Lezione 3: Segnali periodici

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1 eoria dei segali Segali a poteza media fiita e coversioe A/D Lezioe 3: Aalisi i frequeza Esempio di calcolo 005 Politecico di orio

2 eoria dei segali aalisi i frequeza Poteza media Sia dato u segale (t) periodico di periodo La poteza media di tale segale si può calcolare i modo semplificato: Θ / / P = lim Θ t () dt = t () dt Θ Θ/ / Ovviamete l itegrale può essere esteso a qualuque itervallo temporale di durata pari al periodo del segale Politecico di orio

3 eoria dei segali Serie di Fourier Come è stato visto i precedeza, i segali periodici ammettoo uo sviluppo i serie di Fourier: t () = µ = = / / µ e π j t te () π j t dt 5 Serie di Fourier Lo sviluppo i serie di Fourier ci permette di iterpretare il segale periodico come sovrapposizioe di compoeti siusoidali (reali o complesse) di frequeze armoiche, ovvero multiple della fodametale f 0 =/ Ricordiamo ache che = µ = P Politecico di orio 3

4 eoria dei segali rasformata di Fourier È stato ache visto come i segali periodici ammettao trasformata di Fourier, seppure el seso delle distribuzioi: X( f) = µδ ( f ) = Questo spettro a righe dà la stessa iformazioe della serie di Fourier, seppure espressa i modo matematicamete diverso 7 Spettro di poteza Siccome si tratta di segali a poteza media fiita, per i segali periodici valgoo le già viste defiizioi di fuzioe di autocorrelazioe e desità spettrale di poteza / * ( τ) lim t () ( t ) τ / Φ = dt = / * = lim t ( ) () tdt + τ / G( f) = lim S ( f) = lim ( ) X f Politecico di orio 4

5 eoria dei segali Spettro di poteza Ci si chiede però se la particolare atura dei segali periodici iduca ua semplificazioe elle suddette defiizioi di desità spettrale di poteza e fuzioe di autocorrelazioe se le iformazioi date dalla desità spettrale di poteza soo coereti co quelle della serie e della trasformata di Fourier (per i segali periodici abbiamo be tre diverse rappresetazioi i frequeza, che per essere utili devoo essere tra loro coereti) 9 Fuzioe di autocorrelazioe Partedo dall espressioe geerale, e sfruttado le caratteristiche di periodicità del segale, possiamo facilmete verificare che la fuzioe di autocorrelazioe del segale periodico (t) si può esprimere come Φ = + / * ( τ) t ( ) () τ / tdt Politecico di orio 5

6 eoria dei segali Fuzioe di autocorrelazioe Si può immediatamete verificare come la fuzioe di autocorrelazioe è acora ua fuzioe periodica di periodo Ifatti: / * ( τ ) ( ) () τ / Φ + = t+ + t dt / = t+ =Φ / * ( τ) () tdt ( τ) Fuzioe di autocorrelazioe roviamo u espressioe della fuzioe di autocorrelazioe, sostituedo a (t) ella formula dell autocorrelazioe il suo sviluppo i serie di Fourier: / * Φ ( τ) = t ( + τ) () tdt = / / j πt ( + τ) jπkt * µµ k /= k= = e e dt = = jπτ / j π( k ) t * µµ k = k= / e e dt 005 Politecico di orio 6

7 eoria dei segali Fuzioe di autocorrelazioe Costatiamo che l itegrale vale per =k e 0 altrimeti Di cosegueza, l espressioe della fuzioe diveta: Φ () τ = µ = e jπτ 3 Spettro di poteza A questo puto è facile ricavare la desità spettrale di poteza del segale periodico mediate trasformata di Fourier della fuzioe di autocorrelazioe Si ottiee ( ) = µ δ( ) = G f f Politecico di orio 7

8 eoria dei segali Spettro di poteza Si può otare come lo spettro di poteza del segale periodico sia a righe, ovvero sia ua distribuzioe costituita da delta di Dirac cetrate ei valori di frequeza f =/ Questo è coerete co il fatto che, ella rappresetazioe i frequeza del segale periodico, ci soo solamete compoeti armoiche a frequeze multiple della fodametale f 0 =/ 5 Quidi L espressioe della desità spettrale di poteza dei segali periodici dà iformazioe coerete co le altre due rappresetazioi i frequeza dispoibili per questa classe di segali, ovvero: il segale periodico è rappresetabile i frequeza come sovrapposizioi di compoeti armoiche di frequeza multipla di ua fodametale f 0 =/, dove è il periodo del segale ogi compoete armoica dà u cotributo pesato mediate il coefficiete µ Politecico di orio 8

9 eoria dei segali Proprietà dello spettro di poteza a) La desità spettrale di poteza è reale e maggiore o uguale a zero per qualsiasi valore di f (ovvio) b) L itegrale su tutto l asse frequeza della desità spettrale di poteza forisce la poteza media del segale G( f) df = µ δ( f ) df = = = µ δ ( f ) df = µ P = = = 7 Proprietà dello spettro di poteza c) Ricaviamo la poteza media del segale filtrato y(t) = (t) * h(t), dove h(t) è la risposta all impulso di u sistema LI e H(f) è la sua risposta i frequeza d) A tale fie occorre prima trovare u espressioe della desità spettrale di poteza del segale periodico filtrato Politecico di orio 9

10 eoria dei segali Spettro del segale filtrato Sia (t) u segale periodico posto all igresso di u sistema LI co risposta i frequeza H(f) Sia y(t) l uscita del sistema Valutiamo la desità spettrale di poteza di y(t) (ota: valgoo ovviamete le formule geerali, ma oi vogliamo verificare se el caso di segali periodici esse assumoo qualche formulazioe specifica) 9 Spettro del segale filtrato Y( f) = H( f ) X( f ) = H( f) µδ ( f ) = = = µ H( ) δ( f ) = νδ ( f ) = = G f = f = H f = ( ) ( ) ( ) ( ) y ν δ µ δ = = = = H( f ) µ δ( f ) H( f ) G( f) = Politecico di orio 0

11 eoria dei segali Poteza del segale filtrato A questo puto è baale dimostrare che P y = ν = µ H( ) = = Poteza del segale filtrato Nel caso i cui H(f) sia u filtro a bada stretta, solamete le compoeti armoiche di (t) che cadoo etro la bada di tale filtro cotribuiscoo alla poteza media del segale di uscita Questo è coerete co il cocetto di desità spettrale di poteza del segale periodico 005 Politecico di orio

12 eoria dei segali esempio di calcolo Esempio di calcolo Calcoliamo poteza media e desità spettrale di poteza di t () = rt ( i ) rt () = e i= t Si tratta di u segale periodico, costituito dalla ripetizioe periodica di ua forma d oda elemetare r(t) che è ua fuzioe a eergia fiita e supporto temporale illimitato Politecico di orio

13 eoria dei segali Esempio di calcolo ( t ) 0 t 5 Esempio di calcolo Di questo segale, vogliamo calcolare spettro di ampiezza desità spettrale di poteza poteza media Politecico di orio 3

14 eoria dei segali Esempio di calcolo t () = rt () δ ( t i ) i i i X( f ) = R( f ) δ ( f ) = R( ) δ ( f ) = i = µδ i ( f ) i= R( f ) = Frt [()] = + 4π µ i = + 4π i G f f P ( ) = 4 δ ( ) i= ( + 4 π i ) = 4 i= i= i= ( + 4 π i ) f i= i 7 Esempio di calcolo Sottopoiamo ora il segale (t) a u filtraggio passabasso ideale co H( f ) = B = 3 f B 0 f > B Calcoliamo desità spettrale di poteza, poteza media e fuzioe di autocorrelazioe del segale di uscita, y(t) Politecico di orio 4

15 eoria dei segali Esempio di calcolo Visualizziamo lo spettro a righe di (t) e la fuzioe di trasferimeto del filtro H(f) µ 0 G ( f ) µ µ µ 3 3 B 0 B 3 f 9 Esempio di calcolo G ( f) G ( f) H( f ) y = = = = H( f) 4 δ ( f ) i= ( + 4 π i ) 4 4 = δ( f) + ( δ( f ) + δ( f + )) P ( + 4 π ) y 4 8 = + ( + 4 π ) 4 8 Φ = + ( + 4 π ) π y () τ cos( ) τ Politecico di orio 5

16 eoria dei segali Riepilogo (/) I segali periodici soo a poteza media fiita Essi ammettoo vari strumeti per l aalisi i frequeza: serie di Fourier trasformata di Fourier desità spettrale di poteza La trasformata di Fourier e la desità spettrale di poteza soo a righe 3 Riepilogo (/) utti questi strumeti dao iformazioi coereti, ovvero: il geerico segale periodico di periodo si può rappresetare come somma di compoeti armoiche a frequeze multiple della fodametale f 0 =/ La fuzioe di autocorrelazioe del segale periodico è ach essa ua fuzioe periodica co lo stesso periodo Politecico di orio 6