= 20 m/s in una guida verticale circolare. v A A

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1 Eercizio (tratto dal Problema 4.39 del Mazzoldi Un corpo di maa m = 00 Kg entra con elocità A licia di raggio = 5 m. Calcolare: = 0 m/ in una guida erticale circolare. la elocità nei punti B e C;. la reazione incolare della guida nei punti A, B e C; 3. il alore minimo di A affinché il corpo arrii nel punto C mantenendo il contatto con la guida C A A B

2 SOLUZIONE Dati iniziali: m = 00 Kg = 5 m A = 0 m/. Le forze che agicono ul punto materiale ono i forza peo: m g (diretta erticalmente ii reaz. incolare della guida: N = N ur (diretta radialmente ero il centro e ono motrate in figura. C θ N θ mg B A Dato che la forza peo è coneratia e la reazione incolare non compie laoro poiamo applicare in ogni punto del moto la conerazione dell energia meccanica E m = K + E p = m + mgh ( Da doe i ede? Dal teorema dell energia cinetica: D altra parte K = W peo }{{} + W }{{} N laoro forza peo laoro reaz. incolare ( W peo = E p (perché la forza peo è coneratia W N = 0 (perché N d = 0 itante per itante (3 e quindi K = E p (K + E p = 0 (4

3 3 Inizialmente (in A il punto materiale poiede unicamente energia cinetica Dalla conerazione dell energia meccanica egu che E m,a = m A (5 in B E m,a = E m,b (6 m A = m B + mgh B (h B = B = A g B = (0 m = 7.38 m 9.8 m 5 m = (7 in C E m,a = E m,c (8 m A = m C + mgh C (h C = C = A 4g C = (0 m m 5 m = = 4.8 m. Calcoliamo ora la reazione incolare Conideriamo le forze. Scomponiamo la forza totale F = m g + N nelle componenti radiale e tangenziale: F = F r u r + F θ u θ (9 con F r = mg in θ N F θ = mg co θ (0

4 4 Conideriamo ora l accelerazione a; anch ea può compori nelle componenti radiali e tangenziali a = a r u r + a θ a θ ( Ora, fintanto che il punto materiale rimane attaccato alla guida, il uo moto è circolare, la componente radiale dell accelerazione è data da doe il egno indica che è centripeta. a r = ( Dalla econda legge della dinamica i ha Uguagliando la (9 e la ( componente per componente F r = ma r F = m a (3 F θ = ma θ (4 e combinando la ( con la prima delle (0, otteniamo per l equazione radiale oia m = mg in θ + N (5 ( N = m g in θ Queta equazione (alida finché il punto rimane attaccato alla guida indica che la reazione incolare N cambia itante per itante a econda della poizione (identificata dall angolo θ e della elocità del punto materiale. In particolar i ha: (6 in A { θa = π A = 0 m/ ( ( N A = m A g in( π = m A + g (7 (( 0 m N A = 00 Kg 5 m + 9.8m = = 00 Kg (80 m + 9.8m = = 796 N (8

5 5 Oerazione: Si noti che la reazione incolare in A non è uguale ed oppota alla forza peo mg. Infatti, anche e prima di arriare ad A il corpo m mantiene elocità cotante (dunque accelerazione nulla, quando i troa in A la ua accelerazione non è nulla, dato che inizia a curare (e non aee accelerazione la ua elocità non potrebbe cambiare di direzione. L accelerazione in A è infatti l accelerazione centripeta ma /, dunque la riultante delle forze non è nulla (=la reazione incolare non cancella eattamente la forza peo. in B { θb = 0 B = 7.38 m/ ( N B = m B g in(0 (( 7.38 m N B = 00 Kg 5 m 0 = = 00 Kg (60.4 m = in C (9 = 083 N (0 { θc = π/ C = 4.8 m/ ( ( N C = m C g in(π = m C g (( 4.8 m N C = 00 Kg 9.8 m 5 m = = 00 Kg (30.97 m = ( = 695 N ( 3. Calcoliamo ora la elocità minima che il corpo dee aere in A per poter raggiungere il punto C. Se ci baaimo unicamente ulla conerazione dell energia, dedurremmo che la elocità A,min che il corpo dee aere per raggiungere C corriponde alla condizione per cui il corpo raggiunge C con elocità nulla. Allora applicheremmo la conerazione dell energia e aremmo [edi Eq.(8] 0 = C = A,min 4g A,min = 4g (3

6 6 Queto riultato arebbe tuttaia bagliato. Per comprendere perché la conerazione dell energia non è ufficiente oeriamo che, la reazione incolare N della guida non è ancora entrata nell utilizzare la conerazione dell energia, dato che non compie laoro. Tuttaia la reazione incolare è preente, e dobbiamo tenerne conto. Se ora calcolaimo la reazione incolare in C otituendo nell epreione ( una elocità C = 0 (eguendo il ragionamento che i baa puramente la conerazione dell energia, otterremo ( N C = m C g = mg < 0 (4 che corriponde ad una reazione incolare N = N u r diretta ero l alto. Queto non è fiicamente poibile per queta guida! Quindi il riultato (3 è neceariamente bagliato. Per queto tipo di guida, la reazione incolare è neceariamente diretta ero l interno del cerchio. Infatti la guida impedice al punto materiale di muoeri ero l eterno del cerchio, ma non ero l interno. Pertanto, ricordando che N = N u r, dee alere N 0 il corpo non può muoeri ero l eterno (5 Queto ignifica che, pur aendo il corpo teoricamente un energia ufficiente a raggiungere C, e la reazione incolare N della guida i annulla prima che il corpo raggiunga C, di fatto la guida in quell itante parice, perché non rappreenta più un incolo. Il punto materiale i tacca dalla guida e cade otto l azione della forza peo. L Eq.(6 è tata ricaata upponendo che il punto materiale i muoa lungo la guida (infatti abbiamo uato l epreione dell accelerazione centripeta alida per un moto circolare. Dall Eq.(6 ricaiamo che lungo queta guida dee alere ad ogni itante ( N = m g in θ 0 (6 Pertanto la condizione corretta per determinare la elocità minima A,min è imporre che la reazione incolare della guida i annulli eattamente in C (identificato da θ C = π/, non prima. E dunque Dalla conerazione dell energia meccanica C g (7 ricaiamo m A = m C + mg (8 m A = m C + mg mg + mg = 5 mg (9 A 5g (30

7 7 A,min = 5g = = m 5 m = (3 = 5.7 m (3 COMMENTO Si noti la differenza ripetto al cao in cui il punto materiale è empre incolato a muoeri u una guida, come motrato in figura qui otto. Se la guida foe un ero e proprio binario (cioè che impedice al punto di muoeri ia ero l eterno del cerchio che di cadere ero l interno, il alore N della reazione incolare N = N u r potrebbe eere ia poitio (e N è diretta ero il centro che negatio (e N è diretta ero l eterno. Ad eempio ponendo il punto materiale in C, anche con elocità nulla, la reazione incolare arebbe diretta ero l alto e N arebbe negatio. C A Figure : Il cao in cui la particella è incolata a muoeri neceariamente lungo il binario circolare In tal cao il incolo N 0 non uite, e la elocità minima affinché il punto giunga in C i ricaerebbe emplicemente dalla conerazione dell energia meccanica imponendo che il punto giunga in C con elocità nulla A m A,min = mg A,min = 4g (33 Nel cao del problema, inece, in cui il punto non è incolato a muoeri neceariamente lungo la guida, non bata che il punto materiale abbia l energia cinetica ufficiente a traformari nell energia potenziale relatia al punto C, ma occorre anche che abbia una elocità ufficiente a farlo rimanere incollato alla guida. Data la preenza della componente normale forza peo [edi eq.(6] la elocità minima è tabilita dalla condizione che la reazione incolare ia non negatia ed è piú eleata del riultato (33. B A,min = 5g (34