Fenomeni di fluttuazione e meccanica quantistica W. Heisenberg a Copenaghen

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1 1 Fenomeni di fluttuzione e meccnic quntistic W. Heisenberg Copenghen L not presente cerc di mostrre che l meccnic quntistic è sempre in ccordo con le formule di fluttuzione prescritte dll teori dell discontinuità. Il grnde significto fisico dei fenomeni di fluttuzione consiste nel ftto che essi stnno tr le conseguenze più semplici e immedite dell discontinuità che si mnifest su spzi e tempi piccoli. Per esempio secondo Einstein si può considerre il moto brownino come un conseguenz dirett dell struttur tomistic dell mteri, le fluttuzioni d energi e d impulso nell rdizione di un cvità portno immeditmente ll ide dei qunti di luce di Einstein, le fluttuzioni d energi in un reticolo cristllino sono strettmente legte ll esistenz di stti stzionri discreti di un sistem meccnico. Poichè medinte l meccnic quntistic l teori dei sistemi meccnici è stt res ccessibile un trttzione quntittiv, deve sussistere tr l meccnic quntistic e il tipo prim ricordto di fenomeni di fluttuzione un connessione ssi strett. Quest connessione srà chirit nel seguito. L not seguente signific nche un estensione e preciszione delle considerzioni, che Born, 3 Jordn e l utore hnno esposto precedentemente in occsione dello sviluppo generle dell meccnic quntistic. Uno studio più pprofondito dell connessione llor trovt mi pre utile, 1 Zeitschr. f. Phys. 40, 501 (196). M. Born, W. Heisenberg e P. Jordn, Quntenmechnik II. Zeitschr. f. Phys. 35, 557, (196), Cp. 4, 3. 3 L critic di A. Smekl, Zeitschr. F. Phys. 37, 319 (196) non si riferisce l cso qui trttto di un sistem meccnico; se un tle critic poss portre risultti utili nel cso dell rdizione dell cvità, non si può decidere per or; potrei ggiungere che il cso dell cvità è del tutto nlogo quello del reticolo cristllino. 1

2 poichè di nuovo d vrie prti si mnifestno dubbi sull esistenz delle discontinuità. 1. L prte mtemtic dell trttzione seguente si desume 4 d un lvoro dell utore sull risonnz quntomeccnic; trsferisco qui i risultti di quel lvoro. Si dto questo problem: due tomi uguli e b si possono (trscurndo ogni forz dell rdizione) trovre negli stti n e m, cioè W = E, n b W = E ; essi sono ccoppiti medinte un interzione ssi m piccol. Esiste llor risonnz tr i due tomi; quest risonnz si può descrivere intuitivmente in due modi diversi: 1. Col ndr del tempo hnno luogo con un dt frequenz dei slti d energi, che fnno pssre simultnemente con b discontinuità W d E E e W d E E o vicevers. In ltre m n 5 prole, col pssr del tempo il "qunto di luce" (E -E ) ripetutmente prim v dll tomo ll tomo b, e poi torn d dopo un certo tempo. Iedi per rgioni di simmetri il qunto di luce è per l metà del tempo nell tomo, per l ltr metà nell tomo b.. L risonnz è d considerrsi come l nlogo secondo il principio di corrispondenz dell interzione clssic tr due oscilltori. Perciò l energi pulserà vnti e indietro tr gli tomi e b con un frequenz di bttimento lent. L energi di un tomo è un funzione rmonicmente periodic del tempo. In quest form l descrizione II contrddice completmente l descrizione I. Tuttvi medinte l meccnic quntistic quest descrizione secondo il principio di corrispondenz srà sostnzilmente modifict e res ccessibile d un trttzione mtemtic: non h senso in un certo stto del sistem totle, prlre dell energi di un tomo in funzione del tempo. Solo il vlor medio temporle di un quntità dipendente dl tempo h significto fisico in un certo stto del sistem totle. L energi 4 W. Heisenberg, Mehrkorperproblem und Resonnz in der Quntenmechnik, Zeitschr. F. Phys. 38, 411 (196); nel seguito citto come (l.c.). 5 Si dovrebbe dire piuttosto "qunto sonoro", poichè si h che fre con uno stto di oscillzione meccnico.

3 di un tomo è rppresentbile formlmente nel cso qui considerto medinte utrice, che corrisponde d un funzione rmonic del tempo. I termini rmonici di quest mtrice sono tuttvi collegti due stti del sistem totle. Finchè non intervengono trnsizioni del sistem complessivo, solo i suddetti vlori medi temporli sono in line di principio osservbili. Si mostrerà che per tutti gli effetti osservbili in line di principio l descrizione II è equivlente ll descrizione I. L prim domnd è se si possibile in qulche modo medinte processi d urto con uno dei due tomi determinre sperimentlmente vlori dell energi che stino d qulche prte tr E ed E. L rispost per entrmbe le descrizioni è: no. Nel cso II bst soltnto pplicre le definizioni fondmentli dell meccnic quntistic l sistem complessivo ( dei due tomi e b) per vedere che, ( meno di quntità dell ordine dell interzione) nei processi d urto si possono trsferire le stesse differenze d energi E -E n m come in ssenz d interzione. Per procedere oltre, immginimo che si dt l mtrice quntomeccnic per l energi di un tomo (ponimo ): tutte le mtrici del sistem con interzione si ottengono d quelle del sistem imperturbto medinte un trsformzione cnonic con l mtrice S (l.c. equzioni (8) e (7)): dove S è (l.c. Eq. 1): -1 W =S WS, -1 q =S qs, (1) -1/ -1/ -1/ -1/ S = ; S = ; S = ; S =-. () nm,nm nm,mn,nm mn,mn Si indichi nche con W l energi dell tomo nel sistem imperturbto, con W quell nel sistem perturbto; srà -1 W =S W S. (3) Quest per l () è utrice con i termini: W =(1/)(E +E ) ; W =(1/)(E -E ) ; nm,nm nm,mn W =(1/)(E -E ) ; W =(1/)(E +E ). (4) mn,nm mn,mn Tutte le quntità osservbili in line di principio in un determinto stto, per esempio nm, risultno essere: il vlor medio temporle di W stesso, l fluttuzione medi qudrtic dell energi, qulche vlor medio delle fluttuzioni. Del tutto in 3

4 generle tutte queste fluttuzioni possono essere ricondotte l vlor medio temporle di un qulche funzione di W: f(w) (cioè il 4 vlor medio di W, di W ecceter). Clcolimo il vlor medio temporle di un sifftt funzione f: srà quindi -1 f =S fs, (5) f =(1/)(f(E )+f(e )) ; nm,nm f =(1/)(f(E )+f(e )). mn,mn Si vede senz ltro che questi vlori sono identici quelli che si possono ottenere con l interpretzione I. Si potrebbe porre l questione rovescio: Si di un funzione E(t) iodo che il vlor medio di un qulche funzione rbitrri f(e) soddisfi ll equzione (15):f(E(t)) = (1/)(f(E )+f(e )). Si troverà che solo funzioni del tipo rppresentto in Fig. 1 hnno quest proprietà, e proprio qundo l lunghezz complessiv del trtto superiore dell curv è ugule iedi ll lunghezz complessiv del trtto inferiore, cos che corrisponde proprio ll ipotesi I. Il risultto è quindi che l meccnic quntistic nel cso qui trttto rigurdo tutte le quntità di fluttuzione rggiunge gli stessi risultti dell rppresentzione discontinu, in ltre prole, si mostr che il ftto dell discontinuità si inserisce iodo non forzto nel sistem dell meccnic quntistic. Appre come se l meccnic quntistic permettesse di ffermre sui processi discontinui nè più nè meno che quello che è relmente dimostrbile. L istnte dell trnsizione, nel complesso l trnsizione stess non intervengono in questo schem. E nche nostr opinione che in Fig. 1 solo l lunghezz complessiv dei trtti dell curv inferiori e superiori bbi un significto fisico. Si potrebbe osservre che tutti i clcoli sono stti eseguiti solo nell pprossimzione nell qule l interzione dei due tomi si può considerre come infinitmente piccol. M quest è proprio l pprossimzione nell qule il problem è definito. Il concetto 4

5 = f(w è "energi di un tomo" h un senso preciso solo fin qundo l energi di interzione può essere trscurt.. Il fondmento mtemtico per l coincidenz dei vlori medi delle fluttuzioni quntomeccnici con quelli dell teori dell discontinuità è l form delle trsformzioni cnoniche (1), (5). Quest form d ltr prte h nell meccnic quntistic un vlidità così generle che l discussione delle fluttuzioni prim presentt si può estendere l cso più generle che può cpitre. L ipotesi del 1, che e b sino due tomi, è inessenzile; possono essere due sistemi meccnici uguli qulsinsi. Inoltre tutte le considerzioni rimngono vlide, nche qundo si trtti dell interzione di più sistemi meccnici uguli. L coincidenz delle fluttuzioni dell teori discontinu con le fluttuzioni quntomeccniche non dipende di vlori di S, solo l form dell trsformzione cnonic è essenzile. Si indichi lo stto di un qulche sistem meccnico perturbto con " ", lo stto del sistem imperturbto con " ". Allor un trsformzione cnonic (1), (5) nel senso dell interpretzione discontinu signific qunto segue: Se il sistem si trov nello stto, S l probbilità che (in seguito processi d urto, per improvvis cesszione dell perturbzione ecc.) il sistem si trovi nello stto. Per ogni funzione di W vle per esempio, secondo l (5): f (W ) = S ), (6) dowe W indic quel vlore di W, che il sistem ssume nello stto.secondo principi generli vle nturlmente S 1. (7) Come second generlizzzione si può bbndonre l ipotesi che si trtti di sistemi meccnici identici. Si deve solo presupporre che l stess differenz d energi E -E n m interveng in tutti i sistemi, perchè ltrimenti (cioè per i sistemi nei quli non ccde) non si trtterebbe di un cso di risonnz. Con le prole dell rppresentzione discontinu: il qunto di luce E -E deve potersi trovre in tutti i sistemi. I clcoli del 1 si possono in questo cso trsferire invriti. L terz generlizzzione che dobbimo proporci rigurd il 5

6 tipo delle quntità di cui si studino le fluttuzioni. Le considerzioni precedenti non srebbero mutte se in luogo dell energi del sistem di prticelle si trttsse di un qulche ltr quntità che nel cso imperturbto si poss rppresentre con utrice digonle. A queste quntità pprtengono per esempio il momento ngolre totle, il momento ngolre rispetto d un sse fisso ecc.. I vlori medi delle fluttuzioni di tutte queste quntità coincidono secondo il clcolo quntomeccnico del 1 con i vlori medi delle fluttuzioni che derivno dll rppresentzione discontinu. Finchè si prl di energi, di momento ngolre ecc. di un sistem meccnico in funzione del tempo, intervengono ieccnic quntistic solo funzioni del tipo indicto in Fig. 1. Come coefficienti di probbilità intervengono sempre le stesse quntità S. Inoltre le considerzioni del 1 mnterrnno l loro vlidità nche nel cso di moti periodici, poichè l form dell trsformzione cnonic (1), (5) h vlidità generle. come esempio si può in conclusione mostrre in che modo i clcoli ftti sulle fluttuzioni in un reticolo cristllino d Born, Jordn e dll utore (l.c.) sino contenuti nell trttzione qui prodott. Si trtt delle fluttuzioni d energi in un piccolo volume przile di un cristllo. Nwel sistem imperturbto si deve isolre il volume przile dl cristllo. Allor nel sistem perturbto esiste risonnz rigurdo tutte quelle oscillzioni proprie l cui frequenz si ugule nel sistem imperturbto per il cristllo e il volume przile. Questo vviene pprossimtivmente per tutte le oscillzioni proprie per le quli le lunghezze d ond sino piccole rispetto lle dimensioni lineri del piccolo volume przile. Solo per tli oscillzioni proprie il problem delle fluttuzioni h un senso determinto. Dlle considerzioni del 1 si può prevedere senz clcoli che il clcolo delle fluttuzioni qudrtiche medie e di tutti i vlori medi più lti delle fluttuzioni secondo l meccnic quntistic deve dre lo stesso risultto dell sttistic dell luce di Bose-Einstein. Per il cso delle fluttuzoni qudrtiche medie il clcolo è eseguito esplicitmente nel suddetto lvoro "Quntenmechnik II". I clcoli qui sviluppti mi piono un rgomento rigurdo l 6

7 ftto che un interpretzione continu del formlismo quntomeccnico, quindi nche le onde di de Broglie-Schrödinger, non corrisponderebbero ll essenz delle relzioni formli note. Piuttosto secondo questi clcoli il ftto dell discontinuità è contenuto rmonicmente nello schem mtemtico dell meccnic quntistic. 7