettimo un lemm: se {C i } i I, dove I è un rbitrrio insieme di indici, è un fmigli di comptti in uno spzio di Husdorff tle che l intersezione degli elementi di ogni sottofmigli FINITA è non vuot llor l intersezione di tutti gli elementi dell fmigli è non vuot. Useremo libermente il lemm, di cui dremo dimostrzione ll fine. Voglimo usre il lemm in questo modo: supponimo di vere un perfetto numerbile P. Mostrimo che si può costruire un successione di intorni comptti dei punti di P che non verific l tesi del lemm, quindi vremmo trovto l ssurdo. Ordinimo i punti di P in un successione {p n } n N. I punti inftti sono infiniti (bst usre che lo spzio è di husdorff e ogni punto è di ccumulzione). Prendimo p 1 e p 2, esisternno un intorno U 1 di p 1 e un intorno I 2 di p 2 che sono perti e disgiunti perchè P è di Husdorff. Considerimo X U 1 e chimimolo X 1. X 1 è un chiuso (perchè complementre di un perto) in un comptto, quindi X 1 è comptto, ed è di Husdorff. X 1 non contiene p 1 m contiene p 2. Si h 1 il più piccolo indice > 2 tle che p h1 pprteng X 1 (ne esiste 1 perchè X 1 è un intorno di p 2 e p 2 è un punto di ccumulzione). Esistono un intorno U 2 di p 2 e un intorno I h1 di p h1 che sono perti e disgiunti in X. Considerimo X (U 1 U 2 ) e chimimolo X 2. X 2 è chiuso in un comptto, quindi X 2 è comptto, ed è di Husdorff. X 2 non contiene p i per ogni i inferiore d h 1, m contiene

4 p h1. Si h 2 il più piccolo indice > h 1 tle che p h2 pprteng X 2. Esistono (permettetemi un ltr tiriter ltrimenti temo non si cpisc) un intorno U h1 di p h1 e un intorno I h2 di p h2 che sono perti e disgiunti in X. Considerimo X (U 1 U 2 U h1 ) e chimimolo X h1. X h1 è chiuso in un comptto, quindi X h1 è comptto, ed è di Husdorff. X h1 non contiene p i per ogni i inferiore d h 2, m contiene p h2. Or è chiro come si v vnti. Definimo or P, P 1, P 2, P h1, P h2... come intersezione tr X e X, X 1, X 2, X h1, X h2... rispettivmente. L successione P, P 1, P 2, P h1, P h2... è un successione di comptti l uno contenuto dentro l ltro. L intersezione di un numero finito di essi è divers dl vuoto, m l intersezione di tutti i comptti dell successione non contiene nessun p i quindi è vuot. Assurdo perché contrddice il lemm. DIMOSTRAZIONE DEL LEMMA: Si C 1 il primo comptto dell fmigli. Supponimo per ssurdo che nessun punto di C 1 pprteng ll intersezione di tutti i comptti. I comptti sono insiemi chiusi perchè un comptto in uno spzio di Husdorff è chiuso. Quindi se D i è il complementre di C i llor tutti i D i sono perti. Più precismente l unione di tutti i D i è un ricoprimento perto di C 1. Ne estrimo un ricoprimento finito e considerimo i rispettivi C i. Or C 1 ( C i ) srebbe vuoto. M è un intersezione di un numero finito di comptti dell fmigli e non dovrebbe essere vuot. Assurdo. Esercizio 7. Trovre un insieme perfetto P in uno spzio topologico X che non conteng nessun perto di X. Un insieme che h quest proprietà è un insieme molto noto per un ltr proprietà che poi esporrò: si chim INSIEME DI CANTOR, ed è ftto così: dll intervllo [0, 1] si tolg prim l intervllo (1/, 2/), poi per gli intervlli rimnenti (che sono [0, 1/] e [2/, 1]) si fcci un cos simile, cioé si divid l intervllo in tre prti uguli e si tolg quell in mezzo, lscindo gli estremi e si prosegu con l stess operzione infinite volte. Questo insieme è perfetto, è fcile, inftti, vedere che gli unici elementi che rimngono sono del tipo: dove gli i sono o 0 o 2. Quindi se x è un elemento dell insieme preso un qulunque perto contenente x esso conterrà un boll di rggio ɛ centrt in x. Or bst prendere n bbstnz grnde in modo che 2 si minore di ɛ. Or costruimo un punto che bbi lo stesso sviluppo n di x come somm di potenze di, m che differisc d x per l ddendo n. n Possimo ffermre che l distnz tr questo e x è minore di ɛ quindi x non è isolto. Or bst mostrre che l insieme di Cntor è chiuso, m questo è bnle perchè il suo complementre è stto costruito come unione di perti, quindi l INSIEME DI CANTOR è perfetto!. L proprietà di cui prlvo è che l insieme di Cntor è un esempio di insieme di misur null m che h l crdinlità del continuo: per verificre che è di misur null bst clcolrne l lunghezz come 1 (lunghezz di 4

5 tutti i pezzettini che si tolgono) e si trtt di clcolre un semplicissim serie geometric. Or utilizzimo qunto detto prim sullo sviluppo come potenze di : l crdinlità dell insieme è 2 ℵ 0 perchè per ogni i si hnno 2 scelte, quindi l insieme h l crdinlità del continuo. Esercizio 8. Dimostrre che D è denso in X se e solo se per ogni A perto non vuoto di X si h: A D. Esercizio 9. X si dice SEPARABILE se esiste un sottoinsieme di X che è numerbile e denso in X (l su chiusur è tutto X). Dimostrre che se X mmette un bse numerbile llor è seprbile. 5

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