7.6. Distribuzione Esponenziale. Un n.a. continuo X con densità di probabilità

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1 7.6 Distribuzione Esponenziale Distribuzione Esponenziale. Un n.a. continuo X con densità di probabilità { λe λx se x, (76) f(x) = se x <, λ R + si dice che ha distribuzione esponenziale di parametro λ e si indica con X Exp(λ). La distribuzione esponenziale viene utilizzata ad esempio quando X rappresenta il tempo di durata di un dispositivo (non soggetto ad usura); il tempo di attesa del verificarsi di un certo evento (arrivo di un cliente in una coda, arrivo di una telefonata). FIGURA 7.3. Densità Esponenziale L area sotto la curva y = f(x) al crescere del parametro λ si concentra sempre più verso l origine. Ricordiamo che l area totale sotto la curva è uguale a 1. Infatti f(x) = λe λx dx = [ e λx ] + = 1. La distribuzione esponenziale è l analogo nel continuo della distribuzione geometrica. Infatti nel discreto il tempo di attesa può esser visto come il numero di prove necessarie per il verificarsi di un evento (numero di lanci di una moneta fino a quando per la prima volta esce testa). La funzione di ripartizione è data da { x F (x) = λe λt dt, se x >,, se x.

2 7.6 Distribuzione Esponenziale. 112 Osservando che x λe λt dt = [ e λt ] x = 1 e λx, si ottiene { 1 e λx, se x >, F (x) =, se x. FIGURA 7.4. Funzione di Ripartizione della distribuzione Esponenziale La funzione S(x) = 1 F (x) = P (X > x), detta funzione di sopravvivenza, è data da { e λx, se x >, S(x) = 1, se x, La previsione è P(X) = xλe λx dx = = 1, λ mentre P(X 2 ) = x 2 λe λx dx = = 2. λ 2 Quindi la varianza e lo scarto sono rispettivamente V ar(x) = P(X 2 ) [P(X)] 2 = 1 λ 2, σ X = 1 λ. Lo scarto quadratico medio coincide con la previsione. Nota: il calcolo diretto della previsione e della varianza di X si può evitare utilizzando la funzione Gamma (vedi distribuzione beta). Proprietà di Assenza di memoria. Un numero aleatorio continuo e non negativo X ha distribuzione esponenziale se e solo se vale la seguente proprietà (detta di assenza di memoria) (77) P (X > x + x X > x ) = P (X > x), x, x R +. Se X rappresenta il tempo (aleatorio) fino al guasto di un dispositivo, la proprietà di assenza di memoria ha il seguente significato: supposto che il

3 7.6 Distribuzione Esponenziale. 113 dispositivo non si guasti sino al tempo x, la probabilità che non si guasti per un ulteriore tempo x è la stessa che il dispositivo non si guasti nell intervallo [, x]. Tale proprietà è valida per le apparecchiature che, durante il loro funzionamento, non sono soggette ad usura (o, più realisticamente, quando l usura è trascurabile). dim.( ) Hp) X Exp(λ); Th) vale la (77). P (X > x + x X > x ) = P (X>x +x,x>x ) P (X>x ) = = P (X>x +x) P (X>x ) = S(x +x) S(x ) = e λ(x +x) e λx = e λx = = S(x) = P (X > x). ( )Hp) vale la (77); Th) X Exp(λ). Da quanto visto nella precedente dimostrazione la proprietà di assenza di memoria si può scrivere anche come: S(x + x) = S(x), S(x ) cioè S(x + x ) = S(x)S(x ). Essendo la funzione di sopravvivenza definita come 1 F (x), con F (x) crescente, allora S(x) è positiva e decrescente e quindi Osserviamo che S(x) >, S (x) <, x R. S (x+x ) = S(x )S (x) = S (x) S(x+x ) S(x = λ, λ >, )S(x) S(x) quindi D[ln(S(x))] = S (x) = λ S(x) ln(s(x)) = λx + k, allora S(x) = e λx e k. Essendo X un n.a. non negativo, si ha S() = 1, per cui e k = 1. Allora ovvero X Exp(λ). S(x) = e λx,

4 7.7 Distribuzione normale standard Distribuzione normale standard Un n.a. continuo X, con densità di probabilità (78) f(x) = 1 2π e x2 2, x R, si dice che ha distribuzione normale standard (di parametri,1) e si indica con X N,1 = N. La densità f(x) si indica con N(x), mentre la funzione di ripartizione F (x) si indica con Φ(x). Di tale funzione non è possibile dare un espressione, ma si possono cercare soltanto alcuni valori riportati su apposite tavole. Alcune proprietà: 1. il diagramma della densità ha un andamento a forma di campana (con il massimo nell origine e due flessi in x = 1, x = 1) ed è simmetrico rispetto all asse y, cioè N(x) è una funzione pari (N( x) = N(x)); 2. dalla simmetria di N(x), per ogni x R si ha Φ( x) = 1 Φ(x), e quindi P ( X x) = P ( x X x) = x x N(t)dt = 3. in particolare e quindi = Φ(x) Φ( x) = 2Φ(x) 1 ; P ( X > x) = 1 P ( X x) = 2[1 Φ(x)] ; Φ(1).8413, Φ(2).9772, Φ(3).9987, P ( X 1) = 2Φ(1) ; P ( X 2) = 2Φ(2) ; P ( X 3) = 2Φ(3) Calcoliamo la previsione di X. Osservando che xn(x) è una funzione dispari si ha P(X) = x 1 2π e x2 2 dx = x 1 2π e x2 2 dx + x 1 2π e x2 2 dx = (posto y = x) = y 1 + 2π e y2 2 ( dy) + x 1 2π e x2 2 dx = = y 1 2π e y2 2 dy + x 1 2π e x2 2 dx =. Oppure, poichè x 1 2π e x2 2 dx = 1 2π e t dt = 1 2π, si ha P(X) = 1 2π + 1 2π =.

5 7.8 Distribuzione Normale 115 Si può verificare che P(X 2 ) = x 2 N(x)dx = = 1, e quindi: V ar(x) = P(X 2 ) = Distribuzione Normale In generale, si dice che X ha una distribuzione normale di parametri m, σ, con m R, σ >, se la densità di X ha la seguente forma: (79) f(x) = N m,σ (x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2, x R. In simboli, si scrive: X N m,σ. La funzione di ripartizione si indica con Φ m,σ (x). Il diagramma della densità ha un andamento a forma di campana (con il massimo in x = m e due flessi in x = m σ, x = m + σ) ed è simmetrico rispetto alla retta x = m. Dato un numero aleatorio X N m,σ consideriamo il numero aleatorio Y = ax + b, con a >, b R. Si ha Y N am+b,aσ. Infatti, indicando con G la funzione di ripartizione di Y e g la sua densità, si ha: e quindi G(y) = P (Y y) = P (X y b a ) = Φ m,σ( y b a ), g(y) = G (y) = Φ m,σ( y b a ) 1 a = N m,σ( y b a ) 1 a = = 1 1 (y b e a 2π σ dove a m ) 2 2σ 2 = 1 e (y (am+b)) 2π aσ = N my,σ Y (y), 2 2(aσ) 2 = (8) m Y = am + b, σ Y = aσ. 1 e (y my) 2π σy 2 2σ 2 y = Pertanto Y N my,σ y. Se invece consideriamo il numero aleatorio Y = ax +b, con a <, b R si può dimostrare, procedendo in maniera analoga a quanto fatto nel caso a >, che risulta Y N my,σ Y, con (81) m Y = am + b, σ Y = aσ. In altri termini, se dal n.a. X, con distribuzione normale, si passa al n.a.

6 7.8 Distribuzione Normale 116 Y = ax + b, con a, la distribuzione rimane di tipo normale, con i parametri che cambiano come indicato nella (8), oppure (81). In particolare, se Z = ax + b, con a = 1, b = m X m, ovvero Z =, si ha σ σ σ (82) m Z = 1 σ m + ( m σ ) =, σ Z = 1 σ σ = 1, cioè la distribuzione di Z è una normale standard, ovvero Z N,1. Allora, tenendo conto che, se Z = X m, si ha P(Z) =, σ σ Z = 1, e che X = σz + m, si ottiene P(X) = P(σZ + m) = m, σ 2 X = V ar(σz + m) = σ 2. Pertanto i parametri m, σ di un numero aleatorio X N m,σ sono rispettivamente la previsione e lo scarto quadratico medio. Lo stesso risultato si può ottenere con calcoli diretti, verificando che P(X) = V ar(x) = xn m,σ (x)dx = = m, (x m) 2 N m,σ (x)dx = = σ 2. Sia X N m,σ, e per ogni x R consideriamo l evento (X x). Si ha ( X m (X x) x m ). σ σ Inoltre, poichè si ha Z = X m σ Φ m,σ (x) = P (X x) = P ( X m σ Inoltre, per ogni k >, si ha x m σ N,1, P ( X m kσ) = P (m kσ X m + kσ) = ) ( ) = P Z x m σ = Φ( x m ). σ = Φ m,σ (m + kσ) Φ m,σ (m kσ) = Φ( m+kσ m ) Φ( m kσ m ) = σ σ Φ(k) Φ( k) = = 2Φ(k) 1. In particolare P (m σ X m + σ) = 2Φ(1) 1 =.6826 P (m 2σ X m + 2σ) = 2Φ(2) 1 =.9544 P (m 3σ X m + 3σ) = 2Φ(3) 1 =.9974 P (m 1.96σ X m σ) = 2Φ(1.96) 1 =.95 Come mostrano le formule precedenti, utilizzando le tavole della distribuzione normale standard è possibile calcolare i valori di una distribuzione normale con parametri m, σ arbitrari.

7 7.1 Distribuzione Beta. 117 La funzione Γ( ) è così definita (83) Γ(α) = 7.9. Funzione Gamma x α 1 e x dx, α R +. Applicando l integrazione per parti a Γ(α + 1) si ottiene infatti posto si ha In particolare Γ(α + 1) = αγ(α) h(x) = x α g(x) = e x h (x) = αx α 1 g (x) = e x Γ(α + 1) = x α e x dx = h(x)g (x)dx = = [h(x)g(x)] + h (x)g(x)dx = = [ x α e x ] + } {{ } = +α x α 1 e x dx = αγ(α). Γ(1) = x 1 1 e x dx = e x dx = 1 e quindi se considero solo i valori interi di α si ha Γ(n + 1) = nγ(n) =... = n!γ(1) = n! n N La funzione Γ applicata al numero intero n restituisce il fattoriale di n Distribuzione Beta. Dati due parametri r, s entrambi positivi, un n.a. continuo X con densità di probabilità data da { Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) (84) B r,s (x) = xr 1 (1 x) s 1, se x (, 1),, altrimenti si dice che ha distribuzione beta, di parametri r ed s, e si indica nel seguente modo: X B r,s (x). La distribuzione B r,s (x) con r, s = 1 diviene la distribuzione U(, 1), infatti per x (, 1) Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) xr 1 (1 x) s 1 = = Γ(2) Γ(1)Γ(1) x (1 x) = 1! = 1.!! Alcuni grafici della funzione densità al variare dei parametri r, s sono illustrati nelle Figure 7.6, 7.8, 7.1. Si può dimostrare che 1 xr 1 (1 x) s 1 dx = Γ(r)Γ(s) Γ(r+s),

8 7.1 Distribuzione Beta. 118 FIGURA 7.5. Beta r=1, s=1 FIGURA 7.6. Beta r=1.5, s=.5 FIGURA 7.7. Densità Beta, r=.5, s=.5 pertanto B r,s(x)dx = 1 Γ(r+s) = 1. Γ(r)Γ(s) = Γ(r)Γ(s) Γ(r+s) La previsione di X è data da Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) xr 1 (1 x) s 1 dx = P(X) = xb r,s(x)dx = 1 Γ(r+s) Γ(r)Γ(s) xr (1 x) s 1 dx = = Γ(r+s) Γ(r+1)Γ(s) Γ(r)Γ(s) Γ(r+s+1) = Γ(r+s) (r)γ(r)γ(s) = Γ(r)Γ(s) (r+s)γ(r+s) r. r+s

9 7.11 Distribuzione Gamma. 119 FIGURA 7.8. Densità Beta, s=1 FIGURA 7.9. Densità Beta, r=3, s=1.5 FIGURA 7.1. Densità Beta, r=3.5, s=3.5 In modo analogo si prova che P(X 2 ) = x2 B r,s (x)dx = Γ(r+s) 1 Γ(r)Γ(s) xr+1 (1 x) s 1 dx = = e quindi r(r+1) (r+s)(r+s+1), V ar(x) = P(X 2 ) [P(X)] 2 = rs. (r+s) 2 (r+s+1)

10 7.11 Distribuzione Gamma. 12 Data la funzione Γ( ) (85) Γ(α) = Distribuzione Gamma. e posto x = λy, con λ >, si ha (86) Γ(α) = x α 1 e x dx, α R + λ α y α 1 e λy dy, α R + Un numero aleatorio X ha distribuzione gamma di parametri α >, λ > e si indica con X G α,λ se la sua densità è G α,λ (x) = λα Γ(α) xα 1 e λx, x >. A volte al posto di λ come parametro si utilizza Θ = 1. In tal caso si ha λ G α,θ (x) = xα 1 e x θ λ α Γ(α), x >. Il parametro Θ dicesi parametro di scala e il parametro α dicesi parametro di forma. E facile verificare che λ α Γ(α) xα 1 e λx dx = Γ(α) Γ(α) = 1. Se X G k,λ, con k N, la distribuzione Gamma dicesi anche distribuzione di Erlang. ESERCIZIO 7.2. Verificare che la funzione di ripartizione di un numero aleatorio X G k,λ, con k N, è data da k 1 F (x) = P (X x) = 1 P (X > x) = 1 i= (λx) i e λx = 1 P (Y k 1), i! con Y numero aleatorio con distribuzione di Poisson di parametro λx, cioè Y P(λx). Se α = 1 si ottiene G α,λ = Exp(λ). Pertanto un numero aleatorio X con distribuzione esponenziale di parametro λ è un numero aleatorio con distribuzione gamma di parametro α = 1 e λ. Il grafico, per λ = 1, è rappresentato in Figura 9.7. Nelle Figure 9.8, 9.9, 9.1 sono rappresentate, rispettivamente, le distribuzioni G 2,1, G 4,1, G 8,1. ESERCIZIO 7.3. Verificare che per un numero aleatorio X G α,λ si ha Infatti P(X) = P(X) = α λ, σ2 X = α λ 2. x λα Γ(α) xα 1 e λx dx = 1 λγ(α) λ α+1 x α e λx dx =

11 7.11 Distribuzione Gamma x FIGURA Exp(λ), λ = x FIGURA G α,λ, α = 2, λ = 1 Inoltre, poichè = Γ(α + 1) λγ(α) = α λ. P(X 2 ) = x 2 λα Γ(α) xα 1 e λx dx = Γ(α + 2) λ 2 Γ(α) = α(α + 1) λ 2

12 7.11 Distribuzione Gamma x FIGURA G α,λ, α = 4, λ = x FIGURA G α,λ, α = 8, λ = 1 si ha σ 2 X = P(X 2 ) [P(X)] 2 = α(α + 1) λ 2 α2 λ 2 = α λ 2.

13 7.11 Distribuzione Gamma. 123 FIGURA Densità di probabilità di alcune distribuzioni di Erlang. Fonte Wikipedia

14 CAPITOLO 8 Affidabilità 124

15 8.1 Affidabilità Affidabilità Ricordiamo che, dato un n. a. X non negativo con distribuzione esponenziale di parametro λ, vale la seguente proprietà di assenza di memoria (87) P (X > x + y X > y) = P (X > x) = = = e λx, x >, y >. Dalla (87), considerando l evento contrario, si ottiene (88) e, più in generale, P (X x + y X > y) = P (X x) = = 1 e λx, x >, y >, P (x + y < X x + y + x X > y) = (89) = P (x < X x + x) = F (x + x) F (x) = = (1 e λ(x+ x) ) (1 e λx ) = = e λx (1 e λ x ), x >, y >. Se la distribuzione di X non è esponenziale le formule precedenti non valgono e, per fissati valori x, y, potrà risultare (9) P (X > x + y X > y) < P (X > x), oppure (91) P (X > x + y X > y) > P (X > x), o in casi particolari (92) P (X > x + y X > y) = P (X > x). Se X rappresenta il tempo aleatorio fino al guasto di una data apparecchiatura, il fatto che vale la (87) corrisponde all assenza di usura, mentre la (9) e la (91) corrispondono rispettivamente al caso di usura positiva (invecchiamento dell apparecchiatura) e di usura negativa (ringiovanimento dell apparecchiatura). Indicando con f(x) la densità di probabilità e con S(x) la funzione di sopravvivenza, se consideriamo l evento condizionato (x < X x + x X > x), con x abbastanza piccolo, si ha (sotto opportune condizioni) (93) P (x < X x + x X > x) = P (x<x x+ x) P (X>x) = = x+ x x f(x)dx S(x) f(x) x S(x) = h(x) x.

16 8.1 Affidabilità 126 La funzione non negativa h(x) = f(x) si chiama funzione di rischio (o S(x) intensità, o tasso di avaria) di X e, come abbiamo visto, permette di approssimare P (x < X x + x X > x) con h(x) x. Assegnare f(x) è equivalente ad assegnare h(x). Infatti, data la densità f(x), si ha f(x) S(x) = f(t)dt, h(x) = x f(t)dt x Viceversa, data la funzione di rischio h(x), si ha e quindi Allora h(x) = f(x) S(x) = S (x) S(x), S (x) S(x) = DlnS(x) = h(x). lns(x) = x h(t)dt + c, dove c è una costante arbitraria. Ricordando che per un n.a. non negativo è S() = 1, si ha lns() = c = e quindi (94) S(x) = e x h(t)dt, da cui segue (95) f(x) = h(x)s(x) = h(x)e x h(t)dt. La funzione di rischio, oltre ad essere non negativa, soddisfa la seguente proprietà h(x)dx = +. Infatti tale condizione segue dalla (94), osservando che lim S(x) = x + lim x + x f(t)dt =. Osserviamo anche che, come appare dalla (93), se la funzione di rischio h(x) è crescente l apparecchiatura subisce un usura positiva (invecchiamento). Infatti, si ha P (x < X x + x X > x) = S(x) S(x+ x) S(x) = = = 1 e x+ x x h(t)dt, da cui, se h(x) è crescente, per x 1 < x 2 si ha Allora x1 + x x 1 h(t)dt < x2 + x x 2 h(t)dt. 1 e x 1 + x x h(t)dt 1 < 1 e x 2 + x x h(t)dt 2,

17 8.1 Affidabilità 127 e quindi P (x 1 < X x 1 + x X > x 1 ) < < P (x 2 < X x 2 + x X > x 2 ). Con lo stesso ragionamento, si dimostra che se h(x) è decrescente c è usura negativa (ringiovanimento). Infine, il caso in cui h(x) è costante (assenza di usura) è caratteristico della distribuzione esponenziale. Infatti, se allora f(x) = λe λx, x, h(x) = f(x) S(x) = λe λx e = λ. λx Viceversa, se h(x) = cost = λ >, allora f(x) = h(x)s(x) = λe x λdt = λe λx, x. Alcuni modelli particolari di funzioni di rischio sono: (a) h(x) = α + βx; (b) h(x) = cx β. Nel caso (a) (modello lineare), essendo h(x), h(x)dx = +, segue che le costanti α e β devono essere non negative ed almeno una positiva, cioè devono soddisfare le condizioni α, β, α + β >. Pertanto, nel caso β >, h(x) è crescente, mentre nel caso β =, h(x) è costante e la corrispondente distribuzione è esponenziale di parametro α. Con il modello lineare, quindi, non si può rappresentare la situazione di usura negativa. Nel caso (b), dalle proprietà di h(x) segue intanto che dev essere c >. Inoltre, non può essere β 1, altrimenti, per ogni fissato x >, si avrebbe e quindi risulterebbe x ct β dt = +, S(x) = e x ctβ dt =, x >. Pertanto, dev essere β > 1 e possiamo distinguere tre casi: (i) 1 < β < ; (ii) β > ; (iii) β =. Nel primo caso h(x) è decrescente e quindi siamo in presenza di usura negativa; nel secondo caso h(x) è crescente (usura positiva); nel terzo caso h(x) è costante (assenza di usura) e la distribuzione è esponenziale di parametro c.

18 8.1 Affidabilità 128 La distribuzione di probabilità corrispondente alla funzione di rischio h(x) = cx β è detta distribuzione di Weibull ed ha la seguente densità f(x) = cx β e x ctβ dt = cx β e c β+1 xβ+1.