Circuiti elettrici in regime stazionario

Transcript

1 rcut elettrc n regme stazonaro Metod d anals ersone del Premessa Nel caso pù generale è possble ottenere la soluzone d un crcuto rsolendo un sstema formato dalle equazon de component e dalle equazon de collegament Il sstema ha dmenson relatamente grand anche nel caso d crcut semplc Se le equazon sono formulate n modo opportuno, è possble defnre delle procedure sstematche per rdurre le dmenson del problema medante sosttuzon d arabl Il sstema rdotto può essere scrtto drettamente, senza esegure materalmente le sosttuzon

2 Metodo delle magle: potes su component S assume che cascun componente sa rconducble a un caso partcolare del bpolo rappresentato n fgura Il bpolo può essere costtuto da un solo resstore un solo generatore ndpendente d tensone un generatore ndpendente d tensone con un resstore n sere un generatore ndpendente d corrente con un resstore n parallelo che può essere trasformato nel bpolo rappresentato n fgura Tutt component del crcuto sono comandat n corrente Le equazon d tutt component sono cas partcolar dell equazone k k k k Metodo delle magle: equazon del crcuto rcuto con l lat e n nod S scegle n modo arbtraro un albero del crcuto LKV: s scrono le l n equazon delle magle fondamental assocate a lat d coalbero LKI: s esprmono le n corrent de lat dell albero n funzone delle l n corrent de lat d coalbero corrent d magla omponent: l equazon del tpo k k k k Sstema d l equazon nelle l ncognte k, k k,..., l

3 Metodo delle magle: rduzone del sstema rsolente LKI Equazon de omponent LKV Nelle equazon de component s sosttuscono le corrent de lat con le loro espresson n funzone delle corrent d magla Nelle equazon delle magle s sosttuscono le tenson de lat con le loro espresson fornte dalle equazon de component Sstema d l n equazon delle magle fondamental n l n ncognte corrent d magla In pratca non occorre esegure le sosttuzon: le equazon del sstema rsolente hanno una struttura partcolare che consente d screrle drettamente Metodo delle magle: esempo rcuto rafo S scegle un albero de crcuto S orentano le magle fondamental n senso concorde con l loro lato caratterstco

4 Metodo delle magle: esempo LKV Magla : 0 Magla : 0 Magla : 0 LKI Taglo : Taglo : Taglo : 7 Metodo delle magle: esempo Equazon de component 8

5 Metodo delle magle: esempo Nelle equazon de component s esprmono le corrent de lat dell albero n funzone delle corrent d magla 9 Metodo delle magle: esempo S nserscono le espresson delle tenson nelle equazon delle magle = 0 0 0

6 Metodo delle magle: esempo Sstema rsolente = Propretà dell equazone della magla k oeffcente della corrente k : somma delle resstenze de lat contenut nella magla k resstenza propra della magla k oeffcente della corrente h h k: somma delle resstenze de lat comun alle magle h e k resstenza mutua delle magle h e k con segno se ne lat comun ers delle corrent d magla h e k sono concord se ne lat comun ers delle corrent d magla h e k sono dscord Termne noto: somma algebrca delle tenson de generator contenut nella magla k con segno se la corrente d magla k attraersa l generatore dal termnale negato al termnale posto se la corrente d magla k attraersa l generatore dal termnale posto al termnale negato

7 Propretà dell equazone della magla k L equazone esprme l fatto che la somma algebrca delle tenson de resstor della magla k dee essere uguale e opposta alla somma algebrca delle tenson de generator prmo membro compaono le tenson de resstor espresse come somme algebrche d contrbut dout alle corrent d magla La corrente d magla k attraersa tutt resstor della magla k e dà luogo, nel resstore j, a una tensone j k che è sempre concorde con l erso della magla La corrente d magla h h k attraersa resstor comun alle magle h e k e dà luogo, nel resstore j, a una tensone j h che è concorde o dscorde col erso della magla k a seconda che la corrente h sa concorde o dscorde col erso della magla k secondo membro, le tenson de generator anno nserte con conenzone opposta a quella utlzzata per le tenson de resstor a prmo membro Segn de termn nell equazone della magla k membro membro ontrbuto posto a tot ontrbuto posto a tot ontrbuto negato a tot ontrbuto negato a tot ontrbuto posto a tot

8 Metodo delle magle: replogo S scegle un albero e s nddua un nseme d magle fondamental che engono orentate n senso concorde co lat caratterstc Utlzzando le propretà delle equazon delle magle, s scre l sstema rsolente: l n equazon delle magle fondamental ncognte: le l n corrent d magla solendo l sstema s determnano le corrent d magla Medante la LKI s determnano le corrent de lat somme algebrche d corrent d magla Medante le equazon de component s determnano le tenson de lat Metodo de nod: potes su component S assume che cascun componente sa rconducble a un caso partcolare del bpolo rappresentato n fgura Il bpolo può essere costtuto da un solo resstore un solo generatore ndpendente d corrente un generatore ndpendente d corrente con un resstore n parallelo un generatore ndpendente d tensone con un resstore n sere che può essere trasformato nel bpolo rappresentato n fgura Tutt component del crcuto sono comandat n tensone Le equazon d tutt component sono cas partcolar dell equazone k k k k

9 Metodo de nod: equazon del crcuto rcuto con l lat e n nod S scegle n modo arbtraro un nodo d rfermento LKI: s scrono le equazon degl n nod ders dal nodo d rfermento LKV: s esprmono le l tenson de lat n funzone delle n tenson de nod rspetto al nodo d rfermento tenson d nodo: j j,..., n omponent: l equazon del tpo: k k k k Sstema d l + n equazon nelle l + n ncognte k, k k,..., l e j j,..., n 7 Metodo de nod: rduzone del sstema rsolente LKV Equazon de omponent LKI Nelle equazon de component s sosttuscono le tenson de lat con le loro espresson n funzone delle tenson d nodo Nelle equazon de nod s sosttuscono le corrent de lat con le loro espresson fornte dalle equazon de component Sstema d n equazon de nod ders dal nodo d rfermento n n ncognte tenson d nodo In pratca non occorre esegure le sosttuzon: le equazon del sstema rsolente hanno una struttura partcolare che consente d screrle drettamente 8

10 Metodo de nod: esempo S scegle un nodo d rfermento S scrono le equazon de nod ders dal nodo d rfermento s attrbusce segno alle corrent uscent da nod S esprmono le tenson de lat n funzone delle tenson d nodo 9 Metodo de nod: esempo LKI Nodo : 0 Nodo : 0 Nodo : 0 LKV 0

11 Metodo de nod: esempo Equazon de component Metodo de nod: esempo Nelle equazon de component s esprmono le tenson de lat n funzone delle tenson d nodo

12 Metodo de nod: esempo S nserscono le espresson delle corrent nelle equazon d nodo : 0 : 0 : Metodo de nod: esempo Sstema rsolente

13 Propretà dell equazone del nodo k oeffcente della tensone k : somma delle conduttanze de lat afferent al nodo k conduttanza propra del nodo k oeffcente della tensone h h k: somma delle conduttanze de lat che collegano nod h e k conduttanza mutua de nod h e k con segno Termne noto: somma algebrca delle corrent de generator collegat al nodo k con segno se la corrente del generatore entra nel nodo k se la corrente del generatore esce dal nodo k Propretà dell equazone del nodo k L equazone esprme l fatto che la corrente totale che esce dal nodo k attraerso resstor dee essere uguale alla corrente totale che entra nel nodo attraerso generator prmo membro compaono le corrent de resstor, espresse n funzone delle tenson d nodo La corrente uscente dal nodo k attraerso un resstore j che collega l nodo k al nodo h è j k h Per cascuno de resstor collegat al nodo k la tensone del nodo k fornsce un contrbuto posto j k la tensone dell altro nodo h a cu è collegato l resstore fornsce un contrbuto negato j k secondo membro, le corrent de generator anno nserte con conenzone opposta a quella utlzzata per le corrent de resstor a prmo membro qund s attrbusce segno alle corrent entrant

14 Segn de contrbut delle tenson d nodo Equazone del nodo Indpendentemente da ers delle corrent de lat tutt contrbut d sono post contrbut delle altre tenson d nodo sono negat 7 Metodo de nod: replogo S scegle un nodo d rfermento Utlzzando le propretà delle equazon de nod, s scre l sstema rsolente: n equazon de nod ders dal nodo d rfermento ncognte: le n tenson d nodo solendo l sstema s determnano le tenson d nodo Medante la LKV s determnano le tenson de lat dfferenze tra tenson d nodo Medante le equazon de component s determnano le corrent de lat 8

15 Metodo degl anell o metodo d Maxwell rcuto con l lat e n nod LKV: s scrono le l n equazon degl anell ntern assumendo per tutt gl anell ers d percorrenza orentat nello stesso senso S assoca una corrente d anello a cascuno degl anell ntern con erso d rfermento concdente con l erso d percorrenza dell anello: j j,..., l n LKI: s esprmono le l corrent de lat n funzone delle l n corrent d anello omponent: s fanno le stesse potes consderate nel metodo delle magle component comandat n corrente l equazon del tpo k k k k Sstema d l n equazon nelle l n ncognte k, k k,..., l e j j,..., l n 9 Metodo degl anell: rduzone del sstema rsolente LKI Equazon de omponent LKV Il procedmento d rduzone è analogo a quello mpegato nel metodo delle magle Nelle equazon de component s sosttuscono le corrent con le loro espresson n funzone delle corrent d anello Nelle equazon degl anell s sosttuscono le tenson de lat con le loro espresson fornte dalle equazon de component Sstema d l n equazon degl anell ntern n l n ncognte corrent d anello 0

16 Metodo degl anell: esempo S assegnano ers d percorrenza nello stesso senso a tutt gl anell ntern d ogn anello nterno ene assocata una corrente Metodo degl anell: esempo LKV nello a: 0 nello b: 0 nello c: 0 LKI a b a c b b c c a

17 Metodo degl anell: esempo Equazon de component Metodo degl anell: esempo Nelle equazon de component s esprmono le corrent n funzone delle corrent d anello a b a c b b c c a a b a c b b c c a

18 Metodo degl anell: esempo S nserscono le espresson delle tenson nelle equazon degl anell a b a c b b c c a a: 0 a b a a c 0 a b c b: 0 b a b b c 0 a b c = c: 0 b c a c c 0 a b c Metodo degl anell: esempo Sstema rsolente a b c a b c = a b c

19 Propretà dell equazone dell anello k oeffcente della corrente k : somma delle resstenze de lat contenut nell anello k resstenza propra dell anello k oeffcente della corrente h h k: somma delle resstenze de lat comun agl anell h e k resstenza mutua degl anell h e k con segno Termne noto: somma algebrca delle tenson de generator contenut nell anello k con segno se la corrente d anello k attraersa l generatore dal termnale negato al termnale posto se la corrente d anello k attraersa l generatore dal termnale posto al termnale negato 7 Propretà dell equazone dell anello k L equazone esprme l fatto che la somma algebrca delle tenson de resstor dell anello k dee essere uguale e opposta alla somma algebrca delle tenson de generator prmo membro compaono le tenson de resstor espresse come somme algebrche d contrbut dout alle corrent d anello La corrente d anello k attraersa tutt resstor dell anello k e dà luogo, nel resstore j, a una tensone j k che è sempre concorde con l erso dell anello k La corrente d anello h h k attraersa resstor comun agl anell h e k e dà luogo, nel resstore j, a una tensone j h che è dscorde con l erso dell anello k ne lat comun ers delle due corrent d anello sono sempre oppost tra loro secondo membro, le tenson de generator anno nserte con conenzone opposta a quella utlzzata per le tenson de resstor a prmo membro 8

20 Segn de contrbut delle corrent d anello Equazone dell anello a 0 a 0 0 Indpendentemente da ers de lat tutt contrbut d a sono post contrbut delle altre corrent d anello sono negat b a c a b c 9 Metodo degl anell: replogo S dsegna lo schema del crcuto n modo che lat non s ntersechno e s ndduano gl anell E possble, entro cert lmt, sceglere qual magle hanno l ruolo d anell dsegnando l crcuto n modo opportuno Utlzzando le propretà delle equazon degl anell, s scre l sstema rsolente: l n equazon degl anell ntern ncognte: le l n corrent d anello solendo l sstema s determnano le corrent d anello Medante la LKI s determnano le corrent de lat dfferenze tra corrent d anello Medante le equazon de component s determnano le tenson de lat 0

21 Magle d generator d tensone La presenza n un crcuto d magle formate da generator d tensone non è ammessa Se le tenson de generator sono scelte n modo arbtraro, n generale per la magla d generator non è rspettata la LKV crcuto assurdo Se alor delle tenson de generator soddsfano la LKV, la corrente assocata alla magla d generator può aere alore arbtraro crcuto ndetermnato Se lat costtut da generator d tensone non possono formare magle, è sempre possble ndduare un albero che contene tutt generator d tensone In un crcuto con l lat e n nod, lat costtut da generator d tensone possono essere al massmo n Esempo S assume che le tenson de generator soddsfno la LKV Data una soluzone d questo crcuto, se ene alterata la corrente d questa magla cambano solo le corrent de generator d tensone S ottene un altra soluzone alda per questo crcuto Il crcuto ammette nfnte soluzon

22 Tagl d generator d corrente La presenza n un crcuto d tagl format da generator d corrente non è ammessa Se le corrent de generator sono scelte n modo arbtraro, n generale per l taglo d generator non è rspettata la LKI crcuto assurdo Se alor delle corrent de generator soddsfano la LKI, la tensone assocata al taglo d generator può aere alore arbtraro crcuto ndetermnato Se lat costtut da generator d corrente non possono formare tagl, è sempre possble ndduare un albero che non contene nessun generatore d corrente E possble dsporre tutt generator d corrente nel coalbero In un crcuto con l lat e n nod, lat costtut da generator d corrente possono essere al massmo l n Esempo S assume che le corrent de generator soddsfno la LKI Data una soluzone d questo crcuto, se ene alterata la tensone d questo taglo cambano solo le tenson de generator d corrente S ottene un altra soluzone alda per questo crcuto Il crcuto ammette nfnte soluzon

23 Metod delle magle, degl anell e de nod per crcut con generator dpendent S scrono le equazon trattando generator dpendent come se fossero ndpendent, coè trattando le loro tenson o corrent ncognte come quanttà note Il sstema così ottenuto contene delle arabl n eccesso, rappresentate dalle tenson o dalle corrent che plotano generator dpendent Per elmnare queste arabl s determnano le loro espresson n funzone delle corrent d magla o d anello o delle tenson d nodo utlzzando le legg d Krchhoff e, eentualmente, le equazon de component Esempo: metodo delle magle Magla : Magla : Magla : r r 0 r 0

24 7 Esempo: metodo degl anell c b c b a b a r c c b nello a: nello b: nello c: 0 0 c b c b a c b a r r 8 Esempo: metodo de nod g g 0 g g g g Nodo : Nodo : Nodo :

25 Metod d anals modfcat Il metodo delle magle e l metodo degl anell rchedono che per tutt component sa possble esprmere la tensone n funzone della corrente component comandat n corrente non sono applcabl a crcut contenent lat costtut da generator d corrente Il metodo de nod rchede che per tutt component sa possble esprmere la corrente n funzone della tensone component comandat n tensone non è applcable a crcut contenent lat costtut da generator d tensone 9 Metod d anals modfcat E possble defnre erson generalzzate de metod delle magle, degl anell e de nod che consentono d trattare crcut contenent sa component comandat n corrente sa component comandat n tensone In generale questo rchede d ntrodurre nel sstema rsolente delle ncognte auslare tenson de component non comandat n corrente per metod delle magle e degl anell corrent de component non comandat n tensone per l metodo de nod E necessaro aggungere al sstema rsolente un numero d equazon auslare par al numero delle ncognte auslare 0

26 Metodo delle magle modfcato per crcut con generator d corrente Le tenson de lat costtut da generator d corrente non possono essere espresse n funzone delle corrent d magla queste tenson compaono come ncognte auslare nel sstema rsolente Le equazon che esprmono le corrent de generator d corrente n funzone delle corrent d magla non sono utlzzate per rdurre l sstema rsolente deono essere ncluse nel sstema rsolente come equazon auslare Per ogn lato costtuto da un generatore d corrente l sstema rsolente contene un ncognta e un equazone n pù Metodo delle magle modfcato per crcut con generator d corrente Il sstema rsolente s modfca nel modo seguente: Nell equazone d ogn magla che contene lat costtut da generator d corrente, a prmo membro compaono anche le tenson d quest generator con segno + se l erso della magla è dretto dal termnale posto a quello negato con segno se l erso della magla è dretto dal termnale negato a quello posto Per ogn lato costtuto da un generatore d corrente, al sstema a aggunta un equazone auslara ottenuta esprmendo la corrente del generatore come combnazone d corrent d magla

27 Esempo 0 Magla : Magla : Magla : Taglo : Equazone auslara Varable auslara,,, Esempo

28 Metodo delle magle modfcato ersone semplfcata E' possble rdurre le dmenson del sstema rsolente nserendo tutt lat costtut da generator d corrente nel coalbero Le corrent delle magle che hanno un generatore d corrente come lato caratterstco sono note Le tenson de lat costtut da generator d corrente compaono cascuna n una sola equazone Le equazon delle magle che hanno un generatore d corrente come lato caratterstco possono essere escluse dal sstema rsolente Medante queste equazon s possono calcolare le tenson de generator dopo aer determnato le altre ncognte Ogn lato costtuto da un generatore d corrente consente d elmnare un ncognta e un equazone Esempo S scegle un albero che non contene l lato La corrente d magla concde con S esclude l equazone della magla S formula un sstema d equazon magle e n ncognte e Note le altre tenson e corrent, s usa l equazone della magla per calcolare

29 7 Esempo, Magla : Magla : 8 Esempo Magla :

30 Metodo de nod modfcato per crcut con generator d tensone Le corrent de lat costtut da generator d tensone non possono essere espresse n funzone delle tenson d nodo queste corrent compaono come ncognte auslare nel sstema rsolente Le equazon che esprmono le tenson de generator d tensone n funzone delle tenson d nodo non sono utlzzate per rdurre l sstema rsolente deono essere ncluse nel sstema rsolente come equazon auslare Per ogn lato costtuto da un generatore d tensone l sstema rsolente contene un ncognta e un equazone n pù 9 Metodo de nod modfcato per crcut con generator d tensone Il sstema rsolente s modfca nel modo seguente: Nell equazone d ogn nodo collegato a lat costtut da generator d tensone, a prmo membro compaono anche le corrent d quest generator con segno + se l erso della corrente è uscente dal nodo con segno se l erso della corrente è entrante Per ogn lato costtuto da un generatore d tensone, al sstema a aggunta un equazone auslara ottenuta esprmendo la tensone del generatore come combnazone d tenson d nodo 0

31 Metodo de nod modfcato per crcut con generator d tensone E' possble rdurre le dmenson del sstema rsolente se uno de termnal d un generatore concde con l nodo d rfermento La tensone dell altro nodo termnale del generatore è nota Le corrent de generator d tensone collegat al nodo d rfermento compaono cascuna n una sola equazone Le equazon de nod collegat al nodo d rfermento da un generatore d tensone possono essere escluse dal sstema rsolente Medante queste equazon s possono calcolare le corrent de generator dopo aer determnato le altre ncognte Ogn generatore d tensone collegato al nodo d rfermento consente d elmnare un ncognta e un equazone Esempo S scegle come rfermento l nodo E La tensone d nodo concde con S esclude l equazone del nodo Note le altre tenson e corrent, s usa l equazone del nodo per calcolare

32 Esempo Il generatore non ha termnal collegat al nodo d rfermento La corrente rappresenta un ncognta auslara S dee aggungere un equazone auslara esprmendo n funzone delle tenson d nodo S ottene un sstema d equazon n ncognte Esempo 8 D D Nodo : Nodo : Nodo D: Equazone auslara Varable auslara

33 Esempo 8 D D 7 0 D,,, Esempo D 8 7 D D Nodo :

34 Supernod La corrente d un generatore d tensone non collegato al nodo d rfermento compare come ncognta auslara, con segn oppost, nelle due equazon de nod termnal E possble elmnare l ncognta auslara sosttuendo le due equazon con l equazone ottenuta medante la loro somma membro a membro In questo modo s ottene l equazone del taglo defnto da lat che collegano termnal del generatore d tensone agl altr nod del crcuto questo taglo ene anche dato l nome d supernodo Determnate le altre ncognte, medante una delle due equazon d nodo che sono state combnate per ottenere l equazone del supernodo, è possble calcolare la corrente del generatore 7 Esempo Supernodo -: Nodo D: Eq. auslara: D 7 8 D,, D s può calcolare con l equazone + nodo o 7 nodo 8

35 9 Supernod Il procedmento può essere esteso al caso d pù nod collegat tra d loro medante generator d tensone S possono aere supernod che ncludono pù d due nod ome caso partcolare, può accadere che un supernodo ncluda anche l nodo d rfermento Le tenson d tutt nod nclus nel supernodo possono essere calcolate drettamente E possble elmnare queste ncognte dal sstema e qund non occorre ntrodurre le equazon auslare 70 Esempo 0 0 D 8 D D 8 D, D Le tenson de nod e possono essere calcolate drettamente Le equazon de nod e engono escluse dal sstema rsolente

36 Equazone d un supernodo S può faclmente erfcare che nell equazone d un supernodo ascuna delle tenson de nod ntern ha un coeffcente posto, dato dalla somma delle conduttanze de lat che collegano l nodo n questone con nod estern ascuna delle tenson de nod estern al supernodo ha un coeffcente negato, dato dalla somma delle conduttanze de lat che collegano l nodo a nod ntern Il termne noto è dato dalla somma algebrca delle corrent de generator d corrente collegat tra un nodo nterno e un nodo esterno on segno + se la corrente entra nel supernodo on segno se esce E mportante notare che le corrent de component collegat tra due nod ntern non compaono nell equazone del supernodo 7 Esempo Supernodo --: Nodo D: Nodo F: Equazon auslare: D D F F 8 7

37 Metodo degl anell modfcato per crcut con generator d corrente Se l crcuto contene lat costtut da generator d corrente, quando s applca l metodo degl anell Le tenson d quest generator compaono nelle equazon degl anell come arabl auslare Occorre ntrodurre per cascun generatore un equazone auslara, che s ottene esprmendo la corrente del generatore n funzone delle corrent d anello Le dmenson del sstema rsolente s rducono se un generatore d corrente fa parte dell anello esterno La corrente dell anello nterno a cu appartene l generatore è nota L equazone dell anello può essere esclusa dal sstema rsolente e utlzzata per calcolare la tensone del generatore, dopo aer determnato le altre ncognte 7 Esempo nello a: nello b: nello c: a a a b b b c c 0 c Equazone auslara Varable auslara a b, c,, 7

38 Superanell La tensone d generatore d corrente che non fa parte dell anello esterno compare come ncognta auslara, con segn oppost, nelle equazon de due anell a cu appartene l lato E possble elmnare l ncognta auslara sosttuendo le equazon de due anell con l equazone ottenuta medante la loro somma membro a membro In questo modo s ottene l equazone della magla formata da lat non comun a due anell questa magla ene anche dato l nome d superanello Determnate le altre ncognte, medante una delle equazon de due anell che sono state combnate per ottenere l equazone del superanello, è possble calcolare la corrente del generatore 7 Esempo Superanello a-b: nello c: Eq. auslara: a a b a b b c c, a b, c 7

39 Metodo delle magle e metodo degl anell In presenza d lat costtut da generator d corrente, n genere l metodo delle magle rsulta pù conenente del metodo degl anell on l metodo delle magle, sceglendo opportunamente l albero, è possble elmnare dal sstema rsolente un numero d equazon e ncognte par al numero d lat costtut da generator d corrente La dmensone del sstema rsolente è sempre mnore d l n + on l metodo degl anell, elmnando le ncognte auslare medante l ntroduzone de superanell, la dmensone del sstema è l n +, a meno che non c sano generator d corrente che appartengono anche all anello esterno 77 Nota Se l crcuto contene un ramo formato da un generatore d tensone n parallelo con un resstore o a un generatore d corrente, prma d utlzzare metod delle magle, degl anell o de nod, è opportuno semplfcare l crcuto elmnando l componente n parallelo al generatore d tensone solto l crcuto semplfcato, s dee rentrodurre l componente n parallelo per calcolare la corrente del generatore d tensone 78

40 Nota Se l crcuto contene un ramo formato da un generatore d corrente n sere con un resstore o a un generatore d tensone, prma d utlzzare metod delle magle, degl anell o de nod,è opportuno semplfcare l crcuto elmnando l componente n sere al generatore d corrente solto l crcuto semplfcato, s dee rentrodurre l componente n sere per calcolare la tensone del generatore d corrente 79