Appendice Analisi in frequenza dei segnali

Transcript

1 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - Appndic Analisi in rqunza di sgnali - Sgnali priodici Sviluppo in sri di Fourir Un sgnal è priodico nl mpo quando si rip ogni scondi. Si vda, com smpio, il sgnal in Fig.. dov è il priodo. Un sgnal priodico può ssr, in gnral, cararizzao nl sgun modo: s ( + i ) (.) L indic i, 2, 3... rapprsna la rplica dl sgnal lmnar ch si succd idnica nl mpo, ogni priodo di scondi. Fig. - Sgnal priodico coicini S dllo sviluppo in sri di Fourir. S è il priodo, / è rqunza ondamnal, ω 2π è pulsazion ondamnal. Pr i sgnali priodici la rapprsnazion più usaa nl dominio dlla rqunza è cosiuia dalla scomposizion in sri di Fourir, mdian componni armonich a rqunz mulipl dlla rqunza ondamnal. S j2π (.2) Valuazion di coicini dllo sviluppo in sri I coicini S dllo sviluppo in sri di Fourir possono ssr drminai moliplicando mmbro a mmbro l Eq..2 pr la unzion xp(-j2π mdiando nl priodo. Al scondo mmbro risulranno prano rmini dl ipo xp[j2π(- ) ]. Valuiamo quindi la mdia di qusi rmini nl priodo. S è divrso da, la mdia di una unzion sinusoidal in un mpo muliplo inro dl priodo è smpr nulla. S vicvrsa, orrmo un risulao divrso da zro pari a uno. 27 Misur Elronich

2 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - 2 nuo cono di qusi ai si ha: S R[ S co2π ) d j ] + j π 2 j Im[ S d ] [ S, ϕ ] sin(2π d (.3) Spro bilaro I coicini S dllo sviluppo in sri di Fourir risulano quindi quanià complss. L insim di ali coicini, rapprsnai in unzion dll rqunz discr o più smplicmn in unzion dll ordin dlla gnrica armonica, è lo spro a righ dl sgnal priodico. Lo spro di par ral R[S ] è una unzion pari dlla rqunza, mnr lo spro di par immaginaria Im[S ] è una unzion dispari. Dalla conoscnza dgli spri di par ral d immaginaria si dducono anch gli spri di modulo as, S ϕ, ch prsnano l sss cararisich di simmria. ali condizioni di simmria si possono anch sprimr brvmn, inroducndo la orma coniugaa, indicaa con l asrisco (*): S * S (.4) La sri sponnzial uilizza anch l rqunz ngaiv. ali rqunz sono uavia priv di signiicao isico. Il loro impigo nlla praica cosiuisc solamn una rapprsnazion analiica comoda compaa. Pr al sri si usa spsso il rmin di spro bilaro. Sviluppo in sri rigonomrica Lo spro bilaro prsna cararisich di simmria, valid sia pr la rapprsnazion con par ral d immaginaria (R[S ] Im[S ]), sia pr la rapprsnazion in modulo as ( S ϕ ). nndo cono di qus proprià si ongono sviluppi con unzioni rigonomrich. Fig..2 - Rapprsnazioni voriali di coicini dllo sviluppo in sri di Fourir. Inai, ossrvando la Fig..2A, dov è daa un inrprazion vorial di una gnrica coppia di rmini dlla sri sponnzial, pr l rqunz ± ω ± 2π, si dduc: 27 Misur Elronich

3 Appndic Analisi in rqunza di sgnali S co ω + ϕ ) s ( S (.5) ch conin solo indici posiivi. Inolr, con ririmno alla Fig..2B, s poniamo: 2 A 2 R[ S ] 2 B 2 Im[ S ] co2π d sin(2π d si oin il noo sviluppo in rmini di sno cosno: s ( S + [ A cosω + B ω ] sin (.6) (.7) Sgnal a onda rangolar Com smpio di rapprsnazion in rqunza di un sgnal priodico, si considri l onda quadra di Fig..3, onua rplicando ogni scondi un impulso rangolar di ampizza A duraa. Il sgnal si può scrivr nlla orma: i s ( A rc ( i ) L componni dl suo spro bilaro risulano: (.8) S A j2π j2π j2π + / 2 / 2 d + / 2 / 2 j2π A sin π Q π A d sin π π (.9) ssndo: QA l ara dll impulso rangolar lmnar. Nll smpio riporao in Fig..3 si è sclo /2. Fig..3 - Sgnal rangolar suo spro. Squnza di impulsi mamaici Poniamo, nll smpio prcdn, l ampizza A/. Riducndo la duraa dll impulso lmnar, si prvin a un caso limi paricolarmn signiicaivo dll onda rangolar, il rno di impulsi mamaici: 27 Misur Elronich

4 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - 4 i i ) lim rc( i ) i (.) dov l ampizza A/ divrg al limi pr, mnr l ara Q dll impulso mamaico lmnar riman cosan di valor pari ad uno (Fig..4). Lo spro dlla squnza di impulsi mamaici di ara uniaria rqunza si oin quindi passando al limi l componni S dll Eq..9 pr, mannndo l ara Q dll impulso lmnar paria uno. Risulano prano componni armonich u uguali, con valor ral S. Sussis in diniiva, pr una squnza di impulsi mamaici, lo sviluppo in sri: i i ) j 2π (.) Fig..4 - Squnza di impulsi mamaici coicini dllo sviluppo in sri di Fourir. 2 - Sgnali apriodici I sgnali apriodici sono cararizzai dall avr nrgia inia. Pr al ao sono di anch sgnali impulsivi, divrsamn dai sgnali priodici ch si ripono indiniamn. In Fig.2. è riporao, com smpio, un sgnal con duraa limiaa. Fig.2. - Sgnal apriodico suo spro. Pr i sgnali apriodici prd signiicao lo sviluppo in sri di Fourir, mancando il principal prsupposo: la priodicià. Pr i sgnali impulsivi, l analisi in rqunza vin condoa mdian la rasormaa (dira invrsa) di Fourir. 27 Misur Elronich

5 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - 5 rasormaa anirasormaa di Fourir I sgnali apriodici sono cararizzai in rqunza rami la rasormaa di Fourir ). Mdian l anirasormaa si ricosruisc vicvrsa il sgnal nl mpo : ) ) j2π j2π d I[ ] d I [ )] ) (2.) Poichè la rasormaa di Fourir ) è una unzion coninua nl dominio dlla rqunza, sis un ininià di componni armonich di ampizza ininisima ) d as ). Proprià sull ar La componn coninua dllo spro ) rapprsna l ara sosa dal sgnal nl dominio dl mpo, mnr l ara sosa dallo spro ornisc l ordinaa all origin dl sgnal nl mpo. Inai si ha: ) ) ) j2π j2π d d d ara di ) d ara di ) (2.2) Spro dll impulso rangolar Applicando la dinizion di rasormaa di Fourir all impulso rangolar di Fig.2.2, con ampizza A duraa (ara QA), si oin: sin π A rc( ) A (2.3) π Fig Impulso rangolar suo spro. L impulso mamaico Lo spro di un impulso mamaico mporal di ara uniaria (Q) si oin passando al limi ( ) la duraa dll impulso rangolar, mannndon cosan l ara (A/ ). Esrapolando gli andamni di Fig.2.2 si vd ch lo spro si riduc a una cosan pr u l rqunz con valor pari all ara uniaria (Q). Lo spro dll impulso mamaico ha quindi un snsion ininiamn ampia: I cosan (2.4) [ ] É vro anch il dual: a una cosan di valor uniario nl mpo corrispond un impulso 27 Misur Elronich

6 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - 6 mamaico nl dominio dlla rqunza: I, [ ] ) (2.5) Si conrma ch un sgnal cosan nl mpo prsna solo una componn coninua in rqunza. Dualià mpo-rqunza Pr un sgnal nl mpo di ipo ral, lo spro di modulo ) è una unzion pari, mnr lo spro di as ) è una unzion dispari. S, com caso paricolar, il sgnal nl mpo olr ch ral è anch pari, consgu ch lo spro ) si riduc al solo spro di modulo ), mnr lo spro di as ) è idnicamn nullo. In al caso sussis l inrcambiabilià ra l variabili d. Uilizzando la proprià di dualià si può drminar immdiaamn l andamno mporal ch corrispond a uno spro rangolar in rqunza. Inai, dao lo spro rangolar in rqunza, rapprsnao in Fig.2.3, dov M rapprsna la larghzza di banda dllo spro, il sgnal corrispondn nl mpo risula dl ipo sin(x)/x. Fig Spro rangolar corrispondn sgnal nl mpo, sin(x)/x. Proprià di raslazion La raslazion di un sgnal nl mpo dlla quanià inroduc una variazion linar di as nllo spro dl sgnal originario. Inai: ) ) α) j2π j2π ( α+ ) d dα ) [ poso : α ] j 2 π (2.6) raslar uno spro in rqunza di una quanià a prdr l cararisich di simmria rispo all origin, con la consgunza ch il sgnal nl mpo non è più ral. Inai: ) β) ) j2π j2π( β+ ) d dβ 2 [ poso : β ] j π (2.7) D alra par, raslando lo spro originario dlla sssa quanià ± sia a dsra ch a sinisra dll origin, il sgnal corrispondn (a causa dlla riprisinaa simmria in rqunza) risula ral. Si oin inai: j2π 2 ( ) ( ) ( ) j π S + S + s + 2 co2π ) (2.8) 27 Misur Elronich

7 Appndic Analisi in rqunza di sgnali - 7 Qusa oprazion corrispond moliplicar il sgnal originario nl mpo pr un oscillazion cosinusoidal di rqunza. 3 - rasormaa di Fourir di sgnali priodici Si è mosrao ch pr un sgnal priodico sis lo sviluppo in sri di Fourir. Ciascun rmin dlla sri è una cosan S moliplicaa pr un sponnzial. Allora: a) b) I I quindi [ S ] j2π [ S ] I S ) S j 2π [ ] I S ) S ) (3.) Inai: a) la rasormaa di Fourir di una cosan S è un impulso mamaico, b) la prsnza di un sponnzial si raduc in una raslazion in rqunza: Si conclud ch anch pr i sgnali priodici sis la rasormaa di Fourir, sppur in snso limi. Qusa conclusion è inrssan in quano consn di uilizzar l rasorma di Fourir, olr ch pr i sgnali apriodici, anch pr qulli priodici, consnndo di uniicar il modo di raamno di sgnali nl dominio dlla rqunza, laddov ciò appaia convnin. rasormaa di Fourir dl rno di impulsi mamaici Si considri inin il rno di impulsi mamaici c(, con priodo c ampizza uniaria, com rapprsnao in Fig.3.. Fig.3. - Squnza di impulsi mamaici rlaiva rasormaa di Fourir. Quso sgnal, in quano priodico, può ssr sviluppao in sri di Fourir, pr quano appna viso, prsna anch la rasormaa di Fourir. Risula quindi: c( C( ) I j 2πc ic ) c i j2πc c c ) c (3.2) Si conclud ch un rno di impulsi nl mpo è rapprsnao da un rno di impulsi anch in rqunza (vdi Fig.3.). al risulao è uil nlla raazion di sgnali campionai. Il campionamno inai rapprsna il primo passo pr l laborazion digial di sgnali. 27 Misur Elronich